《空间向量与立体几何》研究学习

人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思1. 教学目的本节课是人教B版选修2课程的一部分，主要教授空间向量在立体几何中的应用。

本课程将帮助学生：•深入理解空间向量的概念及其运算法则•掌握将空间向量应用于立体几何中的方法和技巧•发展自己的独立思考能力和解决问题的能力2. 教学内容2.1 知识点本节课的重点知识点为：•空间向量的定义•空间向量的基本运算法则•点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法•空间向量在几何问题中的应用2.2 教学步骤本节课教学步骤如下：第一步：导入教师简单介绍空间向量及其基本运算法则，引发学生对此概念的兴趣。

第二步：概念讲解教师详细讲解空间向量的概念，以及点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法。

为了增强学生的理解，教师可以使用相关的图形和实例进行讲解。

第三步：举例说明教师通过几个实例，向学生展示如何使用空间向量解决立体几何问题。

在示例中，教师应尽可能地让学生自己思考并尝试解决问题，同时指导学生正确的解决方法，让学生深入理解知识点。

第四步：练习安排学生进行一定数量和难度的练习，让学生掌握应用相关知识解决问题的方法和技巧。

第五步：讲解与总结最后，教师应总结本节课的主要内容，并对学生的问题进行讲解和解答。

3. 教学反思本节课的教学方法主要采用“以实例为主，以问题为导向”的方式，让学生能够在探究中理解和掌握知识点。

这种探究式学习的方法能够有效激发学生的主动学习意识和自主学习能力。

在实际教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，让他们能够独立思考和解决问题。

同时，教师还应充分利用技术手段，如音视频、实例演示等方式进行综合教学，探索出适合学生的多元化、个性化的教学方式。

在上述教学步骤中，教师尤其需要注意：•难度掌握：教师在设计实例和练习时，应根据学生的实际情况及能力水平，掌握好难度，以确保学生的接受能力和理解能力•差异处理：同学的学习能力和理解能力会存在差异，教师需要采用差异化教学方法，根据学生的特点进行教学•评估方法：教师应采用多种评估方法，对学生进行全面评价，如通过小组讨论、思维导图、课堂测验等方式，合理衡量学生的学习成果和进步情况总之，人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教学，应侧重于实践探究和知识应用，培养学生的独立思考和解决问题的能力，让学生能够掌握并应用相关知识，提高学生的立体几何解题能力，为日后的数学学习打下基础。

空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，理解向量是有大小和方向的量。

学习如何用坐标表示空间中的向量，包括二维和三维空间中的向量。

1.2 向量的加法和数乘学习向量的加法运算，掌握三角形法则和平行四边形法则。

学习向量的数乘运算，理解数乘对向量大小和方向的影响。

1.3 向量的长度和方向学习向量的长度（模）的定义和计算方法。

学习向量的方向，理解余弦定理在向量夹角计算中的应用。

1.4 向量垂直与向量积学习向量垂直的概念，掌握向量垂直的判定方法。

学习向量积的定义和计算方法，理解向量积的几何意义。

第二章：立体几何基础2.1 平面和直线学习平面的定义和表示方法，掌握平面的基本性质。

学习直线的定义和表示方法，掌握直线的性质和判定方法。

2.2 点、线、面的位置关系学习点、线、面之间的位置关系，包括点在线上、点在面上、线在面上的判定。

学习线与线、线与面、面与面之间的位置关系。

2.3 空间角的计算学习空间角的定义和计算方法，包括二面角和平面角的计算。

学习空间角的性质和应用，理解空间角在立体几何中的重要性。

2.4 立体几何中的定理和公式学习立体几何中的重要定理和公式，如欧拉公式、施瓦茨公式等。

学会运用定理和公式解决立体几何问题。

后续章节待补充。

空间向量与立体几何第六章：空间向量的应用6.1 向量在几何中的应用学习利用向量解决几何问题，如计算线段长度、向量夹角、向量垂直等。

掌握向量在三角形和平面几何中的应用。

6.2 向量在物理中的应用引入物理中的向量概念，如速度、加速度、力等。

学习利用向量解决物理问题，如计算物体的运动轨迹、速度变化等。

6.3 向量在坐标变换中的应用学习坐标变换的基本概念，如平移、旋转等。

掌握利用向量进行坐标变换的方法和应用。

第七章：立体几何中的特殊形状7.1 柱体和锥体学习柱体和锥体的定义和性质，包括圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等。

掌握计算柱体和锥体的体积、表面积等方法。

7.2 球体学习球体的定义和性质，掌握球体的方程和参数。

空间向量与立体几何复习与小结 教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）题型探析1、用已知向量表示未知向量例1. 如图所示，在平行六面体1111D C B A —ABCD 中，设c AD ,b AB ,a AA 1===，M 、N 、P 分别是1AA 、BC 、11D C 的中点，试用a 、b 、c 表示以下各向量：（1）AP ；（2）N A 1；（3）1NC MP +。

