二次根式拓展

一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。

例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。

② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。

③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。

④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。

⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。

判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。

⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。

数学篇同步1.二次根式有意义，则x 的取值范围是（）.A.x ≥-3B.x ＞-3C.x ≥-3且x ≠0D.x ＞-3且x ≠02.（）.A. B.2 C.9 D.0.13.给出下列各式：①32；②6；③-12；④-m （m ≤0）；⑤a 2+1；⑥53.其中二次根式的个数是（）A.2B.3C.4D.54.已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则|a +c +b |-c -a )2的化简结果是（）.A.b -2cB.b -2aC.-2a -bD.2c -b 5.下列各式中计算正确的是（）.A.(23)2=12B.12-3=3C.3+25=55D.(-3)2×2=±326.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简(a -b -c )2-|b -a +c |的结果是.7.已知x =y =1那么x y +yx-4=.8.若最简二次根式32m +5与54m -3可以合并，则m =.9.x ，y 为实数，且y <x -1+1-x +3，化简：|y -3|-y 2-8y +16=.10.交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验km/h ），d 表示刹车后车轮划过的距离（单位：m ），f 表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d =20m ，f =1.2.（1）求肇事汽车的速度；（2）若此路段限速70km/h ，请通过计算判断肇事汽车是否超速？11.材料阅读：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.例如：3×3=3，(6-2)(6+2)=6-2=4，我们称3的一个有理化因式是3，6-2的一个有理化因式是6+2.材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.例如=3=8(6+2)(6-2)(6+2)=8(6+2)4=26+22.请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：（1）13的有理化因式为，7+5的有理化因式为；（均写出一个即可）（2）将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程）①315；②1125-3；（3）化简：23+1+25+3+27+5+《二次根式》拓展精练河南洛阳周晴。

二次根式能力拓展题(提高篇)1、已知$m$是$2$的小数部分，求$m^2+\frac{1}{m^2}-2$的值。

2、化简：begin{enumerate}item $(1-x)^2-x^2-8x+16$item $\frac{32x^3+2x^2-x^2}{x}$item $4a-4b+(a-b)^3-a^3-a^2b$，其中$a>0$end{enumerate}3、当$x=2-\sqrt{3}$时，求$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+3x)+3$的值。

4、先化简，再求值：$\frac{2a^3ab^3-b}{6\sqrt[3]{27a^3b^3}+2ab^4}$，其中$a=\frac{1}{9},b=3$。

5、计算：frac{1}{2+1}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+3}+\cdots+\frac{1 }{2005+2004}$$6、已知$a=2-\sqrt{3}$，先化简$\frac{a^2-2a+1}{a-2}+\frac{a^2-a}{a^2-4}$，再求值。

7、已知：$a=\frac{1}{2}+\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$，求$\frac{2-3a+2b}{1-2a+2b}$的值。

8、已知：$a=3+2,b=3-2$，求代数式$a^2-3ab+b^2$的值。

9、已知$1\leq x\leq 3$，化简$x^2+x^2-6x+9$。

10、已知$a=2-\sqrt{3}$，化简求值$\frac{1-2a+a^2}{a^2-2a+1}-\frac{a^2-a}{a-1}-\frac{a}{a^2-a}$。

