高二数学余弦定理1

高二数学公式总结大全高二数学公式总结大全 1高中数学常用公式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)高中数学常用公式三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1_x2=c/a注：韦达定理高中数学常用公式判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根高中数学常用公式三角函数公式两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga) ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化积2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosbctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb高中数学常用公式某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r注：其中r表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosb注：角b是边a和边c的夹角高二数学公式总结大全 1集合一、集合概念(1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性。

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计课 题：余弦定理 编制人：王远刚学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、自学质疑：1．余弦定理的向量证明：方法1：方法2：于是得到以下定理：余弦定理：2.思考：以上式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？3.思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？二、例题精讲：例1.（教材14P 例1）在ABC ∆中，（1）已知060,1,3===A c b ，求a ；（2）已知6,5,4===c b a ，求A .例2.边长为5，7，8的三角形中，求最大角与最小角的和.例3.在ABC ∆中，最大角A 为最小角C 的2倍，且三边a 、b 、c 为三个连续整数，求a 、b 、c 的值.例4.在ABC ∆中，a 、b 是方程02322=+-x x 的两根，又1)cos(2=+B A ，求：（1）角C 的度数；（2）求AB 的长；（3）ABC ∆的面积.例5.Ａ，Ｂ两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点Ｃ，测得CA ＝182ｍ，CB ＝126ｍ，∠ACB ＝60°，求Ａ，Ｂ两地之间的距离．例6.（教材P15例4）在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1）？三、矫正反馈：1.在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____.2.在ABC ∆中，)())((c b b c a c a +=-+，则=A ______.3.在ABC ∆中，三角形面积4222c b a S -+=，则角C 的度数是______. 4.在ABC ∆中，已知1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦值是______. 5.已知锐角三角形的边长分别是1、3、a ，则a 的取值范围是_______. 6.（教材P14例3）用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．四、迁移应用：1.（教材P16例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证： 222)(221BC AC AB AM -+=.2.（教材P15例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状.3.在ABC ∆中，证明：C B A c b a sin )sin(222-=-.4.已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长.5.三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积.6．在AB C ∆中，设=−→−CB a ，=−→−AC b ，且|a |2=，|b |3=，a •b 3-=，则=AB . 7.在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则a cbc b a +++的值等于 .8.已知a b a ,6,13=+=边上的中线2338-=a m ，则=c . 9.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ，求四边形ABCD 的面积.五、总结反思：【教师个人介绍】王远刚，江苏省海州高级中学（连云港市），邮编：222023，中学高级教师，数学备课组长，坚持理论指导教学实践，在教学中取得很好效果！从教16年来坚持撰写教科研论文，有两百余篇论文发表、获奖。

