考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷114(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知f(x)在x=a处可导，则=( )．A．0B．f’(a)C．2f’(a)D．3f’(a)正确答案：D解析：知识模块：微积分2．设函数f(x)在点x处可微，则必存在x的一个δ邻域，使在该邻域内函数f(x)( )．A．可导B．连续未必可导C．有界D．不一定存在正确答案：C解析：因为f(x)在x0处可微，所以在x0点必连续，从而有=f(x0)．由函数极限的局部有界性知f(x)在x0的某邻域内有界，故选C．知识模块：微积分3．设f(x)=，则f(x)在x=0处( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但f’(x)在x=0不连续D．可导且f’(x)在x=0连续正确答案：D解析：所以f’(x)在x=0处连续．故选D．知识模块：微积分4．设y=xn+ex，则y(n)=( )．A．exB．n!C．n!+nexD．n!+ex解析：因为(xn)(n)=n!，(ex)(n)=ex，所以y(n)=n!+ex．故选D．知识模块：微积分5．函数f(x)=(x2一2x一3)｜x2—3x｜sin｜x｜不可导点的个数是( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：A解析：f(x)的不可导点可能是｜x2一3x｜=0或｜x｜=0的点，即x=0，3，若直接按定义判断较复杂．利用如下结论：若存在，则f(x)=g(x)｜x—x0｜在x=x0处可导的充要条件是=0．f(x)=[(x2一2x一3)｜x一3｜sin｜x｜1]｜x｜而(x2一2x一3)｜x一3｜sin｜x｜=0，所以，f(x)在x=0处可导．同理f(x)=[(x2一2x一3)｜x｜sin｜x｜]｜x一3｜(x2一2x一3)｜x｜sin｜x｜=0，所以，f(x)在x=3处可导．故选A．知识模块：微积分填空题6．设f(x)为可导的偶函数，且=2，则曲线y=f(x)在点x=一1处法线的斜率为________．正确答案：一1．解析：由f(x)为可导的偶函数可知f’(x)为奇函数，即f’(一x)=一f’(x)．又=一2f’(1)=2，所以f’(1)=一1，f’(一1)=一f’(1)=1，故所求法线的斜率为k=一=一1．知识模块：微积分7．设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，则a=________，b=________．正确答案：一1，一1．解析：由导数的几何意义求出公切线的斜率，又点(1，一1)在两条曲线上，由y=x2+ax+b，得y’=2x+a．．又点(1，一1)在曲线y=x2+ax+b上，即一1=1+a+b，得b=一1．知识模块：微积分8．设f()=sinx，则f’[f(x)]= ________．正确答案：2sinx2．cos(sinx2)2．解析：由f()=sinx得f(x)=sinx2，因此f[f(x)]=sin[f(x)]2，所以f[f(x)]=cos[f(x)]2．2f(x) =2sinx2．cos(sinx2)2．知识模块：微积分9．设f(x)=，则f’(0)= ________．解析：知识模块：微积分10．设f(x)是以4为周期的函数，且f’(一1)=2，则=________．正确答案：一．解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。

各科的考试时间均为3小时。

考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。

考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。

数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。

数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。

这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。

二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。

其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。

考研数学三（微积分）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1－cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：A解析：得m=6且g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，选A．知识模块：函数、极限、连续2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选D．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’(x)=1－2f’(x)f’’(x)，f’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：一元函数微分学填空题4．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．正确答案：0解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续5．设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．正确答案：－2dx解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．知识模块：一元函数微分学6．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．设则a=______．正确答案：ln2解析：故a=ln2．知识模块：一元函数积分学8．微分方程的通解为______．正确答案：lnx+C解析：知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（填空题）专项练习试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.1．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分2．设A=，则(A+3E)一1(A2一9E)=________．正确答案：解析：(A+3E)一1(A2一9E)=(A+3E)一1(A+3E)(A一3E)=A一3E= 知识模块：线性代数3．交换积分次序：=________.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学4．设=_____________________。

正确答案：解析：对已知函数进行恒等变形，即则有所以知识模块：一元函数微分学5．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．正确答案：a≠1 涉及知识点：微积分6．曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学7．=__________。

