2021年高考数学大一轮复习 古典概型与几何概型 专题测验

2021年高考数学大一轮总复习 12.2 古典概型与几何概型高效作业 理新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132 B.164 C.332D.364解析：有放回地取2次，共有64种结果，其中不小于15的有(7,8)、(8,7)、(8,8)共3种情况．故P ＝364.故选D.答案：D2．(xx·江苏苏北四市第一次调研)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14 B.12 C.34D.23解析：如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34.故选C.答案：C3．(xx·北京模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.答案：D4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则 点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：由题意(m ，n )的取值情况共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)共有36种情况，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为336＝112.答案：D5．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25，故选B.答案：B6．(xx·四川资阳高三模拟)已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.316B.38C.34D.12解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13，故填13.答案：138．在分别写着1,2,3,4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：∵从四张卡片中随机取出两张有6种情况，分别为：1与2,1与3,1与4,2与3,2与4,3与4，而取出的两张卡片上的数字之和为奇数的有4种情况，分别为：1与2,1与4,2与3,3与4，∴取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率P ＝46＝23.答案：239．(xx·安徽皖南八校第二次联考)两根相距9m 的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m 的概率为________．解析：灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ＝9m ，记“灯与两端距离都大于3m”为事件A ，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A 发生，即μA ＝3m ，∴P (A )＝μA μΩ＝39＝13. 答案：1310．(xx·北京西城抽样测试)已知函数f (x )＝2ax 2－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为________．解析：令t ＝ax 2－bx ＋1，函数f (x )在[1，＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，则t ＝ax 2－bx ＋1须在[1，＋∞)上递增，∴－－b 2a ≤1，即2a ≥b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤20≤b ≤2，2a ≥b，画出图示得阴影部分面积．∴概率为P ＝2×2－12×2×12×2＝34.答案：34三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·潍坊市模拟)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．解：(1)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个，因此，所求事件的概率是13.(2)先从袋中取出一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以，所求概率为316.12．(基础题，易)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以，两人能会面的概率是716. 13．(xx·天津十二区县重点中学第一次联考)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.33847 8437 萷•40629 9EB5 麵21067 524B 剋33123 8163 腣27318 6AB6 檶7b37950 943E 鐾%23831 5D17 崗38396 95FC 闼•23746 5CC2 峂h。

【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 10-5古典概型与几何概型课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，以下说法正确的选项是( ) A ．“假设a ∥b ，a ⊥α，那么b ⊥α”是随机事件 B ．“假设a ∥b ，a ⊂α，那么b ∥α”是必然事件 C ．“假设α⊥γ，β⊥γ，那么α⊥β”是必然事件 D ．“假设a ⊥α，a ∩b ＝P ，那么b ⊥α”是不可能事件 [答案] D[解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；若是两条直线垂直于同一个平面，那么此二直线必平行，故D 为真命题．2．(文)4张卡片上别离写有数字一、二、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，那么掏出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13 B.12 C.23 D.34[答案] C[解析] 掏出两张卡片的大体事件组成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个大体事件． 其中数字之和为奇数包括(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个大体事件， ∴所求概率为P ＝46＝23.(理)(2021·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数别离为一、二、3、4、五、6，将这颗骰子持续抛掷三次，观看向上的点数，那么三次点数依次组成等差数列的概率为( )A.112B.118C.136 D.7108[答案] A[解析] 持续抛掷三次共有63＝216(种)情形，记三次点数别离为a 、b 、c ，那么a ＋c ＝2b ，因此a ＋c 为偶数，那么a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 许诺重复，一旦a 、c 确信，b 也唯一确信，故a ，c 共有2×32＝18(种)，因此所求概率为18216＝112，应选A. 3．(文)(2021·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中掏出1个球，然后放回袋中再掏出1个球，那么掏出的2个球同色的概率为( )A.12B.13 C.14 D.25[答案] A[解析] P ＝2×2＋2×24×4＝12.(理)(2021·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，若是从中任取两个球，那么恰好取到两个同色球的概率是( )A.15 B.310 C.25 D.12[答案] C[解析] P ＝C 23＋C 22C 25＝25.4．(文)(2021·郑州第一次质量预测)一数学爱好小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，那么他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )A ．3.13B ．3.14C ．3.15D ．3.16[答案] A[解析] 依照几何概型的概念有π·1221＝40095120，得π≈3.13. (理)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，那么动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( ) A.14 B.12 C.π4 D ．π[答案] C[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|PA |<1，依照几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为S 扇形ABDS 正方形ABCD ＝π4，应选C.5．(文)(2021·石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，那么其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.32 [答案] C[解析] 如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为M ，假设CD 为圆内接正三角形的一条边，那么O 到CD 的距离为r 2，设EF 为与CD 平行且到圆心O 距离为r2的弦，交直径AB 于点N ，因此当过AB 上的点且垂直于AB 的弦的长度超过CD 时，该点在线段MN 上移动，因此所求概率P ＝r2r ＝12，选C.