江西省九江市2012届高三第一次模拟考试数学(理)试题[1]

九江市2012年第一次高考模拟统一考试英语试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

第Ⅰ卷（三部分，共115分）第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A．19.15. B．9.15. C．9.18.答案是B。

1．Who has caught a bad cold?,A．The man' s wife．B．The man himself．C．The man's mother -in -law．2．Why won't the woman eat any more?A．She is losing weight．B．She isn’t feeling well. C．She has had enough．3．How many hours does the woman work on Wednesday?A．12． B．10． C．7．4．What did the woman just want to do?A．Go to the man's．B．Call the man．C．Go home．5．Where does this conversation probably take place?A．In a shop. B．In a factory．C．At a hotel．第二节（共15小题；每小题1．5分，满分22．5分）做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

九江一中2011—2012学年度上学期高三月考试卷数学（文）全卷满分150分，考试时间120分钟；考试结束后本试卷不交，只交答题纸．第Ⅰ卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数32(1)i i +=（ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i - 2．设全集U R =，集合{}{}29,14M x x N x x =>-<<，则()U M N 等于（ ）A ．{}3x x <-B ．{}34x x x <-≥或C ．{}4x x ≥D ． {}34x x -≤<3．已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．2 C ． 12 D ．12-4．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-，则公比q =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 65．设变量x 、y 满足约束条件2252x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数x y z x +=的最大值为（ ）A ．43 B ．2 C ．3 D ．526．在△ABC 中，sin 2cos cos cos 2sin sin A C AA C A+=-是角A 、B 、C 成等差数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知奇函数)(x f 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且对任意正实数)(,,2121x x x x ≠恒有0)()(2121>--x x x f x f ，则一定有（ ）A ．)2(log )600(cos 321f f o>B ．)2log ()600(cos 321->f f oC ．)2(log )600cos (321f f o >-D ．)2log ()600cos (321->-f f o8．已知03,02a b ≤≤≤≤，设事件A 为“关于x 的方程2220x ax b ++=有实根”，则事件A 发生的概率为 （ ）A ．13B ．12 C ．23 D ．569．已知定义域为R 的函数()y f x =，它的图像关于直线2x =成轴对称，又关于点(3,0)成中心对称，且()21f =-，则()0f 的值等于（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．210．已知()21ln(1),()()2xf x xg x m =+=-，若12[0,3],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[14，＋∞） B ．（－∞，14] C ．[12，＋∞） D ．（－∞，－12] 第Ⅱ卷二．填空题（本大题共5小题，第小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．不等式(2)03x x x +<-的解集为________________ ．12．若ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、满足22()4a b c +-=，且60C =，则ab的值为____________．13．观察下列等式:11,358,791127,1315171964,=+=++=+++=则第n 个等式是 ．14．如图，在平面斜坐标系xoy 中，︒=∠60xoy ，平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若21e y e x OP +=（12,e e 分别为x 轴，y 轴方向相同 的单位向量）。

压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。

第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知全集U R =，集合[2,5)A =，(,1)(2,)U C B =-∞+∞，则A B =( )A.(2,5)B.(1,2)C.{}2D.∅ 【答案】C.考点：集合的运算.2.设复数21iz i-=+，则z 的共轭复数为（ ） A.1322i - B.13+22i C.13i - D.1+3i 【答案】B.考点：1.复数的运算；2.共轭复数的概念. 3.已知3tan 5α=-，则sin 2=α（ ） A.1517 B.1517- C.817- D.817【答案】B. 【解析】试题分析：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，故选B. 考点：三角恒等变形.4.已知随机变量X 服从正态分布(5,4)N ，且()4P X k P X k ><-（）＝，则k 的值为（ ） A.6 B.7 C.8D.9【答案】B.考点：正态分布.5.已知函数()sin(2))f x x ϕϕπ=+<（的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+的图象，则ϕ的值为（ ）A.23π-B.3π- C.3π D.23π 【答案】C.考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象平移.6.在如下程序框图中，输入()0sin(21)f x x =+，若输出的()i f x 是82sin(21)x +，则程序框图中的判断框应填入（ ）A.6i ≤B.7i ≤C.8i ≤D.9i ≤ 【答案】B. 【解析】试题分析：1i =时，1()2cos(21)f x x =+；2i =时，22()2sin(21)f x x =-+；3i =时，33()2cos(21)f x x =-+；4i =时，44()2s i n (21)f x x =+；…；8i =时，88()2s i n (21)f x x =+，结束，故选B.考点：程序框图.7.已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，过抛物线上一点()M p 和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF FM =（ ）A.1:1:2 D.1:3 【答案】C.考点：抛物线的标准方程及其性质. 8.若实数,x y 满足31x y -≤≤，则2x yz x y+=+的最小值为( ) A.53 B.2 C.35 D.12【答案】C.考点：线性规划的运用.9.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A. B. C.【答案】A.考点：空间几何体的三视图与表面积.10.已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，M 为12P F F ∆的内心，若128PMF PMF S S ∆∆=+，则12MF F ∆的面积为（ ）A.【答案】B.考点：双曲线的标准方程及其性质.11.平面α截球O 的球面得圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为6π，且平面β截球O 的球面得圆N ，已知球O 的半径为5，圆M 的面积为9π，则圆N 的半径为（ ）【答案】B.考点：1.球的性质；2.二面角的性质.12.