11、begin{enumerate}item 已知$x=2-\sqrt{3},y=2+\sqrt{3}$，求$x^2+xy+y^2$的值。

item 已知$x=2+\frac{1}{x-1}$，求$x+\frac{1}{x}$的值。

专题6 二次根式易错题疑难题综合拓展题及2022中考真题集训类型一 易错题：教材易错易混题集训易错点1 考虑问题不全面典例1（2021春•+x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ≥3C ．x ≥3且x ≠﹣2D ．x ≥﹣2思路引领：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．解：由题意可知：x ―3≥0x +2＞0，解得：x ≥3，故选：B ．总结提升：本题考查二次根式以有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式的条件，本题属于基础题型．变式训练1．（2019•x 应满足的条件是（ ）A ．x ≠3B ．x ≤―13C ．x ≥―13且x ≠3D ．x ＞―13且x ≠3思路引领：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．解：由题意得，1+3x ≥0，x ﹣3≠0，解得，x ≥―13且x ≠3，故选：C ．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．易错点2 (0)a a =³时，忽略a ≥0典例2（2022春•乐陵市期末）先阅读材料，然后回答问题．（1经过思考，小张解决这个问题的过程如下：===在上述化简过程中，第　④　步出现了错误，化简的正确结果为　（2思路引领：（1|a |即可进行判断；（2）把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．解：（1）在化简过程中④故答案是：④―（2）原式====总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．变式训练1= ．思路引领：根据二次根式的性质和完全平方公式化简即可．===―1，―1．总结提升：本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．2．对于题目：“化简并求值：1a+a =15”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：1a 1a +1a ―a =2a―a =495，乙的解答是：1a 1a +a ―1a =a =15．阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？思路引领：已知二次根式具有双重非负性，即被开方数为非负数，二次根式的值为非负数，已知a =15，故可得1a ―a ＝5―15＞01a―a ，再对待求式进行化简求值即可解答题目．解：乙错误，理由如下：1a +=1a +=1a +|1a―a |．∵a =15，∴1a―a ＝5―15=245＞0，∴|1a ―a |=1a―a ，1a +1a +1a ―a =2a ―a =495．故乙的解答是错误的．总结提升：本题考查分式的化简求值，正确进行计算是解题关键．易错点3 忽视二次根式的隐含条件典例3阅读下列解答过程，判断是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出正确的解答过程．已知a ―a （a ﹣1思路引领：先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，再进行化简．解：不正确，∵﹣a 3＞0，∴a ＜0，―＝﹣＝（﹣a+1总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简是解题的关键．变式训练1．（2022秋•长安区期中）求代数式a+a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．小芳：解：原式＝a=a+1﹣a＝1小亮：解：原式＝a=a+a﹣1＝﹣4045（1） 的解法是错误的；（2）求代数式a a＝4―思路引领：（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，1﹣a，∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）∵a＝4∴a﹣3＝4――3＝1―0，3﹣a，则a＝a＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，当a＝4―6﹣（4―2+总结提升：=|a|是解题的关键．易错点4 成立的条件是a≥0，b≥0典例4（2022春•⋅x的取值范围是（ ）A．x≥1B．x≥0C．0≤x≤1D．x为任意实数思路引领：根据二次根式有意义的条件列不等式组求解．解：由题意可得x≥0x―1≥0，解得：x≥1，故选：A．总结提升：a≥0）是解题关键．变式训练1．（2021春•―(x x的取值范围是（ ）A．x≥﹣1B．x≥﹣2C．x≤﹣1D．﹣2≤x≤﹣1思路引领：根据二次根式化简与有意义的条件，即可求得：x+1≤0x+2≥0，解此不等式组即可求得答案．=―（x+1∴x+1≤0 x+2≥0，解得：﹣2≤x≤﹣1．故选：D．总结提升：此题考查了二次根式化简与有意义的条件．此题比较简单，注意掌握二次根式有意义的条件．易错点5 运用想当然的运算法则典例5（2021秋•÷解：原式=―①=②=(2―③=④（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．思路引领：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：（1）③，故答案为：③．（2）原式＝＝―＝总结提升：本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．变式训练1．（2022春•―=4．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．思路引领：根据二次根式的加减法的法则进行分析即可．解：有错误，＝＝总结提升：本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对二次根式的加减法的法则的掌握．易错点6 误用乘法公式典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．222+22+2……第一步＝10……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第　步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，故答案为：一，完全平方公式运用错误；任务二：222+2﹣[2﹣+2]＝5﹣（6﹣+5）＝5﹣5＝任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．易错点7 运用运算律出现符号错误典例7（2022秋•迎泽区校级月考）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：×+1)︸①×︸②第一步―10+2……第二步―8……第三步任务一：以上化简步骤中第一步中：标①的运算依据是 ；标②的运算依据是 （运算律）．任务二：第 步开始出现错误，错误原因是 ，该式运算后的正确结果是　．思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．解：任务一、①由②的运算依据是乘法的分配律；故答案为：二次根式的性质．乘法的分配律；任务二、从第二步开始出现错误．×+1)×1―10﹣2―12，故答案为：任务一：二次根式的性质；乘法的分配律．任务二：①12．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．变式训练1．（2022春•12(的过程，请认真阅读并完成相应的任务．