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一类反应扩散方程组的解陈莉敏【摘要】讨论了一类非线性抛物方程组解的性质,利用微分方程上、下解方法证明初值适当大时,解在有限时间上爆破.推广了相关文献的结果.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】3页(P24-26)【关键词】非线性;反应扩散方程;上、下解;爆破【作者】陈莉敏【作者单位】常州工程职业技术学院基础部,江苏常州213164【正文语种】中文【中图分类】O182.1文献[1]在研究传染病在2种生物之间的相互影响时，建立了一类反应扩散方程组（其中符号的含义见文献[1]），但仅仅考虑了方程组（1）的数值解．文献[2-3]从理论上研究了解的整体存在性与非整体存在性．本文运用微分方程上、下解方法研究解的整体存在性与非整体存在性．考虑特征值问题，该方程组的最小特征值0λ非负，且对应的特征函数ϕ(x)在Ω内大于零．如果β(x)＞0，则λ0＞0；当α(x)＞0时，ϕ(x)在上大于零．记则0＜ϕm≤ϕ(x)≤1．记Q=Ω×(0,∞),表示在Ω中关于x有n阶连续导数且关于t有m阶连续导数的所有函数组成的空间；表示在中关于x有n阶连续导数且关于t有m阶连续导数的所有函数组成的空间；C表示在中连续的所有函数组成的空间．初值函数u0(x),v0(x)∈C．函数称为初边值问题（1）的下解，若它们满足不等式：若不等式均反向，则称为初边值问题的上解．引理[4] 设是方程（1）的上、下解，且，则在上、下解之间存在方程组的唯一解(u, v)，且满足定理1 设δ0＞0,m＞1,ρ，α1为常数，为一实数，且，则存在T0为一有限时间，方程组（1）的下解在上存在，且或至少有一式成立．这里，证明考虑常微分方程初值问题，不难求得此问题的解是显然式（2）也满足因为所以成立．因为所以成立．即所因为g(u)≥δ0u m，所以成立．因此成立．令其中p(t)是正的可微函数，且p(0)=ρ，则由式（7）可知，是方程（1）的下解，因为所以即存在T0为一有限时间，方程组（1）的下解在上存在，且当证明至少有一式成立．用反证法，假设结论不成立，则在上存在M0，使得边值问题的解，选取，使得在上均大于M0+1，但小于某一正数M*，定义函数考虑修改的边值问题由文献[5]可知，问题（8）有唯一解且，所以存在T2≤T1，使得在是原方程（1）的解，且或且(x′,t ′)∈Ω×[0,T2]，这与u(x,t)≤M0,v(x,t)≤M0的事实矛盾，因此(u(x,t),v(x, t ))至少有一分量在QT*上无界，即或至少有一式成立．证毕．【相关文献】[1] Pao C V．On nonlinear reaction-diffusion systems[J]．J Math Anal Appl，1982（87）：165-198[2] CAPASSO V，PAVERI S L，FONTANA．A mathematical model for the 1973 choler epidemic in the European Mediterranean region[J]．Rev Epidem et Sante Publ，1979（27）：121-132[3] CAPASSO V．Asymptotic stability for an Integrodifferential Reaction-DiffusionSystem[J]．Math Anl Appl，1984（103）：575-588[4] Galeone L，Mastroserio C，Montrone M．Asymptotic stability of the numerical solution for integrodifferential reaction-diffusion system[J]．Numerical methods for partial differential equation，1989（5）：79-86[5] Pao C V．Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations[M]．New York：Plenum Press，1992：695-713。
二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。
本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。
1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。
如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。
但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。
对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。
设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。
代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。
2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。
但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。
一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。
将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。
非线性二阶偏微分方程
如果一个偏微分方程中，未知函数及其所有各阶偏导数以线性形式出现，则将这个偏微分方程称为线性偏微分方程（linear partial differential equation），反之，则称为非线性偏微分方程（nonlinear partial differential equation）。