分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。

解析：（1）∵P 是11D C 的中点， ∴P D D A AA AP 1111++=b 21c a AB 21c a C D 21AD a 11++=++=++=（2）∵N 是BC 的中点，∴c 21b a AD 21b a BC 21b a BN AB A A N A 11++-=++-=++-=++= （3）∵M 是1AA 的中点，∴c b 21a 21)b 21c a (a 21AP A A 21AP MA MP 1++=+++-=+=+= 又a c 21AA AD 21AA BC 21CC NC NC 1111+=+=+=+= ∴c 23b 21a 23c 21a c b 21a 21NC MP 1++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+。

点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．2、共线、共面向量问题例2. 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外一点O ，在下列条件下，点P 是否一定与A 、B 、C 共面？（1）OC 52OB 51OA 52OP ++=；（2）OC OB 2OA 2OP --= 分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。

空间向量与立体几何知识点空间向量与立体几何知识点导言：空间向量与立体几何是数学中的两个重要分支，它们既有相互联系的地方，又有各自的独立性。

在几何学中，通过运用向量的概念可以方便地解决一些立体几何的问题，而立体几何知识则为空间向量的研究提供了丰富的实例。

本篇文章将以2000字的篇幅，给出空间向量与立体几何的一些重要知识点，并通过举例说明它们在解决实际问题中的应用。

一、空间向量的基本概念空间向量可理解为带有大小和方向的有向线段，它在三维坐标系中可以由三个分量表示，即一个有序三元组。

空间向量有以下重要性质：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a 以及 (a + b) + c = a + (b + c)。

2. 向量的数量乘法：向量与一个实数的乘积是一个新的向量，它具有与原向量相同的方向，但长度变化了。

3. 向量的模：向量的模即它的长度，用两点间的距离计算得到，即|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)。

二、空间向量的坐标表示在直角坐标系中，向量的坐标表示为(a, b, c)，其中a、b、c分别表示向量在X、Y、Z轴上的投影长度。

可以利用向量的坐标表示来计算向量的模、向量之间的夹角、向量之间的数量积和叉积等。

三、立体几何中的直线与平面在三维空间中，直线可以由两个点或者一个点和一个方向向量来确定，即直线的参数方程可以写为l: P = P0 + td，其中P为直线上一点的坐标，P0为直线上已知点的坐标，d为直线的方向向量，t为参数。

利用参数方程，可以方便地求解直线和直线之间的距离、直线与平面的交点等问题。

平面可以由一个点和两个方向向量来确定，也可以由一个点和法向量确定。

平面的方程一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为法向量的分量。

利用平面的方程，可以方便地求解平面与平面之间的夹角、直线与平面之间的夹角等问题。

四、立体几何中的体积计算在立体几何中，体积是一个重要的概念，通常用来描述物体所占据的空间大小。

空间向量与立体几何知识点空间向量与立体几何是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的联系和应用。

空间向量的概念和运算是立体几何研究的基础，而立体几何的知识能够帮助我们更好地理解和应用空间向量。

首先，我们来看一下空间向量的概念。

空间向量是指具有大小和方向的量，它可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在空间中，一个向量可以由它的起点和终点确定，起点和终点之间的直线就是向量的方向。

空间中的一个点可以看作是一个零向量，它的大小为0。

除了大小和方向之外，向量还有一个重要特性，即平行移动不改变向量的大小和方向。

接下来，我们来了解一下空间向量的运算。

空间向量的加法和减法和平面向量的运算类似。

两个向量相加，就是将它们的起点放在一起，然后用一个箭头连接它们的终点。

两个向量相减，就是将减去的向量的终点放在被减向量的起点，箭头从被减向量的起点指向减去向量的终点。

空间向量的数乘也和平面向量类似，即将向量的大小乘以一个实数。

空间向量的重要应用之一是解决平面几何问题。

在平面几何中，我们常常遇到寻找一个点到一条直线的距离的问题。

利用空间向量的知识，我们可以将这个问题转化为求一个向量和一条直线的夹角。

假设直线的方程为Ax + By + C = 0，我们可以通过计算向量(−B,A)与直线的法向量的夹角来求解距离，即通过向量的点乘公式cosθ = (−B,A)·(-B,-C) / √(B²+C²) 来计算夹角的余弦值，然后用余弦定理求解距离。