(理)(2021·湖南)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，那么ADAB＝( ) A.12B.14C.32D.74[答案] D [解析]由题意知AB >AD ，如图，当点P 与E (或F )重合时，△ABP 中，AB ＝BP (或AP )，当点P 在EF 上运动时，总有AB >AP ，AB >BP ，由题中事件发生的概率为12知，点P 的分界点E 、F 恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝AF 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB)2＝716，即AD AB ＝74，应选D. 6．(2021·武昌区联考)假设从区间(0,2)内随机取两个数，那么这两个数的比不小于4的概率为( ) A.18 B.78 C.14 D.34[答案] C[解析] 设这两个数别离为x ，y ，那么由条件知0<x <2,0<y <2，y ≥4x 或x ≥4y ，那么所求概率P ＝2×12×2×122×2＝14. 二、填空题7．(2021·郑州二检)连掷两次骰子取得的点数别离为m 和n ，设向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，那么θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是________．[答案]712 [解析] ∵cos θ＝m －n2·m 2＋n 2，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴m ≥n ，知足条件m ＝n 的概率为636＝16，m >n 的概率与m <n 的概率相等，∴m >n 的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝512，∴知足m ≥n 的概率为P ＝16＋512＝712.8．(文)(2021·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和极点这五个点中，随机(等可能)取两点，那么该两点间的距离为22的概率是________．[答案] 25[解析]由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离为22的是中心和四个极点组成的4条线段，故概率为P ＝410＝25.(理)在区间[1,5]和[2,4]别离各取一个数，记为m 和n ，那么方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示核心在x 轴上的椭圆的概率是________．[答案] 12[解析] ∵方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示核心在x 轴上的椭圆，∴m >n .由题意知，在矩形ABCD 内任取一点P (m ，n )，求P 点落在阴影部份的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴p ＝12.9．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，那么直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为________． [答案]33[解析] ∵直线与圆有公共点，∴|2k |k 2＋1≤1，∴－33≤k ≤33.故所求概率为P＝33－－331－－1＝33.(理)(2021·大连、沈阳联考)假设利用运算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，那么方程x＝22a－2bx有不等实数根的概率为________．[答案]12[解析]方程x＝22a－2bx化为x2－22ax＋2b＝0，∵方程有两个不等实根，∴Δ＝8a－8b>0，∴a>b，如图可知，所求概率P＝12.三、解答题10．(文)设平面向量a m＝(m,1)，b n＝(2，n)，其中m、n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得a m⊥(a m－b n)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．[解析](1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)由a m⊥(a m－b n)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2由于m、n∈{1,2,3,4}，故事件A包括的大体事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又大体事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝216＝1 8.(理)(2021·北京东城区统一检测)袋内装有6个球，这些球依次被编号为一、二、3、…、6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：g)，这些球等可能地从袋里掏出(不受重量、编号的阻碍)．(1)从袋中任意掏出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)若是不放回地任意掏出2个球，求它们重量相等的概率．[解析] (1)假设编号为n 的球的重量大于其编号， 则n 2－6n ＋12>n ，即n 2－7n ＋12>0. 解得n <3，或n >4. 因此n ＝1,2,5,6.因此从袋中任意掏出一个球，其重量大于其编号的概率P ＝46＝23.(2)不放回地任意掏出2个球，这两个球编号的所有可能情形为(不分掏出的前后顺序)： 1,2；1,3；1,4；1,5；1,6； 2,3；2,4；2,5；2,6； 3,4；3,5；3,6； 4,5；4,6； 5,6. 共有15种．设编号别离为m 与n (m ，n ∈{1,2,3,4,5,6}，且m ≠n )的球的重量相等，那么有m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n )(m ＋n －6)＝0.因此m ＝n (舍去)，或m ＋n ＝6.知足m ＋n ＝6的情形为：1,5；2,4，共2种． 故所求事件的概率为215.能力拓展提升 一、选择题11．(2021·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的小孩做游戏，让小孩把别离写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，假设卡片按从左到右的顺序排成“1314”，那么小孩会取得父母的奖励，那么小孩受到奖励的概率为( )A.112B.512C.712 D.56[答案] A[解析] 先从4个位置当选一个排4，再从剩下位置当选一个排3，所有可能的排法有4×3＝12种，知足要求的排法只有1种，∴所求概率为P ＝112.12．(文)(2021·辽宁文，11)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长别离等于线段AC 、CB 的长，那么该矩形面积大于20cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45[答案] C[解析] 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，设AC ＝x ，那么BC ＝12－x ，∴x (12－x )>20，∴2<x <10， 因此总的几何气宇为12，知足矩形面积大于20cm2的点在C 1与C 2之间的部份，如图 ∴P ＝812＝23.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm 2”所表示区域的长度．(理)(2021·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，别离以OA 、OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，那么此点取自阴影部份的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2π D.1π [答案] A[分析] 在扇形OAB 内随机取一点，此点落在阴影部份的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部份的面积，如图设阴影部份两块的面积别离为S 1、S 2，OA ＝R ，那么S 1＝2(S 扇形DOC －S △DOC )，S 2＝S 扇形OAB －S ⊙D ＋S 1.[解析] 设图中阴影面积别离为S 1，S 2，令OA ＝R ， 由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC )＝2[π·R224－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 28，S 2＝S 扇形OAB －S ⊙D ＋S 1＝14πR 2－π·(R 2)2＋πR 2－2R 28＝πR 2－2R 28， ∴所求概率P ＝S 1＋S 2S 扇形OAB＝πR 2－2R 2414πR 2＝1－2π.[点评] 1.当实验的结果组成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑利用几何概型求解； 2．利用几何概型求概率时，关键是实验的全数结果组成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在座标系中表示所需要的区域．