微专题7几何体侧面积(教学案)

§7简单几何体的面积和体积7．1简单几何体的侧面积在初中，我们学过正方体、长方体的表面积，以及它们的展开图，思考圆柱、圆锥和圆台的侧面展开图的形是什么？【提示】矩形、扇形、扇环．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图各是什么形状？【提示】矩形、几个全等的等腰三角形、几个全等的梯形.圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．【思路探究】 设出圆柱和圆锥的底面半径，利用相似三角形，得半径之间关系和圆锥母线与半径的关系，写出圆柱、圆锥的表面积求其比值．【自主解答】 如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r 、R ，圆锥母线长为l ，则有rR ＝R －r R ，即r R ＝12. ∴R ＝2r ，l ＝2R .∴S圆柱表S圆锥表＝2πr2＋2πr2πR·2R＋πR2＝4πr242πr2＋4πr2＝4πr24(2＋1)πr2＝12＋1＝2－1.1．本题的解题关键是画出轴截面，将空间问题转化为平面问题．2．几何体的表面积等于各个表面积之和．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)【解析】当长为6π的边为高时，底面半径r＝2.S全＝6π×4π＋π×4×2＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．当长为4π的边为高时，底面半径r＝3.S全＝24π2＋2×9π＝6π(4π＋3)．【答案】 C图1－7－1一个几何体的三视图如图1－7－1所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的表面积．【思路探究】审题时要注意以下信息：(1)几何体是正六棱锥；(2)正六棱锥的底面是正六边形，其边长为1，侧棱长为2，求该几何体的表面积时需先求底面积和侧面积，然后求和即可．【自主解答】 由三视图可知该几何体是正六棱锥(如图)， 其底面边长为12BC ＝12×2＝1，侧棱长为AC ＝2， 斜高AD ＝AC 2－CD 2＝22－(12)2＝152.S 侧面＝6×12×1×152＝3152，S 底面＝6×34×12＝332，S 表面＝S 侧面＋S 底面＝3152＋332＝32(3＋15)．1．正棱锥，正棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长．2．对正棱锥、正棱台、斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)．已知正三棱锥V —ABC 的主视图，俯视图如图1－7－2所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．图1－7－2【解】 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13， ∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴该三棱锥的表面积为：(339＋33).(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积． (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．【思路探究】 侧棱C 1C 与上、下底面正方形中心连线以及CO 和C 1O 1可构成直角梯形，从而可知∠C 1CA ＝45°.从而求h ＝C 1E 以及斜高C 1F .【自主解答】 (1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22×(9－3)＝3 2. 在Rt △C 1CE 中， C 1E ＝CE ＝32， 又EF ＝CE ·sin 45°＝32×22＝3， ∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2＝(32)2＋32＝3 3. ∴S 侧＝12(4×3＋4×9)×32(9－3)＝3(92－32)＝72 3.(2)由题意知，S 上底＋S 下底＝90， ∴12(4×3＋4×9)·h 斜＝90. ∴h 斜＝90×212＋36＝154.又EF ＝3，h ＝h 2斜－EF 2＝(154)2－32＝94.1．本题易出现正棱台的高与斜高混淆的情况．2．解决该类问题，关键是正确找出几何体中轴对应元素，把它们放在一个平面图形中利用平面几何的知识解决，体现了空间问题平面化的思想．已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．【解】如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm，则S＝S底＋S柱侧＋S圆锥侧＝π×(3)2＋2π×3×6＋π×3×3＝(3＋62＋33)π(cm2)．对三视图认识不清致误一个空间几何体的三视图如图1－7－3所示，则该几何体的表面积为()图1－7－3A．48B．32＋817C．48＋817 D．80【错解】由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为。