正确答案：+C解析：令x=tant，则dx=Sec2tdt，故知识模块：一元函数积分学8．设随机变量X的概率密度为f(x)=(一∞＜x＜+∞)，则随机变量X的二阶原点矩为________．正确答案：解析：根据题意，即求E(X2)．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有知识模块：概率论与数理统计9．正确答案：(x2一1)+C，其中C为任意常数解析：知识模块：微积分10．抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围图形面积为则a=______．正确答案：1解析：y2=ax与x=1所围图形面积知识模块：微积分11．曲线直线x=2及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学12．设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为_________．正确答案：解析：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计值为知识模块：概率论与数理统计13．设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=______．正确答案：解析：令则X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，因此有知识模块：概率论与数理统计14．已知一2是的特征值，则x=__________．正确答案：x=-4解析：因为一2是矩阵A的特征值，所以由知识模块：线性代数15．已知r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）=m，r（α1，α2，…，αs，γ）=m+1，则r（α1，α2，…，αs，β，γ）=________。

考研数学三（微积分）模拟试卷98(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设数列{xn}，{yn}满足，则下列正确的是A．若{xn}发散，则{yn}必发散．B．若{xn}无界，则{yn}必有界．C．若{xn}有界，则{yn}必为无穷小．D．若为无穷小，则{yn}必为无穷小．正确答案：D解析：由已知条件是无穷小量时{yn}是较高阶的无穷小量，即D正确．知识模块：微积分2．f(x)=xsinxA．在(一∞，+∞)内有界．B．当x→∞时为无穷大．C．在(一∞，+∞)内无界．D．当x→∞时有极限．正确答案：C解析：设xn=nπ(n=1，2，3，…)，则f(xn)=0(n=1，2，3，…)；设这表明结论A，B，D都不正确，而C正确．知识模块：微积分3．函数在下列哪个区间内有界．A．(一1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：注意当x∈(一1，0)时有这表明f(x)在(一1，0)内有界．故应选A．知识模块：微积分4．若当x→∞时，则a，b，c的值一定为A．a=0，b=1，c为任意常数．B．a=0，b=1，c=1．C．a≠0，b，c为任意常数．D．a=1，b=1，c=0．正确答案：C解析：知识模块：微积分5．设，则下列结论错误的是A．x=1，x=0，x=一1为间断点．B．x=0为可去间断点．C．x=一1为无穷间断点．D．x=0为跳跃间断点．正确答案：B解析：计算可得由于f(0+0)与f(0一0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去间断点．应选B．知识模块：微积分6．把当x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．γ，β，α．C．β，α，γ．D．γ，α，β．正确答案：C解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除A与D．又因即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除B，即应选C．知识模块：微积分7．在中，无穷大量是A．①②．B．③④．C．②④．D．②．正确答案：D解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选择该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即．选D．知识模块：微积分填空题8．=_____________。