课时训练2 余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则b 等于( )A.1B.√2C.√3D.3答案:C解析:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×12=3,故b=√3. 2.在△ABC 中,c 2-a 2-b 2=√3ab ,则角C 为( ) A.60° B.45°或135° C.150° D.30°答案:C解析:∵cos C=a 2+b 2-c 2=-√3ab =-√3,∴C=150°.3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 . 答案:120°解析:由正弦定理可得a ∶b ∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c 边最大,∴角C 最大.∴cos C=a 2+b 2-c 2=32+52-72=-1. ∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A=√3sin C ,B=30°,b=2,则边c= . 答案:2解析:∵在△ABC 中,sin A=√3sin C ,∴a=√3c.又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=√32=a 2+c 2-b22ac=22√3c 2,解得c=2.二、判断三角形形状5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b+c=2c cos 2A2,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2c cos 2A2,且2cos 2A2=1+cos A ,∴b+c=c (1+cos A ),即b=c cos A.由余弦定理得b=c ·b 2+c 2-a 22bc ,化简得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.6.在△ABC 中,若sin 2A+sin 2B<sin 2C ,则△ABC 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定答案:A解析:由sin 2A+sin 2B<sin 2C ,得a 2+b 2<c 2,所以cos C=a 2+b 2-c 2<0,所以∠C 为钝角, 即△ABC 为钝角三角形.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若a=2b cos C ,试判断△ABC 的形状.解法一:∵cos C=a 2+b 2-c 2,代入a=2b cos C ,得a=2b ·a 2+b 2-c 2,∴a 2=a 2+b 2-c 2,即b 2-c 2=0. ∴b=c.∴△ABC 为等腰三角形.解法二:根据正弦定理asinA =bsinB =csinC =2R ,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,代入已知条件得2R sin A=4R sin B cos C , 即sin A=2sin B cos C ,∵A=π-(B+C ),∴sin A=sin(B+C ). ∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C. ∴sin B cos C-cos B sin C=0.∴sin(B-C )=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为( ) A.-14 B.14C.12D.-13答案:A解析:∵2sin B=3sin C ,∴2b=3c.又b-c=a4,∴a=2c ,b=32c.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=94c 2+c 2-4c 22×32c×c=-14. 9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=√3bc ,sin C=2√3sin B ,则A= . 答案:π6解析:∵sin C=2√3sin B ,∴由正弦定理得c=2√3b. ∵a 2-b 2=√3bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 2=c 2-√3bc=2√3bc -√3bc2bc=√32,∴A=π6.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 且满足4a cos B-b cos C=c cos B.(1)求cos B 的值;(2)若ac=12,b=3√2,求a ,c.解:(1)已知等式4a cos B-b cos C=c cos B ,利用正弦定理,得4sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B ,整理,得4sin A cos B=sin(B+C ), 即4sin A cos B=sin A ,∵sin A ≠0,∴cos B=14.(2)∵ac=12,b=3√2,cos B=14,∴由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得a 2+c 2=24,联立a 2+c 2=24与ac=12,解得a=c=2√3.(建议用时:30分钟)1.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=1,b=2,cos C=14 ,则sin B=( )A.15B.√15C.√15D.7答案:B解析:由已知根据余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=4,∴c=2,即B=C , ∴sin B=√1-116=√154.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC 中,如果sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4,那么cos C 等于( ) A.23B.-23C.-13D.-14答案:D解析:由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=2∶3∶4,可设a=2k ,b=3k ,c=4k (k>0), 由余弦定理可得cos C=a 2+b 2-c 2=4k 2+9k 2-16k 2=-1,故选D .3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c=√2a ,则( ) A.a>b B.a<b C.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定 答案:A解析:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得2a 2=a 2+b 2+ab ,∴a 2-b 2=ab>0,∴a 2>b 2,∴a>b. 4.△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.19 B.14 C.-18 D.-19答案:A解析:cos B=72+52-62=19,∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=7×5×1935=19. 5.在不等边三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中a 为最大边,如果sin 2(B+C )<sin 2B+sin 2C ,则角A 的取值范围为( ) A.(0,π2)B.(π4,π2) C.(π6,π3) D.(π3,π2) 答案:D解析:由题意得sin 2A<sin 2B+sin 2C ,再由正弦定理得a 2<b 2+c 2,即b 2+c 2-a 2>0, 则cos A=b 2+c 2-a 22bc >0,∵0<A<π,∴0<A<π.又a 为最大边,∴A>π3.因此得角A 的取值范围是(π3,π2).6.已知在△ABC 中,2B=A+C ,b 2=ac ,则△ABC 的形状为 .答案:等边三角形解析:∵2B=A+C ,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b 2=ac ,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-2ac cos 60°=a 2+c 2-ac ,∴有a 2+c 2-ac=ac ,从而(a-c )2=0, ∴a=c ,故△ABC 为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2AsinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值为 . 答案:612解析:由余弦定理得bc cos A+ac cos B+ab cos C=b 2+c 2-a 22+a 2+c 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22=32+42+622=612.9.在△ABC 中,已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B=sin C ,试判定△ABC 的形状. 解:由(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,得(a+b )2-c 2=3ab , 即a 2+b 2-c 2=ab.∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =12.∵0°<C<180°,∴C=60°. ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B ).又∵2cos A sin B=sin C ,∴2cos A sin B=sin A cos B+cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A ,B 均为△ABC 的内角,∴A=B.因此△ABC 为等边三角形.10.在△ABC 中,C=2A ,a+c=10,cos A=34,求b.解:由正弦定理得c a =sinC sinA=sin2AsinA=2cos A , ∴c a =32.又a+c=10,∴a=4,c=6. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+20=3,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B. 又C=2A ,且A+B+C=π,∴A=π4,与已知cos A=34矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5.。