若一个非线性偏微分方程中，未知函数的所有最高阶偏导数以线性形式出现，而其系数含有该未知函数或其较低阶的偏导数，则称这样的非线性偏微分方程为拟线性偏微分方程（quasilinear partial differential equation）。
又若一个非线性略偏微分方程中，未明函数的所有最低阶偏导数以线性形式发生，且最低的阶偏导数的系数也不不含未明函数与其较低阶的偏导数，这样的非线性略偏微分方程称作半线性略偏微分方程（semilinear partial differential equation）。
偏微分方程研究各类偏微分方程的求解与解的性质。
在18世纪初，微积分理论形成后不久，人们就开始结合物理问题研究偏微分方程，并逐渐形成一个独立的数学分支。
最早研究的几个偏微分方程是弘振动方程、热传导方程和调和方程。
随着力学、物理学的发展，连续介质力学、电磁场论、量子力学、引力理论、规范场论等方面的基本规律都被写成偏微分方程的形式。
数学领域中分析学、几何学中很多基本问题也可归结为一些偏微分方程的求解。
近年来，在各门自然科学、工程技术以致金融、经济、社会学等学科中又不断归结出一些新的偏微分方程，它们的研究对于相应学科的发展是十分重要的。
半抛物量子阱中二阶非线性光学性质的研究李俊生;张志海;孙东升;杨亮亮【摘要】Studies aimed at understanding the nonlinear optical properties of GaAs/AlGaAs semiparabolic quantum well under applied electric have focused on optical rectification and second harmonic generation.These studies have taken two complimentary approaches:(1) the compact-density-matrix approach and iterative method have been used to obtain the expressions of optical rectification and second harmonic generation;(2) the finite difference techniques have been used to obtain the energy eigenvalues and their corresponding oeigenfunctions of the semiparabolic quantum well under applied electric field.The energy eigenvalues,the shape of the confined potential,optical rectification and second harmonic generation are modulated by the confined potential frequencies and electric field.So the results of a number of numerical experiments indicate that the nonlinear optical rectification and second harmonic generation strongly depends on the confined potential frequencies and applied electric field.This gives a new degree of freedom in various device applications based on the intersubband transitions of electrons.%本文对外加电场作用下GaAs/AlGaAs半抛物量子阱非线性光整流和二次谐波极化率进行了研究.首先,本文运用密度矩阵和迭代的方法获得外加电场作用半抛物量子阱系统光整流和二次谐波极化率的表达式.同时,采用有限差分法求得多外加电场作用下该系统的能级和波函数,避免了精确求解过程中的多重不恰当近似.结果表明:1)有限差分法计算结果相当精确;2)外加电场和受限势频率与系统能级、受限势形状、以及光整流和二次谐波极化率有着密切的关系,同时,可以通过外加电场和受限势频率实现对该系统光整流和二次谐波极化率的有效调控.将为基于子带跃迁的光电子器件的制备提供理论基础.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(054)006【总页数】6页(P1263-1268)【关键词】量子阱;有限差分法;光整流;二次谐波;非线性光学【作者】李俊生;张志海;孙东升;杨亮亮【作者单位】盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002【正文语种】中文【中图分类】O437在过去的几年里，半导体量子阱光学性质已得到深入研究.这是因为非线性效应在量子阱上可以得到显著地增强.对于块体材料，因为晶体结构的对称性，非线性效应不是非常强.同样，对于具有对称结构纳米半导体材料，偶数阶非线性光学效应通常在理论上消失.因此，对称量子阱非线性光学系数一般为零.但随着对称性的破缺，量子阱非线性光学系数将不再为零.为了在量子阱中获得更强的二阶非线性光学系数，可通过外部施加的电场移除对称性的途径实现[1].近年来，电场作用下二阶非线性光学特性得到了广泛关注.在2003年，Li Zhang和Xie Hong-Jing[2-3]讨论了电场下半抛物量子阱的非线性光学特性.2005年郑允宝对电场下非对称量子阱中的非线性光学性质进行了研究.另外，Ibrahim Karabulut和Haluk S-afak[4]在2005年还对电场下半抛物量子阱光整流效应进行了详尽地讨论.2014～2016年，Yuan Jian-Hui[5-10]讨论了电场下对称与非对称高斯(半抛物)量子阱的非线性光学特性.