二次根式拓展提高（讲义）
一、知识点睛
1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式．
(1)若20x y z ，则_____x y _____z _____，，． (2)若出现2x 或x ，则x _____． (3)若x 和
x 同时存在，则x _____． (4)2_______x ；2()=_______x ．
2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A
如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________.
3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用．
(1)222_________a ab b ±+=；
(2)若00m n ＞
，＞，则 ()()22
22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+=
4． 实数比较大小．
(1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化
二、精讲精练
1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
2．已知212102
x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数．
4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则
20132012a b -=________．
5．若21--x 有意义，则x 的值为________．
6．化简()2
241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________．
8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+
10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b
c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++
-．
11．化简：()2
244123x x x -+-
-．
12．如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =1，AB 在数轴上，若以
点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M ，则点M 所表示的数为（ ） M
-1210D
C B A
A ．10
B ．51-
C ．101-
D ．5
13．如下图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B
两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）
C
B
A 310-1
A ．1+3
B ．2+3
C ．23-1
D ．23+1
14．数轴上A ，B 两点对应的实数分别是2和2，若点A 关于
点B 的对称点为点C ， 则点C 所对应的实数为 ．
15．若23x =+，则267____________．x x -+=
16．若20122=-x ，则245x x +-=__________．
17．已知2323=-=+x y ，，求22x xy y ++的值．
18．已知1110a a +
=+，求221a a
+的值．
19．化简下列各式：
（1）322+；
（2）423-；
（3）526+；
（4）620+；
（5）23-；
（6）962+．
20．比较实数大小．
（1）331-______4；
（2）____155137；++
（3）
165-______176-；（4）151-______173-；
（5）
512-______0.5； （6）7892
--______-8．
【阅读理解与创新探究】
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
【思想应用】
实数与数轴上的点一一对应，为了在数轴上找到2这个点的位置，可以借助于勾股定理来构造直角三角形来解决．请你利用勾股定理在下图的数轴上找出点5．
3210-1-2-3
【思想类比1】 试比较x -y 与-x y （x ＞y ＞0）的大小，并说明理由． 小明受此启发，想用数形结合的思想来处理，联想到勾股定理，分别以y ，x y -为直角边作如图（1）所示的直角三角形，则其斜边长为x ，就能轻松解决上述问题，你能说明里面的道理吗？
___________________________________________. y x x -y
C
B
D E
A
图（1） 图（2）
【思想类比2】已知m，n均为正实数，且m+n=2．
求22
+++的最小值．
m n
14
如图（2），AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E 是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，试表达CE和DE的长度，并据此解决上述最小值问题．
【探究迁移】代数式22
x x
++-+的最小值是____．
4(12)9
三、回顾与思考
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