高二数学必修五 第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。

②.n a 的求法：i.归纳法。

ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。

iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。

iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。

高一到高二数学知识点公式在高中数学的学习过程中，我们需要熟练掌握各种数学知识点和公式。

这些知识点和公式不仅是解题的基础，也是我们应对高中数学考试的利器。

下面将介绍高一到高二数学中常用的知识点和公式。

一、代数知识点和公式1. 平方差公式：(a + b) × (a - b) = a² - b²2. 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²3. 二次根式的性质：(a√x + b√x) = (a + b)√x4. 一元一次方程：ax + b = 0 （a≠0）5. 二元一次方程组：ax + by = cdx + ey = f （a、b、c、d、e、f 为已知常数）6. 因式分解：a² - b² = (a + b)(a - b)7. 二次函数顶点公式：f(x) = a(x - h)² + k （a≠0）二、几何知识点和公式1. 直角三角形中的勾股定理：a² + b² = c²2. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC （A、B、C 为三角形的角度）3. 余弦定理：c² = a² + b² - 2ab·cosC （C 为三角形的角度）4. 等腰三角形顶角与底角关系：2α + β = 180° （α 为顶角，β 为底角）5. 三角函数的基本关系：sin²A + cos²A = 1tanA = sinA/cosA三、概率与统计知识点和公式1. 事件概率的加法公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)2. 条件概率：P(A|B) = P(A∩B)/P(B) （P(B) ≠ 0）3. 排列公式：A(n, m) = n!/(n - m)!4. 组合公式：C(n, m) = n!/[m!(n - m)!]四、数列与数学归纳法知识点和公式1. 等差数列通项公式：an = a₁ + (n - 1)d （a₁为首项，d为公差）2. 等比数列通项公式：an = a₁q^(n - 1) （a₁为首项，q为公比）3. 斐波那契数列：F(n) = F(n-1) + F(n-2) （F₀ = 0，F₁ = 1）4. 数学归纳法：若对于正整数 n，命题 P(n) 成立，并且可以证明当 n=k 时，P(n) 成立，则对于所有正整数 n，命题 P(n) 成立。

课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。

6.4.2 正余弦定理（精练）【题组一 余弦定理】1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =3B π=，则边c 的长为______．【答案】4【解析】因为2a =，b =3B π=，所以2222222cos 222cos3b ac ac B c c π=+-∴=+-⋅⋅⋅，228004c c c c ∴--=>∴=故答案为：42．（2020·上海高一课时练习）在ABC中，若a b c ===，则A =________.【答案】60°【解析】由余弦定理的推论得2222221cos 22b c aA bc +-+-===， 0180A <<，60A ∴=.故答案为：60°3．（2020·长春市第二实验中学高一期中）在ABC 中，若::5:7:8a b c =，则B 的大小是_______. 【答案】3π【解析】::5:7:8a b c =设5a k =，7b k =，8c k =，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==；3B π∴∠=．故答案为：3π． 3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在ABC 中，内角、、A B C 对应的边分别为ab c 、、，若120,2Ab =︒=，1c =，则边长a 为（ ）A B C D ．2【答案】A【解析】在ABC 中， 120,2A b =︒=，1c =，所以22212cos 4122172a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴= A.4．（2020·安徽高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b =，c =4A π=，则a =（ ）A ．5 BC ．29D【答案】B【解析】由余弦定理得a ===.故选：B 5．（2020·吉林长春市）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，::3:2:4a b c =，则cos C 。