―12(―12(2第一步―12×―12×第二步第三步第四步=―第五步任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　．任务二：请你写出正确的计算过程．思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；（2―12(―12(2总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．易错点8 滥用运算律典例8（2021秋•迎泽区校级月考）下面是小倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：÷1 )第一步1⋯第二步+2第三步+2﹣10…第四步―8…第五步任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 ．任务二：第　二　步开始出现错误，该式运算后的正确结果是 ．思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．故答案为：二次根式的性质．任务二、从第二步开始出现错误．÷1)÷1）=2+4++52总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．类型二疑难题：常考疑难问题突破疑难点1 二次根式非负性的应用1．已知实数a 满足|2019﹣a |+a ，求a ﹣20192的值．思路引领：首先由二次根式有意义的条件来去绝对值，得到a ﹣2019a ，由此得到a ﹣20192＝2019．解：∵a ﹣2019≥0，∴a ＞2019．∴由|2019﹣a |+=a 得到a ﹣2019+a ，整理，得a ﹣2019＝20192．∴a ﹣20192＝2019．总结提升：a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．疑难点2 整体思想在二次根式中的应用2．（2018春•禹州市期中）已知a =+1，b ―1（a b +b a―1）的值思路引领：先由a 、b 的值计算出ab 、a +b 的值，再代入到原式=•a 2b 2abab a 2得．解：∵a =1，b =―1，∴a +b ＝ab 1）1）＝2，则原式=•a 2b 2ab ab＝总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．3．（1）已知x =x 2﹣2x +5的值；（2）若a ＝2b ＝2，求a思路引领：（1）先把x 2﹣2x +5化简，再代入求值；（2）先把a―解：（1）由x 2+1，∴x 2﹣2x +5+1）2﹣2+1）+5＝―2+5＝7；（2=a =ab a b，当a ＝2+b ＝2―原式=总结提升：先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．疑难点3 判断求知问题4．（2019春•西湖区校级期中）王老师为了解学生掌握二次根式知识的情况，出了这样一道题：“根据所给”粗心的黎明同学把式子看错了，他根据条件得到2”思路引领：2，继而求出答案．解：45﹣x 2﹣（35﹣x 2）＝10，2，5．总结提升：本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，关键是平方差公式的运用．类型三 综合拓展题：思维能力专项特训专题1 二次根式性质的应用1．（2022秋•+|2a ﹣b +1|＝0，则（b ﹣a ）2022＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．52022D ．﹣52022思路引领：因为算术平方根具有非负性，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，若+|2a ﹣b +1|＝0，则a +b +5＝0，2a ﹣b +1＝0，联立组成方程组，解出a 和b 的值即可解答．|2a ﹣b +1|＝0，∴a+b+5=02a―b+1=0，解得a=―2 b=―3，∴（b﹣a）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．故选：B．总结提升：本题考查了非负数的性质以及解二元一次方程组，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列出关于a、b的方程是解题的关键．2．已知x、y为实数，且y=+12，求5x﹣3y的值．思路引领：根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y的值，计算即可．解：由题意得，3x﹣4≥0，4﹣3x≥0，解得，x=4 3，∴y=1 2，则5x﹣3y＝5×43―3×12=316．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．3．（2022春•大连月考）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a―1|―（ ）A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a思路引领：根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．解：由图知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故选：A．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键．4．当x+6有最小值，最小值为多少？思路引领：≥0，可以得出最小值．0，∴当x =―12时，6有最小值，最小值为6．总结提升：本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的非负性．5．（2019秋•渠县校级期中）已知x 、y 、a 满足：+=x 、y 、a 的三条线段组成的三角形的面积．思路引领：直接利用二次根式的性质得出x +y ＝8，进而得出：3x ―y ―a =0x ―2y +a +3=0x +y =8，进而得出答案．解：根据二次根式的意义，得x +y ―8≥08―x ―y ≥0，解得：x +y ＝8，0，根据非负数得：3x ―y ―a =0x ―2y +a +3=0x +y =8，解得：x =3y =5a =4，∴可以组成直角三角形，面积为：12×3×4＝6．总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，正确应用二次根式的性质是解题关键．专题2 二次根式大小比较方法1 平方法1．（2022•思路引领：++解：2=202=∴20+故答案为：＜．总结提升：（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系．方法2 分子有理化法2．认真阅读下列解答过程：比较2―解：∵2―（2―1，=1，又20即22的大小关系．思路引领：认真阅读题目，然后依据题目所给的方法进行比较即可．―2=21，2＞0，＜1．2．总结提升：1，―2=1是解题的关键．方法3 作商法3．利用作商法比较大小思路引领：根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=×=1，总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确作商法比较大小的方法．方法四定义法4思路引领：根据非负数的性质和有理数大小的比较方法即可得到结论．解：∵5﹣a≥0，∴a≤5，∴a﹣6＜0，00，总结提升：本题考查的是实数的大小比较，要善于借助一个中间数作桥梁是解决问题的关键．专题3 二次根式的运算5．（2019秋•皇姑区校级月考）计算：（1）（2）―÷（3）(1―――1)2．（4―11)―20180――2|．思路引领：（1）直接化简二次根式进而合并即可；（2）直接利用二次根式的混合运算法则进而得出答案；（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算进而得出答案；（4）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简进而得出答案．