§7.1简单几何体的侧面积【教材分析】本节课的教学内容是《数学２》第一章§7简单几何体的侧面积，教学课时为1课时，在生产建设、科学实验及社会生活实践中，常常会遇到计算物体表面积与体积的问题．因此让学生学会计算一些简单几何体面积对于学生以后的学习和生活都是非常重要的．《新课标》要求对直棱柱、正棱锥、正棱台、圆台，通过观察它们的侧面展开图得到其面积的计算公式．《标准》不要求记忆公式．【学情分析】在九年义务教育阶段，学生在初中七年级已经学习了长方体和正方体侧面积和表面积的计算方法和公式，也在“展开与折叠”中通过实际操作了解了柱体、锥体、台体的侧面展开图．这节课将在义务阶段学习的基础上，通过圆柱、圆锥、圆台以及棱柱、棱台的侧面展开图深入学习这些简单几何体的侧面积求法．【教学目标】1.知识与技能（1）掌握柱、锥、台表面积计算公式(不要求记忆公式)，理解公式所表示的意义．对比认识柱、锥、台的面积公式．（2）会运用公式解决一些实际问题．2．过程与方法学生已在义务教育阶段了解了几何体的展开图，也明确了通过展开图计算几何体的侧面积和表面积的思想．在本节中，联系义务阶段的基础知识，不难推出柱体、锥体的侧面积．对于比较复杂的圆台、棱台公式将直接给出，不进行证明，只要求学生理解公式所表示的意义，着重让学生把柱、锥、台表面积计算公式统一起来认识，加强联系和对比，会利用公式进行计算．3．情感、态度与价值观通过让学生实际操作剪开一些柱、锥、台体，通过研究几何体展开的平面图形学习其侧面积计算公式，通过动手操作不仅可以培养学生的几何兴趣，也逐步了解把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想和类比的思想方法．【重点难点】本节课的教学重点是柱、锥、台体面积公式．本节课的教学难点是如何有效准确地运用柱、锥、台体的面积公式解决问题．【教学环境】1.圆锥、圆台、棱锥、棱台、球实物模型．2.多媒体课件.3.多媒体教室.【教学过程】1.导入新课师： 在这一章的第一节里，同学们已经充分地认识了简单旋转体：圆柱、圆锥和圆台，也学习了简单多面体：棱柱、棱锥和棱台的一些性质．而在现实生活、生产实践中我们还需要计算这些简单几何体的侧面积和体积．因此，这一节课我们就首先来探究一下柱体、锥体和台体侧面积的计算方法．请同学们研究一下自己手里的这些几何体，思考一下我们应该如何计算这些几何体的侧面积呢？（提前将学生分组并分发一些柱体、锥体和台体纸制模型）生： 我们在初中的时候已经知道，把柱体、锥体、台体的侧面沿着一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．2.执图探法2.1 圆柱、圆锥、圆台面积的探究教师指导学生展开讨论，并找小组代表分别陈述自己对于圆柱、圆锥和圆台的侧面积的认识和面积计算公式的思考．Flash 课件动态展示圆柱、圆锥、圆台的展开过程：总结：①2s cl rl π==圆柱侧， 其中c 为圆柱底面周长，r 为底面半径，l 为侧面母线长．②12s cl rl π==圆锥侧，其中c 为圆锥底面周长，r 为底面半径，l 为侧面母线长． ③12121()()2S c c l r r l π=+=+圆台，其中1c 、2c 分别为圆台上下底面周长，1r 、2r 分别为上、下底面半径，l 为侧面母线长．④ s s s =+侧表底.练习：（课件展示）例1：一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1cm ，高h=2.3m ，求锅炉的表面积.（保留2个有效数字）例2：圆台的上下底面的半径分别是10cm 和20cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留л）.2.2 直棱柱、正棱锥和正棱台的面积探究师：在得到了明确了旋转体的侧面积求法，接下来我们就来看看直棱柱、正棱锥和正棱台的面积求法．像上面一样我们仍然请同学为我们讲述一下自己的想法．生：……（据图讲出自己的理解）师：根据同学的讲述，由动态课件展示，我们不难得到s ch =棱柱侧，其中c 为直棱柱底面周长，h 为直棱柱的高．运用同样的方法，通过正棱锥、正棱台的侧面展开图，我们可以得到：①s ch =直棱柱侧， 其中c 为直棱柱底面周长，h 为直棱柱的高． ②'12S ch =正棱锥侧，其中c 为正棱锥底面周长，'h 为正棱锥的斜高，即为侧面等腰三角形高线． ③'1212()S c c h =+正棱台，其中1c 、2c 分别为圆台上下底面周长，'h 分别为侧面等腰梯形高线．④s s s =+侧表底.说明：在简单几何体侧面积的教学中，通过学生亲手展开一些柱、锥和台体，将立体图侧面积转化为简单平面图形面积求法．既直观又易理解，所得的公式不要求记忆．但是一定要让学生理解公式，明确公式中字母对应的柱、锥和台体的量．这样有利于知识的迁移．练习：（课件展示）例3：一个正三棱台的上下底面边长分别为3厘米和6厘米，高是32cm.求三棱台的侧面积．3．思考交流（组织学生讨论）请同学回过头根据已得的公式和实物模型再展开讨论．思考下面两个问题：（1）比较圆柱、圆锥和圆台侧面积计算公式联系与区别．（2）比较直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式联系与区别．4．课堂总结这一节课我们主要通过柱、锥和台体展开图学习了这些几何体的侧面展开图的计算方法．这些公式不需要记忆，但是同学们需要真正理解这些公式的意义，能在实际问题中把握实质能够有效利用公式解决问题．5．布置作业课本：P45：第1、4题【专家点评】本节课主要通过柱、锥和台体展开图学习这些几何体的侧面展开图的计算方法。