余弦定理教学设计一、教学内容解析1．本章主要是通过任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边长和角度之间的数量关系，即正弦定理和余弦定理，运用它们解决一些测量和与几何量有关的问题，本章教学的重点是运用两个定理解斜三角形．2．本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时．余弦定理是揭示任意三角形边角之间关系的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机地结合起来，为解决与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据．3．教科书中首先通过探究的方式，指出了“已知三角形的两边和它们的夹角，根据三角形全等的判定定理，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”，这样就可以从量化的角度看待此问题，直截了当提出问题：“已知三角形的两边和它们的夹角，如何计算出三角形的另一边和另两个角呢？”教科书上主要用向量的方法推导出余弦定理，同时提出坐标法等方法也可以证明余弦定理．为了体现由三边确定三角形，通过公式的变形指出了可以通过三角形的三边计算出三角形的三个内角，体现了量化思想．最后通过两个例题使学生掌握余弦定理及其推论的应用，同时让学生学会求三角形内角时如何选择正弦定理和余弦定理．二、教学目标设置1．通过对三角形边角关系的探索，理解余弦定理的证明方法，抽象出余弦定理的三个等式，进而掌握余弦定理；能从余弦定理中抽象出勾股定理，从而辨析勾股定理与余弦定理的内在联系．通过作辅助线，构造出直角三角形，把一般三角形的边角关系转化至直角三角形中，利用勾股定理求解边长．将陌生问题转化为熟悉问题，即数学中的转化思想．由于向量的模及夹角对应线段的长度和夹角，所以把三角形的三边赋予向量的意义，进而把余弦定理的证明问题转化为向量问题，让学生感悟到数学不同章节知识的联系，进一步认识到向量的工具性．通过建立坐标系，把平面几何问题中的长度问题转化为两点间的距离来解决，进一步感悟坐标法的作用．对比余弦定理和勾股定理，让学生认识到勾股定理仅适用于直角三角形，而余弦定理适用于任意三角形，勾股定理为余弦定理的特殊情况，余弦定理为勾股定理的推广，即特殊与一般的辩证关系．2．能够利用余弦定理及其推论解三角形．通过对余弦定理三个式子结构的分析，加强学生对三个公式的理解与记忆．三个等式中，每一个等式中含有四个量，已知其中的三个量求剩下的一个量，体现出方程思想．进而提出已知两边及其夹角求第三边和已知三边求某一内角两个基本题型，也是余弦定理的两个基本应用．通过让学生思考解决例题，培养学生的数学运算能力．通过对例题的多种方法的讲解，让学生学会求三角形内角时对正弦定理和余弦定理的选择，培养学生的逻辑推理能力．3．让学生领悟向量法、坐标法、量化思想、转化与化归思想、方程思想等数学思想方法，以及特殊与一般的辩证关系，把数学思想方法渗透在课堂教学中，注重培养学生的数学核心素养．三、学情分析在学习本节课之前，学生已经在初中阶段学习过全等三角形，勾股定理，进入高中阶段又学习了三角函数，平面向量，解析几何初步等有关知识，在本册教科书中刚学习了正弦定理，已初步掌握了正弦定理的证明，并能够运用正弦定理解决一些解三角形问题．有了以上这些知识与方法的铺垫，在此基础上，教师提出“已知三角形两边及它们的夹角，如何求第三边”这一数学问题，对于学生而言，一方面，运用前面所学的正弦定理较难解决这一问题；另一方面，本节课的授课对象是洛阳市第一高级中学（省级示范性高中）高二年级实验班A段学生，他们基础知识扎实，思路开阔，思维敏捷，面对求边长这一问题，能够很快联想到可以结合勾股定理、平面向量、坐标化等已有知识与方法，多角度展开思考，小组合作探究，寻找解决方法．利用几何法证明过程中，部分同学会受到学案中已给图形的限制，而忽略对A为钝角、直角时两种情形的分析，欠缺定理证明的严谨性．此时需要老师适时引导，师生互动，完善过程．在定理初步应用环节中，对学生来讲，套用公式进行求解，涉及到由正弦值求角进行分情况讨论都能顺利完成，但是在合理选用定理公式上带有一定盲目性，如何保证计算简便、避免讨论等方面的能力还有所欠缺，需要老师就例题的几种解法进行详细的对比、辨析，以促进学生能力达成．四、教学策略分析1．个人独立思考与小组合作探究相结合．培养团队意识，体验知识生成．2．学生展示成果，获取成功喜悦．不同的同学会用到不同的方法，鼓励学生展示自己小组的成果，增强学习的自信，同时学会分享．通过展台展示学生的解题过程，便于及时发现学生的错误，及时纠正，规范解答步骤和过程，提高教学效率．很好地突出了余弦定理证明这一重点．3．学生演板．既可凸显学生个人解法的单一性，又可展现学生解法的多样性．通过教师对解题过程的讲解及对多种解法的对比，引导学生得出解题感悟，从而突破“如何合理选用正弦定理与余弦定理求三角形内角”这一难点．4．适时点拨，问题引导．