解：（1）原式＝+＝（2）原式＝（＝﹣1；（3）原式=+―（12+1﹣=――＝﹣―（4）原式＝3――1﹣2=总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．专题4 二次根式的求值6．（2022秋•宁德期中）已知：x =y =（1）填空：|x ﹣y |＝ ；（2）求代数式x 2+y 2﹣2xy 的值．思路引领：（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．（2）将代数式转化为（x ﹣y ）2，再分别求出x ﹣y 和xy 的值，进而可得答案．解：（1）|x ﹣y |＝||＝+=故答案为：（2）x 2+y 2﹣5xy ＝（x ﹣y ）2，∵x ﹣y =∴（x ﹣y ）2﹣3xy =2=8．即代数式x 2+y 2﹣2xy 的值为8．总结提升：本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．（2020春•川汇区期末）计算题：已知x +1x x ―1x 的值．思路引领：根据平方差公式计算；∵x +1x∴（x +1x）22，∴x 2+2+1x 2=5，∴x 2﹣2+1x 2=5﹣4，∴（x ―1x）2＝1，∴x―1x=±1．总结提升：本题考查的是分式的化简求值、二次根式的乘法，熟记平方差公式、完全平方公式是解题的关键．8．（2017秋•昌江区校级期末）已知正数m、n满足m4n＝3，求值：思路引领：由m4n＝3得出2﹣2﹣3＝0，―13，代入计算即可．解：∵m4n＝3，2+（2﹣23＝0，2﹣2+3＝0，1）+―3）＝0，―1+=3，∴原式=3232012=12015．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．类型四中考真题：精选2022中考真题过关1．（2022•内蒙古）实数a1+|a﹣1|的化简结果是（ ）A．1B．2C．2a D．1﹣2a思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0=|a|和绝对值的性质化简即可．解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．总结提升：=|a|是解题的关键．2．（2022•安顺）估计（A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间思路引领：直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．解：原式＝2∵34，∴5＜2+6，故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．3．（2022•x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．4．（2022•广州）代数式1有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：代数式1有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=a为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=解：v=8×102（m/s），故选：D．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022•x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）即可得出答案．解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．7．（2022•荆州）若3―a，小数部分为b，则代数式（2+）•b的值是 ．思路引领：3―a、b的值，代入所求式子计算即可．解：∵12，∴1＜3―2，∵若3―a，小数部分为b，∴a＝1，b＝31＝2∴（2+）•b＝（2+（2―2，故答案为：2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．8．（2022•随州）已知m为正整数，=m有最小值3×7＝21．设n1的整数，则n的最小值为　，最大值为　．思路引领：n最小为31越小，300 n越小，则n=2时，即可求解．∴n最小为3，1的整数，越小，300n越小，则n 越大，2时，300n=4，∴n ＝75，故答案为：3；75．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．9．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +1|― ．思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，然后即可得到a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，从而可以将所求式子化简．解：由数轴可得，﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|＝a +1﹣（b ﹣1）+（b ﹣a ）＝a +1﹣b +1+b ﹣a＝2，故答案为：2．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足y+18，则的值是 ．思路引领：根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．解：∵y =18，∴x ﹣2≥0，2﹣x ≥0，∴x ＝2，y =18，则原式==12，故答案为：12总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022•济宁）已知a ＝2+b ＝2―a 2b +ab 2的值．思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．解：∵a ＝2b ＝2∴a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝（2+（2（2+2―＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．12．（2022•河池）计算：|﹣3﹣1―（π﹣5）0．思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．解：原式＝―13―1=23．总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．13．（2022•泰州）（1×（2）按要求填空：小王计算2x x 24―1x 2的过程如下：解：2x x 24―1x 2=2x (x 2)(x 2)―1x 2⋯⋯第一步=2x (x 2)(x 2)―x 2(x 2)(x 2)⋯⋯第二步=2x x2(x2)(x2)⋯⋯第三步=x2(x2)(x2)⋯⋯第四步=1x2．……第五步小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．思路引领：（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．解：（1）原式＝＝＝（2）2xx24―1x2=2x(x2)(x2)―1x2=2x(x2)(x2)―x2(x2)(x2)=2x(x2) (x2)(x2)=2x x2 (x2)(x2)=x2(x2)(x2)=1x2，小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是1x2．故答案为：因式分解，三，1x2．总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，因式分解﹣运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

