两圆公共弦长公式

两个相交圆公共弦方程圆与圆之间的故事，可真是有趣得很。

想象一下，两个圆在平面上相遇，它们就像两位老友，刚好在某个小巷子里碰头，嘿，聊得热火朝天。

它们不是随便碰的，那是因为它们有共同的目标，想要找到一条连接彼此的“桥梁”。

这条桥梁就是它们的公共弦。

说到公共弦，这可不是随便什么弦，得是那种能把两个圆的中心连起来的特别线段，简直就像一条友情的纽带。

如何找到这条弦呢？咱们得搞清楚两个圆的方程。

这两个圆的方程看起来就像两个小秘密，隐秘却又充满信息。

第一个圆的方程一般是这样的：( (x x_1)^2 + (y y_1)^2 = r_1^2 )。

这里的( (x_1, y_1) )是圆心，( r_1 )是半径。

第二个圆也差不多，方程是：( (xx_2)^2 + (y y_2)^2 = r_2^2 )。

这两个方程就像是两个不同的世界，平行却又想要交汇。

圆心之间的距离就是它们的“心灵距离”，越近越好，但有时候却又充满挑战。

好啦，我们先算算这两个圆的交点。

找到交点就像是找到了两人聊天时的共同话题，既兴奋又期待。

这时候用代入法或者消元法，简直就像是在解谜。

把一个方程的( y )值代入另一个方程，哎，结果就会出现一些关于( x )和( y )的方程，真是一波三折。

但没关系，经过一番计算，咱们总能找到那两个交点，分别是( A(x_1, y_1) )和( B(x_2, y_2) )。

然后，找到交点之后，咱们就可以算出公共弦的方程。

公共弦的方程就像是一座桥，连接着这两个圆。

简单来说，公共弦的斜率可以用交点的坐标来算。

假设这两个交点坐标分别是( (x_1, y_1) )和( (x_2, y_2) )，那么公共弦的斜率就可以表示为：( k = frac{y_2y_1{x_2 x_1 )。

哎呀，数学真是有趣。

用这个斜率和一个交点的坐标，我们就能用点斜式写出公共弦的方程，轻松自在。

这条公共弦的方程就像是两个圆的共同语言，它们通过这条线相互交流，互相牵挂。

求两圆公共弦长的方法嘿，咱今儿就来唠唠求两圆公共弦长的那些事儿！你想啊，这两个圆就像是两个小伙伴，它们有时候会有一条共同的“线”牵连着，这就是公共弦啦！那怎么找到这条弦的长度呢？咱先说一个简单直接的办法，那就是把两个圆的方程相减！这一减，嘿，就得出了公共弦所在的直线方程。

然后呢，咱再在其中一个圆里，利用圆心到直线的距离公式，算出圆心到这条公共弦的距离。

就好比你要知道你和小伙伴之间的距离一样。

有了这个距离，再结合圆的半径，用勾股定理一捣鼓，不就能求出公共弦长的一半啦！然后再乘以 2，公共弦长不就出来了嘛。

还有啊，有时候咱可以通过图形来直观感受。

想象一下，那两个圆就像是两个大圆盘摆在那，公共弦就是它们之间的那根纽带。

咱仔细观察这个图形，利用一些几何关系，也能找到公共弦长呢。

再比如说，咱可以设出公共弦的端点坐标，然后把这些坐标代入到两个圆的方程里，这不就有了一堆等式嘛。

再通过解方程组，就能把端点坐标求出来，那公共弦长不也就知道了嘛。

哎呀，你说这求公共弦长的方法是不是挺有意思的？就像解谜题一样，一点点地去探索，去发现。

这可需要咱有点耐心和细心哦！可别嫌麻烦，等你真正掌握了这些方法，再遇到求两圆公共弦长的问题，那还不是手到擒来呀！你想想，要是以后有人问你怎么求两圆公共弦长，你就能胸有成竹地告诉他，用这个方法，用那个方法，多牛啊！而且这在数学里可重要啦，好多问题都可能涉及到呢。

总之呢，求两圆公共弦长的方法有好几种，咱得根据具体情况选择合适的方法。

就跟咱出门穿衣服一样，得看天气和场合嘛。

咱得把这些方法都掌握好了，才能在数学的世界里畅游无阻呀！所以呀，别小瞧了这些方法，它们可是咱探索数学奥秘的重要工具呢！好好学，好好用，你肯定能行的！。

两圆的公共弦的简易求法作者：魏道勇来源：《新一代》2011年第04期摘要：圆锥曲线中求两圆的公共弦，寻求更有效解题方法。

避免了大量的，繁琐的代数运算，节省了做题时间，提高了准确率。

关键词：圆锥曲线；公共弦；简易求法中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0141-01圆锥曲线中求两圆的公共弦常用联立两圆的方程，消去x2与y2项后得关于x,y的一次方程，即公共弦所在的直线方程的方法解之。