已知定义在R 上的函数()f x ，当[02]x ∈，时，()=811f x x --（），且对于任意的实数1[22,22]n n x +∈--(,2n N n +∈≥且)，都有1()(1)22xf x f =-，若函数()()l o ag x f x x =-有且只有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A.[2,10]B. C.(2,10)D.【答案】C.考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答， 第（22）-第（24）题为选考题，考试根据要求选择一题做答.二．填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷对应的横线上． 13.6(2+1)(2)x x -的展开式中2x 的系数为______.(用数字作答) 【答案】144-.考点：二项式定理.14.已知直线1y x =-+是函数1()xf x e a=-⋅的切线，则实数a =______. 【答案】2e .考点：利用导数研究函数在某点上的切线方程. 15.等差数列{}n a 中，112015a =，1m a n =，1n a m=（m n ≠），则数列{}n a 的公差为_______. 【答案】12015. 【解析】 试题分析：∵11(1)2015m a m d n =+-=，11(1)2015n a n d m=+-=，∴11()m n d n m -=-，∴1d mn=， ∴111(1)2015m a m mn n=+-=，解得112015mn =，即12015d =.考点：等差数列的通项公式.16.如图，在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a ，S 为ABC ∆的面积，圆O 是ABC ∆的外接圆，P 是圆O 上一动点，当cos S B C 取得最大值时，PA PB ⋅的最大值为_______.【答案】32+.考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.平面向量数量积的坐标运算. 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(1)n n S a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）222n n n T +=-.考点： 1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和. 18.(本小题满分12分）如图所示，在长方体ABCD A B C D -''''中，==AB AD AA λλ'，(>0λ)，E 、F 分别是A C ''和AD 的中点，且EF ⊥平面A BCD ''.（1）求λ的值；（2）求二面角C A B E -'-的余弦值.'【答案】（1）λ；（2.又∵二面角C A B E -'-为锐二面角，∴二面角C A B E -'-……12分考点： 1.线面垂直的性质；2.空间向量的运用. 19.(本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ． 下面临界值表仅供参考：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）18；（3）X 的分布列为：，1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=. 【解析】试题分析：（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）确定X 的可能值有0，1，2，依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可.试题解析：（1）由表中数据得2K 的观测值()2250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，……2分∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；……3分（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)， (4)分设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >，……5分∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯，即乙比甲先解答完的概率为18；……7分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种，恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种，……8分∴X 可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X ==X 的分布列为：，……11分 ∴1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=. .……12分考点： 1.独立性检验的应用；2.离散型随机变量及其分布. 20.(本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(1,0)F ，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且ADB ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在一定点0(,0)E x（00x <<，使得当过点E 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点时，2211EMEN+为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212xy +=；（2）定点为(3E ，定值为3. 【解析】试题分析：（1）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b +=(0a b >>)，由于ADB ∆面积的最大值，可得ab =2221ab c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得即可求出；（2）首先利用特殊位置探究得到定点的坐标与定值，再将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长的公式证明.试题解析：（1）设椭圆的方程为22221x y a b+=(0ab >>)，由已知可得122ADB S a b ab ∆=⋅⋅== ……1分 ∵(1,0)F 为椭圆右焦点，∴22+1a b =②，……2分 由①②可得a =1b =，……3分 ∴椭圆C 的方程为2212x y +=；……4分（2）过点E 取两条分别垂直于x 轴和y 轴的弦11M N ，22M N ， 则222211221111EM EN EM EN +=+，即20212x =+-， 解得0x=E 若存在必为，定值为3，……7分下证满足题意， 设过点E 的直线方程为x ty =+代入C 中得：224(2)03t y ++-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1222323(2)y y t t +=-=-++，12243(2)y y t =-+，……9分21212222222222222121212()211111111()(1)(1)11y y y y t y t y t y y t y y EM EN +-+=+=⋅+=⋅++++222228[13(2)341[]3(2)t t t ++=⋅=+-+，综上得定点为E ，定值为3.……12分考点： 1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆相交弦长问题. 21.(本小题满分12分) 设函数ln ()ab x f x x =，1()()2g x x a b =-++（其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点1,(1))f （处的切线方程为(1)y ae x =-. （1）求b 的值；（2）若对任意1[,)x e∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围.【答案】（1）b e =；（2）实数a 的取值范围为2212(,]2(1+)e e e --∞.考点：导数的运用.请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD CD ⊥，交O 于点E ，连接AC 、BC 、OC 、CE ，延长AB 交CD 于F .F（1）证明：BC CE =； （2）证明：BCF EAC ∆∆∽.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先证明OC CD ⊥，可得OC AD //，OAC OCA ∠=∠，可得OAC CAE ∠=∠，即可证明BC CE =；（2）证明BCF EAC ∆∆∽，只需证明=FCB CAE ∠∠，FBC CEA ∠=∠即可.