但是为了能够精确求得到系统的能级和波函数，采用了一系列的近似.本文对有限差分法应用于量子力学求解量子阱能级和波函数可行性的分析，我们将通过有限差分的方法对电场下半抛物量子阱的光学性质进行深入地研究.在有效质量近似条件中，系统的哈密顿可以写为：H=-(++)+V(z)+qηFz利用有限差分法，方程(1)可以离散化-+Viφi+qFziφi=Eφi,i=1,2,…N[H][φ]=E[φ]利用有限差分法，可以得到系统的能级和对应的波函数.下一步，我们将使用紧凑密度矩阵法和迭代过程来推导半抛物子阱的SHG系数，在外电磁场F(t)=E0cosωt激发下，定义ρ作为单电子密度矩阵.可以得到密度矩阵的运动方程为：p(n)=Tr(ρ(n)qz)在有限差分方法在对电场诱导半抛物量子阱二经过计算，抛物与半抛物量子阱几个低能激发态能级如表1和图1所示，从表中可以看出有限差分结果和精确求解结果符合非常好.对于半抛物量子阱情况，有限差分结果与精确解对比，相对误差小于0.4%.因此，利用有限差分方法进行求解是合理的.有限差分法、量子力学中的本征值问题和Matlab计算工具有机地结合起来,将量子力学求解本征值和波函数就转化为求解矩阵的本征值和本征矢,在一定精度要求范围内，可以反映出实际系统的能级和波函数.从表1与图1中可以看出，随着电场强度的增加，半抛物量子阱的几个最低能级都是在增加的.主要原因在于电场的存在，使得受限量子阱有效半径减小，从而引起能级增加，电场越大，有效半径越小，因此各能级随电场增加是增大的.图2(a)为η=+1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下SHG极化率与光子能量ћω的关系,(b)与(c)分别为电场F下的能级差ΔE(eV)与矩阵元素M12M23M31.从图2(a)可以知道：(1)随着电场强度的增加，峰值所对应的光子能量随之增加，也就是说电场能够诱导光谱蓝移；(2)随着电场强度的增加，光谱发生劈裂，并且谱线宽度也在增加；(3)随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值逐渐减小.为了解释上述现象，我们分别讨论了能级差ΔE(eV) (图2(b))与矩阵元素M12M23M31((图2(c))随电场强度的变化情况.从图2(b)中，我们可以看出，随着电场强度的增加，E21和E31/2能级都在增加，并且两者之间的能级差值不断的增大.由方程(10)我们可以知道峰值对应的光子能量约在E21或者E31/2附近，因此很容易解释电场诱导的光谱蓝移.在图(a)中F=0和2时，我们可以看到一个峰值的波峰，主要原因在于E21和E31/2能级相近，满足近似双光子共振条件.随着电场的增加(如F=5)，E21和E21-E31/2两者之间的差值不断增大，从而导致近似的双光子共振条件不能得到满足，这时单峰将会劈裂成为两个不同的双峰，由此便可解释随着电场强度增加，光谱发生劈裂的原因.当双光子共振条件不能满足时，此时两个最大峰值主要源自两个单光子共振，随着电场的增加，两个共振能量也随之增大，并且两者之间的差值也在变大，因此可以解释谱线宽度随着电场的增加而增大.图2(a)和(b)可以看出谱线最大峰值所对应的光子共振能在E31/2附近，因此最大峰值约为|M12M23M31|/(E21-E31/2).由图2(c)可知，几何因子|M12M23M31|随着电场强度的增加而减小，而由图2(b)可以看出E21-E31/2两者之间的差值不断增大，因此随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值不断减小. 图3(a)为η=-1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下SHG极化率与光子能量ћω的关系,(b)与(c)分别为电场F下的能级差ΔE(eV)与矩阵元素M12M23M31.从图3(a)可以知道：(1)随着电场强度的增加，峰值所对应的光子能量在减小，也就是说电场能够诱导光谱红移；(2)随着电场强度增加，光谱发生劈裂，并且谱线宽度也在增加；(3)随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值逐渐减小.为了解释上述现象，我们分别讨论了能级差ΔE(eV) (图3(b))与矩阵元素M12M23M31((图3(c))随电场强度的变化情况.从图3(b)中，可以看出，随着电场强度的增加，E21和E31/2能级都在减小，并且随着电场的增加，两者之间的能级差值不断的增大，因此很容易解释电场诱导的光谱红移.和图2(a)中相同，随着电场强度的增加，近似的双光子共振条件向着单光子共振条件转变，这个时候单峰将会劈裂成为两个不同的双峰，光谱发生劈裂，同时，由于两个单光子光子共振能之间的差值随着电场强度增加而增大，从而谱线宽度逐渐增大.由图2(a)和(b)可知谱线最大峰值所对应的光子共振能在E21附近，因此最大峰值约为|M12M23M31|/(E31/2-E21).图2(c)中可以看出几何因子|M12M23M31|随着电场强度的增加而增大，从图(b)可知E21与E31/2间的差值也在不断增大，但E31/2-E21随电场的变化较|M12M23M31|大，因此，随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值随之不断减小.图4(a)为η=+1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下光整流系数与光子能量ћω的关系,从图4(a)中可以看出：(1)随着电场强度的增加，峰值谱线发生蓝移，主要原因在于随着电场强度的增加，E21能级在增加(见图4(b));(2)随着电场强度的增加，谱线峰值在减小.从方程(10)可以知道，谱线峰值约在E21附近,换句话说，当光子能量满足条件EP≡E21时，单光子共振条件得到满足，此时光整流系数将会出现一个峰值.由方程(10)可以知道，谱线峰值正比于几何因子δ,从图(c)中可以看到几何因子δ随着电场强度的增加而减小，由此可以解释谱线峰值随着电场强度的增加而减小.