例如：求圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x-4y-1=0公共弦所在的直线的方程同学们易联立两个方程，解出两个交点坐标，然后根据两点求出所要的公共弦的方程，显然这样做需要花费大量的运算时间，虽然做出来了，可以说是事倍功半。

实际上两个方程联立相减消去x2与y2项，即(x2+y2-4)-(x2+y2+4x-4y-1)=0化简即得公共弦的方程为：4x-4y+3=0。

另外，我们在圆锥曲线中常遇到有关中点弦所在的直线方程的问题，学生习惯用设斜率k，写出直线方程与圆锥曲线方程联立，表示中点，求出k，再写出直线方程，这样虽可行，但运算量太大，易出错，现在让我们大胆联想用圆中的方法可否解决。

若圆锥曲线C的方程为：f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0点M(m,n)是曲线C的弦PQ的中点，我们来求弦PQ所在的直线的方程。

分析：如何构造出两个相似的方程呢？我们知道弦的两个端点都在曲线上，且关于中点对称，端点的坐标满足方程，这样可构造两个方程。

让我们试一试。

设P的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2m-x,2n-y)，PQ两点都满足曲线C的方程即有f(x,y)=0f(2m-x,2n-y)=0亦即Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0A(2m-x)2+B((2m-x)(2n-y)+C(2n-y)2+D(2m-x)+E(2n-y)+F=0两式相减得:f(x,y)-f(2m-x,2n-y)=0，即得：(2mA+nB+D)x+(mB+2nC+E)y-(2m2A+2mnB+2n2C+Dm+En)=0*当2mA+nB+D与mB+2nC+E不同时为零时，上式方程表示是直线，它是不是弦PQ所在直线的方程呢？显然P的坐标满足*式，也易验证点M(m,n)满足*式方程，又两点确定一条直线，故*式方程可看作是P,M确定的直线方程，也就是弦PQ所在直线的方程。