试题解析：（1）∵CD 为O 的切线，C 为切点，AB 为O 的直径，∴OC CD ⊥，……1分又∵A D C D ⊥，∴O C A D //，∴O C A C A E ∠=∠，……3分 又∵OC OA =，∴O A C O C A ∠=∠，∴OAC CAE ∠=∠， ∴BC CE =；……5分（2）由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠，∴=FCB CAE ∠∠，∵四边形ABCE 为圆O 的内接四边形，∴180ABC CEA ∠+∠=，……8分 又∵+=180ABC FBC ∠∠，∴FBC CEA ∠=∠，∴BCF EAC ∆∆∽.……10分 考点： 1.相似三角形的性质；2.与圆有关的比例线段. 23.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-.（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 距离的最小值，并求出此时P 点的坐标.【答案】（1）极坐标方程：cos sin 1ρθρθ-=，普通方程：2y x =；（2）当P 点为11(,)24时，P 到直线l的距离最小，最小值为8. 【解析】试题分析：（1）可以先消参数，求出直线l 的普通方程，再利用公式将曲线C 的极坐标方程化为平面直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l 的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P 点的坐标，得到本题结论.试题解析：（1）由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=，……1分 ∴直线l 的极坐标方程为：cos sin 1ρθρθ-=，(cos cossin sin )144ππθθ-=cos()14πθ+=，……3分∵2sin 1sin θρθ=-，∴2sin cos θρθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴2(cos )sin ρθρθ=，即曲线C 的普通方程为2y x =；……5分（2）设00(,)P x y ，200y x =，∴P 到直线l的距离2013()x d -+====，……8分 ∴当012x =时，min 8d =，∴此时11()24P ，，∴当P 点为11(,)24时，P 到直线l 的距离最小，最小值为8.……10分 考点： 1.参数方程化为普通方程；2.简单曲线的极坐标方程. 24. (本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()3f x x x a =---. （1）当2a =时，解不等式1()2f x ≤-； （2）若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2112x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩；（2）实数a 的取值范围是3(,]2-∞.考点： 1.绝对值不等式；2.存在性问题的处理方法.。

姓名______座位号______（在此卷上答题无效）数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，则（）A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.设等差数列的前项和为，若，，则的值为（）A.4B.C.1D.4.已知，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.5.已知函数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知为锐角，且，则（）A.C.{}21xA x=∈R…{}10B x x=∈-R…A B={}0x x…{}1x x…{}01x x……{}1x x…z P2iz-454i5353i5 {}na nnS23a=-510S=-8S2-4-ln2a=cos2b=212c-⎛⎫= ⎪⎝⎭a b cc a b>>a c b>>b c a>>b a c>> ()33f x x x=-12x x+=()()12f x f x+=απ2sin sin33αα⎛⎫+-=⎪⎝⎭πsin23α⎛⎫+=⎪⎝⎭7.已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8.若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ）A.57B.62C.69D.72二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

江西省九江市瑞昌民办瀼溪中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为（）A. B. C. D.参考答案：D由，得，又，故函数的定义域为.2. 已知数列中，且（其中表示实数的整数部分），则的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：C略3. 已知函数，将的图象向右平移个单位，得到的图象，下列关于函数的性质说法正确的是（）A. 的图象关于对称B. 的图象关于点对称C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增参考答案：D 【分析】通过平移规则得到函数,再逐一对每个选项进行判断得到答案.【详解】由题意知，令，得，即在区间上单调递增.故选D.【点睛】本题考察了三角函数的平移,对称和单调性等性质,属于中档题型.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，则等于（）A．4p B．5p C．6p D．8p参考答案：答案：A5. 已知满足不等式，则函数取得最小值是（A）6 （B）9 （C）14 （D）15参考答案：A6. 已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b参考答案：B7. 已知A，B分别为双曲线的左右顶点，两个不同动点P，Q在双曲线上且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（）A ．B ． C. D ．2参考答案：A所以=选A8. 记等比数列的公比为，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 参考答案： D解析：可以借助反例说明：①如数列：公比为，但不是增数列；②如数列：是增数列，但是公比为．9. 已知定义在R 的函数对任意的x 满足，当，．函数，若函数在[－6,+∞)上有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：C 因为，故是周期函数且周期为，如图的图像与的图像在有两个不同的交点，故的图像与在有4个不同的交点，故 ，解的或，选C ．10. 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数对任意的恒成立，则.参考答案：略 12. 对任意中任取两个元素，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且集合中存在一个非零常数，使得对任意，都有，则称是集合的“钉子”.集合的“钉子”为__________________．参考答案：4 略13. 设变量x ，y 满足约束条件，则z=（a 2+1）x ﹣3（a 2+1）y 的最小值是﹣20，则实数a= ．参考答案：±2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象求出a 的值即可． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A （2，2），由z=（a 2+1）x ﹣3（a 2+1）y ，得：y=x ﹣，显然直线过A （2，2）时，z 最小， 故2（a 2+1）x ﹣6（a 2+1）=﹣20， 解得：a=±2， 故答案为：±2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14. 过点（3，﹣3）引圆（x ﹣1）2+y 2=4的切线，则切线方程为 ．参考答案：x=3或5x+12y+21=0 【考点】圆的切线方程．【分析】当过点（3，﹣3）的直线斜率不存在时，方程是x=3，通过验证圆心到直线的距离，得到x=3符合题意；当过点（3，﹣3）的直线斜率存在时，设直线方程为y+3=k （x ﹣3），根据圆心到直线的距离等于半径2，建立关于k 的方程，即可得出结论． 【解答】解：圆（x ﹣1）2+y 2=4的圆心为（1，0），半径为2．（1）当过点（3，﹣3）的直线垂直于x 轴时，此时直线斜率不存在，方程是x=3， 因为圆心到直线的距离为d=2=r ，所以直线x=3符合题意；（2）当过点（3，﹣3）的直线不垂直于x 轴时，设直线方程为y+3=k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ﹣3=0 ∵直线是圆（x ﹣1）2+y 2=4的切线∴圆心到直线的距离为d==2，解之得k=﹣，此时直线方程为5x+12y+21=0．综上所述，得切线方程为x=3或5x+12y+21=0． 故答案为x=3或5x+12y+21=0．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，考查学生的计算能力，属于中档题． 15. 设函数的部分图象如图所示，其中为等腰直角三角形，，则的解析式为______________。