图5(a)为η=-1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下的光整流系数与光子能量ћω的关系，和图4(a)不同的是：(1)随着电场强度的增加，谱线发生红移，原因在于随着电场强度的增加，E21能级逐渐减小(见图5(b)).(2)随着电场强度的增加，谱线峰值也随之增加，原因在于几何因子δ随着电场强度的增加而增大.文中主要研究了外加恒定电场对半抛物量子阱中二次谐波和光整流产生的影响.所运用的研究方法主要是用有限差分的方法，研究在非对称抛物量子阱中的二阶光学非线性，并通过Matlab画出波形图.研究结果表明，电场对半抛物量子阱中二次谐波和光整流产生的影响是比较明显的.数值结果表明，当电场的方向是沿量子阱的生长方向时，二次谐波极化率和非线性光整流总是随着电场强度增强而减弱.然而，当电场方向与量子阱的生长方向相反时，随着电场强度增强，二谐波极化率仍被削弱，而非线性光整流得到加强.沿着或逆着量子阱生长方向施加电场增强时能够引起二次谐波和光整流谱线发生蓝移或红移效应，可以通过量子阱能级结构进行合理的解释.【相关文献】[1] Zhang Z H,Zou L L,Guo K X,et al.The effect of hydrostatic pressure,temperature and magnetic field on the nonlinear optical properties of asymmetrical Gaussian potential quantum wells [J].Phys E,2016,77:90.[2] Zhang L,Xie H J.Electric field effect on the second-order nonlinear optical properties of parabolic and semiparabolic quantum wells [J].Phys Rev B,2003,68:235315.[3] Zhang L,Xie H J.Electro-optic effect in a semi-parabolic quantum well with an applied electric field [J].Mod Phys Lett B,2003,9:347.[4] Ibrahim K,Haluk S.Nonlinear optical rectification in semiparabolic quantum wells withan applied electric field [J].Phys B,2005,368:82.[5] Yuan J H,Chen N,Mo H,et al.The second harmonic generation in symmetrical and asymmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field [J].Supperlatt Microstruct,2015,88:389.[6] Yuan J H,Zhang Z ment on “linear and nonlinear optical absorption coefficients and refractive index changes in asymmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field” [J].Supperlatt Microstruct,2015,88:1.[7] Yuan J H,Zhang Y,Mo H,et al.The second-harmonic generation susceptibility in semiparabolic quantum wells with applied electric field [J].Opt Commun,2015,356:405. [8] Yuan J H,Chen N,Zhang Z H,et al.Energy spectra and the third-order nonlinear optical properties in GaAs/AlGaAs core/shell quantum dots with a hydrogenic impurity[J].Supperlatt Microstruct,2016,100:957.[9] Yuan J H,Chen N,Zhang Y,et al.Electric field effect on the second-order nonlinear optical properties in semiparabolic quantum wells [J].Phys E,2016,77:102.[10] Zhang Z H,Zou L L,Guo K X,et al.The nonlinear optical rectification in asymmetrical and symmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field [J].Opt Commun,2016,359:316.。
非局部扩散的非自治抛物方程动力学行为常伟伟;李晓军【摘要】考虑带非局部扩散的非自治抛物方程解的长时间行为，当时间符号项于L2loc （瓗；H －1（Ω））和 L2loc （瓗；L2（Ω））中平移有界时，证明该系统所对应的过程在 L2（Ω）与 H10（Ω）中存在一致吸引子。
【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)005【总页数】6页(P77-82)【关键词】一致吸引子;非局部扩散;非自治抛物方程【作者】常伟伟;李晓军【作者单位】河海大学理学院，江苏南京 210098;河海大学理学院，江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O175由于非局部问题在物理学、生物学和自动控制等诸多领域的广泛应用,其研究日益受到人们重视。