《二次根式的乘除》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列各式中无意义的是（）A．B．C．D．2．（5分）下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）A．1B．2C．3D．43．（5分）若成立，则（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤04．（5分）下列计算正确的是（）A．﹣|﹣3|＝3B．﹣32＝9C．D．5．（5分）化简等于（）A．B．±C．D．5二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）××＝，÷＝．7．（5分）计算：＝．8．（5分）+的有理化因式是．9．（5分）化简x的结果为．10．（5分）已知＝5﹣x，则x的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn ，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）化简：＝．12．（10分）若要化简我们可以如下做：∵3+2∴＝+1仿照上例化简下列各式：（1）＝（2）＝13．（10分）已知x＝2+，y＝2﹣，试求代数式+的值．14．（10分）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．15．（10分）观察思考：（）2＝，（）2＝，（）2＝，（）2＝…由此得到：（1）（）2＝．（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．《二次根式的乘除》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列各式中无意义的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、﹣，有意义；B、，有意义；C、，有意义；D、，无意义．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．（5分）下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：最简二次根式有，2，共2个，故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义、立方根等知识点，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．3．（5分）若成立，则（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤0【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．【解答】解：∵成立，∴a≥0，b≤0．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（5分）下列计算正确的是（）A．﹣|﹣3|＝3B．﹣32＝9C．D．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、﹣|﹣3|＝﹣3，故此选项错误；B、﹣32＝﹣9，故此选项错误；C、＝3，正确；D、＝3，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．5．（5分）化简等于（）A．B．±C．D．5【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）××＝2，÷＝3．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：××＝2，÷＝＝3．故答案为：2；3．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．7．（5分）计算：＝．【分析】先化简二次根式，再分母有理化即可得．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与分母有理化．8．（5分）+的有理化因式是﹣．【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答．【解答】解：∵（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，∴+的有理化因式是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．9．（5分）化简x的结果为﹣．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：x＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．10．（5分）已知＝5﹣x，则x的取值范围是x≤5．【分析】直接利用二次根式的性质得出答案．【解答】解：∵＝5﹣x，∴5﹣x≥0，解得：x≤5．故答案为：x≤5．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn ，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+2＝（1+1）2；（3）化简：＝3+．【分析】（1）模仿例题可以解决问题；（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；（答案不唯一）（3）根据14+6＝（3+）2，即可解决问题；【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2，∵a+b＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn．（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；∴4+2＝（1+）2故答案为：4，2，1，1；（3）∵14+6＝（3+）2，∴＝3+，故答案为3+．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（10分）若要化简我们可以如下做：∵3+2∴＝+1仿照上例化简下列各式：（1）＝+1（2）＝﹣【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案；（2）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案．【解答】解：（1）∵4+2＝3+1+2＝（）2+2××1+12＝（+1）2，∴＝＝+1；故答案为：+1；（2）∵13﹣2＝7+6﹣2＝（）2﹣2××+（）2＝（﹣）2，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．13．（10分）已知x＝2+，y＝2﹣，试求代数式+的值．【分析】先计算出x+y、xy的值，再代入原式＝＝计算可得．【解答】解：∵x＝2+，y＝2﹣，∴x+y＝2++2﹣＝4、xy＝（2+）×（2﹣）＝1，则原式＝＝＝＝14．【点评】本题主要考查分母有理化与分式的加减运算，解题的关键是掌握分式加减运算法则、完全平方公式与平方差公式及二次根式的运算法则．14．（10分）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．15．（10分）观察思考：（）2＝，（）2＝，（）2＝，（）2＝…由此得到：（1）（）2＝．（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．【分析】（1）根据已知等式即可得；（2）将原式变形为原式＝（3×）2＝32×（）2，利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）根据题意知（）2＝，故答案为：；（2）原式＝（3×）2＝32×（）2＝9×＝．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．。