数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.213.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5 B.5C.5.5D.64.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2-D.3-5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.3166.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,47.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中23sin cos sin a B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 36，求ABC V 的外接圆面积.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，45,,ASD ADS M N ∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M 四点共面.（1）证明：SA MN ⊥；（2）若SM BM =，且二面角S AD C --为直二面角，求平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得67i --，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i--+=+=--+=--，则所求虚部为7-.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.21【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列项的性质求出17a a +的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因{}n a 为等差数列，故172612a a a a +==+，则1772)7(712422a a S +==⨯=.故选：B.3.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5B.5C.5.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又50.42⨯=，则40%分位数为565.52+=.故选：C.4.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2- D.3-【答案】D 【解析】cos cos ααα+=-，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．cos cos ααα+=-2cos αα=-，故sin tan cos 3ααα==-.故选：D ．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==，故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500-=人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故()2500595110800016P X ≤≤==.故选：B.6.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,4【答案】D 【解析】【分析】由函数在R 上单调递减，列出相应的不等式组14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，即可求解.【详解】当(],1x ∞∈-时，()1ex f x x -=--，因为1e x y -=-和y x =-都是减函数，所以()f x 在−∞,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()222f x x ax ax =-+-，要使其在()1,+∞上单调递减，则14a≤，所以14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，解得04a ≤≤，故D 正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.374【答案】C 【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==，设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h ==，记外接球球心到上底面的距离为x ，则()2222245x x +=-+，解得378=x .故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，设221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210x kx --=，则121x x =-.而直线()21211:2x l y x x x -=-，即2112x y x x =-，令0y =，则12x x =，即1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，则212x y =-，故210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=--=.故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T ==，故A 正确；对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3-，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±，可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-【答案】AB 【解析】【分析】利用导数求函数极值点判断选项A ；通过证明()()11f x f x +-=-得函数图象的对称点判断选项B ；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C ；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A ，函数()3223f x x x =-，()()26661f x x x x x =='--，令()0f x '=，解得0x =或1x =，故当(),0x ∞∈-时′>0，当∈0,1时，′<0，当∈1,+∞时′>0，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是()f x 的极小值点，故A 正确：对于B，因为()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-，所以()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，()()321231g x f x x x =+=-+，易知()(),g x f x 的单调性一致，而()10g =，故()()1g x f x =+有2个零点，故C 错误；对于D ，当01x <<时，21110x x -<-<-<，而()f x 在()1,0-上单调递增，故()()211f x f x -<-，故D 错误.故选：AB.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利用空间直角坐标系求出点G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ，所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF -的体积为定值，故A 正确；对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故22113C G GE EC =-=故动点G 的轨迹为以1C 31111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为13π2π342⨯=，故B 错误；以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=，设 =s s 为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令2z =，故()1,2,2n =--为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =-，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG uuu rr，则001122x y -==--，解得001,12x y ==，但22003x y +≠，所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确；对于D ，因为DEF 为等腰三角形，故2211323222222DEFEF S EF DE ⎛⎫=⋅-== ⎪⎝⎭，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y d n ⋅++++===，令03cos x θ=，则0π3sin ,0,2y θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()222333d θϕθθ+++++==≤，其中1tan 2ϕ=，则四面体DEFG 体积的最大值为13223236++⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.