考研数学三（微积分）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：因3x2在(一∞，+∞)具有任意阶导数，所以f(x)与函数g(x)=x2｜x｜具有相同最高阶数的导数．因从而综合即得类似可得综合即得g’’(0)存在且等于0，于是由于g’’(x)在x=0不可导，从而g(x)存在的最高阶导数的阶数n=2，即f(x)存在的最高阶导数的阶数也是n=2．故应选C．知识模块：微积分2．设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0，则f(x)在x=0处A．不可导．B．可导且f’(0)≠0．C．有极大值．D．有极小值．正确答案：B解析：因，由极限的保号性质知，由于1—cosx＞0→当0＜｜x｜＜δ时f(x)＞0，又f(0)=0，故f(x)在x=0取得极小值．故应选D．知识模块：微积分3．若x f’‘(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则A．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．B．f(x0)是f(x)的极小值．C．f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．D．f(x0)是f(x)的极大值．正确答案：B解析：由题设知又由f’’(x)存在可知f’(x)连续，再由在x=x0≠0附近连续可知f’’(x)在x=x0附近连续，于是由f’(x0)=0及f’’(x0)＞0可知f(x0)是f(x)的极小值．故应选B．知识模块：微积分4．曲线渐近线的条数是A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：令f(x)的定义域是(一∞，一2)U(一2，1)U(1，+∞)，因从而x=1与x=一2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故是曲线y=-f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选A．知识模块：微积分5．曲线的拐点有A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：f(x)的定义域为(一∞，一1)∪(一1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f’’(x)=0，解得x1=0，x2=2；f’’(x)不存在的点是x3=一1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，y在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．知识模块：微积分填空题6．设y=aretanx，则y(4)(0)=__________．正确答案：0解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y’’是偶函数，y’’，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．知识模块：微积分7．74的极大值点是x=__________，极小值点是x=____________．正确答案：极大值点x=0；极小值点为解析：知识模块：微积分8．设f(x)=xex，则f(n)(x)在点x=__________处取极小值___________．正确答案：x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1) 解析：由归纳法可求得f(n)(x)=(n+x)ex，由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的驻点x0=一(n+1)．因为f(n+2)(x)｜x=x0=(n+2+x)ex｜x=x0=ex0＞0，所以x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)．知识模块：微积分9．曲线y=x2e-x2的渐近线方程为____________．正确答案：y=0解析：函数y=x2e-x2的定义域是(一∞，+∞)，因而无铅直渐近线．又因故曲线y=x2e-x2有唯一的水平渐近线y=0．知识模块：微积分10．曲线的渐近线方程为__________．正确答案：解析：本题中曲线分布在右半平面x＞0上，因故该曲线无垂直渐近线．又其中利用了当故曲线仅有斜渐近线知识模块：微积分11．曲线(x一1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是__________．正确答案：解析：由隐函数求导法，将方程(x一1)3=y2两边对x求导，得3(x一1)2=2yy’．令z=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x一1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是知识模块：微积分12．曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________．正确答案：y=x－1解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx 上点(x0，y0)=(x0，lnxn)(x0＞0)处的切线方程是从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是即该切线为y=x一1．知识模块：微积分13．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aPb，其中a和b是常数，且a＞0，则该商品需求对价格的弹性=________．正确答案：b解析：知识模块：微积分14．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100—5P．若商品的需求弹性的绝对值大于1，则该商品价格P的取值范围是__________．正确答案：10＜P≤20解析：从而P的取值范围是10＜P≤20．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（解答题）专项练习试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.1．证明：D=正确答案：涉及知识点：线性代数2．设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这5个球为3红2白的概率(写出计算式即可)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计3．设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b．正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f”(ξ)(x一c)2，(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0f”(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f”(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)一f(0)=f，(c)+[f”(ξ2)(1一c)2一f”(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)一f(0)+[f”(ξ1)c2一f”(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c 处展开．知识模块：微积分4．设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx 的值．正确答案：令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=，即2∫x2xf(u)du=+xf(x)．令x=1，得2∫12f(u)du=]．故∫12f(x)dx=．涉及知识点：一元函数积分学5．计算不定积分正确答案：涉及知识点：微积分6．设y’＝arctan(x一1)2，y(0)＝0，求∫01y(x)dx．正确答案：∫01y(x)dx＝xy(x)｜01－∫01xarctan(x－1)2dx＝y(1)－∫01(x－1)arctan(x－1)2d(x－1)－∫01arctan(x－1)2dx＝∫01arctan(x－1)2d(x－1)2＝∫01arctantdt 涉及知识点：微积分7．设a1=2，证明：正确答案：(1)显然an＞0(n=1，2，…)，由初等不等式：对任意的非负数x，y必有x+y≥易知因此{an}单调递减且有下界，故极限存在．涉及知识点：无穷级数8．正确答案：涉及知识点：微积分一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为9．问X与Y是否相互独立?正确答案：解一设X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则故当x≥0，y≥0时，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而当x＞0或y＜0时，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以对任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，则X与Y独立．解二先求出(X，Y)的联合概率密度函数f(x，y)及边缘密度fX(x)，fY(y)．当x≥0，y≥0时，有于是有因而同理，可求得易验证对x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．对x对任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互独立对任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．涉及知识点：概率论与数理统计10．求两个部件的寿命都超过100小时的概α．正确答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1) (因X，Y 相互独立) =[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)] =e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互独立，故解三由上题的解一知，X，Y相互独立，且均服从参数为λ=0．5的指数分布．利用命题3．2．3．2(4)即得α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1) =e－λx．eλx=(e －0.5×0.1)2=e－0.5×2e－0.1．上述三种求法都用到了X，Y的独立性．下述两种算法可以不用．解四由得所求概率为解五利用下述结论求之．对任意(x1，y1)，(x2，y2)，x10．1，Y>0．1)=P(0．10，a>0，则P(X>a)=e －λa，P(X－λa．涉及知识点：概率论与数理统计。