在半导体方程中，非局部形式a=a(l(u))的出现，可以用来描述依赖非局部数量的热力学扩散速率[1-2]。
在生物方程中，如一个密闭容器细菌种群数量的迁移速率=a▽u，取决于某个指定区域细菌的数量密度u[3]。
关于非局部问题有许多数学方面的研究[4-6]，非局部抛物方程解的渐近行为研究也备受关注。
文献[7]研究了解的适定性，并用能量方法详细论述了拉回吸引子的存在性。
另外，在弱外力假设下，关于非自治系统渐近动力学行为，近期也有较多的研究[7-10]。
然而，非局部抛物方程在L2(Ω)和(Ω)一致吸引子的研究相对较少。
一致吸引子用来描述其动力学行为时，比较常用的是斜积流法，该方法牵涉到符号空间，且一般要求外力符号在符号空间作紧性平移[11]。
本文仅在时间符号平移有界，不要求平移紧的条件下,研究下列非局部非线性抛物方程一致吸引子的存在性：其中：Ω⊂N为有界开集；a∈C(,+)为局部Lipschitz连续函数，满足其中：m,M为正常数。
l∈(L2(Ω))′,f∈C()且存在常数η>0,cf≥0满足假设(;H-1(Ω))或(;L2(Ω))。
用和(,.,)分别表示L2(Ω)中的范数及对应的内积；和((. , .))分别表示(Ω)中的范数及对应的内积；〈. , .〉表示H-1(Ω)与间的对偶积；表示H-1(Ω)范数。
两类非线性抛物型方程的爆破解和整体解的开题报告非线性抛物型方程在数学和物理学中具有重要的地位，具有广泛的应用背景。
其中，爆破解和整体解是解非线性抛物型方程的两种基本方法。
本文将介绍两类非线性抛物型方程的爆破解和整体解的研究现状及未来方向。
一、常见的两类非线性抛物型方程1. 可积的非线性抛物型方程可积的非线性抛物型方程具有精确的解析解，这类方程的研究可追溯到19世纪初，当时在研究偏微分方程的领域中取得了重要的进展。
可积方程的爆破解和整体解已经被广泛研究，并取得了一系列的重要成果。
2. 不可积的非线性抛物型方程不可积的非线性抛物型方程是指无法通过基本的数学方法求得解析解的方程。
这类方程的研究涉及到数值计算和近似解法等领域，其研究成果对实际应用有着重要的意义。
不可积方程的爆破解和整体解仍然是一个热门的研究领域，吸引了众多学者的关注。
二、爆破解和整体解的概念1. 爆破解爆破解是指解抛物型方程时，通过研究方程的局部性质，得到局部存在唯一的解，但不能保证这个解的存在范围。
如果方程存在解，但当时间趋近于某一个时间时，解发生奇异或破裂，则称该解为爆破解。
2. 整体解整体解是指抛物型方程的解存在于全局时间范围内，不会出现爆破解的情况。
整体解的存在性问题一直是非线性抛物型偏微分方程研究的关键问题，其解决对于研究抛物型方程的动力学性质具有重要意义。
三、爆破解和整体解的研究现状1. 爆破解的研究现状爆破解问题在近年来受到了广泛的关注，有很多重要的成果得到了取得。
例如，研究可积方程的爆破解问题引发了研究非线性色散的相关内容，得到了柯西-里曼的共振理论。
研究不可积方程的爆破解问题，则主要采用了信号量子化和谱方法，这些方法在实际应用中得到了广泛的应用。
2. 整体解的研究现状目前整体解问题的研究仍然是非线性抛物型方程的研究重点之一。
针对不可积方程的整体解问题，已经取得了一些重要的进展。
例如，研究斯托克斯方程的整体解问题，应用了波能分解和非线性能量估计，最终得到了该方程整体解的存在性定理。
几类非线性发展方程的定解问题非线性发展方程是一个庞大的研究领域，它涉及到数学、物理学、化学等多个学科，在科学研究领域有着广泛的应用。
这类方程通常具有复杂的形式，它们的特点是变量（例如温度、能量、势函数等）都是运动变化的，从而使得求解的复杂程度上升。
本文将从数学的角度，以及四类非线性发展方程：椭圆型方程、超越型方程、抛物型方程、解析平面方程的定解进行深入的阐述。
首先，椭圆型方程通常可以定义为：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$，其中A、B、C、D、E、F都是实数，其中A和C不能同时为0。
它可以被用来描述椭圆、圆和双曲线，椭圆型方程可以得到两个简单的定解。
1、解析解：在这种情况下，方程有两个变量可以求解，一般阐述为：解一般形式为$x=f(t),y=g(t)$，其中$t$是参数。
2、特殊解：如果两个变量满足某个条件，比如$x=y$或$Bx+Ey+F=0$，那么这类方程得到特殊解，一般可以简化为一个一元方程来求解。
其次，超越型方程是一类常用的非线性方程，它通常由一元方程转化为多元方程。
它一般可以表示为：$$x+yf(x,y)=g(x,y)$$，其特点是后一变量与前一变量存在着某种关系，超越型方程可以得到两个简单的定解，如变量变换法（将超越型方程变换为椭圆型方程来求解）和特征函数法（将超越型方程转换为积分方程来求解）继续，抛物型方程通常可以定义为：$$y=ax^2+bx+c$$，其中a、b、c是实数，抛物型方程表示的是若干变量与他们的平方或者立方次方存在一定关系的函数。
抛物型方程的定解可以使用特征函数法或变量变换法，特征函数方法通过讲抛物型方程转换成积分方程来求解，而变量变换法则将抛物型方程转换成椭圆型方程来求解。
最后，解析平面方程通常可以定义为：$$3x^3-7xy^2-17x+11y=0$$，其中x和y是变量。
解析平面方程也是一类非线性发展方程，它是由一个三次多项式表达式构成的，它的特点是变量和它们的次方有一定的关系，解析平面方程的定解可以是通过变量变换法将平面方程转换为椭圆型方程来求解，也可以通过特征函数法将其转换为积分方程来求解。
带非抛物项的非线性发展方程的解的适定性非抛物项的非线性发展方程是一类常见的非线性偏微分方程，如Korteweg-de Vries方程、Burgers方程等。
这些方程往往涉及到物理实际问题的建模，具有广泛的应用背景。
在研究非抛物项的非线性发展方程的解的适定性时，我们关注以下几个方面：初值问题的适定性、全局解的存在性和稳定性，以及光滑解的存在性。
首先，我们考虑初值问题的适定性。
对于一个给定的非抛物项的非线性发展方程，我们通常需要考虑其在$t=0$时刻的初值问题。
初值问题的适定性指的是，在给定的初始条件下，方程是否存在唯一的局部解，以及该解在几何上和物理上的特性。
