微积分模拟试卷及答案
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北京语言大学网络教育学院《微积分(上、下)》模拟试卷一注意:1.试卷保密,考生不得将试卷带出考场或撕页,否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律,考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分,答题时间为90分钟。
4.本试卷试题为客观题,请按要求填涂答题卡,所有答案必须填涂在答题卡上,答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共20小题,每小题4分,共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、设函数()f x 的定义域是[]0,4,则函数1)f 的定义域是( ) 2、数列nn n)211(lim +∞→的极限为( )。
[A] e 4 [B] e 2 [C] e[D] e 33、函数y = )。
[A] ()21,,y x x =+∈-∞+∞[B] [)21,0,y x x =+∈+∞[C] (]21,,0y x x =+∈-∞[D] 不存在4、1arctany x=, 则dy =( )。
[A] (1,1)-[B] (1,0)-[C](0,1)[D] [1,25][A] 21dx x +[B] 21dxx -+[C] 221x dx x+ [D]()221dxx x +5、xx xx sin cos 1lim0⋅-→=( )6、设,ln x y =则'y =( )。
[B] 1x;[C] 不存在7、函数4334+-=x x y 的二阶导数是( )。
[A] 2x [B] 21218x x - [C] 3249x x -[D] x 128、21lim 1xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )9、已知()03f x '=-,则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆( )10、函数1()()2x xf x e e -=+的极小值点是( ) 11、函数()ln z x y =--的定义域为( ) [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠[C](){},0x y x y +>[D](){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞12、幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域是( )[A] -1 [B] 0[C] 1/2[D] 不存在[A] 2e -[B] e[C]2e [D] 1[A] 12 [B] -12[C]3[D] -3[A] 1[B] -1[C]0[D] 不存在[A] []1,1- [B] [)1,1- [C] (]1,1-[D] ()1,1-13、设)(x f 为],[b a 上的连续函数,则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(的值( )14、若f x ax nn n ()==∞∑0,则a n =( )15、设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰,其中D 是由0y =,2y x =和1x =围成的区域。
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε,总存在δ>0,使得当时,恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。
3. 若当0x x →时,α与β 是等价无穷小量,则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导,则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=,52+=Q C ,则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域(a -ε,a +ε)内有无穷多个点,则( )。
(A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的( )。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x( )。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=,需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。
考研数学三(微积分)模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f(x)=3x2+x2|x|,则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A.0B.1C.2D.3正确答案:C解析:因3x2在(一∞,+∞)具有任意阶导数,所以f(x)与函数g(x)=x2|x|具有相同最高阶数的导数.因从而综合即得类似可得综合即得g’’(0)存在且等于0,于是由于g’’(x)在x=0不可导,从而g(x)存在的最高阶导数的阶数n=2,即f(x)存在的最高阶导数的阶数也是n=2.故应选C.知识模块:微积分2.设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0,则f(x)在x=0处A.不可导.B.可导且f’(0)≠0.C.有极大值.D.有极小值.正确答案:B解析:因,由极限的保号性质知,由于1—cosx>0→当0<|x|<δ时f(x)>0,又f(0)=0,故f(x)在x=0取得极小值.故应选D.知识模块:微积分3.若x f’‘(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0),则A.(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.B.f(x0)是f(x)的极小值.C.f(x0)不是f(x)的极值,(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点.D.f(x0)是f(x)的极大值.正确答案:B解析:由题设知又由f’’(x)存在可知f’(x)连续,再由在x=x0≠0附近连续可知f’’(x)在x=x0附近连续,于是由f’(x0)=0及f’’(x0)>0可知f(x0)是f(x)的极小值.故应选B.知识模块:微积分4.曲线渐近线的条数是A.1B.2C.3D.4正确答案:A解析:令f(x)的定义域是(一∞,一2)U(一2,1)U(1,+∞),因从而x=1与x=一2不是曲线y=f(x)的渐近线.又因故是曲线y=-f(x)的水平渐近线.综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线.选A.知识模块:微积分5.