考研数学三（微积分）模拟试卷110(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．二元函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处两个偏导数f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)存在，是f(χ，y)在该点连续的【】A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D 涉及知识点：微积分2．设D是χ0y平面上以(1，1)，(－1，1)和(－1，－1)为顶点的三角形域，D1是D在第一象限的部分，则(χy＋cosχsiny)dχdy等于【】A．2cosχsinydχdyB．2χydχdyC．4(χy＋cosχsiny)dχdyD．0正确答案：A 涉及知识点：微积分3．设f(χ，y)在(0，0)点连续，且＝－2，则【】A．点(0，0)不是f(χ，y)的极值点．B．点(0，0)是f(χ，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(χ，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断(0，0)点是否为f(χ，y)的极值点．正确答案：B 涉及知识点：微积分4．设区域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，χ≥0，y≥0}，f(χ)为D上正值连续函数，a．b为常数，则＝【】A．abπ．B．．C．(a＋b)π．D．．正确答案：D 涉及知识点：微积分5．设f(χ)为连续函数，F(t)＝∫1tdy∫ytf(χ)dχ，则F′(2)等于【】A．2f(2)．B．f(2)．C．－f(2)．D．0．正确答案：B 涉及知识点：微积分6．设则【】A．I1＜I2＜I3．B．I2＜I3＜I1．C．I3＜I1＜I2．D．I3＜I2＜I1．正确答案：B 涉及知识点：微积分7．设0＜a＜1，区域D由χ轴，y轴，直线χ＋y＝a及χ＋y＝1所围成，且I＝sin2(χ＋y)dσ，J＝ln3(χ＋y)dσ，K＝(χ＋y)dσ．则【】A．I＜K＜J．B．K＜J＜I．C．I＜J＜K．D．J＜I＜K．正确答案：D 涉及知识点：微积分填空题8．设u＝e－χsin，则在(2，)处的值为_______．正确答案：涉及知识点：微积分9．由方程χyz＋所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的全微分dz ＝_______．正确答案：dχ－dy 涉及知识点：微积分10．设z＝(χ，y)＋yφ(χ＋y)，f、φ具有二阶连续偏导数，则＝_______．正确答案：yf〞(χy)＋φ′(χ＋y)＋yφ〞(χ＋y) 涉及知识点：微积分11．设f(χ，y)＝χy则_______．正确答案：χy-1＋yχy-1lnχ涉及知识点：微积分12．设u＝，则＝_______．正确答案：dχ－dy 涉及知识点：微积分13．设z＝z(χ，y)是由方程z＝mz＝φ(y－nz)所确定，(其中m、n为常数，φ为可微函数)，则＝_______．正确答案：1 涉及知识点：微积分14．＝_______．正确答案：(1－e-4) 涉及知识点：微积分15．设区域D为χ2＋y2≤R2，则＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分16．交换积分次序＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分17．[(χ＋1)2＋2y2]dχdy＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分18．＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分19．设f，g为连续可微函数，u＝f(χ，χy)，v＝g(χ＋χy)，求＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分20．设z＝f(u，χ，y)，u＝χey，其中f有二阶连续偏导数，求＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分21．设z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求＝_______．正确答案：＝f〞11e2χsinycosy＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22＋f′1eχcosy 涉及知识点：微积分22．设函数z＝f(χ，y)在点(1，1)处可微，且f(1，1)＝1，＝3，φ(χ)＝f(χ，f(χ，χ))．求＝_______．正确答案：51 涉及知识点：微积分23．求由方程2χz－2χyz＋ln(χyz)＝0所确定的函数z＝z(χ，y)的全微分为_______．正确答案：涉及知识点：微积分24．设f(χ，y)＝，求＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分25．计算＝_______，其中D由曲线｜χ｜＋｜y｜＝1所围成．正确答案：涉及知识点：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）模拟试卷135(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设函数y 1(x)，y 2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3．B.C 1 y 1 +C 2 y 2一(C 1 +C 2 )y 3．C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1—C 1一C 2 )y 3．D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1一C 2 )y 3．√解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1一y 3 )+C 2 (y 2一y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1一y 3与y 2—y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x．B.C 1 +C 2 cos2x．C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√D.C 1 +C 2 cos 2 x．解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点xα，且y(0)=π，则y(1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x 0 =0，△x=1，于是△y=y(x 0+△x)一y(x 0 =y(1)一y(0)=y(1)一π，代入△y的表达式即得 y(1)一π=π+α ←→ y(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0 =π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．三、解答题(总题数：30，分数：60.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（一元函数积分学与多元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x，y)＝则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：因为f(x，y)＝0＝f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续。