【答案】10-【解析】【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.【详解】依题意，()24,4b a x -=-+，故()212280b a a x -⋅=---= ，解得10x =-.故答案为：10-13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分.【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4.故答案为：414.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=o，即可求出N 点坐标，代入b y x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故32b a =，则2c e a ===.故答案为：72.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2sin cos sin B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 6，求ABC V 的外接圆面积.【答案】（1）π3A =（2）4π3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得A .（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【小问1详解】2sin cos sin sinA B A B A=，因为sin,sin0A B≠sinA A=，则tan A=，因为()0,πA∈，故π3A=.【小问2详解】由题意13sin24ABCS bc A===，故4bc=.由余弦定理得222222cos()3(6)12a b c bc A b c bc a=+-=+-=--，解得2a=.故ABCV的外接圆半径2sinaRA==，故所求外接圆面积24ππ3S R==.16.如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，45,,ASD ADS M N∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M四点共面.（1）证明：SA MN⊥；（2）若SM BM=，且二面角S AD C--为直二面角，求平面SCD与平面ADNM夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出MN//AD，再结合SA AD⊥，即可证明；（2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为45ASD ADS ∠∠== ，故90SAD ∠= ，则SA AD ⊥，因为AD //,BC AD ⊄平面,SBC BC ⊂平面SBC ，故AD //平面SBC ，而平面ADNM 平面,SBC MN AD =⊂平面ADNM ，故MN //AD ，则SA MN ⊥.【小问2详解】因为二面角S AD C --为直二面角，故平面SAD ⊥平面ABCD .而平面SAD ⋂平面,ABCD AD SA =⊂平面,SAD SA AD ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，所以,,SA AB SA AD AB AD ⊥⊥⊥，以点A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,1A S C D M ，故()()()()2,2,2,0,2,2,0,2,0,1,0,1SC SD AD AM =-=-==，设平面ADNM 的法向量为()111,,n x y z =，则1110,20,n AM x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11x =，可得()1,0,1n =- .设平面SCD 的法向量为()222,,m x y z =，则22222220,2220,m SD y z m SC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令21y =，可得()0,1,1m = ，故平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值1cos 2m n m n θ⋅== .17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA =【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设s 0，依题意，222222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意1,0，联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()222214220k x kmx m +++-=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =-+-=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k-，则其方程为()11y x k =--，联立1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩即221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.【答案】（1）e 1y x =--（2）()()f x F x ≥，理由见解析（3）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论；（3）将原问题变为1e ln 2x x x x ax +---≥，即()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，同构函数，利用导数判断函数单调性，结合讨论a 的范围，即可求得答案.【小问1详解】依题意，()1e 1f -=-，而()()11e e x f x x +=+-'，故()1e,f '-=-故所求切线方程为()e 1e 1y x -+=-+，即e 1y x =--.【小问2详解】由（1）知()e 1F x x =--，结论；()()f x F x ≥，下面给出证明：令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，则()()11e x m x x +=+'，当1x <-时，()()0,m x m x '<在(),1∞--上单调递减，当1x >-时，()()0,m x m x '>在()1,-+∞上单调递增，故()()10m x m ≥-=，即()()f x F x ≥.【小问3详解】依题意得1e ln 2x x x x ax +---≥，则()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，令()0g x '=，得0x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∞∈+时，()0g x '>，故()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=，当0a ≤时，10,e ln 20,0x x x x x ax +∀>---≥≤，此时10,e ln 2x x x x x ax +∀>---≥；当0a >时，令()ln 1h x x x =++，显然()h x 在区间()0,∞+上单调递增，又()221110,120e eh h ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，则01000e ln 20x x x x +---=，而00ax >，不合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =-（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=-写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，根据所给条件可推出存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =-，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++-+=++，即()()22122n