13．在区间(0,1)上任取两个数，那么两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625 C.1725 D.1825[答案] C[解析] 设两数为x 、y ，那么0<x <1,0<y <1，知足x ＋y <65的点在图中阴影部份，∴所求概率为P ＝1－12×1－1521＝1725，应选C . 二、填空题14．(文)(2021·大连模拟)在长为16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，那么此正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间的概率为________．[答案] 14[解析] 正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间，即线段AM 长介于5cm 与9cm 之间，即点M 能够在5～9cm 之间取，长度为4cm ，总长为16cm ，因此，所求概率为416＝14.(理)(2021·南昌一模)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时刻在早上7:00—8:00之间，那么张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．[答案]78[解析]以横坐标x 表示报纸送到时刻，以纵坐标y 表示张先生离家时刻，成立平面直角坐标系，如图．因为随机实验落在方形区域内任何一点是等可能的，因此符合几何概型的条件．依照题意当y >x 时，即只要点落到阴影部份，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A 发生，因此P (A )＝1×1－12×12×121×1＝78. 15．(2021·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，取得点P (m ，n )，那么点P 落在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．[答案] 13[解析] 点P 的取法有2×3＝6种， 点P 在圆内部，那么m 2＋n 2<9， ∴m ＝2，n ＝1或2. ∴所求概率P ＝26＝13.三、解答题16．(文)某饮料公司对一名员工进行测试以便确信考评级别，公司预备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，而且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料当选出3杯A 饮料．假设该员工3杯都选对，测评为优秀；假设3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设这人对A 和B 饮料没有辨别能力．(1)求这人被评为优秀的概率； (2)求这人被评为良好及以上的概率．[解析] 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号一、二、3表示A 饮料，编号4、5表示B 饮料，那么从5杯饮料当选出3杯的所有可能情形为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10种令D 表示这人被评为优秀的事件，E 表示这人被评为良好的事件，F 表示这人被评为良好及以上的事件，那么(1)P (D )＝110， (2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710. (理)袋子中放有大小和形状相同的小球假设干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次掏出的小球标号为a ，第二次掏出的小球标号为b . ①设事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x 、y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解析] (1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2. (2)将标号为2的小球记作a 1，a 2①两次不放回抽取小球的所有大体事件为：(0,1)，(0，a 1)，(0，a 2)，(1,0)，(1，a 1)，(1，a 2)，(a 1,0)，(a 1,1)，(a 1，a 2)，(a 2,0)，(a 2,1)，(a 2，a 1)，共12个，事件A 包括的大体事件为：(0，a 1)，(0，a 2)，(a 1,0)，(a 2,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13. ②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，那么事件B 等价于“x 2＋y 2>4”，(x ，y )能够看成平面中的点， 那么全数结果所组成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 所组成的区域B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，x ，y ∈Ω}，∴P (B )＝S B S Ω＝2×2－π2×2＝1－π4. 考纲要求1．明白得古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的大体事件数及事件发生的概率．3．了解随机数的意义，能运用模拟方式估量概率．4．了解几何概型的意义．补充说明1．求解与角度有关的几何概型的注意点当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域气宇来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的气宇手腕．2．.求解古典概型概率，第一要找准大体事件，判定的标准确实是有限性和等可能性．大体事件空间中大体事件的计算方式和事件A 中包括的大体事件计算方式必需维持一致，计数时能够采取一一列举的方式，也能够采纳模型化方式或用计数原理求，并辅以必要的文字说明．3．注意事件是不是互斥；碰到“最多”、“至少”等事件时，注意对立事件概率公式的应用．备选习题1.(2021·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部份的黄豆数为138颗，由此咱们能够估量出阴影部份的面积约为( )A.165B.215C.235D.195 [答案] C[解析] 由几何概型的概率公式，得S 10＝138300，因此阴影部份面积约为235，应选C. 2．从正六边形的6个极点中随机选择4个极点，那么以它们作为极点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15 [答案] D[解析] 如图正六边形ABCDEF ，从6个极点中随机选择4个极点有ABCD ，ABCE ，ABCF ，ABDE ，ABDF ，ACDE ，ACDF ，ACEF ，ADEF ，BCDE ，BCDF ，BCEF ，ABEF ，BDEF ，CDEF 共15种选法，大体事件总数为15，其中四边形是矩形的有ABDE ，BCEF ，CDFA 共3种，因此所求概率为P ＝315＝15. 3．前后抛掷两枚均匀的正方体骰子(他们的六个面别离标有点数一、二、3、4、五、6)，骰子朝上的面的点数别离为x 、y ，那么log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12[答案] C[解析] 前后抛掷两枚骰子，向上点数共有6×6＝36种不同结果，其中知足log 2x y ＝1，即y ＝2x 的情形如下： x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝4；x ＝3时，y ＝6，共3种．∴所求概率为P ＝336＝112. [点评] 注意细微不同，假设把题目中的条件log 2x y ＝1改成log 2x y >1，那么所求概率为( )现在答案为A这是因为抛掷两枚骰子共有62＝36种不同结果，∵log 2x y >1，∴y >2x .当x ＝1时，y 有4种取法；当x ＝2时，y 有2种取法；当x ＝3时，没有y 知足，∴知足y >2x 的取法共有4＋2＝6种，故所求概率P ＝636＝16. 假设改成log x 2y <1呢？4．设a ∈[0,2]，b ∈[0,4]，那么函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 在R 上有两个不同零点的概率为________．[答案] 13[解析]∵f (x )有两个不同零点，∴Δ＝4a 2－4b >0，∴b <a 2，如图，设点(a ，b )落在阴影部份(即知足0≤a ≤2,0≤b ≤4且b <a 2)的事件为A ，由于阴影部份面积S ＝⎠⎜⎛02a 2d a ＝13a 3|20＝83， 故所求事件A 的概率P (A )＝832×4＝13.5．盒子内装有10张卡片，别离写有1～10的10个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它的读数x，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取1张卡片，记下它的读数y.试求：(1)x＋y是10的倍数的概率；(2)xy是3的倍数的概率．[解析]前后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对(x，y)共有100个．(1)x＋y是10的倍数的数对包括以下10个：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)．故“x＋y是10的倍数”的概率为P1＝10100＝0.1.(2)xy是3的倍数，只要x是3的倍数，或y是3的倍数，由于x是3的倍数且y不是3的倍数的数对有21个，而x不是3的倍数且y是3的倍数的数对有21个，x是3的倍数且y也是3的倍数的数对有9个．故xy是3的倍数的数对有21＋21＋9＝51(个)．故xy是3的倍数的概率为P2＝51100＝0.51.。