【暑假班】二次根式拓展题一．选择题（共2小题）1．如果ab ＞0，a +b ＜0，那么下面各式：①√a b =√a √b ，②√a b •√b a =1，③√ab ÷√ab=﹣b ，其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．在二次根式√45，√a 2+1，√0.1，√xy ，√2xy，√30中，最简二次根式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题（共8小题）3．若y=√x −3+√3−x +2，则x y = ．4．化简：12√32x 3+2x √x 2﹣x 2√50x = ．5．已知√15+x 2−√19−x 2=2，则√19−x 2+2√15+x 2= ．6．已知ab=2，则a √b a +b√ab 的值是 ．7．观察下列二次根式的化简：√2+1=√2−1，√3+√2=√3−√2，√4+√3=√4−√3，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．(√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√2010+√2009)(√2010+1)= ． 8．有下列计算： ①（m 2）3=m 6，②√4a 2−4a +1=2a −1， ③m 6÷m 2=m 3，④√27×√50÷√6=15， ⑤2√12−2√3+3√48=14√3，其中正确的运算有 ． 9．设A=√2012﹣√2010，B=√2011，比较大小：A B ．10．已知|a ﹣2007|+√a −2008=a ，则a ﹣20072的值是 ．三．解答题（共10小题）11．若实数x ，y 满足（x ﹣√x 2−2016）（y ﹣√y 2−2016）=2016． （1）求x ，y 之间的数量关系； （2）求3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2017的值． 12．用归纳法化简求值：化简2√1+√2+3√2+2√3+4√3+3√4+…+9√10+10√9．13．阅读并完成下面问题： ①1+√2=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2﹣1；②√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；③√5+2=√5−2(√5+2)(√5−2)=√5﹣2；试求：（1）√7+√6的倒数为 ． （2）√n+1+√n （n 为正整数）的值为 ． （3）√2+1+√3+√2+2+√3+…+√n+1+√n．14．若x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求√x 2+y 2+2的值．15．阅读下列解题过程：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3(√5)2−(√3)2=√5−√32； √7+√5=√7−√5)(√7+√5)√7−√5)=√7−√5(√7)2−(√5)2=√7−√52． 请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出√2n+1+√2n−1的结果为 ；（2）利用上面提供的解法，请化简： (1+√3√3+√5+⋯+√197+√199+√199+√201)(√201+1)．16．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a +b √2=（m +n √2）2（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有a +b √2=m2+2n 2+2mn √2．a=m 2+2n 2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把类似a +b √2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b √3=（m +n √3）2，用含m 、n 的式子分别表示a ，b ，得a= ，b= ．（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4√3= ． （3）请化简：√12+6√3． 17．计算题（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣13）2﹣|﹣3|（2）√45﹣12√20+5√15（3）√2−√98√2（4）（3√3+√5）（3√3﹣√5） （5）√8+√32﹣√2 （6）√12+√3√3+（1﹣√3）0（7）（1+√2）（1﹣√3） （8）√12×√3﹣5（9）（√92﹣√983）×2√2（10）√40﹣5√110+√10．18．阅读材料，解答下列问题．例：当a ＞0时，如a=6，则|a |=|6|=6，故此时|a |是它本身；当a=0时，|a |=0，故此时|a |是零；当a ＜0时，如a=﹣6，则|a |=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a |是它的相反数． 综上所述，|a |可分三种情况，即|a |={a(a ＞0)0(a =0)−a(a ＜0)这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式√a 2的各种展开的情况． （2）猜想√a 2与|a |的大小关系是√a 2 |a |． （3）当1＜x ＜2时，试化简：|x −1|+√(x −2)2． 19．√3+√5−√3−√5． 20．设a 、b 为有理数，且√3−b 3−a √3=√3+1，求a 、b 的值．【暑假班】二次根式拓展题参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•济宁）如果ab ＞0，a +b ＜0，那么下面各式：①√a b =√a √b ，②√a b •√ba =1，③√ab ÷√ab=﹣b ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【分析】由ab ＞0，a +b ＜0先求出a ＜0，b ＜0，再进行根号内的运算． 【解答】解：∵ab ＞0，a +b ＜0， ∴a ＜0，b ＜0①√a b =√a√b ，被开方数应≥0，a ，b 不能做被开方数，（故①错误），②√a b •√b a =1，√a b •√b a =√a b×ba =√1=1，（故②正确），③√ab ÷√a b =﹣b ，√ab ÷√ab =√ab ÷√ab −b =√ab ×√ab =﹣b ，（故③正确）．故选：B ．【点评】本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a ＜0，b ＜0．2．（2012秋•汉川市月考）在二次根式√45，√a 2+1，√0.1，√x y ，√2xy，√30中，最简二次根式的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：√45=3√5，√0.1=√1010，√x y =√xyy等都不是最简二次根式，而√a 2+1，√2xy，√30是最简二次根式，即最简二次根式有3个．故选C．【点评】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义，能正确判断一个根式是否是最简二次根式是解此题的关键，此题是一道比较容易出错的题目．二．填空题（共8小题）3．（2015•攀枝花）若y=√x−3+√3−x+2，则x y=9．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．【解答】解：y=√x−3+√3−x+2有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．故答案为：9．【点评】本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．4．（2003•常德）化简：12√32x3+2x√x2﹣x2√50x=﹣2x√2x．【分析】利用开平方的定义计算．【解答】解：原式=12√(4x)22x+2x√2x2×2﹣x2√52×2xx×x=2x√2x+x√2x﹣5x√2x=﹣2x√2x．【点评】应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并．5．（1998•杭州）已知√15+x2−√19−x2=2，则√19−x2+2√15+x2=13．【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【解答】解：设m=√15+x2，n=√19−x2，那么m﹣n=2①，m2+n2=(√15+x2)2+(√19−x2)2=34②．由①得，m=2+n③，将③代入②得：n2+2n﹣15=0，解得：n=﹣5（舍去）或n=3，因此可得出，m=5，n=3（m≥0，n≥0）．所以√19−x2+2√15+x2=n+2m=13．