.职教中心高中数学必修2导学案2013-2014学年第 2 学期高一年级班姓名编写者：使用时间2018年 3 月 9 日课题：简单几何体的侧面积 1 课时学习目标：1、知识与技能（1）了解简单几何体的侧面展开图；（2）归纳简单几何体的面积公式；（3）会求简单几何体的侧面积和表面积；2、过程与方法通过几何体的侧面展开图，归纳简单几何体的面积公式，并能够利用面积公式解决有关计算问题，提高学生的计算能力.3、情感、态度和价值观恰当利用身边的简单物体进行自主探索活动，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.教学重点：面积公式的推导及其应用．教学难点：求简单几何体的侧面积．学习方法：自学提纲：基础达标：几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝______ r为________ l为________圆锥S圆锥侧＝______ r为________ l为________圆台S圆台侧＝________r1为________r2为________l为________直棱柱S直棱柱侧＝______c为________h为______正棱锥S正棱锥侧＝______c为________h′为______，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧＝________c′为________c为________h′为______，即侧面等腰梯形的高合作探究：1．如何计算简单几何体的表面积？2．求简单几何体侧面积的方法体现了什么数学思想？3．根据旋转体的有关公式，分析如何求旋转体的侧面积？4．求正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积的常见策略是什么？. 5．柱体、锥体和台体的侧面积公式有怎样的联系？达标检测：1．如图1－7－3所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()图1－7－3A. B．2πC．3π D．4π2．底面是矩形的直棱柱，它的边长分别为6和8，高是15，则这个棱柱的侧面积是() A．280 B．360C．420 D．7203．一个圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为________．4．已知棱长都为a的四面体ABCD，求它的全面积．5．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，求这个矩形的面积。

北师大版必修2《简单几何体的侧面积》教案及教学反思教学目标•掌握简单几何体的侧面积概念和计算方法•能够运用所学知识计算实际问题中的侧面积•培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力教学重点•体会侧面积与面积的概念差异•掌握计算简单立体图形的侧面积的方法•运用所学知识计算实际问题中的侧面积教学难点•针对不同的几何体，掌握不同的计算方法•把侧面积的概念与面积、体积的概念区分开来•对于一些复杂的侧面积计算问题，要注重分析和思考教学内容一、侧面积的概念•侧面积是指平行于侧面的所有平面的所有面积之和，在用纸盒包装方便面等商品时，就需要计算侧面积。

•与面积的概念不同，侧面积只包括所有侧面形成的面积，不包括底面和顶面。

二、计算简单几何体的侧面积1. 矩形的侧面积•矩形的侧面积为ℎl，其中ℎ为宽，l为高。

2. 正方体的侧面积•正方体的侧面积为4a2，其中a为边长。

3. 长方体的侧面积•长方体的侧面积为2ℎl+2lℎ，其中ℎ为宽，l为长。

4. 圆柱体的侧面积•圆柱体的侧面积为$2\\pi rh$，其中r为底面半径，ℎ为高。

5. 圆锥体的侧面积•圆锥体的侧面积为$\\pi rl$，其中r为底面半径，l 为斜高。

三、实际问题中的侧面积计算•举例：一桶半径为10cm，高为20cm的圆柱体装满了汽水，底面和顶面积分别为$100\\pi cm^2$，求圆柱体的侧面积。

•解法：首先计算出圆柱体的体积$V=\\pi r^2h=2000\\pi cm^3$，然后利用底面积和总体积求得侧面积$S=2\\pi rh+100\\pi=300\\pi cm^2$。