除了平面几何，空间向量还可以帮助我们解决直线和平面的交点问题。

通过计算直线的方程和平面的方程，我们可以得到方程组，然后通过解方程组求解交点的坐标。

这种方法在解决立体几何问题中非常常见，例如判断两个平面是否相交、求一条直线与一个平面的交点等等。

另外，空间向量还可以用来计算向量的模、方向角和方向余弦等问题。

向量的模表示向量的大小，用符号||a||表示；方向角表示向量与坐标轴的夹角，用符号α、β、γ表示；方向余弦表示向量在坐标轴上的投影和向量模的比例，用符号cosα、cosβ、cosγ表示。

空间向量与立体几何的教师研修计划第一部分：研修目标与重要性在这一部分，我们将介绍空间向量与立体几何的重要性，并明确研修的目标。

空间向量与立体几何是高中数学中的重要内容，它们不仅是数学学科的基础，也是其他学科如物理、工程学等的基础。

掌握空间向量与立体几何的理论和应用，不仅可以提升学生的数学思维能力，还能培养学生的几何直观和空间想象能力。

因此，教师必须具备扎实的知识储备和教学能力，才能有效地教授这一内容。

第二部分：研修内容与安排在这一部分，我们将详细介绍研修的内容和安排。

研修内容应包括空间向量的基本概念与性质、向量的线性运算、向量的数量积与向量积等内容，以及立体几何的基本概念、多面体的性质、空间直线与平面的相交关系等内容。

研修安排可以分为理论学习和实践应用两个部分。

理论学习可以通过讲座、讨论和研讨会等形式进行，实践应用可以通过实际问题的解决、教学案例分析和课堂教学演示等形式进行。

研修时间可以根据实际情况进行安排，建议将研修时间控制在一周左右，以确保教师能够充分消化吸收所学内容。

第三部分：教学方法与策略在这一部分，我们将介绍一些教学方法和策略，帮助教师更好地教授空间向量与立体几何。

教师可以运用启发式教学法，鼓励学生积极思考和探索，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。

同时，教师还可以通过实例分析、情境模拟等方式，将抽象的概念与具体的实际问题相结合，提高学生的学习兴趣和应用能力。

此外，教师还可以运用信息技术手段，如使用数学软件进行图形绘制和计算，以提高教学效果和教学效率。

第四部分：评估与反馈在这一部分，我们将介绍如何进行研修的评估与反馈。

研修结束后，可以组织教师进行考试或完成教学设计等任务，以评估教师对空间向量与立体几何的掌握程度。

同时，还可以结合教学观摩和课堂观察等方式，对教师的教学效果进行评估。

评估结果可以用于改进研修计划，提供个性化的反馈和指导，帮助教师进一步提升教学能力。

第五部分：研修成果与展望在这一部分，我们将总结研修的成果，并展望未来的发展。

空间向量与立体几何》的教材分析以及教学建议一、内容安排本章是选修2-1 的第3 章，包括空间向量的基本概念和运算，及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容。

通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养学生的空间想象能力。

空间向量为处理例题几何问题提供了新的视角，它是解决空间中图形的位置关系和角度问题的非常有效的根据。

本章以平面向量的学习委基础，通过类比的方法，引导学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，然后通过典型例题引导学生学习用向量方法处理空间几何问题的基本思想方法。

二、主要特点1、强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。

空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素灯，都是通过与平面向量的类比完成的。

在空间向量运算中，还注意了与数的运算的对比。

另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行了比较，引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。

2、突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。

根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（距离和夹角等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决例题图形的问题。

3、用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。

使用了大量的“探究”、思考”等，引导学生对相应的数学内容进行深入研讨。

例如，在对空间向量的各种运算和相应的平面向量的运算的异同比较与证明、空间向量的正交分解定理的推导及向空间向量基本定理的推广、如何对各种几何元素及其关系进行恰当的向量表示和坐标表示、如何根据具体问题的需要选择恰当的方法等，都用“探究” 、“思考”等方式提出问题，帮助学生形成积极主动的学习态度，转变学生的学习方式。