初值问题的适定性可以通过使用合适的函数空间和适当的数学工具来分析。
例如，使用Sobolev空间和能量估计来探讨局部解的存在性和唯一性。
对于一些特殊类型的非线性发展方程，可以使用双曲型方程的理论来证明初值问题的适定性。
其次，我们关注全局解的存在性和稳定性。
全局解是指考虑非抛物项的非线性发展方程在定义域上的解的存在性。
换句话说，我们要证明该方程的解在整个时间范围内是存在的。
全局解的存在性通常要求方程具有良好的非线性性质，例如能量守恒、保持非负性或者一些限制条件。
稳定性是指方程的解对初值和参数的微小扰动是稳定的，即微小扰动不会引起解的显著变化。
全局解和稳定性的研究对于理解方程的动力学行为和长时间演化的特性至关重要。
最后，我们考虑光滑解的存在性。
光滑解是指方程的解在定义域上具有足够的光滑性。
对于非抛物项的非线性发展方程，通常出现的是弱解或者分布解。
弱解通常只具有有限的光滑性，不满足传统的光滑解的定义。
而分布解则可以通过广义函数的理论进行定义，其光滑性更强。
对于光滑解的存在性的研究需要运用一些数学工具，如微分方程的理论、变分方法和极值原理等。
总结起来，非抛物项的非线性发展方程的解的适定性研究涉及到初值问题的适定性、全局解的存在性和稳定性、以及光滑解的存在性等方面。
二阶非线性微分方程组的解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
其中，二阶非线性微分方程组是一类常见的微分方程，在实际应用中也具有重要的意义。
本文将介绍二阶非线性微分方程组的解法。
一、基本概念与知识首先，我们需要了解一些基本概念和知识。
二阶非线性微分方程组一般形式为：$$\begin{cases}y''=f(x,y,y')\\z''=g(x,y,z,z')\end{cases}$$其中，$y$, $z$ 分别是自变量 $x$ 的函数，$f$, $g$ 是已知函数，$'$ 表示对自变量求导。
这类微分方程的解法不像线性微分方程组那样简单，需要运用一些特殊的技巧。
二、变系数法变系数法是解决二阶非线性微分方程组的一种有效方法。
其基本思想是将原方程组中的一个方程看作另一个方程的辅助方程，从而将原方程组化为一个二阶非齐次线性微分方程，然后再利用常规的线性微分方程的求解方法来解决。
具体步骤如下：(1) 假设 $z$ 是 $y$ 的辅助方程，即 $z''=g(x,y,z,z')$。
(2) 将 $z''$ 在 $y''$ 的方程中代入，得到二阶非齐次线性微分方程：$$y''-f(x,y,y')+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}=\frac{d^2 z}{dx^2}+\frac{d g(x,y,z,z')}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}\frac{dz}{dx}$$(3) 求解该方程。
(4) 由 $z''=g(x,y,z,z')$ 得到 $z$。
注意事项：在应用变系数法的过程中，需要注意以下几点：(1) 辅助方程的选取需要灵活，一般选取在求导和代入方便的方程作为辅助方程。
非线性抛物型方程解的唯一性和比较原理张继兵;高云柱【摘要】利用微分方程边值问题上下解定义及相关理论,给出了一类非线性抛物型方程φ(u)t-divA(x,u,u)+B(x,u,u)=f(x,t)的两类边值问题在适宜的条件下解的唯一性和比较原理.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(009)005【总页数】5页(P403-407)【关键词】非线性抛物型方程;上下解;唯一性;比较原理【作者】张继兵;高云柱【作者单位】北华大学,师范分院,吉林,吉林,132033;北华大学,数学学院,吉林,吉林,132033【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言我们考虑下列一类非线性抛物型方程的两类边值问题(1.1)和(1.2)其中，Ω是n上的有界区域，函数φ(x)是严格单调增的，向量函数A(x，z，ξ)，B(x，z，ξ)满足适当的条件，ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向，β(z)为单调的光滑函数，f(x，t)，g(x，t)，u0(x)为相应区域上的已知函数且充分光滑.受文献[1-2]的启发，同时参考文献[3-8]，我们考察了上述一类非线性抛物型方程解的唯一性和比较原理.我们的方法是利用上下解定义及一些基本公式讨论问题. 为叙述方便，作如下定义及假设：ΩT∂Ω×(0，T]， T>0.(H1)A是椭圆的，函数A(x，z，ξ)：Ω××n→在Ω××n内连续，在n内当|ξ|>0时，关于z，ξ连续可微.(H2)对于x∈Ω，函数B(x，z，ξ)关于变量z是非减的，且B(x，z，ξ)：Ω××n→在Ω××n内连续，在n内当|ξ|>0时，关于ξ连续可微.2 预备知识考虑非线性抛物型算子L(u)=φ(u)t-divA(x，u，▽u)+B(x，u，▽u)， (x，t)∈ΩT.定义2.1 我们称函数及分别是问题(1.1)，(1.2)的一个上解，如果u及u*分别满足(2.1)和(2.2)称u及u*分别是问题(1.1)，(1.2)的一个下解，如果式(2.1)，式(2.2)不等号方向相反；若u及u*既是上解又是下解，则称u及u*分别是问题(1.1)，(1.2)的解.引理2.1[9] 设是Ω的紧子集，且向量ξ，η∈n，对于某两个正常数b，d，及所有的λ∈(0，1)，满足|ξ|≤b，|η|≤b，|λξ+(1-λ)η|≥d.若|z|≤l，则存在仅依赖于b，d，l和的常数μ，使得{A(x，z，ξ)-A(x，z，η)}·(ξ-η)≥μ.(2.3)引理2.2 若(H2)成立，则B(x，z，ξ)关于z满足单调性条件，即-[B(x，z1，ξ)-B(x，z2，ξ)]≤μ*[φ(z1)-φ(z2)]，∀z1≥z2，(2.4)其中μ*是某正常数.证明由(H2)及φ的单调性，引理显然成立.