曲线的拐点有A.1个B.2个C.3个D.4个正确答案:B解析:f(x)的定义域为(一∞,一1)∪(一1,1)∪(1,+∞),且在定义域内处处连续.由令f’’(x)=0,解得x1=0,x2=2;f’’(x)不存在的点是x3=一1,x4=1(也是f(x)的不连续点).现列下表:由上表可知,y在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致,因此它们都是曲线y=f(x)的拐点,故选B.知识模块:微积分填空题6.设y=aretanx,则y(4)(0)=__________.正确答案:0解析:因y=arctanx是奇函数,且y具有任何阶连续导数,从而y’,y’’是偶函数,y’’,y(4)是奇函数,故y(4)(0)=0.知识模块:微积分7.74的极大值点是x=__________,极小值点是x=____________.正确答案:极大值点x=0;极小值点为解析:知识模块:微积分8.设f(x)=xex,则f(n)(x)在点x=__________处取极小值___________.正确答案:x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点;极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1) 解析:由归纳法可求得f(n)(x)=(n+x)ex,由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的驻点x0=一(n+1).因为f(n+2)(x)|x=x0=(n+2+x)ex|x=x0=ex0>0,所以x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点;极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1).知识模块:微积分9.曲线y=x2e-x2的渐近线方程为____________.正确答案:y=0解析:函数y=x2e-x2的定义域是(一∞,+∞),因而无铅直渐近线.又因故曲线y=x2e-x2有唯一的水平渐近线y=0.知识模块:微积分10.曲线的渐近线方程为__________.正确答案:解析:本题中曲线分布在右半平面x>0上,因故该曲线无垂直渐近线.又其中利用了当故曲线仅有斜渐近线知识模块:微积分11.曲线(x一1)3=y2上点(5,8)处的切线方程是__________.正确答案:解析:由隐函数求导法,将方程(x一1)3=y2两边对x求导,得3(x一1)2=2yy’.令z=5,y=8即得y’(5)=3.故曲线(x一1)3=y2在点(5,8)处的切线方程是知识模块:微积分12.曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________.正确答案:y=x-1解析:与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c,其中c是任意常数,又因y=lnx 上点(x0,y0)=(x0,lnxn)(x0>0)处的切线方程是从而,切线与x+y=1垂直的充分必要条件是即该切线为y=x一1.知识模块:微积分13.设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aPb,其中a和b是常数,且a>0,则该商品需求对价格的弹性=________.正确答案:b解析:知识模块:微积分14.设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100—5P.若商品的需求弹性的绝对值大于1,则该商品价格P的取值范围是__________.正确答案:10<P≤20解析:从而P的取值范围是10<P≤20.知识模块:微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷110(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.二元函数f(χ,y)在点(χ0,y0)处两个偏导数f′χ(χ0,y0),f′y(χ0,y0)存在,是f(χ,y)在该点连续的【】A.充分条件而非必要条件.B.必要条件而非充分条件.C.充分必要条件.D.既非充分条件又非必要条件.正确答案:D 涉及知识点:微积分2.设D是χ0y平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形域,D1是D在第一象限的部分,则(χy+cosχsiny)dχdy等于【】A.2cosχsinydχdyB.2χydχdyC.4(χy+cosχsiny)dχdyD.0正确答案:A 涉及知识点:微积分3.设f(χ,y)在(0,0)点连续,且=-2,则【】A.点(0,0)不是f(χ,y)的极值点.B.点(0,0)是f(χ,y)的极大值点.C.点(0,0)是f(χ,y)的极小值点.D.根据所给条件无法判断(0,0)点是否为f(χ,y)的极值点.正确答案:B 涉及知识点:微积分4.设区域D={(χ,y)|χ2+y2≤4,χ≥0,y≥0},f(χ)为D上正值连续函数,a.b为常数,则=【】A.abπ.B..C.(a+b)π.D..正确答案:D 涉及知识点:微积分5.设f(χ)为连续函数,F(t)=∫1tdy∫ytf(χ)dχ,则F′(2)等于【】A.2f(2).B.f(2).C.-f(2).D.0.正确答案:B 涉及知识点:微积分6.设则【】A.I1<I2<I3.B.I2<I3<I1.C.I3<I1<I2.D.I3<I2<I1.正确答案:B 涉及知识点:微积分7.设0<a<1,区域D由χ轴,y轴,直线χ+y=a及χ+y=1所围成,且I=sin2(χ+y)dσ,J=ln3(χ+y)dσ,K=(χ+y)dσ.则【】A.I<K<J.B.K<J<I.C.I<J<K.D.J<I<K.正确答案:D 涉及知识点:微积分填空题8.设u=e-χsin,则在(2,)处的值为_______.正确答案:涉及知识点:微积分9.由方程χyz+所确定的函数z=z(χ,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz =_______.正确答案:dχ-dy 涉及知识点:微积分10.设z=(χ,y)+yφ(χ+y),f、φ具有二阶连续偏导数,则=_______.正确答案:yf〞(χy)+φ′(χ+y)+yφ〞(χ+y) 涉及知识点:微积分11.设f(χ,y)=χy则_______.正确答案:χy-1+yχy-1lnχ涉及知识点:微积分12.设u=,则=_______.正确答案:dχ-dy 涉及知识点:微积分13.设z=z(χ,y)是由方程z=mz=φ(y-nz)所确定,(其中m、n为常数,φ为可微函数),则=_______.正确答案:1 涉及知识点:微积分14.=_______.正确答案:(1-e-4) 涉及知识点:微积分15.设区域D为χ2+y2≤R2,则=_______.正确答案:涉及知识点:微积分16.交换积分次序=_______.正确答案:涉及知识点:微积分17.[(χ+1)2+2y2]dχdy=_______.正确答案:涉及知识点:微积分18.=_______.正确答案:涉及知识点:微积分19.设f,g为连续可微函数,u=f(χ,χy),v=g(χ+χy),求=_______.正确答案:涉及知识点:微积分20.