2021年高考数学一轮总复习 10.5古典概型练习基础必做一、选择题1．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122B.111C.322D.211解析基本事件总数为C212，事件包含的基本事件数为C26－C23，故所求的概率为P＝C26－C23C212＝211.答案D2．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为( )A.16B.112C.536D.19解析依题意，以(x，y)为坐标的点共6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3个，故所求事件的概率P ＝336＝112.答案 B3．(xx·杭州模拟)从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19解析 (1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.答案 D4．甲、乙两人一起到阿里山参观旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.16解析 甲、乙两人任选4个景点游览，共有A 46·A 46种游览方案，又甲、乙最后1小时在同一景点有C 16·A 35·A 35种可能．∴所求事件的概率P ＝C 16·A 35·A 35A 46·A 46＝16. 答案 D5．(xx·浙江金丽衢十二校二联)若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47解析 因为任取3个顶点连成三角形共有C 38＝8×7×63×2＝56个，又以一顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为2456＝37.答案 C6．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A.13B.23C.34D.35解析 第一种情况：甲安排在第一天，则有A 24＝12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A 23＝6种；第三种情况：甲安排在第三天，则有A 22＝2种，所以所求概率为12＋6＋2A 35＝13. 答案 A 二、填空题7．从某学习小组的10名同学中选出3名同学参加一项活动，其中甲、乙两名同学都被选中的概率是________．解析 从10名同学中选出3名同学有C 310＝10×9×83×2×1＝120种选法，其中甲、乙两名同学都被选中有C 18＝8种选法，因此甲、乙两名同学都被选中的概率是8120＝115.答案1158．在集合{x |x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝12的概率是________． 解析 基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15. 答案159．(xx ·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有C 710种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有C 36·C 33种不同的取法，故所求概率P ＝C 36·C 33C 710＝20120＝16.答案16三、解答题10．中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：的人中抽取50人，求n的值．(2)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为001,002，…，200；将女生的200人编号为201,202，…，400，用系统抽样的方法抽取5人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为30，把抽取的5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少有一名女生的概率．解(1)由n2 000＝501 000得n＝100.(2)按系统抽样，分段间隔k＝4005＝80.当抽取的第一个人的编号为30时，则所抽取的5个人的编号依次为：30,110,190,270,350.所以抽取的5人中有3男2女．记三个男生分别为A1，A2，A3，两个女生分别为B1，B2，则有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共有10种情况，其中无女生的情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)3种情况．记“至少有一名女生”为事件A，A表示“无女生”，P(A)＝310，所以P(A)＝1－P(A)＝710.11．(xx·福州模拟)某学院为了调查本校学生xx年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．解 (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75.所以健康上网天数超过20天的学生人数是 40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：Y 0 1 2 P2952513352培 优 演 练1．袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球． (1)若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；(2)若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列．解 (1)摸出的2个小球为异色球的种数为C 11C 17＋C 13C 14＝19， 从8个小球中摸出2个小球的种数为C 28＝28， 故所求概率为P ＝1928.(2)符合条件的摸法包括以下三类：一类是有1个红球，1个黑球，1个白球， 共有C 11C 14C 13＝12种不同摸法， 一类是有2个红球，1个其他颜色球， 共有C 24C 14＝24种不同摸法， 一类是所摸得的3个小球均为红球， 共有C 34＝4种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．由题意知，随机变量ξ的可能取值为1,2,3. 其分布列为ξ 1 2 3 P310351102．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：(1)若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列．解 (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，包括有一个人是好视力和有零个人是好视力，∴P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)ξ的可能取值为0、1、2、3，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 1314⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (ξ＝2)＝C 2334⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝964；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.∴分布列为时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．答案 C2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15个基本事件，满足b >a 的基本事件共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.答案 D3．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析 复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16. 答案 C4．(xx·湘潭模拟)某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415解析 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种. 其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率为915＝35.答案 C5．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16 B.13 C.14D.12解析 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．m ⊥n 即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个． 故所求概率为16.答案 A6．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是36＝12.答案 C 二、填空题7．