求公共弦长的方法求公共弦长是在数学和几何学中常见的问题，它涉及到圆和直线之间的关系。

下面将介绍一种方法来求解公共弦长。

我们需要了解什么是公共弦。

在一个圆上，如果有两个点分别位于圆上的两条弧上，并且通过这两个点可以画出一条直线，那么这条直线就是圆的公共弦。

公共弦的长度可以通过一些几何关系来求解。

假设有一个圆，圆心为O，半径为r。

现在我们需要求解两个公共弦AB和CD的长度。

我们可以连接OA和OB，这样就得到了两个半径。

根据圆的性质，半径相等。

所以，OA和OB的长度都是r。

接下来，我们可以连接AC和BD，这样就得到了两个直径。

根据圆的性质，直径是圆上两个相对的点的连线。

所以，AC和BD的长度都是2r。

现在，我们可以利用三角形的性质来求解公共弦的长度。

首先，我们可以观察到四边形ABOC是一个菱形，因为AO和OB的长度相等，并且AO和OB的连线垂直于AB和OC。

所以，我们可以得到AOB是一个直角三角形，且AO和OB是直角三角形的斜边。

根据勾股定理，我们可以得到AB的长度。

同样地，我们可以观察到四边形CDOB是一个菱形，因为CO和OB的长度相等，并且CO和OB的连线垂直于CD和OD。

所以，我们可以得到COD是一个直角三角形，且CO和OD是直角三角形的斜边。

根据勾股定理，我们可以得到CD的长度。

我们可以通过勾股定理来求解公共弦AB和CD的长度。

公共弦的长度等于圆的直径的平方减去半径的平方。

在实际应用中，我们可以通过测量圆的直径和半径的长度，然后代入公式来求解公共弦的长度。

这种方法简单易行，并且准确度高。

总结一下，求解公共弦长度的方法是通过勾股定理来计算。

首先，连接圆心和公共弦的两个点，得到半径和直径的长度。

然后，利用勾股定理求解公共弦的长度。

这种方法简单实用，适用于各种圆的情况。

两圆相交公共弦方程推导好嘞，今天我们聊聊两圆相交的公共弦方程，听起来好像很复杂，其实不然，咱们一步一步来，轻松搞定。

想象一下两个圆圈，就像你和你的好朋友，虽然各自的生活轨迹不同，但总有交集，对吧？这两个圆圈相交的地方，就是它们的共同点，嘿，这就好比你们一起嗨的时候，哈哈。

这两个圆是怎么定义的呢？每个圆都有自己的中心和半径，想象一下，一个圆心在原点(0, 0)，半径为r，这样它的方程就是x² + y² = r²。

另一个圆，假设它的圆心在(x₁, y₁)，半径为r₁，那它的方程就是(x x₁)² + (y y₁)² = r₁²。

看，这里有点小复杂，但没关系，咱们往下走。

咱们把这两个方程拿出来对比一下，发现，它们的交点其实就是解这两个方程组的结果。

想象一下，这就像在拼图游戏里找共同的拼块，嘿，你得找出它们重合的地方。

为了找到交点，咱们可以通过代入法或者消元法来解这两个方程。

拿代入法来说，先从第一个方程中解出y，再把它代入第二个方程，噔噔噔，解开后就能得到x的值。

现在，找到了x，接下来就是求y了。

这时候，你会发现交点的坐标慢慢浮现出来，感觉就像揭开谜底的那一刻，太开心了。

找到交点之后，我们要聊聊公共弦，这可真是个好东西。

公共弦，就是连接这两个圆交点的那根线，想象一下，两颗星星之间的连线，多浪漫啊！要找到公共弦的方程，咱们首先得知道这两个交点的坐标，记作A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。

然后，我们可以利用两点间的直线方程来求出公共弦的方程。

公式很简单，就是y y₁ = m(x x₁)，其中m是斜率，m = (y₂ y₁) / (x₂ x₁)。

看，多简单！通过上面的步骤，我们就得到了公共弦的方程，像是找到了一条通往新世界的秘密通道。

想象一下，圆圈们在空中翩翩起舞，它们的共同点在闪闪发光，简直太美了。

这个过程就像一场华丽的舞会，两个圆在优雅的舞步中找到了彼此，留下了那条美丽的弦。

两圆相交公共弦直线方程
公共弦方程
两个圆若是相交，则至多交于2点。

而将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。

而减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），换句话说，就是两个交点所共同满足的直线方程。

而我们知道，平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。

相交两圆的公共弦所在的直线方程
若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0
圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0
则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2或(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0 这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式
设两圆分别为
x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0①
x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0②
两式相减得
（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0③
这是一条直线的方程
（1）先证这条直线过两圆交点
设交点为(x0,y0)则满足①②
所以满足③
所以交点在直线③上
（2）由于过两交点的直线又且只有一条所以得证。

怎么求两圆的公共弦长
佚名
【期刊名称】《中学生数理化（高一版）》
【年(卷),期】2011(000)012
【摘要】求两圆x^2＋y^2-10x—10y=0和x^2＋y^2十6x＋2y-40=0的公共弦的弦长．rn分析：我们可以通过两圆方程相减，求出两圆的公共弦所在的直线方程，把问题转化为求直线与圆相交弦的弦长．
【总页数】1页(P47-47)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.两圆锥曲线求交的图解方法
2.求两圆公共弦长问题的完整解法
3.求两圆锥相贯线另一途径
4.弦长公式在相交两圆中的运用
5.让“弦长”回归“任意两点间距离”的本质——探析弦长公式的误区及其在求“非弦”长度问题中的应用
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高中圆的公共弦长公式首先，我们需要了解圆的定义和性质。

在平面几何中，圆是由平面上的一组点构成的，这组点到一个固定点的距离都相等。

这个固定的点叫做圆心，距离圆心且相等的任意两点叫做圆上的点。

圆上的两点和圆心之间的线段叫做弦。

圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的弦。

圆的半径是圆心到圆上的任意一点的距离。

接下来，我们需要了解两个圆相交的性质。

如果两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，那么这两个圆相交；如果两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，那么这两个圆相切；如果两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，那么这两个圆相离。

接着，我们来探讨两个相交圆的公共弦长公式。

假设有两个相交圆，它们的圆心分别为O₁和O₂，半径分别为r₁和r₂。

假设它们的公共弦为AB，其中A在圆O₁上，B在圆O₂上，且AB的中点为M。

我们需要求解的是弦长AB。

首先，我们可以将两个圆的半径和弦的长度相连，形成一个三角形O₁O₂B。

由于圆的性质，OB和两个半径r₁和r₂共面，且OB与AB以及O₁O₂的垂线相交于同一个点M。

因此，三角形O₁O₂B是一个直角三角形。

根据勾股定理，我们可以得到以下关系：O₁M²+O₂M²=O₁O₂²（1）由于O₁M=O₂M，所以我们可以将上述关系简化为：2O₁M²=O₁O₂²（2）另外，根据正弦定理，我们可以得到以下关系：sin(∠O₁BM) = BM / O₁Bsin(∠O₂BM) = BM / O₂B由于∠O₁BM = ∠O₂BM（夹角O₁BM和夹角O₂BM都是弦AB和两个半径的夹角），所以sin(∠O₁BM) = sin(∠O₂BM)。

因此，BM / O₁B = BM / O₂B。

由于BM是常数，所以O₁B = O₂B。

将上述结果代入公式（2）中，可以得到：2O₁M²=O₁B²+O₂B²由于O₁B=O₂B，所以上述公式可以进一步简化为：2O₁M²=2O₁B²化简得：O₁M²=O₁B²由于O₁M和O₁B之间的关系是垂直关系，所以O₁M就是弦AB的半长。