n a a +-=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=-因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,12C 6C 3C 6P X P X P X =========，故X 的分布列为X012P162316故1210121636EX =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a -=-或124,5n n a a a -=+=；假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，则121,,,i a a a - 单调递增，即均为正数，且125i a a -≥=，所以15i i a a -=-≤-；则存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，此时与121,,,i a a a - 均为正数矛盾，所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，故14n n a a -=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n -=+⋅=-.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =-，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =-+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+，均不为141;n b n +=--此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141s b n +=--.上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=-=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=，结合11a =，则有31n n a b -=.由5072025b =-可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520⨯-=.【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。

2012年普通高等学校招生全国统一模拟考试（江西卷)理科模拟数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第I 卷注意事项:1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答,答案无效．3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P(A ）+P （B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B ）=P （A)·P(B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ I B)= （ ）A ．{1｝B ．{1,2｝C ．｛2｝D ．{0，1，2} 2．设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数,则x = （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．23． “a =b "是“直线相切与圆2)()(222=++-+=b y a x x y ”的 （ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项 5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数，最小正周期为3π B ．周期函数,最小正周期为32πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中)(x f y =的图象大致是（ ）8．=--=--→→)22(1lim ,11)1(lim11x f x x x f x x 则若（ ）A ．－1B ．1C ．－21D ．21 9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D,则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a , b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式①0〈b 〈a ②a 〈b 〈0 ③0<a <b④b <a 〈0 ⑤a =b 其中不可能．．．成立的关系式有 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ,则△OAB 的面积达到最大值时,=θ（ )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为( ) A ．561 B ．701 C ．3361 D ．4201第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题4分,共15分，请将答案填在答题卡上。

江西省九江市 高三数学第一次高考模拟统一考试试题 理 新人教A版本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部份．全卷总分值150分，时刻120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．） 1、已知全集U R =，集合[)2,5A =，()()U,12,B =-∞+∞，那么AB =（ ）A ．()2,5B ．()1,2C ．{}2D ．∅ 2、设复数21iz i-=+，那么z 的共轭复数为（ ） A ．1322i - B ．1322i + C ．13i - D ．13i + 3、已知3tan 5α=-，那么sin 2α=（ ） A ．1517 B ．1517- C ．817- D ．8174、已知随机变量X 服从正态散布()5,4N ，且()()4k k P X >=P X <-，那么k 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 5、已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（ϕπ<）的图象向左平移6π个单位后取得()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么ϕ的值为（ ）A ．23π-B ．3π-C ．3π D ．23π六、在如下程序框图中，输入()()0sin 21f x x =+，假设输出的()i f x 是()82sin 21x +，那么程序框图中的判定框应填入（ ）A ．6i ≤B ．7i ≤C ．8i ≤D ．9i ≤7、已知抛物线的方程为22y px =（0p >），过抛物线上一点(),2p p M 和抛物线的核心F 作直线l 交抛物线于另一点N ，那么F :F N M =（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:2D ．1:3 八、假设实数x ，y 知足31x y -≤≤，那么2x yz x y+=+的最小值为（ ） A ．53 B ．2 C ．35 D ．129、如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，那么此棱锥的表面积为（ ）A ．64223++B ．842+C ．662+D ．62243++10、已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，点1F ，2F 别离为双曲线的左、右核心，M 为12FF ∆P 的内心，假设12F F 8S S ∆PM ∆PM =+，那么12FF ∆M 的面积为（ ）A ．27B ．10C ．8D ．6 1一、平面α截球O 的球面得圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为6π，且平面β截球O 的球面得圆N ．已知球O 的半径为5，圆M 的面积为9π，那么圆N 的半径为（ ）A ．3B ．13C ．4D ．21 1二、已知概念在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（n +∈N ，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，那么a 的取值范围为（ ）A ．[]2,10B ．2,10⎡⎤⎣⎦C ．()2,10D ．()2,10第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部份．第13-21题为必考题，每一个试题考生都必需作答．