(xx·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析 甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P ＝39＝13.答案138．(xx·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析 两本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，则Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为46＝23.答案239．盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．解析 对立事件为：两次抽取的卡片号码都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽取卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.答案59三、解答题10．现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率． 解 (1)共有36个等可能的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ， 则事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x ＋y ∈[11,17)，其中x <y ”． 由(1)可知事件A 共包含15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)．所以P (A )＝1536＝512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512. 11．中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：的人中抽取50人，求n 的值．(2)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为001,002，…，200；将女生的200人编号为201,202，…，400，用系统抽样的方法抽取5人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为30，把抽取的5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少有一名女生的概率．解 (1)由n 2 000＝501 000得n ＝100.(2)按系统抽样，分段间隔k ＝4005＝80. 当抽取的第一个人的编号为30时，则所抽取的5个人的编号依次为：30,110,190,270,350.所以抽取的5人中有3男2女．记三个男生分别为A 1，A 2，A 3，两个女生分别为B 1，B 2，则有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共有10种情况，其中无女生的情况有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)3种情况．记“至少有一名女生”为事件A，A表示“无女生”，P(A)＝310，所以P(A)＝1－P(A)＝710.培优演练1．(xx·福建卷)根据世行xx年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元) A25%8 000B30% 4 000C15% 6 000D10% 3 000E20%10 000(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20aa＝ 6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个地政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．所以所求概率为P(M)＝310.2．(xx·安徽示范高中模拟)某数学老师对本校xx届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按150进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示(部分数据丢失)得到的频率分布表如下：分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)合计频数b频率 a 0.25(1)求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率(分数在[90,150]范围为及格)．(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．解(1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，所以a＝220＝0.1，b＝3.又分数在[110,150)范围内的频率为520＝0.25，所以分数在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，所以分数在[90,110)范围内的人数为20×0.4＝8，由茎叶图可知分数在[100,110)范围内的人数为4人，所以分数在[90,100)范围内的学生数为8－4＝4.从表中可知分数在[70,90)范围内的频率为0.25，所以有20×0.25＝5(人)，所以20人中数学成绩及格的学生为13人．所以估计全校数学成绩及格率为1320＝65%.(2)设A表示事件“从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为m，n，c，d，e，则选取学生的所有可能结果为：(m，n)，(m，c)，(m，d)，(m，e)，(n，c)，(n，d)，(n，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这2名学生的分数之和大于等于260分”，所以可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，所以P(A)＝410＝25.29448 7308 猈20602 507A 偺35699 8B73 譳 r25429 6355捕p32211 7DD3 緓25875 6513 攓24705 6081 悁32127 7D7F 絿4W<。

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核心素养测评七十二古典概型、几何概型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选A.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2, 3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3个,故所求概率P=.2.已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选 C.函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数,则a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1满足题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数的概率P==.3.在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=,从这些向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,从所作平行四边形中随机抽取一个,则它的面积不超过2的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选D.由已知可得向量,,,,这4个向量组成的平行四边形的面积为4,2,2,10,6,8,所以这个平行四边形的面积不超过2的概率为=.4.如图,在正方形区域内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.-1B.C. D.【解析】选 B.阴影部分的面积为(cos x-sin x)dx=(sin x+cosx)=-1,正方形面积为,所以所求概率为=.5.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选A.将齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3,齐王与田忌赛马,其情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), (a3,b1),(a3,b2),(a3,b3)共9种,其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2)共3种,所以田忌获胜的概率为=.6.某一天晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红月亮,月全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选A.如图所示,概率为P==.7.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术,蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息,现有一幅剪纸的设计图,其中的4个小圆均过正方形的中心,且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为( )A. B.C. D.