设z=f(u,χ,y),u=χey,其中f有二阶连续偏导数,求=_______.正确答案:涉及知识点:微积分21.设z=f(eχsiny,χ2+y2),其中f具有二阶连续偏导数,求=_______.正确答案:=f〞11e2χsinycosy+2eχ(ysiny+χcosy)f〞12+4χyf〞22+f′1eχcosy 涉及知识点:微积分22.设函数z=f(χ,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)=1,=3,φ(χ)=f(χ,f(χ,χ)).求=_______.正确答案:51 涉及知识点:微积分23.求由方程2χz-2χyz+ln(χyz)=0所确定的函数z=z(χ,y)的全微分为_______.正确答案:涉及知识点:微积分24.设f(χ,y)=,求=_______.正确答案:涉及知识点:微积分25.计算=_______,其中D由曲线|χ|+|y|=1所围成.正确答案:涉及知识点:微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理?A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案:B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$,求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案:D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$,求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案:B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念:导数和积分的关系。
答:导数和积分是微积分的两个基本概念,导数表示函数在某一点上的变化率,而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算,导数可以用来求解函数的斜率和最值,积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要?答:微积分在物理学和工程学中具有重要作用,因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分,可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量,以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具,可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答:$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答:$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案,希望对你的复习有所帮助。
微积分初步期末模拟试题及答案一、填空题(每小题4分,本题共20分) ⒈函数241)(xx f -=的定义域是 .⒉若24sin lim=→kxx x ,则=k .⒊已知x x f ln )(=,则)(x f ''= . ⒋若⎰=x x s d in .⒌微分方程y x e x y y x +='+'''sin )(4的阶数是 . 二、单项选择题(每小题4分,本题共20分) ⒈设函数x x y sin =,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数⒉当k =( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=00,,1)(2x kx x x f ,在0=x 处连续.A .1B .2C .1-D .0 ⒊满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的( )。
A .极值点 B .最值点 C .驻点 D . 间断点 ⒋设)(x f 是连续的奇函数,则定积分=⎰aa x x f -d )(( )A .⎰0-d )(2ax x f B .⎰0-d )(ax x f C .⎰ax x f 0d )( D . 0⒌微分方程1+='y y 的通解是( )A. 1e -=Cx y ;B. 1e -=x C y ;C. C x y +=;D. Cx y +=221三、计算题(本题共44分,每小题11分) ⒈计算极限423lim222-+-→x x x x .⒉设x x y 3cos 5sin +=,求y '. ⒊计算不定积分x x x d )1(2⎰+⒋计算定积分⎰πd sin 2x x x四、应用题(本题16分)欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?模拟试题答案及评分标准一、填空题(每小题4分,本题共20分) ⒈)2,2(- ⒉2 ⒊21x-⒋C x +-cos ⒌3二、单项选择题(每小题4分,本题共20分) ⒈B ⒉A ⒊C ⒋D ⒌B三、(本题共44分,每小题11分) ⒈解:原式41)2)(2()2)(1(lim2=+---=→x x x x x 11分⒉解:)sin (cos 35cos 52x x x y -+=' 9分x x x 2c o s s i n 35c o s 5-= 11分⒊解:x xx d )1(2⎰+= Cx x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(211分⒌解:⎰πd sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 210πππππ=+=+-=⎰xx x xx 11分四、应用题(本题16分) 解:设土地一边长为x ,另一边长为x216,共用材料为y于是 y =3xx xx 43232162+=+24323xy -='令0='y 得唯一驻点12=x (12-=x 舍去) 10分 因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以,当土地一边长为12,另一边长为18时,所用材料最省. 16分。
考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解,则φ(x/y)的表达式为A.-y2/x2B.y2/x2C.-x2/y2D.x2/y2正确答案:A 涉及知识点:微积分2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则A.λ=1/2,μ=1/2B.λ=-1/2,μ=-1/2C.λ=2/3,μ=1/3D.λ=2/3,μ=2/3正确答案:A 涉及知识点:微积分3.若f(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内A.有极值点,无零点.B.无极值点,有零点.C.有极值点,有零点.D.无极值点,无零点.正确答案:B 涉及知识点:微积分4.设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点(2,1/π)处的值________。