教学反思本次教学的难点在于如何让学生理解侧面积的概念，以及掌握计算方法。

为了克服这个难点，我采用了以下教学策略：1.以简单的例子引导学生理解侧面积的概念，然后通过简单实例的演示，让学生逐步掌握计算方法。

2.针对不同的几何体，分别介绍计算方法，并让学生多做练习，强化记忆。

3.在教学中穿插实例演示，让学生通过实际问题的求解来理解侧面积的重要性以及计算方法。

六年级数学下册正方体的侧面积教案西师大版教学目标- 理解正方体的定义和性质。

- 掌握计算正方体的侧面积的方法。

- 运用正方体的侧面积计算相关问题。

教学准备- 教材：六年级数学下册，西师大版。

- 教具：白板、黑板、彩色粉笔、尺子、正方体模型、练题等。

教学内容1. 引入：通过展示一个正方体模型，引起学生的兴趣和思考，让学生观察并描述正方体的特点和性质。

2. 探究：学生分组进行探究活动，测量正方体的边长和侧面积，并尝试推导计算侧面积的方法。

3. 讲解：老师根据学生的探究结果进行讲解，介绍计算正方体侧面积的公式和步骤，并通过示例演示如何计算。

4. 练：学生进行练，运用所学知识计算正方体的侧面积，并解答相关问题。

5. 拓展：给学生一些拓展性的问题，鼓励他们运用所学知识解决实际问题，培养他们的思维能力和创新意识。

教学方法- 合作探究法：通过小组合作的方式，让学生主动参与到探究活动中，培养他们的观察和分析能力。

- 讲授法：通过讲解和示范，帮助学生理解和掌握计算正方体侧面积的方法。

- 练与拓展法：通过练和拓展问题，巩固和拓展学生的知识和技能。

教学步骤1. 引入：展示正方体模型，引发学生对正方体的兴趣，讨论正方体的特点和性质。

2. 探究：学生分组进行探究活动，测量正方体的边长和侧面积，并尝试推导计算侧面积的方法。

3. 讲解：根据学生的探究结果，讲解计算正方体侧面积的公式和步骤。

4. 练：学生进行练，计算给定正方体的侧面积，并解答相关问题。

5. 拓展：给学生一些拓展性问题，让他们运用所学知识解决实际问题，并展示和分享解决方法。

6. 总结：概括本节课的内容和研究方法，强调正方体的侧面积计算方法和应用。

教学评价- 教师实时观察学生的研究情况，及时给予反馈和指导。

- 面试学生的练和拓展问题解答，评价他们的理解和应用能力。

教学扩展- 对学生进行正方体的侧面积问题的拓展，如计算正方体的体积、表面积等相关问题。

- 引导学生进行项目式研究，设计并解决与正方体相关的实际问题。

装 订 线（3）柱、锥、台的侧面积关系★ 课堂练习例一、 圆柱、圆锥、圆台的侧面积1、 圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A 4S π B 2S π CS π DS 2、 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为（ ） A 2 BC 4D 83、 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是（ ）A 3:2B 2:1C 4:3D 5:3例二、 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积1、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是（ ） A2 B 234a C 2 D 2 2、把一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则其表面积为_____________。

学法指导：求圆锥、圆柱、圆台的侧面积时，要利用侧面积公式。

在求其中的量时，有进要结合侧面展开图。

参考答案： A C CCP3、已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm 高与斜高的夹角为30 ，如图所示，求正四 棱锥的侧面积和表面积。

例三、 有关侧面展开图、最值问题1、 圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为（ ） A 10cm Bcm C cm D cm 2、 圆锥母线长为8，底面半径为2,A 为底面圆周上一点，从A 出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A ，则绳长最短为_____________★ 课后检测1、 若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）倍 AB 3C 2D 5学法指导：解答本题关键是分析已知几何图形，求出相关的量，然后代入公式进行计算。

参考答案： A 182a 322cm 、482cmAACB2、 时，圆锥轴截面的顶角等于（ ） A 45 B 60 C 90 D 1203、 如图所示，圆台的上、下底半径和高的比 为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为（ ） A 81π B 100π C 14π D 169π4、 矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为（ ）A 1:2B 1:1C 1:4D 4:15、 已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则这的表面积是____________6、 一个圆锥的主视图和左视图均为正三角形，其面积为S ，则圆锥侧面积为（） A83Sπ B C D 3S 7、 若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（ ） AB CD 28、 用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是___________9、 已知正三棱锥V ABC -的主视图，俯视图如图所示，其中4,VA AC ==，求该三棱锥的表面积。