学生展示成果时，师生互动，及时鼓励，问题引导，完善漏洞．5．使用PPT 辅助教学，提高课堂效率．PPT 内容清晰、形象，容易理解，提高学习效率．同时也很好地激发了学生的学习兴趣，有助于集中学生的注意力．呈现出的信息容量大，使课堂变得更加紧凑充实．五、教学过程设计复习正弦定理设计意图：通过复习正弦定理的形式及其作用，使学生认识到正弦定理为解三角形的一种工具，能定量研究三角形的边角关系．师生活动：老师：上一节课，我们学习了正弦定理，正弦定理揭示了三角形中边角之间的内在联系，首先我们对上节课所学习的内容进行复习回顾．正弦定理的内容是什么？利用正弦定理能解决解三角形的哪些类型？提问学生，学生回答．1．正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==． 2．运用正弦定理解决的两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两角和一边解三角形；（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形．问题1：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．怎样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下求出另外一边，进而解出三角形呢？设计意图：通过提出新的解三角形问题，引发学生的思考．让学生明确已知两边及其夹角时，该三角形的大小和形状完全确定，进而第三边的长唯一确定．通过“边a的长就是线段BC的长，也可以看成点B和点C两点间的距离，联系已经学过的知识”提示语来启发学生寻找思维出发点．师生活动：老师：那么解三角形问题，除了这两种类型，我们是否还会遇见其他情形呢？请看这样一个问题：在△ABC中,已知b,c及A,能否利用已知条件求出边a呢？老师：边b,c及A已知，那么该三角形确定吗？学生：根据三角形全等的判定方法，边角边，该三角形是唯一确定的．老师：边b,c和它们的夹角已知，那么该三角形的大小和形状是完全确定的．当然，边BC的长是唯一确定的，边a的长就是线段BC的长，也可以看成点B与点C两点间的距离.请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解决方法．学生活动：小组合作探究，积极参与讨论，共同寻找解决方案．展示研究成果，生成余弦定理设计意图：分组合作探究，培养了学生的团队合作意识．联系已经学过的知识解决该问题，学生可以多角度思考去寻找解决问题的方法，起到训练知识迁移使用的能力．通过上台展示，培养学生的学习自信力．通过解题过程的完善，培养学生数学思维的严谨性．问题的解决使余弦定理的生成比较自然．师生活动：学生第一次展示成果．老师：通过小组的热烈讨论，大部分小组都得到了成果，哪个小组能派代表上台展示呢？某小组派代表展示成果，展示的是几何法．仅展示了A为锐角的情形．老师：你是如何想到这种方法的？学生：看到这个题目，我想到了学过的勾股定理，所以我就作辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理求解BC的长．老师：该同学通过作辅助线，将一般三角形分割为直角三角形，把一般三角形中的边角关系转化到了直角三角形中，把陌生的问题转化为熟悉的问题，即数学中的转化思想．老师：同学们，该同学的解题过程完整吗？有无漏洞？一同学举手回答：该题中的三角形是一般的三角形，**同学仅考虑了A 为锐角的情形，没有考虑A 为钝角或者直角的情形．老师：A 为钝角或者直角的情形怎么解决呢？请同学们继续探究．学生活动：探究讨论．提出问题的学生上台展示完整的解题过程．老师展示PPT （几何法）方法一：（几何法）通过作辅助线将三角形分割为特殊三角形---直角三角形，构造出直角三角形后利用勾股定理建立等量关系．本方法要注意对A 进行讨论．（1）当A 是锐角时,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt △ACD 中,cos ,sin AD b A CD b A ==．从而,cos BD AB AD c b A =-=-．在Rt △BCD 中,由勾股定理可得2222222222cos (cos )(sin )2cos .BC BD CD c cb A b c b A b A c cb A b =+=-+=-+=-+即 2222cos a b c bc A =+-．（2）当A 是钝角时,过点C 作AB CD ⊥，交BA 延长线于点D ,则在Rt △ACD 中,cos()cos AD b A b A π=-=-sin()sin CD b A b A π=-=．从而,cos BD AB AD c b A =+=-．在Rt △BCD 中,由勾股定理可得:2222222(cos )(sin )2cos .BC BD CD c b A b A c cb A b =+=-+=-+．即2222cos a b c bc A =+-．