正确答案:π2/э2 涉及知识点:微积分5.设an>0(n=l,2,…),Sn=a1+a2+…+an,则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件正确答案:B解析:解决数列极限问题的基本方法是:求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块:微积分6.“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n>N时,恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件正确答案:C解析:函数与极限的几个基本性质:有界与无界,无穷小与无穷大,有极限与无极限(数列的收敛与发散),以及它们之间的关系,例如,有极限→(局部)有界,无穷大→无界,还有极限的不等式性质及极限的运算性质等.知识模块:微积分7.设函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是A.若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛B.若{xn}单调,则{f(xn)}收敛C.若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛D.若{f(xn)}单调,则{xn}收敛正确答案:B 涉及知识点:微积分8.函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界.A.(-1,0)B.(1,0)C.(1,2)D.(2,3)正确答案:A 涉及知识点:微积分9.设f(x)=ln10x,g(x)=x,h(x)=ex/10,则当x充分大时有A.g(x)<h(x)<f(x).B.f(x)<g(x)<h(x).C.h(x)<g(x)<f(x)D.g(x)<f(x)<h(x).正确答案:C 涉及知识点:微积分10.设函数f(x)任(-∞,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是A.若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛.B.若{xn}单调,则{f(xn)}收敛.C.若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛.D.符{f(xn)}单调,则{xn}收敛.正确答案:B 涉及知识点:微积分11.设可微函数f(x,y)在点(xo,yo)取得极小值,则下列结论正确的是A.f(xo,y)在y=yo处的导数等于零.B.f(xo,y)存y=yo处的导数大于零.C.f(xo,y)在y=yo处的导数小于零.D.f(xo,y)在y=yo处的导数不存在.正确答案:D 涉及知识点:微积分12.设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C 为任意常数,则该方程的通解是A.C[y1(x)-y2(x)].B.y1(x)+C[y1(x)-y2(x)].C.C[y1(x)+y2(x)].D.y1(x)+C[y1(x)+y2(x)].正确答案:B 涉及知识点:微积分13.y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+y2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则A.λ=1/2,μ=1/2.B.λ=-1/2,μ=-1/2.C.λ=2/3,μ=1/3.D.λ=2/3,μ=2/3.正确答案:A 涉及知识点:微积分14.微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx).B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx).C.y*=ax2+bx+c+Asinx.D.y*=ax2+bx+c+Acosx.正确答案:A 涉及知识点:微积分填空题15.当x→0时,f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小,则a=______,b=______.正确答案:1,-1/6 涉及知识点:微积分16.已知当x→0时,函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则k=_______,c=______.正确答案:3,4 涉及知识点:微积分17.设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y),则dz丨(1,0)=___________.正确答案:2edx+(e+2)dy 涉及知识点:微积分18.设z=(x+ey)x,则θz/θx丨(1,0)=___________.正确答案:2ln2+1 涉及知识点:微积分19.设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1,1)=___________.正确答案:-(2ln2+1) 涉及知识点:微积分20.设z=f(xy,x/y)+g(y/x),其中f,g均可微,则θz/θx=________.正确答案:yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点:微积分21.设函数f(u)可微,且f(0)=1/2,则z=f(4x2-y2)在点(1,2)处的全微分dz 丨(1,2)=_________.正确答案:4dx-2dy 涉及知识点:微积分22.微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案:2/x 涉及知识点:微积分23.微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案:1/x 涉及知识点:微积分24.微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案:ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点:微积分25.微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案:C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点:微积分26.二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案:C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点:微积分27.差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案:C+(t-2)2t 涉及知识点:微积分28.差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案:C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点:微积分29.