第八章 刚体的基本运动

平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样， 平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹 形状相同。 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。 形状相同。即平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为 长 l， 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 ， 。 π 为时间，单位为s；转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ，其中 t 为时间，单位为 ；转角 0的单位为 4 rad，试求当 和t=2 s时，荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ，试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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三、定轴轮系的传动比 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 表示， 用i表示，即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1．带传动 当主动轮Ⅰ转动时， 当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度， 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等， 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动， 与带轮间没有滑动，则
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再求一次导， 再求一次导，得A点的切向加速度 点的切向加速度
dv π2 π at = = − lϕ0 sin t dt 16 4
A点的法向加速度 点的法向加速度
v2 π2 2 2 π an = = lϕ0 cos t l 16 4
代入t 0和 2，就可求得这两瞬时A 代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦 即点M 即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
Qa = dv d (ω × r ) dω dr = = × r +ω × dt dt dt dt
∴a =ε × r + ω × v
∴ aτ =|ε × r |=ε ⋅r ⋅sinθ = R ⋅ε
v =ω × r aτ = ε × r
|a n |=|ω × v |=ωvsin 90 o =ω 2 R
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2.刚体平移的特点 刚体平移的特点 如图所示，由刚体平移 的定义，rAB为常矢量。
r B = r A + r AB
d rB d d rA d rAB vB = = ( rA + rAB ) = = vA ( = 0) dt dt dt dt d 2 rB d2 d 2 rA 同理 : a B = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
全加速度大小为
a = an + at = R α 2 + ω 4
2 2
方向为
at αR α tg θ = = 2 = 2 an ω R ω
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结论: 结论 （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 ）在每一瞬时， 速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（ 。（2） 速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（ ）在每 一瞬时， 一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方向与半径间 都相同。 的夹角θ 都相同。
α tan ϕ = 2 = 0.556, ϕ = 29o ω
φ
an
ω
A
vA = vM = 0.36 m⋅s-2
aA =at = 0.36 m⋅s
它们的方向铅直向下。
－ 2
vA aA
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6.角速度和角加速度的矢量表示 6.角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
ε 的方向。 ω ， 的方向。
O1 l A
O2 l
M
B
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【 解】 由于两条钢索 O1A和 O2B的长度相等， 并且相互平行 ， 由于两条钢索O 的长度相等， 并且相互平行， 于是荡木AB 在运动中始终平行于直线O 于是荡木 AB在运动中始终平行于直线 O1O2， 故荡木作平移 。 故荡木作平移。 为求中点M 为求中点 的速度和加 速度， 速度，只需求出 A点（或B 点 点）的速度和加速度即可。 的速度和加速度即可。 点A在圆弧上运动，圆弧的 在圆弧上运动， 在圆弧上运动 半径为 l。如以最低点 为 。如以最低点O为
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1．刚体位置的确定 ． A:过Z轴的固定平面，B:随刚体一起 轴的固定平面， 随刚体一起 过 轴的固定平面 转动的动平面。 转动的动平面。刚体任一瞬时的位置 由两平面间的夹角唯一确定。 由两平面间的夹角唯一确定。 刚体转动时， 随时间而改变， 刚体转动时，ϕ 随时间而改变， 它是时间的单值函数，用数学式可 它是时间的单值函数， 表示为 ϕ = f (t) 上述方程称为刚体定轴转动的运动方程。 上述方程称为刚体定轴转动的运动方程。ϕ 的单位为弧 刚体定轴转动的运动方程 的方向看， 度，其正负号按右手规则确定，即从转轴Oz的方向看，逆 其正负号按右手规则确定，即从转轴 的方向看 角为正值，反之为负值。 钟向量得的ϕ 角为正值，反之为负值。
M O
α
ω
A
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vM at aM O α M
【解】首先根据滑轮的转动规律， 【解】首先根据滑轮的转动规律，求 首先根据滑轮的转动规律 得它的角速度和角加速度
& & & ω =ϕ = 0.45t2 α =ϕ = 0.9t
代入 t =2 s， 得 s，
1 ω =1.8 rad⋅s－ , α =1.8 rad ⋅ s－2
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第八章 刚体的基本运动
第八章 刚体的基本运动
本章研究刚体的两种基本运动， 刚体的平行移动和 本章研究刚体的两种基本运动，即刚体的平行移动和绕 固定轴转动，它们是研究刚体复杂运动的基础。 固定轴转动，它们是研究刚体复杂运动的基础。
一、刚体的平行移动
1.刚体平移的定义 刚体平移的定义 在运动过程中， 在运动过程中，若刚体上任一直线与其初始位置始终保 持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移或移动。 持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移或移动。 刚体的平行移动 平移 例如，电梯的升降运动， 例如，电梯的升降运动，在直线轨道上行驶的列车车厢的运 动，振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。 振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。
t (s) φ(rad) 0 2 0 φ0 v (m·s－1) at (m·s－2) 0
− π ϕ0l 16
an (m·s－2)
π2 2 ϕ0（铅直向上） l 16
π ϕ（水平向右） 0 4
0
0
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二、刚体的定轴转动 当刚体运动时， 当刚体运动时，其体内或其扩展部分有一直线始终保持 不动，这种运动称为刚体的定轴转动 刚体的定轴转动。 不动，这种运动称为刚体的定轴转动。这条不动的直线称为 转轴。如电动机的转子、 转轴。如电动机的转子、机器上的传动齿轮等的运动均为定 轴转动。 轴转动。
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刚体转动快慢和转向) 2．角速度 (刚体转动快慢和转向)
∆ϕ dϕ & ω = lim = =ϕ dt ∆t →0 ∆t
(代数量)
单位：rad/s(弧度/秒）。
ω为正，角位移 角位移随时间增大；反之，随时间减小 角位移
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)， 分 ， 2πn πn n与ω 的关系为： 与 的关系为： ω= = 3.角加速度（角速度变化快慢程度） 3.角加速度（角速度变化快慢程度） 角加速度
60
30
∆ω dω d 2ϕ && α = lim = = 2 =ϕ ∆t → 0 ∆ t dt dt
单位： rad/s2。 单位：
同号，则为加速转动, 反之则为减速转动。 如果α与ω 同号，则为加速转动 反之则为减速转动。
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4.匀速转动与匀变速转动 4.匀速转动与匀变速转动 （1）匀速转动 ） 常数,为匀速转动时 当ω =常数 为匀速转动时。有 常数 为匀速转动时。 ϕ = ϕ 0+ ω t 这里ϕ 0是 t = 0 时转角ϕ 的值。 (2) 匀变速转动 常数,为匀变速转动时 当α =常数 为匀变速转动时。有 常数 为匀变速转动时。
2 2 n
－ 2
vM at aM O α M
因为物体A与轮缘上M 因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前 者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运 动，因此，两者的速度和加速度都不完 全相同。由于细绳不能伸长，物体A 全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M 点的速度大小相等，A的加速度与M 点的速度大小相等，A的加速度与M点切 向加速度的大小也相等，于是有
大小 :| ω |= | dϕ | dt
方向如图 ω =ωk
ε = dω = dω k =ε k
dt dt