因为＝0，所以f’x(0，0)＝0，根据对称性，f’y(0，0)＝0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由＝0，得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)≠(0，0)时，f’x(x，y)＝2xsin，则f’x(x，y)＝因为f’x(x，y)＝(2xsin)不存在，所以f’x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f’y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．知识模块：多元函数微分学2．设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)＞0，求f(x)．正确答案：两边积分得F2(x)＝，解得F2(x)＝＋C，由F(0)＝1，F(x)＞0，得F(x)＝，于是f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学3．设f’(lnx)＝求f(x)．正确答案：令lnx＝t，则f’(t)＝，当t≤0时，f(t)＝t＋C1，；当t＞0时，f(t)＝et＋C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1＝1＋C2，故f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学4．求dx．正确答案：令f(x)＝，当0≤x≤1时，，当1＜x≤2时，＝x2，则dx＝xdx ＋x2dx＝．涉及知识点：一元函数积分学5．设f(x)连续，tf(x－t)dt＝1－cosx，求f(x)dx．正确答案：由tf(x－t)dt(x－u)f(u)(－du)＝(x－u)f(u)du＝xf(u)du－uf(u)du，得xf(u)du－uf(u)du＝1－cosx，两边求导得f(u)du＝sinx，令x＝得f(x)dx＝1．涉及知识点：一元函数积分学6．设f(x)在[0，＋∞)上连续、非负，且以T为周期，证明：正确答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n＋1)T，因为f(x)≥0，所以f(t)dt≤f(t)dt≤f(x)dt，即nf(t)dt≤f(t)dt≤(n＋1)f(t)dt，由，得，注意到当x→＋∞时，n→∞，且由夹逼定理得．涉及知识点：一元函数积分学7．设f(x)在[0，1]上连续，f(0)＝0，f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(x)dx＝ξf(ξ)．正确答案：令φ(x)＝，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)＝0，φ(1)＝f(x)dx＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝，所以f(x)dx＝ξf(ξ)．涉及知识点：一元函数积分学设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2．8．证明：对0＜x＜a，存在0＜Θ＜1，使得f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]；正确答案：令F(x)＝f(t)dt＋f(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜Θ＜1，使得F(x)＝F(x)－F(0)＝F’(Θx)x，即f(t)dt ＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]．涉及知识点：一元函数积分学9．求Θ．正确答案：令Θ＝A，由f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]，得于是Θ＝．涉及知识点：一元函数积分学10．设an＝tannxdx(n≥2)，证明：正确答案：an＋an＋2＝(1＋tan2x)tannxdx＝tannxd(tanx)＝tann＋1x，同理an ＋an－2＝．因为tannx，tann＋2x在[0，]上连续，tannx≥tann＋2x，且tannx，tann＋2x不恒等，所以tannxdx＞tann+2xdx，即an＞an＋2，于是＝an＋an+2＜2an＞，同理可证an＜．涉及知识点：一元函数积分学11．设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．正确答案：令φ(x)＝exf(x)，则φ’(x)＝ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(－∞)＝0，则φ(x)＝φ(x)－φ(－∞)＝φ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤｜φ’(x)｜dx≤exdx＝ex,/sup>，所以｜f(x)｜≤1．涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意的x，y∈(－∞，＋∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x－y｜．证明：｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．正确答案：因为(b－a)f(a)＝f(a)dx，所以｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜＝｜[f(x)－f(a)]dx｜≤f(x)－f(a)｜dx≤(x－a)dx＝(x－a)2(b－a)2．涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：．正确答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)－m≥0，f(x)－M≤0，从而≤0，于是f(x)＋≤M＋m，两边积分得f(x)dx＋Mmdx≤M＋m，因为f(x)dx＋Mmdx ≥2，所以2≤M＋m，于是(f(x)dx)(dx)≤．涉及知识点：一元函数积分学14．设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx≥f(x)dx．正确答案：方法一令φ(x)＝(x－)[f(x)－f()]，因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以φ(x)dx≥0，而φ(x)dx＝(x－)[f(x)－f()]dx＝(x－)f(x)dx－f()(x－)dx＝(x －)f(x)dx＝xf(x)dx－f(x)dx，故xf(x)dx≥f(x)dx．方法二令φ(x)＝tf(t)dt－f(t)dt，显然φ(a)＝0．φ’(x)＝xf(x)－f(t)dt－f(x)＝[(x－a)f(x)－f(t)dt]＝[f(x)dt－f(t)dt]＝[f(x)－f(t)]dt≥0，由得φ(b)≥φ(a)＝0，所以xf(x)dx≥f(x)dx．涉及知识点：一元函数积分学填空题15．设z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则＝_____________．正确答案：f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy －1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．解析：由z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，得＝f(x＋y)＋xf’(x＋y)＋yxy－1 g’1(xy，x2＋y2)＋2xg’2(xy，x2＋y2)，＝f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy－1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。