(3)当A 是直角时,由勾股定理知：222a b c =+，由于cos 0A =，所以 2222cos a b c bc A =+-也成立．综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-．教师在分析直角情况时，对比锐角、钝角情形的结果形式，指出三种情况结果的一致性，指明该方法为几何法．学生第二次展示成果：老师：还有哪个小组需要展示的吗？某小组派代表上台展示,该同学展示的是向量法．老师：你是怎样想到这种方法的？学生：把边a 的长看作向量BC 的模，通过数量积的运算求出向量BC 的模，进而求出边a 的长．老师：哦，把三角形的三边赋予向量的意义，通过数量积运算把向量的关系进行实数化，进而得到边a 的长．老师：该方法同几何法相比，有无优势？学生：该方法避免了A 的讨论，具有普遍性，过程也比较简洁．学生第三次展示成果：老师：还有哪个小组想展示的？某小组派同学上台展示,该同学展示的是坐标法．老师：你是怎样想到这种方法的？学生：把三角形放在直角坐标系中，可以通过两点间的距离公式计算出B ,C 两点间的距离．老师：如果A 为钝角，点C 在第二象限，点C 的坐标形式需要变化吗？学生：根据三角函数的定义，点C 的坐标形式不需要变化．老师：同理，A 为直角时，C 点落在y 轴的正半轴上，由三角函数的定义，C 点的坐标形式也不需要变化．这种建立坐标系的方式就比较恰当，比较多的点在坐标轴上，坐标形式比较简洁．老师展示PPT （向量法、坐标法）方法二：（向量法）在△ABC 中,由AB AC BC -=可得:||||B C A C A B =-． ()22BC AC AB∴=- 222AC AB AC AB =+-⋅ 222||||cos AC AB AC AB A =+-⋅222cos .b c bc A =+- 即 2222cos a b c bc A =+-．老师：此方法为向量法，向量法是解决平面几何问题的有力工具．方法三：如图：以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，证法如下： 点C 的坐标为(cos ,sin )b A b A ，根据两点间的距离公式得BC =整理化简得A b c A bc A b a 2222222sin cos cos ++-=．即A bc c b a cos 2222-+=．老师：以上三种方法都求出了边a 的长，对比这三种解法，哪种方法更好呢？并说明理由．学生：我认为向量法较好.避免了对A 的讨论，解题过程比较简洁.老师：如果轮换三角形的三边a ，b ，c ，可以得到以下两个式子.2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-．从而引出余弦定理．分析余弦定理的内涵和外延设计意图：学习余弦定理的符号语言和文字语言，掌握余弦定理的式子结构，认识余弦定理也是反映三角形中边角间的数量关系，明确余弦定理的用途．（板书）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-．老师：三个等式中都含有余弦，所以三个式子合在一起叫余弦定理．这三个等式是余弦定理的符号语言，那么其文字语言该怎样叙述呢？提问某学生，学生回答．老师结合式子叙述余弦定理的文字语言．文字表述余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．学生一起齐读一遍余弦定理的文字语言．老师：早在西元三世纪前，欧几里得《几何原本》中已经提出余弦定理，并做了证明． 分析式子的结构，A 是边b ,c 的夹角,也是边a 的对角．问题2:余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常相近?设计意图：启发学生从余弦定理中抽象出勾股定理，进而辨析勾股定理与余弦定理的关系．我们看到2a ,2b ,2c 联想到了勾股定理，那么，勾股定理与余弦定理之间有什么联系呢？学生回答：A 为直角时，cos 0A =，222a b c =+，是勾股定理的形式.说明勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广．老师：三个等式中，每个等式都含有四个量（三边和一内角余弦），已知其中的三个量可以求出剩下的一个量，即知三求一，体现了数学中的方程思想．其实，余弦定理同正弦定理一样，也是在反映三角形中边角之间的内在联系，只是余弦定理反映的是三角形的三边和一内角间的确定的数量关系．问题3:我们得到的余弦定理是关于三角形三边和一个角的关系式.把这个关系式作某些变形,是否可以解决其他类型的解三角形问题?设计意图：掌握余弦定理的推论，明确推论的用途．老师：我们将余弦定理的三个式子恒等变形，可以得到以下三个等式．222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-=． 这三个式子叫做余弦定理的推论．老师：应用余弦定理的推论，可以从三角形的三边计算出三角形的三个内角．