【点评】本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．6．（1998•内江）已知ab=2，则a√ba+b√ab的值是±2√2．【分析】由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a＞0，b＞0；a＜0，b＜0．【解答】解：当a＞0，b＞0时，原式=√ab+√ab=√2+√2=2√2；当a＜0，b＜0时，原式=﹣√ab﹣√ab=﹣2√2．【点评】此题的难点在于需考虑两种情况．7．（2013•√2+1=√2−1，√3+√2=√3−√2√4+√3=√4−√3，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．(12+1+13+2+14+3+⋯+12010+2009)(√2010+1)=2009．【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．【解答】解：原式=（√2﹣1+√3﹣√2+√4﹣√3+…+√2010﹣√2009）（√2010+1）=（√2010﹣1）（√2010+1）=2009．【点评】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算．能够发现式子的规律是解答此题的关键．8．（2012•德阳）有下列计算： ①（m 2）3=m 6，②√4a 2−4a +1=2a −1， ③m 6÷m 2=m 3，④√27×√50÷√6=15， ⑤2√12−2√3+3√48=14√3， 其中正确的运算有 ①④⑤ ．【分析】由幂的乘方，可得①正确；由二次根式的化简，可得②错误；由同底数的幂的除法，可得③错误；由二次根式的乘除运算，可求得④正确；由二次根式的加减运算，可求得⑤正确．【解答】解：∵（m 2）3=m 6，∴①正确；∵√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a ﹣1|={2a −1a ＞120a =121−2aa ＜12，∴②错误；∵m 6÷m 2=m 4，∴③错误；∵√27×√50÷√6=3√3×5√2÷√6=15√6÷√6=15， ∴④正确；∵2√12−2√3+3√48=4√3﹣2√3+12√3=14√3， ∴⑤正确．∴正确的运算有：①④⑤． 故答案为：①④⑤．【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以及二次根式的加减运算．此题比较简单，注意掌握运算法则与性质，注意运算需细心．9．设A=√2012﹣√2010，B=√2011，比较大小：A ＞ B ．【分析】先利用平方法比较√2012+√2010＜2√2011，再利用放缩法比较大小，所以A ＞B ．【解答】解：∵（√2012+√2010）2=4022+2√2012×2010=4022+2√20112−1， （2√2011）2=4×2011=4022+2×√20112， 又∵√20112−1＜√20112， ∴√2012+√2010＜2√2011， ∵A=√2012﹣√2010=√2012+√2010)(√2012−√2010)√2012+√2010=√2012+√2010＞2√2011=√2011，B=√2011， ∴A ＞B ， 故答案为：＞．【点评】本题是二次根式的大小比较，通常二次根式的大小比较方法为：①求差法，②倒数法，③求商法，④平方法⑤外因内移法，⑥分母有理化法，⑦分子有理化法，⑧放缩法等；本题运用了平方法和放缩法进行比较，得出结论．10．（2016秋•简阳市月考）已知|a ﹣2007|+√a −2008=a ，则a ﹣20072的值是 2008 ．【分析】此题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 【解答】解：∵|a ﹣2007|+√a −2008=a ，∴a ≥2008． ∴a ﹣2007+√a −2008=a ，√a −2008=2007，两边同平方，得a ﹣2008=20072， ∴a ﹣20072=2008．【点评】解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．三．解答题（共10小题）11．若实数x ，y 满足（x ﹣√x 2−2016）（y ﹣√y 2−2016）=2016． （1）求x ，y 之间的数量关系； （2）求3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2017的值．【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x ﹣√x 2−2016=y +√y 2−2016，同理得②式：x +√x 2−2016=y ﹣√y 2−2016，将两式相加可得结论； （2）将x=y 代入原式或①式得：x 2=2016，代入所求式子即可． 【解答】解：（1）∵（x ﹣√x 2−2016）（y ﹣√y 2−2016）=2016， ∴x ﹣√x 2−2016=2=2016(y+√y 2−2016)y 2−(y 2−2016)=y +√y 2−2016①， 同理得：x +√x 2−2016=y ﹣√y 2−2016②， ①+②得：2x=2y ， ∴x=y ，（2）把x=y 代入①得：x ﹣√x 2−2016=x +√x 2−2016， x 2=2016，则3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2017， =3x 2﹣2x 2+3x ﹣3x ﹣2017， =x 2﹣2017， =2016﹣2017， =﹣1．【点评】本题是二次根式的化简和求值，有难度，考查了二次根式的性质和分母有理化；二次根式中分母中含有根式时常运用分母有理化来解决，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论．12．用归纳法化简求值：化简2√1+√2+3√2+2√3+4√3+3√4+…+9√10+10√9．【分析】根据提公因式法和平方差公式得到原式=√2−√1√2×√1+√3−√2√3×√2+√4−√3√4×√3+…+√10−√9√10×√9，再拆项抵消法求解即可． 【解答】解：2√1+√2+3√2+2√3+4√3+3√4+…+9√10+10√9 =√2−√1√2×√1+√3−√2√3×√2+√4−√3√4×√3+…+√10−√9√10×√9=√1﹣√2+√2﹣√3+√3﹣√4+…+√9﹣√10=√1﹣√10=1﹣√1010． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．解题的关键是将原式变形为√2−√1√2×√1+√3−√2√3×√2+√4−√3√4×√3+…+√10−√9√10×√9．13．（2014春•博兴县校级月考）阅读并完成下面问题：①1+√2=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2﹣1； ②√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2； ③√5+2=√5−2(√5+2)(√5−2)=√5﹣2；试求：（1）√7+√6的倒数为 √7﹣√6 ． （2）√n+1+√n（n 为正整数）的值为 √n +1−√n ． （3）√2+1+√3+√2+2+√3+…+√n+1+√n． 【分析】（1）要求√7+√6的倒数需要乘以（√7−√6）分母有理化即可；（2）分母有理化运算即可得到答案．（3）通过计算，采用拆分法相互抵消得到答案．【解答】解：（1）√7+√6=√7−√6(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6； （2）√n+1+√n =√n+1−√n (√n+1+√n)⋅(√n+1−√n)√n +1−√n ； （3√2+1√3+√22+√3…√n+1+√n √2﹣1+√3﹣√2+2﹣√3+…+√n +1﹣√n =√n +1﹣1．故答案为：√7−√6，√n +1﹣√n ，√n +1−1．【点评】本题主要考查了分母有理化，解决的关键是找出分母有理化的因式，找规律抵消得到答案．14．（2012秋•龙湖区校级月考）若x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求√x 2+y 2+2的值． 【分析】观察发现：先化简x ，y 的值，再计算x ，y 的和与积．【解答】解：因为x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1所以x +y=√3−1√3+1+√3+1√3−1 =√3−1)2√3+1)2(√3+1)(√3−1)=√3+4+2√3(√3)2−1 =4．x•y=√3−1√3+1•√3+1√3−1=1 所以，√x 2+y 2+2=√(x +y)2−2xy +2=√42−2×1+2=4．【点评】此题主要注意化简x，y的值，再求xy，x+y的值，然后整体代入．15．（2009秋•重庆校级期中）阅读下列解题过程：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3(√5)2−(√3)2=√5−√32；√7+√5=√7−√5)(√7+√5)√7−√5)=√7−√5(√7)2−(√5)2=√7−√52．