机电控制工程基础：第四章 根轨迹法2

4.3利用根轨迹分析系统的动态性能
The analysis of system dynamic performance using root locus
4.3.1用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式
n阶系统的闭环传递函数可写成
m
(s)
C(s) R(s)
b0sm b1sm1 .... bm a0sn a1sn1 ... an
K* (s z j )
j 1
n
(s si )
i 1
式中 z j 为闭环传递函数的零点，
si 为闭环传递函数的极点。
设输入为单位阶跃信号，r(t)=1(t)，则R(s)=1/s，代入上式得，
m
C(s)
K*
(s z j )
j 1
n
(s si )
•1 s
i 1
如 (s) 无重极点，可将上式分解为部分分式，
而快速性指标估算式 ts 3 n
可以看出，为提高快速性，减小调整时间 ts ，应加大 n ，即特征根实部
的绝对值要大一些，亦即 s1,2 应远离虚轴，如此将使响应中的指数振荡加
速衰减。
3、平稳性 Stationarity。要提高系统的平稳性减小响应的超调，应使闭环
极点 sk 靠近实轴，复数极点最好设置在最佳阻尼线（即 s 平面中与负
单位阶跃响应曲线。若取
K
' t
0.5，试求出
K 10 时的闭环零、极
点，并估算系统的动态性能。
解：开环传递函数为
R(s)
G(s)H (s)
K (1
K t' s )
KKt' (s
1 Kt'
)
-
s(s 1)
s(s 1)
K s(s 1)
1 Kt's
C(s)
当 0 Kt' 1 时，
1）n=2，有2条根轨迹分支，n-m=1条趋于无穷远；
(sk si )
i 1, k
i 1, k
系统单位阶跃响应
n
C(t) (0) Akeskt
(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 1
系统响应与闭环零、极点密切相关。
4.3.2闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系
the qualitative relationship between Closed-loop zero and pole distribution and the step response
闭环特征方程为 Ts 1 0
闭环特征根为实根， 系统阶跃响应为
s1
c(t)
1 T
1
，位于s平面左侧。
es1t
1t
1e T
快速性能指标公式 ts 3T
可以看出，为提高快速性，减小调整时间
特征根（或称闭环极点）的绝对值 s1 如此将使响应中的指数项衰减加快。
1 T
ts，应使时间常数T小一些，即 要大一些，亦即 s1 应远离虚轴。
2）实轴根轨迹： (, 1 ],[1, 0]
Kt'
3）分离点Separation point ：
离虚轴最近的（且其附近没有零点的）闭环极点，对系统响应影响最 大，称之为主导极点(Dominant pole)，这可能是实数极点，也可能复数极 点。
4.3.3利用主导极点估算系统性能指标
s2
j
Estimate of system performance using the dominant pole
(s)
1
s2
0.01s2 0.08s 1
j
或表示为
(s) 100
s2 8s 100
z1 s1
对照标准式知 n 10 、 0.4 ，则 4
% e
1 2 25%
ts
3
n
0.75秒
0
（偶极子）
系统阶跃响应为指数振荡型。
s3
例：设控制系统如图所示，试概略绘，0 Kt' 1 ，时的根轨迹和
C(s) A0 A1 ... An A0 n Ak
s s s1
s sn s k1 s sk
m
K* (s z j )
A0
j 1 n
s0 (0)
(s si )
i 1
m
m
K* (s z j )
K* (sk z j )
Ak
j 1
n
(s si )
s sk
j 1
n
二阶系统： Second-order system
闭环特征方程为 s2 2ns n2 0
闭环特征根在欠阻尼 1 0 情况下为复根，s1,2 n jn 1 2 于 s 平面左侧，
系统阶跃响应式为
c(t) 1
1
1 2
ent
sin[n
1 2t cos1 ]
，位
后一分量呈振荡衰减变化。
(s) 1 s 1
则由时域分析法可知，响应按指数规律变化，且
% 0 Ts 3t 31 3秒
例：2 三阶系统闭环传递函数
(s)
(0.9s 1)
(s 1)(0.01s2 0.08s 1)
试估算系统的性能指标 % ，t s
由图看出，极点 s1 与零点 z1 构成偶极子，故主导极点
不再是 s1 而应为 s2,3,系统近似为二阶系统,即：
实轴成 45 的夹角线）附近。
4、要求动态过程尽快结束，则式（1）中的系数 Ak 应小一些，Ak 小，暂态
分量就小。
m
K* (sk z j )
Ak
j 1 n
sk (sk si )
i 1, k
故应使分母大、分子小。从而看出，闭环极点 sk 应远离原点，且极点之间
的距离 (sk si ) 要大，即要拉开一些，分布要松散。另外，零点 z j 应靠近
极点 sk 。
5、偶极子及主导极点。Dipole and Dominant pole 一对靠得很近的闭环零、极点，常称之为偶极子(Dipole) 。
构成偶极子的闭环极点响应分量 Ak eskt 的数值很小，c(t) 中的分量可
忽略不计。
系统分析中，某极点与零点之间的距离较其自身的模值小一个数量级， 便可看作是偶极子。
1、稳定性Stability 。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳 定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
2、快速性Rapidity 。要提高系统的快速性，应使上述阶跃响应式（1）
中的每一个分量 eskt 快速衰减，则闭环极点 sk 应远离虚轴。
一阶系统：first-order system:
例：1 (s)
1
(s 1)(0.01s2 0.08s 1)
s1
试估算系统动态性能指标 % 、t s 4
1 0
解：闭环有三个极点，分别为:
（主导极点）
s s1 1，
2，3 4 j9.2
零、极点分布如图所示。
s3
由图看出，极点S1 距离虚轴最近，故为主导极点,而极点S2,3
可略而不计，故系统可近似看作一阶系统，即 :