某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元.若以W1表示第t年的工资总额(单位:百万元),则Wt满足的差分方程是__________.正确答案:Wt=1.2t-1+2解析:第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和,其中一部分是同定追加额2(百万元),另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20%,即是Wt-1的1:2倍.于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2.知识模块:微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分考试题目及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间(-∞,-1)上是:A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案:B2. 函数f(x)=x^3-3x的导数为:A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+3答案:A3. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率为:A. 2B. 4C. 6D. 8答案:B4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为:A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案:B5. 曲线y=e^x与直线y=1所围成的面积为:A. 1B. e-1C. 0D. ∞答案:B6. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值为:A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。
答案:6x2. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为______。
答案:1/33. 函数f(x)=ln(x)的反函数为______。
答案:e^x4. 曲线y=cos(x)在x=π/2处的切线方程为______。
答案:x+y=π/2三、计算题(每题10分,共40分)1. 计算定积分∫[0,2] (x^2-2x+1) dx。
答案:∫[0,2] (x^2-2x+1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x] | [0,2] = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/32. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的极值。
答案:f'(x) = 3x^2 - 12x + 9令f'(x) = 0,解得x=1或x=3。
f(1) = -4,f(3) = 1,f(2) = -1。
因此,函数在区间[1,3]上的极大值为1,极小值为-4。
3. 计算曲线y=x^2从x=0到x=1的弧长。
考研数学三(微积分)模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.二元函数其中m,n为正整数,函数在(0,0)处不连续,但偏导数存在,则m,n需满足( )A.m≥2,72<2B.m≥2,n≥2C.m<2,n≥2D.m<2,n<2正确答案:B解析:当(x,y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0,0)时,当m≥2,n≥2时,k取不同值,上式结果不唯一,所以函数在(0,0)处极限不存在,故函数不连续.又因为同理可得f’y(0,0)=0,故偏导数存在.当n<2时,有n=1,因而,函数f(x,y)在(0,0)处连续.同理,当m<2时,函数f(c,y)在(0,0)处连续.综上,应选(B).知识模块:微积分2.函数z=f(x,y)=在(0,0)点( )A.连续,但偏导数不存在B.偏导数存在,但不可微C.可微D.偏导数存在且连续正确答案:B解析:从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手.知识模块:微积分3.函数z=x3+y3一3x2一3y2的极小值点是( )A.(0,0)B.(2,2)C.(0,2)D.(2,0)正确答案:B解析:由=3y2一6y=0,可得到4个驻点(0,0),(2,2),(0,2)和(2,0).在(0,2)点和(2,0)点,均有AC—B2<0,因而这两个点不是极值点.在(0,0)点,AC—B2=36>0,且A=一6<0,所以(0,0)点是极大值点.在(2,2)点,AC—B2=36>0,且A=12>0,所以(2,2)点是极小值点,故选(B).知识模块:微积分4.函数y=f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的( )A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件正确答案:D解析:在多元函数中,一点连续与一点可偏导无必然联系.知识模块:微积分5.函数( )A.等于1B.等于2C.等于0D.不存在正确答案:C解析:当xy≠0时,≤|x|+|y|,当(x,y)→(0,0)时,由夹逼准则,可得极限值为0.知识模块:微积分6.设函数,则点(0,0)是函数z的( )A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点正确答案:B解析:由极值点的判别条件可知.知识模块:微积分填空题7.设=________.正确答案:一sin θ解析:由x=rcosθ,y=rsinθ,得u=cosθ,知识模块:微积分8.设=________.正确答案:1解析:f’x(0,1)= 知识模块:微积分9.设f可微,则由方程f(cx一ax,cy—bz)=0确定的函数z=z(x,y)满足az’x+bz’y=________.正确答案:c解析:本题考查多元微分法,是一道基础计算题.方程两边求全微分,得f’1.(cdx—adz)+f’2.(cdy—bdz)=0,即知识模块:微积分10.设函数z=z(x,y)由方程sin x+2y—z=ez所确定,则=________.正确答案:解析:方程两端对x求偏导数知识模块:微积分11.函数f(x,y,z)=-2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是________.正确答案:一4解析:由拉格朗日乘数法即得.知识模块:微积分12.函数的定义域为________ .正确答案:解析:知识模块:微积分13.设z=esin xy,则dz= ________ .正确答案:esinxycos xy(ydx+xdy)解析:z’x=esinxycos xy.y,z’y=esinxycos xy.x,则dz=eesinxycos xy(ydx+xdy).知识模块:微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε,总存在δ>0,使得当时,恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。