【解析】选B.如图所示,设正方形的边长为1,其中的4个圆过正方形的中心,且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r,故BE=O2E=O2O=r,所以BO2=r,因为BO2+O2O=BO=BD=,所以r+r=,所以r=,所以题干图中黑色部分面积S=π=π,正方形的面积为1,所以在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为π.二、填空题(每小题5分,共15分)8.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为________.【解析】由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6 ,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.答案:9.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________.【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.答案:10.m∈{-2,-1,0,1,2},n∈{-1,0,1},随机抽取一个m和一个n,使得平面向量a=(m,n),满足|a|>2的概率为________.【解析】向量a的所有可能情况是:(-2, -1),(-2, 0),(-2, 1),(-1, -1),(-1, 0),(-1, 1),(0, -1),(0, 0),(0, 1),(1, -1),(1, 0),(1, 1),(2,-1),(2, 0),(2, 1),满足|a|>2即m2+n2>4的有(-2, -1),(-2, 1), (2, -1),(2, 1),所以所求概率为.答案:(15分钟35分)1.(5分)如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为( )ABA. B. C. D.【解析】选D.只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小,A,B两个方格有4×4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于B方格的数字,则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A格,小的放入B格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1), (2,1),共6种,故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为=.【变式备选】有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选C.将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有12,13,20, 21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为=.2.(5分)在边长为a的正三角形内任取一点P,则点P到三个顶点的距离均大于的概率是 ( )A.-πB.1-πC.D.【解析】选B.如图正△ABC的边长为a,分别以它的三个顶点为圆心,以为半径在△ABC内部画圆弧,得三个扇形,则题中点P在这三个扇形外,因此所求概率为P==1-π.3.(5分)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________.【解题指南】首先根据题意列出方程有两个负根满足的条件求出p的取值范围,然后根据几何概型的概率计算公式求解.【解析】方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1,x2,则解得<p<1或p>2,又因为p∈[0,5],根据几何概型的概率计算公式可知方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为P==.答案:4.(10分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不需要等待码头空出”,则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y-x≥1或x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.A为图中阴影部分,全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)====.5.(10分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n), b=(1,-3).(1)求事件“a⊥b”发生的概率.(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.【解析】(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共36种.因为a⊥b,所以m-3n=0,即m=3n,有(3,1),(6,2),共2种,所以事件a⊥b发生的概率为=.(2)由|a|≤|b|,得m2+n2≤10,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为=.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第五节 古典概型与几何概型A 级·基础过关 |固根基|1.从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是( )A ．25 B ．310 C ．35D ．45解析：选A 因为从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，共有10种取法，其中所取两个数之和能被3整除的包含(1，2)，(1，5)，(2，4)，(4，5)四种取法，所以概率为410＝25，故选A ．2．(2019届福州质检)从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是( )A ．13B ．14C ．49D ．59解析：选D 因为所有没有重复数字的两位数有10，12，13，20，21，23，30，31，32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10，12，20，30，32，共5个，所以所求概率为59.3．某袋中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有1，2，3，4，6这五个数字，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成等差数列的概率是( )A ．310B ．15C ．110D ．120解析：选A 从五个小球中任选三个的所有情况有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，6)，(1，4，6)，(2，3，4)，(2，3，6)，(2，4，6)，(3，4，6)，共10种，所选的三个小球上的数恰好能构成等差数列包含的基本事件有(1，2，3)，(2，3，4)，(2，4，6)，共3种，故所求概率为310.4．(2019届湖南长沙联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B ．π12 C ．π4D ．1－π12解析：选A 因为鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是4－π4＝1－π4.故选A ．5．(2019届广西质检)已知P 是△ABC 所在平面内一点，且PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23解析：选C 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，连接PD 交BC 于点O ，则PB→＋PC →＝PD →. ∵PB →＋PC →＋2P A →＝0，∴PB →＋PC →＝－2P A →，PD →＝－2P A →，由此可得，P 是BC 边上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的12，∴S △PBC ＝12S △ABC ，∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为P ＝S △PBC S △ABC ＝12.6.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )A ．π8B ．π16C ．1－π8D ．1－π16解析：选C 因为正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P ＝82－8π82＝1－π8.故选C ．7．(2019届天津模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A ．35B ．310C ．12D ．625解析：选B 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3，2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.8．(2019届梅州质检)如图所示方格，在第一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为( )A ．