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出√2n+1+√2n−1的结果为√2n+1−√2n−12；（2）利用上面提供的解法，请化简：(11+313+5+⋯+1197+199+1199+201)(√201+1)．【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．【解答】解：（1）√2n+1+√2n−1=√2n+1−√2n−12；（2）原式=−12(1−√3+√3−√5+⋯+√199−√201)(√201+1)=−12(1−√201)(√201+1)=100．【点评】此题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减法，关键是寻找分母有理化后的抵消规律．16．（2015秋•莒县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b√2=（m+n√2）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2．a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a，b，得a=m2+3n2，b=2mn．（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4√3=（2+√3）2．（3）请化简：√12+6√3．【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）∵a+b√3=（m+n√3）2，∴a+b√3=（m+n√3）2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，b=2mn；故答案为：m2+3n2；2mn；（2）7+4√3=（2+√3）2；故答案为：（2+√3）2；（3）∵12+6√3=（3+√3）2，∴√12+6√3=√(3+√3)2=3+√3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式化简是解题关键．17．（2015秋•青岛月考）计算题（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣13）2﹣|﹣3|（2）√45﹣12√20+5√15 （3）√2−√98√2（4）（3√3+√5）（3√3﹣√5）（5）√8+√32﹣√2（6）√12+√3√3+（1﹣√3）0 （7）（1+√2）（1﹣√3）（8）√12×√3﹣5（9）（√92﹣√983）×2√2 （10）√40﹣5√110+√10． 【分析】（1）利用乘方的意义和零指数幂的意义计算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的除法法则运算；（4）利用平方差公式计算；（5）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（6）根据二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算；（7）利用多项式乘法展开即可；（8）根据二次根式的乘法法则运算；（9）根据二次根式的乘法法则运算；（10）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣13）2﹣|﹣3|=﹣1﹣1+9﹣3=4； （2）√45﹣12√20+5√15=3√5﹣√5+√5=3√5； （3）√2−√98√2=√2−7√2√2=32； （4）（3√3+√5）（3√3﹣√5）=27﹣5=22；（5）√8+√32﹣√2=2√2+4√2﹣√2=5√2；（6）√12+√3√3+（1﹣√3）0=√3+√3√3+1=5+1=6； （7）（1+√2）（1﹣√3）=1﹣√3+√2﹣√6；（8）√12×√3﹣5=√12×3﹣5=6﹣5=1；（9）（√92﹣√983）×2√2=2√92×2﹣2√98×23=6﹣283=﹣103； （10）√40﹣5√110+√10=2√10﹣√102+√10=5√102． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（2011•广东模拟）阅读材料，解答下列问题．例：当a ＞0时，如a=6，则|a |=|6|=6，故此时|a |是它本身；当a=0时，|a |=0，故此时|a |是零；当a ＜0时，如a=﹣6，则|a |=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a |是它的相反数．综上所述，|a |可分三种情况，即|a |={a(a ＞0)0(a =0)−a(a ＜0)这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式√a 2的各种展开的情况．（2）猜想√a 2与|a |的大小关系是√a 2 = |a |．（3）当1＜x ＜2时，试化简：|x −1|+√(x −2)2．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：（1）当a ＞0时，如a=3，则√a 2=√32=3，故此时√a 2的结果是它本身；当a=0时，√a 2=0，故此时√a 2的结果是零；当a ＜0时，如a=﹣3，则√a 2=√(−3)2=3=−(−3)，故此时√a 2的结果是它的相反数．综上所述，√a2的结果可分三种情况，即√a2={a(a＞0) 0(a=0)−a(a＜0)（2）√a2=|a|．（3）∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴|x−1|+√(x−2)2=x﹣1+（2﹣x）=1．【点评】解答此题，要弄清以下问题：①定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，√a表示a的算术平方根；当a=0时，√0=0；当a＜0时，二次根式无意义；②性质：√a2=|a|．19．（2002春•苏州校级期中）√3+√5−√3−√5．【分析】首先根据二次根式的性质，即可得√3+√5√3−√5=√(√3+√5√3−√5)2，然后利用二次根式的混合运算法则，化简√(√3+√5−√3−√5)2，即可求得答案．【解答】解：√3+√5√3−√5=√(√3+√5√3−√5)2=√3+√5+3−√5−2√(3+√5)(3−√5)=√6−2√4=√6−4=√2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是将√3+√5√3−√5变形为√(√3+√5−√3−√5)2，然后化简求解．20．（2007秋•黄浦区期中）设a 、b 为有理数，且√3−b 3−a √3=√3+1，求a 、b 的值．【分析】首先按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤把含有字母的式子整理到等式的左边，然后根据a 、b 为有理数，则让等式两边的有理数部分和无理数部分分别对应相等，得到关于a ，b 的方程组即可．【解答】解：2√3−b =(√3+1)(3−a √3)，3a −b +a √3=3+√3，{3a −b =3a =1， 所以a=1，b=0．【点评】此题考查了二次根式的混合运算和方程组的求解．一个有理数和一个无理数不可能相等，此题中的等式两边相等，注意它们的对应关系．。

二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。

a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。

2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。

② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。

③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。

④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。

⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。

3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。

例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。

根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。

5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。

例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。