3. 若当0x x →时,α与β 是等价无穷小量,则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导,则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=,52+=Q C ,则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域(a -,a +)内有无穷多个点,则( )。
(A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的( )。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x( )。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=,需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。
微积分模拟考试试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3的导数是:A. 6x^2 - 10x + 7B. 6x^2 - 10x + 6C. 6x^2 - 8x + 7D. 6x^3 - 10x^2 + 72. 曲线y = x^2 + 3x - 2在x = 1处的切线斜率是:A. 4B. 5C. 6D. 73. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数是:A. -cos(x) + sin(x) + CB. -cos(x) - sin(x) + CC. cos(x) - sin(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C5. 函数y = ln(x)的反函数是:A. e^xB. x^eC. 1/xD. √x二、填空题(每空1分,共10分)6. 函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5的二阶导数是______。
7. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 3在x = 2处的切线方程是______。
8. 定积分∫[1,2] (3x + 1) dx的结果是______。
9. 函数f(x) = 2e^x的原函数是______。
10. 函数y = x^2的反函数是______。
三、简答题(每题5分,共15分)11. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[0, 2]上的定积分。
12. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值点。
13. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
四、解答题(每题10分,共20分)14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x,求其在x = 1处的泰勒展开式。
15. 利用定积分求曲线y = 2x - 1与x轴围成的面积。
五、综合题(每题15分,共15分)16. 一个物体从静止开始,以初速度0,加速度a = 3t^2(m/s^2)加速运动。
考研数学三(微积分)模拟试卷32(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.微分方程y”一4y=e2x+x的特解形式为( ).A.ae2x+bx+cB.ax2e2x+bx+cC.axe2x+bx2+cxD.axe2x+bx+c正确答案:D解析:y”一4y=0的特征方程为λ2一4=0,特征值位λ1=一2,λ2=2.y”一4y=e2x的特解形式为y1=axe2x,y”一4y=x的特解形式为y2=bx+c,故原方程特解形式为axe2x+bx+c,选D.知识模块:微积分2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex,y2=2xex,y3=3e—x,则该微分方程为( ).A.y’’’一y”一y’+y=0B.y’’’+y”一y’一y=0C.y’’’+2y”一y’一2y=0D.y’’’—2y”一y’+2y=0正确答案:A解析:由y1=ex,y2=2xex,y3=3e—x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1,λ3=一1,其特征方程为(λ一1)2(λ+1)=0,即λ3一λ2一λ+1=0,所求的微分方程为y’’’一y”一y’+y=0,选A.知识模块:微积分3.设φ1(x),φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为( ).A.C[φ1(x)+φ2(x)]B.C[φ1(x)一φ2(x)]C.C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D.[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)正确答案:C解析:因为φ1(x),φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解,所以φ1(x)一φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解,于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x),选C.知识模块:微积分4.微分方程y”一4y=x+2的通解为( ).A.B.C.D.正确答案:D解析:微分方程y”一4y=0的特征方程为λ2一4=0,特征值为一2,2,则方程y”一4y=0的通解为C1e—2x+C2e—2x,显然方程y”一4y=x+2有特解,选D.知识模块:微积分填空题5.微分方程y’+ytanx=cosx的通解为__________.正确答案:(±x+C)|cosx|解析:通解为.知识模块:微积分6.设f(x)在[0,+∞)上非负连续,且f(x)∫0xf(x一t)dt=2x,则f(x)=__________.正确答案:2x解析:,令F(x)=∫0xf(u)du,由f(x)∫0xf(x—t)dt=2x3,得f(x)∫0xf(u)du=2x3,即=2x3,则F2 (x)=x4+C0.因为F(0)=0,所以C0=0,又由F(x)≥0,得F(x)=x2,故f(x)=2x.知识模块:微积分7.连续函数f(x)满足f(x)=3∫0xf(x—t)dt+2,则f(x)=__________.正确答案:2e3x解析:由=∫0xf(u)du得f(x)=3∫0xf(u)du+2,两边对x求导得f’(x)一3f(x)=0,解得f(x)一Ce—∫—3dx=Ce3x,取x=0得f(0)=2,则C=2,故f(x)=2e3x.知识模块:微积分8.设y=y(x)可导,y(0)=2,令△y=y(x+△x)—y(x),且,其中α是当△x→0时的无穷小量,则y(x)=__________.正确答案:解析:知识模块:微积分9.的通解为__________.正确答案:解析:知识模块:微积分10.微分方程xy’一y[1n(xy)一1]=0的通解为__________.正确答案:解析:令xy=u,y+xy’=,积分得lnlnu=lnx+lnC,即lnu=Cx,原方程的通解为ln(xy)=Cx。
