n v
α,β的夹角为θ， n, v
cosn, v cos
n2
A
O
n1
B
n2
n1
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
设平面α的法向量为n1，平面的法向量为n2，
若二面角α- l -β的大小为θ(0 ≤θ≤π),则:
cos | cosn1, n2 | n1 n2 .
1, 0), n1
BB1 ( x1,
y1
(0, 0,1) , z1)可得
1 x1 1 y1 0 z1 0 x1 1 y1 1 z1 0
0
x1
y1 , z1
y1
取 y1 =1,则 n1 (1,1, 1)
由图可知，直线 AC 平面 BDB1
可得 AC (1,1, 0) 即为平面 BDB1 的法向量
设 n1, AA1 所成角的大小为 2
cos2 cosn1, AA1 n1 AA1
n1 AA1
1 0 1 0 (1)1
3
12 12 (1)2 0DB-B1 的余弦值为 3
点评：利用空间向量求二面角的方法：设 n1 , n2 分别是平面 α， β 的法向量，则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大
2
l
v
n
v, n
2
cos v, n cos( ) sin
2
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，且直线l与
平面α所成的角为θ(0 ≤θ≤π),则 2
vn
sin cosv, n
vn
探究点2 二面角
n
v
α,β的夹角为θ， n, v
cosn, v cos( ) cos