第22-24题为选考题，学生依照要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13、()()6212x x +-的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答）14、已知直线1y x =-+是函数()1xf x e a=-⋅的切线，那么实数a = ． 15、等差数列{}n a 中，112015a =，1m a n =，1n a m=（m n ≠），那么数列{}n a 的公差为 ．16、如图，在C ∆AB 中，三内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，3a =，S 为C ∆AB 的面积，圆O 是C ∆AB 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当3cos cosC S +B 取得最大值时，PA⋅PB 的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．）17、（本小题总分值12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且知足()11n n S a a =-．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 知足2log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．1八、（本小题总分值12分）如下图，在长方体CD C D ''''AB -A B 中，D λλ'AB =A =AA （0λ>），E 、F 别离是C ''A 和D A 的中点，且F E ⊥平面CD ''A B ．()1求λ的值；()2求二面角C '-A B -E 的余弦值．1九、（本小题总分值12分）心理学家分析发觉视觉和空间能力与性别有关，某数学爱好小组为了验证那个结论，从爱好小组中按分层抽样的方式抽取50名同窗（男30女20），给所有同窗几何题和代数题各一题，让列位同窗自由选择一道题进行解答．选题情形如右表：（单位：人）几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20总计 30 20 50()1可否据此判定有97.5%的把握以为视觉和空间能力与性别有关？()2通过量次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时刻在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时刻在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．()3现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情形进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的散布列及数学期望EX ． ()2k k P ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++．20、（本小题总分值12分）已知椭圆C 的中心在座标原点，右核心为()F 1,0，A 、B 是椭圆C 的左、右极点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B 2()1求椭圆C 的方程；()2是不是存在必然点()0,0x E （002x <<），使适当过点E 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点时，2211+EAEB为定值？假设存在，求出定点和定值；假设不存在，请说明理由．21、（本小题总分值12分）设函数()ln ab x f x x =，()()12g x x a b =-++（其中e 为自然对数的底数，a ，R b ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-．()1求b 的值； ()2假设对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分． 22、（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，D CD A ⊥交O 于点E ，连接C A 、C B 、C O 、C E ，延长AB 交CD 于F ．()1证明：C C B =E ；()2证明：CF C ∆B ∆EA ．23、（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为122x t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．()1写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的一般方程；()2假设点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标．24、（本大题总分值10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x a =---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-； ()2假设存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．九江市2021年第一次高考模拟统一考试 数 学（理科）参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.解：[1,2]B =，{2}A B ∴=，应选C.2.解：2(2)(1)131222i i i z i i +++===+-，应选B. 3.解：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，应选B. 4.解：(4)52k k-+= 7k ∴= 应选B.5.解：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++ 又2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++2+=233k ππϕπ∴+即=23k πϕπ+，k Z ∈ ϕπ< =3πϕ∴ 应选C. 6.解：1i =时，1()2cos(21)f x x =+；2i =时，22()2sin(21)f x x =-+；3i =时，33()2cos(21)f x x =-+；4i =时，44()2sin(21)f x x =+；…；8i =时，88()2sin(21)f x x =+，终止，应选B.7.解：:)2p l yx =- 联立方程组22)2y p y xpx ⎧⎪⎨=-=⎪⎩，得(,)4p N p 3424p p NF p ∴=+=，322p MF p p ∴=+= :1:2NF FM ∴=，应选C. 8.解：依题意，得实数,x y 知足303001x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩其中(3,0)A ，(2,1)C2151[,2]311yx z y y x x+==+∈++，应选A. 9.解：直观图如下图四棱锥P ABCD -12222PAB PAD PDC S S S ∆∆∆===⨯⨯=01sin 602PBC S ∆=⨯=PA BCD2ABCD S ==四边形故此棱锥的表面积为，应选A.10.解：设内切圆的半径为R ，4,3,5a b c ===128PMF PMF S S ∆∆=+ 121)82PF PF R ∴-=( 即8aR = 2R ∴=1212102MF F S c R ∆∴=⋅⋅=，应选B. 11.解：如图，5OA =，3AM = 4OM ∴= 又3NMO π∠=sin3ON OM π∴=⋅=又5OB =NB ∴==，应选B.12.解：如下图，易患1a >依题意得log 44log 102a a <⎧⎨>⎩，a <<，应选D.二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13.解：2x 的系数为1512426622(1)2(1)144C C ⨯⨯-+⨯⨯-=-.14.解:设切点为00(,)x y ，那么001()1x f x e a'=-⋅=-，0x e a ∴=，又0011x e x a -⋅=-+，02x ∴= 2a e ∴=15.解：11(1)2015m a m d n =+-=，11(1)2015n a n d m =+-= 11()m n d n m∴-=- 1d mn ∴=111(1)2015m a m mn n ∴=+-= 解得112015mn =，即12015d =. 16.解：222a b c bc =++ 2221cos 22b c a A bc +-∴==- 23A π∴=设圆O 的半径为R ，那么22sin a R A === 1R ∴=1cos sin cos 2S B C bc A B C ∴+=+=+sin cos )B C B C B C =+=-当6B C π==时，cos S B C 取得最大值成立如图直角坐标系，那么(0,1)A，1()2B，1)2C ，设(cos ,sin )P θθ，那么1(cos ,sin 1)(cos )2PA PB θθθθ⋅=-+-333sin )2223πθθθ=-+=++ 当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅取最大值32三、解答题:本大题共6小题，共70分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤. 