§7 简单几何体的面积和体积7．1 简单几何体的侧面积[学习目标] 1.通过几何体的侧面的展开过程，感知几何体的形状.2.通过对柱、锥、台体的研究，会用公式求柱、锥、台体的侧面积和表面积.3.会区别侧棱、高、斜高等概念，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系．[知识链接]1．棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面是三角形；棱台的侧面形状是梯形． 2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆．3．三角形的面积S ＝12ah (其中a 为底，h 为高)，圆的面积S ＝πr 2(其中r 为半径)．[预习导引] 1．侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.要点一 旋转体的表面积和侧面积例1 设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积．解 如图所示，作出轴截面A 1ABB 1，设上、下底面半径、母线长分别为r 、R 、l ，作A 1D ⊥AB 于D ， 则A 1D ＝3， ∠A 1AB ＝60°. ∵∠BA 1A ＝90°， ∴∠BA 1D ＝60°， ∴AD ＝A 1D ·tan30°＝3×33＝3＝R －r， BD ＝A 1D ·tan60°＝3×3＝33＝R ＋r . ∴R ＝23，r ＝3，l ＝A 1A ＝A 1D sin60°＝332＝2 3.∴圆台的侧面积S 侧＝π(r ＋R )l ＝π(23＋3)×23＝18π. 即圆台的侧面积是18π.规律方法 旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系．跟踪演练1 将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积． 解 设扇形的半径和圆锥的母线长都为l ，圆锥的底面半径为r ，则120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1.S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π. 要点二 多面体的表面积例2 如右图所示，已知六棱锥P -ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2cm ，侧棱长为3cm.求六棱锥P -ABCDEF 的表面积． 解 先求底面正六边形的面积： S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×2×sin60°＝6 3.又S 侧面＝6S △PCD ＝6×12×2×PC 2－⎝⎛⎭⎫CD 22＝632－12＝12 2.∴S 六棱锥表＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧面＝(63＋122)cm 2.规律方法 多面体和旋转体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形． 跟踪演练2 已知正四棱台上底面边长为4cm ，侧棱和下底面边长都是8cm ，求它的侧面积． 解 方法一 在Rt △B 1FB 中， B 1F ＝h ′，BF ＝12(8－4)＝2(cm)，B 1B ＝8(cm)，∴B 1F ＝82－22＝215(cm)， ∴h ′＝B 1F ＝215(cm)．∴S 正棱台侧＝12×4×(4＋8)×215＝4815(cm 2)．方法二 延长正四棱台的侧棱交于点P ，如图，设PB 1＝x (cm)， 则x x ＋8＝48， 得x ＝8(cm)． ∴PB 1＝B 1B ＝8(cm)， ∴E 1为PE 的中点．∴PE 1＝82－22＝215(cm)． PE ＝2PE 1＝415(cm)．∴S 正棱台侧＝S 大正棱锥侧－S 小正棱锥侧 ＝4×12×8×PE －4×12×4×PE 1＝4×12×8×415－4×12×4×215＝4815(cm 2)．要点三 组合体的表面积例3 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内，过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积．解 如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥．在直角梯形ABCD 中，AD ＝a ，BC ＝2a ，AB ＝(2a －a )tan60°＝3a ，DC ＝2a －a cos60°＝2a .又DD ′＝DC ＝2a .∴S 表＝S 圆环＋S 圆柱侧＋S 圆C ＋S 圆锥侧＝[π·(2a )2－πa 2]＋2π·2a ·3a ＋π·(2a )2＋π·a ·2a ＝(9＋43)πa 2.规律方法 解答本题应弄清楚旋转一周后得到的几何体的形状是一个圆柱，中间挖去一个圆锥，其次作出轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题解决．跟踪演练3 如图△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形所在直线旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．解 过C 点作CD ⊥AB 于点D .如图所示，△ABC 以AB 所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB ＝5，底面半径DC ＝AC ·BC AB ＝125，故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845π.1．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48答案 D解析 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π答案 A解析 根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.3．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为( ) A ．6a 2 B ．12a 2 C ．18a 2 D ．24a 2答案 C解析 每个小正方体的棱长为a 3，表面积为6·⎝⎛⎭⎫a 32＝69a 2＝23a 2. ∴27个小正方体的表面积为27×23a 2＝18a 2.4．若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________． 答案 3π解析 由主视图知该圆锥的底面半径r ＝1，母线长l ＝3， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×3＝3π.5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．答案 6＋2 3解析 根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S ＝34×22×2＋2×1×3＝6＋2 3.1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积． 2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解． 3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．。