第三章 空间向量与立体几何 测试十一 空间向量及其运算AⅠ 学习目标1．会进行空间向量的加法、减法、数乘运算．2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解． 3．会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )(A)11B D (B)B D 1 (C)1DB(D)1BD2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若c b a ===1,,AA AD AB ，则下列式子中与M B 1相等的是( )(A)c b a ++-2121 (B)c b a -+2121 (C)c b a -+-2121(D)c b a +--21213．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BD AD AB 、、11是( ) (A)有相同起点的向量 (B)等长的向量 (C)共面向量(D)不共面向量4．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋m j －n k ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A)1(B)－1(C)7(D)－75．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC BD ⋅ ( ) (A)1 (B)0(C)3(D)－3二、填空题6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简=-+1AA AD AB ______.7．已知向量i ，j ，k 不共面，且向量a ＝m i ＋5j －k ，b ＝3i ＋j ＋r k ，若a ∥b ，则实数m ＝______，r ＝______.8．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有的棱长均为2，且2-=⋅CC AB ，则AB <,1CC ＞＝_______；异面直线AB 与CC 1所成的角的大小为______.9．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，且a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b ＝______． 10．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.三、解答题11．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，c b a ===1,,AA AD AB ，E 为A 1D 1中点，用基底{a ，b ，c }表示下列向量(1)AF BE DB ,,1；(2)在图中画出CD DB DD ++1化简后的向量．12．已知向量a ＝2i ＋j ＋3k ,b ＝－i －j ＋2k ，c ＝5i ＋3j ＋4k ，求证向量a ，b ，c 共面．13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，E 为CC 1中点，(1)求BC AB ⋅1；(2)求><⋅BE AB BE AB ,cos ,11．Ⅲ 拓展性训练14．如图，点A 是△BCD 所在平面外一点，G 是△BCD 的重心，求证：)(31AD AC AB AG ++=． (注：重心是三角形三条中线的交点，且CG ∶GE ＝2∶1)第三章 空间向量与立体几何测试十一 空间向量及其运算A1．D2．C c b a c c -+-=-+-=+-=+=2121)(212111B B ．3．C ∵D B 111111,∴==-共面． 4．B c ＝a ＋b ＝－i ＋3j ＋4k ＝－i ＋m j －n k ，m ＝3，n ＝－4，m ＋n ＝－1．5．C 12211)()()(AA AB AD AB AD AA AD AB AB AD AC BD ⋅⋅⋅-+-=++-=30||||22=+-=．6．C A AA AC AA AD AB 111=-=-+． 7．15=m ，51-=r ． 8．120°；60°． 9．－2．10．212)(||;5++=112122222AA AB AA AD AD AB AA AD AB ⋅⋅⋅+++++=＝1＋1＋1＋0＋2cos60°＋2cos60°＝5．11．(1)c b a c a c b a ++-=++-=++=+-=2121;11111B A A DB ； c b a c a 2121)(21111++=-++=++=+=BB B BB ．(2)1111111)(DA A D DD CB DD DB CD DD CD DB DD =+=+=++=++． 12．解：设c ＝m a ＋n b ，则5i ＋3j ＋4k ＝m (2i ＋j ＋3k )＋n (－i －j ＋2k ) ＝(2m －n )i ＋(m －n )j ＋(3m ＋2n )k ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-423352n m n m n m ，解得⎩⎨⎧-==12n m ，所以c ＝2a －b ，所以向量a ，b ，c 共面． 13．)()(1111CC BB BC +⋅+=⋅1100011111=+++=⋅+⋅+⋅+⋅CC BB BC BB CC AB BC AB )()(11CE BC BB AB BE AB +⋅+=⋅ ⋅=⋅+⋅+⋅=112121000=+++=． 1010||||,cos ,25||,2||1111=>=<==BE AB BE AB BE AB ． 14．证明∵+=)(31)(31)](21[3232AD CA AB CA CD CB CD CB CE CG +++=+=+==∴)(31)2(31++=+++=．测试十二 空间向量及其运算BⅠ 学习目标1．会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算． 2．掌握用直角坐标表示向量垂直，平行的条件．3．会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，0，2)，则a ＋6b －8c ＝( ) (A)(14，－3，3)(B)(14，－3，35) (C)(14，－3，－12)(D)(－14，3，－3)2．下列各组向量中不平行的是( ) (A)a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) (B)c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) (C)e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0)(D)g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40)3．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝( ) (A)2(B)－2(C)310(D)310-4．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B))32,32,31(- (C))32,32,31(和)32,32,31(---(D))32,32,31(--5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于( )(A)2 (B)－2 (C)－2或552 (D)2或552-二、填空题6．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______． 7．已知3(2，－3，1)－3x ＝(－1，2，3)，则向量x ＝______． 8．若向量a ＝(2，1，－2)，b ＝(6，－3，2)，则cos<a ，b>＝______．9．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是______． 10．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______． 三、解答题11．已知向量a ＝(1，－1，2)，b ＝(－2，1，－1)，c ＝(2，－2，1)，求(1)(a ＋c )·a ； (2)｜a －2b ＋c ｜； (3)cos 〈a ＋b ，c 〉．12．已知向量a ＝(2，－1，0)，b ＝(1，2，－1)，(1)求满足m ⊥a 且m ⊥b 的所有向量m ． (2)若302||=m ，求向量m ．13．已知向量a ＝(－2，1，－2)，b ＝(1，2，－1)，c ＝(x ，5，2)，若c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。