从上面可知，余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式．问题4：在解三角形的过程中，若求某个角时既可以用余弦定理也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？如何选择？设计意图：通过两个例题使学生基本掌握余弦定理的初步应用，学生演板，教师讲解点评使学生明确解三角形过程中正弦定理和余弦定理如何合理的选择．余弦定理及其推论这六个等式如何应用呢？请看例1．师生活动：例1 在△ABC 中，已知60cm,34cm,41b c A ===︒，解三角形（角度精确到1︒，边长精确到1cm ）．学生活动：两个学生演板，其他学生思考，并交流解题过程．两个演板学生中，一个用余弦定理求出边a ,再用余弦定理的推论求出B ，进而得到C ，另一个用余弦定理求边a ,再用正弦定理求出B ，进而得到C ．学生演板完后，老师讲解这两位同学的解题过程．老师：求出边a 后，再求B 和C 时，如果利用正弦定理先求C 呢？请看这样一个解题过程:通过PPT 讲解下面这种方法．解：根据余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=22603426034cos 41=+-⨯⨯⨯︒75470408011563600.⨯-+≈821676.≈，所以)cm (41≈a ．由正弦定理得sin 34sin 41340.656sin 0.5440.4141c A C a ⨯︒⨯=≈≈≈ 因为c 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角，利用计算器可得︒≈33C ，180()180(4133)106B A C =︒-+≈︒-︒+︒=︒．老师：在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？对比以上三种解法，我们可以得到怎样的感悟呢？学生：用余弦定理求三角形的内角不用讨论，用正弦定理求三角形的一个内角如果该角是较小角也不用讨论．例2 在△ABC 中，已知134.6cm,87.8cm,161.7a b c cm ===，解三角形（角度精确到1'）．解：由余弦定理的推论得：22222287.8161.7134.6cos 0.55432287.8161.7b c a A bc +-+-==≈⨯⨯， 5620A '≈︒；222222134.6161.787.8cos 0.839822134.6161.7c a b B ca +-+-==≈⨯⨯， 3253B '≈︒；180()180(56203253)9047C A B '''=︒-+≈︒-︒+︒=︒．老师：利用余弦定理求出A 后，哪位同学用正弦定理求B 或C 的？学生：利用余弦定理求出A 后，我又用正弦定理求出B ．因为b 小于c ，所以B 只能是锐角，不用讨论．课堂检测，巩固知识与方法设计意图：巩固余弦定理及其推论的应用，练习4意在训练解三角形时正弦定理与余弦定理的选择．练习1．在△ABC 中， 1,1,120a b C ===︒，则c = ．练习2．在△ABC 中，7,5,3a b c ===，则这个三角形的最大角的大小为 ．练习3．在△ABC 中，若三边c b a ,,满足bc c b a -222+=，则A = ． 练习4．在△ABC 中，8,7,60a b B ===︒，则c = ．答案： 2．120︒； 3．60︒； 4．3或5．老师提问两个学生，学生回答答案．针对练习4，提问学生解决方法，有用余弦定理的，有用正弦定理的，老师对两种方法的优劣做出点评．问题5：应用余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？设计意图：引导学生就应用余弦定理解三角形问题分析、归纳和总结.学生总结，教师补充完善．1．余弦定理的证明方法：几何法、向量法、坐标法．2．余弦定理的作用：已知两边及其夹角求第三边；已知三边求三个内角．作业布置，巩固知识与方法设计意图：设置常规训练内容，巩固本节课所学知识．设置了思考题，为下一节正弦定理与余弦定理的综合应用做好铺垫．设置与数学文化相关的作业内容，以引领学生去了解数学文化的发展历史，学习科学家的探索精神，鼓励学生勇攀科学高峰．1．习题1．1A 组1、2题（写在作业本上）．2．课后思考题：（1）在△ABC 中，已知543::sin :sin :sin =C B A ，请判断该三角形的形状．（2）认真分析余弦定理的式子结构，综合正弦定理与余弦定理，求22sin 20sin 40︒︒+ sin 20sin 40︒︒+⋅的值．（写在笔记本上）．3．通过网络搜索查找欧几里得《几何原本》对余弦定理的叙述及证明．课堂目标检测本节课的目标检测设置了四个层面的检测内容，分别是：1．课堂检测，学生在课堂完成，达到对余弦定理的初步应用．2．作业第一项内容（教材课后习题），起到巩固余弦定理及其应用的作用．3．作业第二项内容（思考题），是综合问题，需正弦定理和余弦定理综合应用，为下一节课做准备．4．