12B ．14C ．34D ．38解析：选D 只考虑A ，B 两个方格的排法，不考虑大小，A ，B 两个方格有4×4＝16(种)排法．要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则从1，2，3，4中选2个数字，大的放入A 格，小的放入B 格，有(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6种，故填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为616＝38.故选D ．9．(2019届山东威海模拟)如图，等腰直角三角形的斜边长为22，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中阴影部分)，若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M 的概率为( )A ．14 B ．π8 C ．π4D ．1－π4解析：选D 由题意知，直角三角形的面积S ＝12×2×2＝2.因为三角形的内角和为π，所以三个扇形的面积和为12×π×12＝π2，所以阴影部分的面积为2－π2，所以此点取自区域M 的概率为P ＝2－π22＝1－π4.10．(2019届合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：将2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，若任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，则共有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)，(A 2，A 1)，(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 2，B 1)，12种情况，又星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，4种情况，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：1311．《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至耄耋老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解：(1)因为样本容量与总体个数的比是6108＝118，所以从年龄在[7，20)中抽取的人数为118×18＝1，从年龄在[20，40)中抽取的人数为118×54＝3，从年龄在[40，80]中抽取的人数为118×36＝2，所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2.(2)设从[7，20)中抽取的1人为a，从[20，40)中抽取的3人分别为b，c，d，从[40，80]中抽取的2人为e，f.从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件A为“2人来自同一年龄组”，包含的所有基本事件为(b，c)，(b，d)，(c，d)，(e，f)，共4个，所以P(A)＝415，故2人来自同一年龄组的概率为415.12．(2020届合肥调研)第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)试根据频率分布直方图，估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)；(2)若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率．解：(1)平均成绩x －＝0.002×10×45＋0.016×10×55＋0.022×10×65＋0.030×10×75＋0.020×10×85＋0.010×10×95＝73.00.(2)由题意知，从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中分别选取了3人，2人，1人．6人平均分成3组分配到3个社区，共有C 26C 24＝90(种)方法，成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有A 33A 23＝36(种)．所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率P ＝3690＝25.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届威海模拟)从集合{1，2，3，4}中随机抽取一个数a ，从集合{1，2，3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2，1)共线的概率为( )A ．16 B ．13 C ．14D ．12解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个．∵m ＝(a ，b )与向量n ＝(2，1)共线，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，有(2，1)，(4，2)，共2个，∴所求概率为16.14．(2019届江西信丰测试)已知函数f (x )＝3sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥3的概率为( )A ．13B ．12C ．15D ．14解析：选B f (x )＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.令f (x )≥3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥12，解得π3≤x ＋π3≤5π6，∴0≤x ≤π2，∴f (x )≥3的概率为π2－0π－0＝12.15．(2019届河南大联考)已知实数m ∈[0，1]，n ∈[0，2]，则关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n 2＋2n ＝0有实数根的概率是( )A ．1－π4 B ．π4 C ．π－32D ．π2－1解析：选A 若关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n 2＋2n ＝0有实数根，则Δ＝16m 2－16(－n 2＋2n )≥0，即m 2＋(n －1)2≥1.如图中阴影部分所示，长方形面积为2，半圆面积为π2，故所求概率为2－π22＝1－π4.故选A ．16．(2019届石家庄模拟)在区间[0，1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A ．1225B ．1625C ．1725D ．1825解析：选C 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.17．(2020届成都摸底)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82. (1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(2)若在A 类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．解：(1)由题意知，抽取的三类行业单位个数之比为3∶3∶4. 由分层抽样的定义，得A 类行业单位的个数为310×200＝60； B 类行业单位的个数为310×200＝60； C 类行业单位的个数为410×200＝80.∴A ，B ，C 三类行业单位的个数分别为60，60，80.(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M .在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有{85，82，77}，{85，82，78}，{85，82，83}，{85，82，87}，{85，77，78}，{85，77，83}，{85，77，87}，{85，78，83}，{85，78，87}，{85，83，87}，{82，77，78}，{82，77，83}，{82，77，87}，{82，78，83}，{82，78，87}，{82，83，87}，{77，78，83}，{77，78，87}，{77，83，87}，{78，83，87}，共20种．这3个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有{85，82，83}，{85，82，87}，{85，83，87}，{82，83，87}，共4种．这3个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有0种．∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种．∴所求概率P(M)＝1－420＝45.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