由Green[10]公式易得下面两个引理：引理2.3 设u是问题(1.1)的下(上)解，则对于任意非负函数有(φ(u)tw+A(x，u，▽u)▽w)dx≤(≥)A(x，u，▽u)·νwds+(-B(x，u，▽u)+f(x，t))wdx，这里ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向.引理2.4 设u是问题(1.2)的下(上)解，则对于任意非负函数有(x，u，▽u)▽(x，u，▽u)+f(x，t))wdx.3 主要结果定理3.1 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，函数B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的.设u，v分别是问题(1.1)，(1.2)的下解和上解，则在ΩT中u≤v.证明(ⅰ)设分别是边值问题(1.1)的下、上解，则由引理2.3有(φ(u)tw+A(x，u，▽u)▽w)dx≤A(x，u，▽u)·νwds+(-B(x，u，▽u)+f(x，t))wdx，(φ(v)tw+A(x，v，▽v)▽w)dx≥A(x，v，▽v)·νwds+(-B(x，v，▽v)+f(x，t))wdx，于是得到u，v满足下列积分不等式(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽w}dx≤(A(x，u，▽u)-A(x，v，▽v))·νwds+-(B(x，u，▽u)-B(x，v，▽v))wdx,(3.1)其中是任意非负函数，ν为∂Ω关于Ω的单位外法线方向.对于δ>0定义上的函数Ψδ(z)如下：取w=Ψδ(u-v)代入积分不等式(3.1)，并注意到w|∂Ω=0及Ψδ的定义，得(x，u，▽u)-B(x，v，▽v))Ψδ(u-v)dx.(3.2)再根据引理2.1，引理2.2和Ψδ的定义式(3.2)可化为(3.3)由Lebesgue控制收敛定理(3.4)类似地(x，u，▽u)-B(x，v，▽u))Ψδ(u-v)dx=(x，u，▽u)-B(x，v，▽u))dx≤(3.5)以及(x，v，▽u)-B(x，v，▽v))Ψδ(u-v)dx≤|▽u-▽v|(u-v)dx，(3.6)其中，式(3.6)的最后不等式是根据B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的，>0是李普希兹常数.根据Cauchy不等式|▽u-▽v|(u-v)dx≤(3.7)2·δ·mes(Ω).于是由式(3.3)～式(3.7)，取δ→0，得应用Gronwall引理得其中τ(t)+=max{0，τ(t)}.从而φ(u)≤φ(v)，也即u≤v.(ⅱ)设分别是边值问题(1.2)的下、上解.类似于式(3.3)的推导过程，结合引理2.4，得(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx.令δ→0，得到(3.8)式(3.8)中最后不等式是由于β(z)的单调性，可去掉该项.于是同上亦可导出u≤v.定理3.2 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，函数B(x，z，ξ)关于ξ是一致李普希兹的.则问题(1.1)，(1.2)至多只有一个解.证明若问题(1.1)有两个解为u1和u2，则取u1是上解，u2是下解.于是由定理1.1，得u1≥u2，反过来，取u1是下解，u2是上解，得u1≤u2，因此有u1=u2.问题(1.2)同理可证.定理3.3 假设条件(H1)，(H2)满足，且A(x，z，ξ)是与z无关的函数，B(x，z，ξ)是与ξ无关的函数，设u，v分别是问题(1.1)，(1.2)的下解和上解，则在ΩT中u≤v.证明先考虑问题(1.1)，同定理3.1中问题(1.1)的证明过程，可得(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽(u-v)dx+(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx≤(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx.注意到(x，u，▽u)-A(x，v，▽v)]▽(u-v)dx≤0，且(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]Ψδ(u-v)dx=(x，u，▽u)-B(x，v，▽v)]dx≤以下同定理3.1的推导方法，易得结论.对于问题(1.2)同理可证.类似定理3.2的证明，同样可证下面定理：定理3.4 假设条件(H1)，(H2)满足，且(x，z，ξ)是与z无关的函数，B(x，z，ξ)是与ξ无关的函数，则问题(1.1)，(1.2)至多只有一个解.注3.1 若取A(x，u，Du)为p-Lapacian算子，即A(x，z，ξ)=A(z)=|▽z|，满足ρρA(ρ)为增函数，则上述相关的结论均成立.【相关文献】[1] G Gripenberg.On the Strong Maximum Principle for Degenerate Parabolic Equations[J].Journal of Differential Equation，2007,242:27-85.[2] Su Ning.Extinction in Finite Time of Solutions to Degenerate Parabolic Equations with Nonlinear Boundary Conditions[J].J Math Anal Appl，2000,246:503-519.[3] Lucio Boccardo，Thierry Gallou⊇t，Juan Luis Vazquez.Solutions of Nonlinear Parabolic Equations without Growth Restrictions on the Data[J].Electronic J Differential Equations，2001,60:1-20.[4] 高云柱，裴明鹏.高阶m-点边值问题多个正解的存在性[J].