17.解:（1）当1n =时，()21111111a S a a a a ==-=-10a ≠ 12a ∴=………2分当2n ≥时，1(1)n n S a a =-………① 111(1)n n S a a --=-………② ①-②得()11122n n n n n a a a a a a --=-=- 12n n a a -∴=………4分∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 2n n a ∴=………6分(2)2n n nb =………7分 1231123122222n n n n n T --∴=+++++ 234111*********n n n n nT +-=+++++两式相减得23411111(1)1111112221122222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++++-=-=--…11分 222n n n T +∴=-………12分18.解：以D 为原点，DA 、DC 、DD '为,,x y z 轴的正方向成立空间直角坐标系. 设2AA AD '==，那么=2AB λ则(0,0,0)D ，(2,02)A ',，(002)D ',,，(2,2,0)B λ，(0,20)C λ,，(1,,2)E λ，(100)F ,, ……2分(1)由已知可得(0,,2)EF λ=--，(2,0,0)D A ''=，(0,22)A B λ'=-,………3分EF D A ''⊥,EF A B '⊥ 0EF D A ''∴⋅=，0EF A B '⋅=即2240λ-+= λ∴5分(2)设平面EA B '的法向量为(1,,)m y z =，那么0m A B m A E ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩(0,2)A B '=-(A E '=-2010z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩y ∴=1z = 2(1,m ∴=………7分 由（1）可得EF 为平面A BC '的法向量，且(0,2)EF =-………9分2cos ,1m EF m EF mEF⋅∴<>====⋅………11分又二面角C A B E -'-为锐二面角 ∴二面角C A B E -'-12分 19.解:(1)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯………2分因此依照统计有97.5%的把握以为视觉和空间能力与性别有关………3分 (2)设甲、乙解答一道几何题的时刻别离为x y 、分钟，那么大体事件知足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如下图) ………4分设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 那么知足的区域为x y >………5分∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18………7分 (3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方式有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种………8分X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的散布列为：yx11O………11分1512110+1+22828282EX ∴=⨯⨯⨯=………12分设过点6(E 的直线方程为6x ty =+，代入C 中得: 22264(2)03t y ++-=，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则1226263tt y y +==12243(2)y y t =-+………9分 21212222222222222121212()211111111()(1)(1)11y y y y t y t y t y y t y y EM EN +-+=+=⋅+=⋅++++ 22222268[]13(2)3(2)341[]t t t t-+++==+-综上得定点为6(E ，定值为3………12分 21.解：(1)由ln ()ab x f x x=，得2(1ln )()ab x f x x -'=………1分 X 02P 1528 1228 128由题意得(1)f ab ae '==………2分 0a ≠ b e ∴=………3分(2)令21()(()())()ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++， 那么任意1[,)x e∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1[,)e+∞有且只有两个零点.由21()()ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x --'=………5分 ①当1a e≤时，由()>0h x '得x e >；由()0h x '<得1x e e <<.现在()h x 在1(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增.2211()()ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222h e e a e e ae e e e a e e e e=-++=--≥-->（或当x →+∞时，()0h x >亦可）∴要使得()h x 在1[,)e+∞上有且只有两个零点，那么只需2111()ln 2a e h ae e e e e+=-+222(12)2(1)02e e e ae --+=≥，即22122(1+)e a e e -≤ ………7分②当1a e e<<时，由()>0h x '得1x a e <<或x e >；由()0h x '<得a x e <<.现在()h x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e和()e +∞，上单调递增.现在222111()ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<∴现在()h x 在1[,)e+∞最多只有一个零点，不合题意………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e<<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，现在()h x 在1(,)e e 和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21()02h e e =-<，∴()h x 在1[,)e+∞最多只有一个零点，不合题意………11分综上所述，a 的取值范围为2212(,]2(1+)e e e --∞.........12分 22.证明：(1)CD 为圆O 的切线，C 为切点， AB 为圆O 的直径 OC CD ∴⊥ (1)分又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分 又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠FBC CE ∴=………5分(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分 又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………10分23.解:(1)由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分∴直线的极坐标方程为:cos sin 1ρθρθ-=(cos cossin sin )144ππθθ-=cos()14πθ+=………3分2sin 1sin θρθ=- 2sin cos θρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴= 即曲线C 的一般方程为2y x =………5分 (2)设00(,)P x y ，200y x =P ∴到直线的距离d ………8分∴当012x =时，min d =∴现在11()24P ， ∴当P 点为11(,)24时，P 10分 24.解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得1134x ≤<或3x ≥，因此不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分∴假设存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，那么3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分。