作业第三项内容（数学文化），让学生了解数学文化，学习科学家们探索未知领域的精神，激发学习兴趣．余弦定理（学案）一、复习回顾1．正弦定理的内容是什么？2．正弦定理解决了解三角形的哪些类型？(1)(2)二、情境引入解三角形问题，除了这两种类型，是否还会遇见其他情形呢？问题：在△ABC中,已知b、c,及A,能否利用已知条件求出边a呢？三、余弦定理四、余弦定理的推论五、余弦定理的应用例1 在△ABC 中，已知60cm,34cm,41b c A ===︒，解三角形（角度精确到1︒，边长精确到1cm ）．例2 在△ABC 中，已知134.6cm,87.8cm,161.7a b c cm ===，解三角形（角度精确到1'）．六、课堂检测练习1．在△ABC 中， 1,1,120a b C ===︒，则c = ．练习2．在△ABC 中，7,5,3a b c ===，则这个三角形的最大角的大小为 ．练习3．在△ABC 中，若三边c b a ,,满足bc c b a -222+=，则A = ． 练习4．在△ABC 中，8,7,60a b B ===︒，则c = ． 七、课堂小结八、课后作业焦淑宁《余弦定理》点评肖赵丽焦淑宁老师的这节《余弦定理》，是学生在刚刚学习完正弦定理及其初步应用的基础上，又一节探索反映三角形中边角关系重要结论的新授课．本节课开门见山，复习正弦定理内容，回顾正弦定理主要解决的两类解三角形问题，紧随其后直接提出问题：“除此以外，若已知三角形中两边及其夹角能否解三角形？如何解？”，创建具体的问题情境开始本节课的教学．整节课以问题为导向贯穿始终，采用合作探究式的教学方式，教学中在教师的合理引导下，学生通过自主探究和合作交流，在问题情境中从数学的视角发现问题，分析问题，求解结论，验证结果并改进模型，最终达到解决问题的目的，抽象概括出定理内容，从而水到渠成实现了余弦定理的证明．紧随其后，抓住新知不放，两道典型例题及课堂检测的设置，既引领学生初步尝试运用所学知识解决相关问题，同时不忘培养学生的运算能力．师生适时互动，既有学生小试牛刀时初尝收获成功的喜悦，又有老师高屋建瓴对解法进行对比点评，从而实现学生能力的提升，遵从学生认知发展规律．整体来看，这节课很好的体现了新课标理念，注重培养学生的数学核心素养，较好完成教学目标．从教学目标看，教师的教学目标明确，教学过程紧紧围绕各项目标展开．课堂教学中通过情境引入、小组合作交流、深入探究、小组成果展示、模型创建、再探究优化模型，逐步实现了知识的生成，思维方式及解题方法的迁移，技能得到提升．通过对例题作用的总结、练习的完成，学生基本掌握余弦定理且会简单应用．从教材处理看，教师能根据新课改的要求，结合本节教材的内容和学生的学情，创设问题情境，从具体问题探究出发，抽象出一般性问题，由具体到一般，符合学生的思维习惯和认知发展规律．在例题的设置上，由浅入深、布局全面．从教学程序看，本节的设计采用探究式教学方法，教师通过合理的设疑，正确引导学生通过合作探究、展示分享、抽象概括得出结论，培养了学生发现问题、探究问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯．在教学中，教师先通过创设问题情境，从具体问题出发，抽象出一般性的结论，通过学生的自主探究和合作交流，发现和推导“余弦定理”．在引导学生观察余弦定理的结构特征上，运用定理解决三角形“边角边”，“边边边”的问题．在课堂教学的过程中，教师通过问题进行合理引导，敢于放手让学生积极探索、合作交流，并对学生活动成果适时作出评价，努力营造一个师生互动、生生互动互助的团结和谐的教学氛围，真正实现了以学生为主体、教师为主导的课堂教学．组织教学细致、课堂结构严谨、环环相扣，过渡自然，时间分配合理，密度适中，效率较高．从教学效果看，本节的教学在激发学生的兴趣，活跃学生的思维等方面下了很大的功夫，学生在教师的组织、引导下，能积极主动的参与对问题的探究，在问题的探究中锻炼和发展自身的能力．落实了教学目标，既突出重点，又突破了难点．从教学基本功看，教师的教态自然、用词精准，对教材把握到位，教学思路清晰，紧紧围绕自己的教学设计展开教学，说明教师的基本功非常扎实．本节的具体亮点：1．本节课以教材为纲，对教材中设置的环节做了深入研读并进行了适当的创新，通过问题情境引入新课，激发学生学习的兴趣与积极性，使学生自觉投入到小组合作探究活动中，老师画龙点睛，适度质疑，得到定理，降低学生对新知识理解的难度．2．学生成果展示效果好，形成了学生之间思维的碰撞，相互借鉴、相互补充完善．3．针对学生在课堂中的不同表现，教师都能及时给予相应的关注，对优秀的表现就肯定与鼓励，对不够完善的思路也能及时发现，激发学生探索欲望，交流完善，注重培养学生严谨的学习态度，效果较好．4．作业设置上的引申，除去教材上的课后常规习题，还布置了思考题，为下一节正弦定理与余弦定理的综合应用做了铺垫．另外，还设置了与数学文化相关的作业内容，鼓励学生勇攀科学高峰，用心良苦．总的来说，这节课真正的让学生体验了知识生成过程，成为知识的“创造者”，同时又很好的完成了教学目标，是一节遵循新课程理念的优质课．。