北华大学学报：自然科学版，2007，8(1)：1-7.[5] Agnieszka Bartlomiejczyk，Henryk parison Principles for Parabolic Differential-functional Initial-value Problems[J].Nonlinear Analysis，2004，57:63-84. [6] 张继兵.非线性n阶n点边值问题解的存在性和唯一性[J].北华大学学报：自然科学版，2007，8(6):484-487.[7] Jeffrey R Anderson，Su Ning ，Zhang Hongfei.Existence and Uniqueness of Solutions of Degenerate Parabolic Equations in Exterior Domains[J].Nonlinear Analysis，2001,44:453-468.[8] G A philippin，S Vernier-Piro.Applications of the Maximum Principle to a Variety of Problems Involving Elliptic and Parabolic Equations[J].Nonlinear Analysis，2001,47:661-679.[9] Patrizia Puucci，James Serrin.The Strong Maxiumum Priciple Revisited[J].Journal of Differential Equations，2004,196:1-66.[10] David Gilbarg，Neil S Trudinger.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order[M].New York：Spring-Verlag Press,1977.。
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性偏微分方程是数学领域中的重要研究对象之一，它描述了自然界中很多现象和过程的规律。
在偏微分方程的研究中，非线性方程是一类具有重要意义的方程类型。
本文将探讨偏微分方程中的非线性方程以及解的存在性。
一、非线性方程的定义与特点在数学中，非线性方程指的是未知量与其导数或高阶导数之间存在乘法关系的方程。
与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难，因为它们无法简化为一次项的代数方程。
在偏微分方程中，非线性方程常常具有复杂的形式和行为，往往需要借助数值或变分方法进行求解。
二、非线性方程的分类根据方程的次数和形式，偏微分方程中的非线性方程可以分为多种类型。
常见的有非线性椭圆方程、非线性抛物方程和非线性双曲方程等。
1. 非线性椭圆方程非线性椭圆方程在物理学和几何学中具有广泛的应用。
它们可以描述领域内的稳定状态和平衡问题，如椭圆型偏微分方程的存在性问题。
非线性椭圆方程的研究困难主要体现在非线性项的存在，这使得常用的求解技术不再适用。
2. 非线性抛物方程非线性抛物方程描述了许多动态和演化过程，如热传导、扩散和泛函状态的变化。
非线性抛物方程的求解面临着时间和空间复杂性的挑战，例如非线性项会引起方程的发散或者不稳定。
3. 非线性双曲方程非线性双曲方程常用于描述波动现象，如声波、电磁波等。
非线性双曲方程的求解存在着多个挑战，如波的衰减、非线性项的影响等。
解的存在性是非线性双曲方程研究中的核心问题之一。
三、解的存在性针对偏微分方程中的非线性方程，解的存在性是一个重要的问题。
解的存在性研究的目标是确定方程在给定条件下是否存在解，以及解的性质和稳定性。
对于某些非线性方程，解的存在性可以通过使用分析工具和数学推理得出。
例如，利用不动点定理、变分法和轨道理论等数学工具，可以证明某些非线性方程在一定条件下存在唯一解。
然而，对于更一般和复杂的非线性方程，求解存在性问题往往需要借助数值计算和数值方法。
通过将偏微分方程离散化为差分方程或代数方程，然后利用数值迭代等方法求解，可以得到偏微分方程的数值解，从而验证解的存在性。
抛物线二级结论大全及证明过程抛物线二次函数的结论与其定义是密切相关的。
可以用如下方式表示：y = ax² + bx + c。
这里，a, b和c分别表示抛物线二级方程中常量项的值。
二级抛物线结论大全包括：1、抛物线的颠倒是具有相同的性质的，这意味着它的定义相同。
因此，当a>0时，抛物线的极值点将在抛物线的两端，当a<0时，抛物线的极小值点将在抛物线的两端。
2、抛物线两端拐点的坐标可以通过抛物线方程中常量项的值来求出：x=-b/2a y=ax²+bx+c。
3、抛物线的最大值或最小值（根据a的符号而定）可以通过计算出来：y=ax²+bx+c。
4、抛物线的斜率在拐点处为零，在拐点附近都是正斜率，表达式为：m=-b/2a。
5、抛物线的离心率（eccentricity）可以通过a的绝对值计算得到：e²=1-(b²/4ac)。
6、抛物线的偏心率可以通过它的离心率求出：e=|a|/c。
证明过程：1、由于抛物线的定义是y = ax² + bx + c，因此当a>0时，抛物线的极值点将在抛物线的两端，而当a<0时，抛物线的极小值点将在抛物线的两端。
可以这样证明：抛物线定义式中，如果a>0，那么此抛物线函数图像上升，即图像呈正偏态，抛物线的极值点将在两端；如果a<0，则反之，此抛物线函数图像下降，即图像呈负偏态，抛物线的极小值点将在两端。
2、抛物线两端拐点的坐标可以通过抛物线方程中常量项的值来求出，即：x=-b/2a y=ax²+bx+c。
可以这样证明：由抛物线方程可知，抛物线在x = -b/2a处可以得到拐点，将x代入抛物线方程即可得到拐点的坐标。
3、抛物线的最大值或最小值（根据a的符号而定）可以通过计算出来：y=ax²+bx+c。
可以这样证明：由抛物线方程可知，当a>0时，抛物线的最大值位于抛物线的两端，此时可以求出抛物线的最大值；当a<0时，抛物线的最小值位于抛物线的两端，此时可以求出抛物线的最小值。