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想?A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案:D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少?A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案:A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案:C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案:f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案:x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案:4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解:首先求函数在x=1处的导数,f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3),故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解:首先确定曲线截距为(0,0),解方程得x=0。
利用定积分区间求解:∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案,希望对您的学习有所帮助。
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数学微积分考试题目及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数是:A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 - 3xC. 6x^2 + 3xD. 6x^2 - 3x + 1答案:A2. 曲线y = x^2 + 2x在点(1, 3)处的切线斜率是:A. 4B. 2C. 3D. 1答案:C3. 函数f(x) = e^x的不定积分是:A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * x + CD. e^x / x + C答案:A4. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案:B5. 函数f(x) = sin(x)的原函数是:A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案:B6. 曲线y = ln(x)在x = e处的切线方程是:A. y = x - 1B. y = x + 1C. y = 1/e * x + 1 - 1/eD. y = -1/e * x + 1 + 1/e答案:C7. 函数f(x) = x^3的二阶导数是:A. 3x^2B. 6xC. 6x^2D. 18x答案:B8. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点坐标是:A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (3, 0)答案:B9. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上的最大值是:A. 0B. 1C. 4D. 无法确定答案:B10. 函数f(x) = 1/x的不定积分是:A. ln|x| + CB. ln(x) + CC. 1/x + CD. -ln|x| + C答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的极小值点是__x = 2__。
2. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在x = 1处的切线斜率为__-1__。
一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为(1,2),则lg x ƒ()的定义域为() A 、(0,lg2)B 、(0,lg2]C 、(10,100)D 、(1,2)2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的() A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→等于()A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=,求y '等于() A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x=-的渐近线条数为() A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中,那个不是映射()A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题(每题2分) 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx →∞-=+设 (,则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,,则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线,则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(,)的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分)1、221x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若,就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( )四、计算题(每题6分)1、1sin xy x=求函数 的导数 2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知),求3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求 4、20tan sin limsin x x xx x→-求 5、计算 6、210lim(cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100Rx x x =-(,总成本函数为2()20050C x x x =++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分) 2、描绘函数21y x x=+的图形(12分) 六、证明题(每题6分)1、用极限的定义证明:设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间()内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+((2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x x xdx='=+-++=3、 解:2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解:2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x xx x x xx x x x xx x →→→--∴==当时,原式=5、解:65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式(6、 解:2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxxx x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中:原式 五、应用题1、解:设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x a aL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时,T 取得最大值2、 解:()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-,间断点为令则令则y '' +0 -+++y↘拐点↘无定义↘极值点↗渐进线:32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、 证明:lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M xf A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时,有取=,则当0时,有即2、证明:[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在()上连续由零点定理:至少存在一个(),使得即又则在上单调递增方程在()内有且仅有一个实根。
微积分模拟试卷及答案
一、填空题:(7×4'=28') 1、x
x x 1
sin
lim ∞
→= 1 2、已知函数
⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=-001)(cos )(2
x a x x x f x 在x=0连续,则a= 0
3、若)0('f =2,则0
()(0)
lim
2x f x f x
→-= 1
4、曲线),(,+∞-∞∈=x xe y x
的拐点坐标为 (-2,-2e -2) 5、若⎰
-=dx xe x f x cos )(,则)('x f = e -x cosx
6、曲线3
50xy e y x +-=在(0,-1)处的切线方程为
21y x =-
7、x x y ln 22
-=,则y 在]3,3
1[上的最小值与最大值
2ln 21
+
与 3ln 18-
二、计算题:(7×8'=56') 1、)1ln(2x x y ++=,求'y
解:2
2
2
2222
21111111221)'1(11
'x
x
x x x
x x x x x
x x x x y +=
+++++=++++
=++++=
2、x
x
y cos =,求y 的微分dy
解: x x x
e x y ln cos cos ==
)ln sin cos ()cos ln sin ('cos ln cos x x x
x
x x x x x e
y x x
x -=+
-= dx x x x
x
x
dy x
)ln sin cos (
cos -=∴ 3、x
x x
x x 2
sin sin 1tan 1lim
+-+→ 4
1)sin 1tan 1(cos 21lim )sin 1tan 1(cos sin cos 1lim )
sin 1tan 1(sin )
cos cos 1(sin lim
)sin 1tan 1(sin sin tan lim 2200
2020
=
+++=+++-=+++-=+++-=→→→→x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
4、1lim )(cos lim 0cos sin lim
cos ln lim
cos ln 1
10
00=====-→→→→e e
e
e
x x x
x x x x
x x x x x
5、c e dt e
e e e dt t
t t t t
+=+=+⎰⎰-arctan 12 6、⎰
⎰⎰-+
=-=dx x
x x x x xd x x xdx 2
1arccos arccos arccos arccos
c x x x x x
d x x +--=---=⎰22
21a r c c o s 1)
1(21a r c c o s
7、
15
222
522
221555
2arcsin arcsin
(21)5
515
1()142
2
x t
dx dt x t dt dx dx t c x c x x x t -==
-=
==+=-++----=⎰⎰⎰
令 三、证明:(2×8'=16') 1、证明:0>x 时,x x +>+12
1
1 证:令x x x f +-+
=12
1
1)(, 则x x f +-=12121)('
0>x ,0)('>∴x f ,则)(x f 在),0(+∞上单调增加 又0101)0(=-+=f ,0)0()(=>∴f x f ,即012
1
1>+-+x x )0(12
1
1>+>+
∴x x x
2、设0>>b a ,证明b
b
a b a a b a -<
<-ln 证:设x x f ln )(=
x x f ln )(= 在[b,a]上连续,在(b,a)内可导,则)(x f 在[b,a]上满足lagrange 定理 ∴至少存在一点),(a b ∈ξ有 ))((')()(b a f b f a f -=-ξ
即)(1
ln ln b a b a -=
-ξ
,a b <<<ξ0 ,b
a 1
110<<<
∴ξ b
b
a b a b a a b a -<-=<-∴
)(1ln ξ 即原式成立。
鱼儿,在水中串上串下,吐着顽皮的泡泡;鸟儿从荷叶上空飞过,想亲吻荷花姑娘的芳泽。
四周的花儿,紫的,黄的,白的,红的,竞相开放。
大红花儿,张着大嘴,放声歌唱;灯笼花儿,随风摇坠,四处飘香;剑兰花儿,形态独特,毫不逊色。
它们与荷塘之景交相辉映,美不胜收此时,我的心情兴奋到极点,好久好久没有看过如此美的景色了。
若果我有一双会画画的手,我定把这如痴如醉的荷塘活色生香的描绘一番;若果我有一部高像素的相机,我定不放过每个花开的镜头;若果我是一个诗人,我定把这荷塘每片光鲜艳丽的色泽融入人生的诗篇。
我更期待,期待盛夏的荷塘色,期待那更加妖娆多姿,色泽鲜艳的荷花,期待初夏生机勃勃、挥汗如雨的激情生活!。