专练56 古典概型与几何概型命题范围：随机事件概率、古典概型、几何概型基础强化一、选择题1．[2020·全国卷Ⅱ]在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.9253．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.3104．[2019·全国卷Ⅱ]生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.155．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.566．设z ＝(x －1)＋yi (x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12πC.12－1πD.12＋1π7．[2020·湖南长沙高三测试]已知f (x )＝3＋2cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数，则在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π任取一个数x 0使得f ′(x 0)<1的概率为( ) A.14 B.34 C.18 D.788．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.79．两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78二、填空题10．[2020·郑州一中高三测试]盒中有三张分别标有号码3,4,5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个是奇数的概率为________．11．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．12．甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．能力提升13．[2020·全国卷Ⅰ]设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A.15B.25C.12D.4514．某袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3，蓝色卡片两张，标号分别为1,2.从以上五张卡片中任选两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为( )A.13B.110C.310D.2315．[2020·江西临川高三测试]已知圆O 的一条直径为线段BC ，A 为圆上一点，∠BCD ＝∠CBD ＝30°，∠ABC ＝45°，则向圆O 中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为________．16．[2020·湖南师大附中高三测试]从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率为625，则k的最大值是________．专练56古典概型与几何概型1．B由题意得第二天订单不超过1 600份的概率为1－0.05＝0.95，故第一天积压订单加上第二天的新订单不超过1 600＋500＝2 100份的概率为0.95，因为超市本身能完成1 200份订单配货，所以需要志愿者完成的订单不超过2 100－1 200＝900份的概率为0.95，因为900÷50＝18，所以至少需要18名志愿者，故选B.2．B从5个人中选2人共有10种不同的选法，其中含有甲的有4种，∴所求事件的概率P＝410＝2 5.3．B行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满足至少需要15秒才出现绿灯，∴所求事件的概率P＝2540＝58.4．B本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算与数据分析． 记5只兔子分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中测量过某项指标的3只兔子为A ，B ，C ，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共6种，所以所求事件的概率P ＝610＝35.5．C 从4种颜色的花中任选2种，共有如下6种不同的情形：(红黄)，(红白)，(红紫)，(黄白)，(黄紫)，(白紫)，共中红色与紫色在同一花坛的情形有两种，故所求事件的概率P ＝1－26＝23.6．B ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，其面积为π，又直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，其中满足y ≥x 的为图中的阴影部分，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12，∴所求事件的概率为P ＝14－12π. 7．D 由f ′(x )＝－2sin x <1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，因此所求概率π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝78，选D. 8．B 所求事件的概率P ＝1－0.45－0.15＝0.4.9．C设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率P ＝S 阴影S 正方形＝16－416＝34. 10.89解析：解法一 两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，其中至少有一个是奇数有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8种，因此所求概率为89.解法二 所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4,4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，因此所求事件的概率为1－19＝89.11.59解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59. 12.58解析：两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10种，故这两人“心有灵犀”的概率为1016＝58.13．A 从O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的情况有(O ，A ，B )，(O ，A ，C )，(O ，A ，D )，(O ，B ，C )，(O ，B ，D )，(O ，C ，D )，(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(B ，C ，D )，(A ，C ，D )，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O ，A ，C )和(O ，B ，D )两种情况，所以所求概率为210＝15.故选A.14．C 从五张卡片中任选两张的所有可能情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2) ，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，共10种．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，共3种情况，故所求的概率为310. 15.3＋33π解析：设圆O 的半径为2，则S 阴影＝12×4×(2＋2tan30°)＝4(3＋3)3，S 圆＝4π，由几何概型概率公式可得所求概率为P ＝S 阴影S 圆＝3＋33π. 16．2解析：因为M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z }，所以M ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，所以集合M 中元素的个数为5×5＝25.因为xy ＝1的情况有2种，xy ＝2的情况有4种，xy ＝4的情况有2种，所以要使xy ≥k (k >0)的概率为625，需1<k ≤2，所以k 的最大值为2.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2021高考数学古典概型一轮专项练习题及答案高三各科目的学习对同学们进步综合成绩非常重要，大家一定要认真掌握，查字典数学网为大家整理了古典概型一轮专项练习题及答案，让我们一起学习，一起进步吧!一、选择题1.以下事件属于古典概型的根本领件的是( D )(A)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为根本领件(B)篮球运发动投篮,观察其是否投中(C)测量某天12时的教室内温度(D)一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况解析:A项任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为根本领件,但各点数之和不是等可能的,例如和为2的概率为 ,和为3的概率为 = ,所以它不是等可能的,不是古典概型.B项显然事件投中和事件未投中发生的可能性不一定相等,所以它也不是古典概型.C项其根本领件空间包含无限个结果,所以不是古典概型.D项含有4个根本领件,每个根本领件出现的可能性相等,符合古典概型,应选D.2.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚刚想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b{1,2,3},假设|a-b|1,那么称甲乙心有灵犀,现任意找两个人玩这个游戏,那么他们心有灵犀的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:甲想一数字有3种结果,乙猜一种数字有3种结果,根本领件总数33=9.设甲乙心有灵犀为事件A,那么A的对立事件B为|a-b|,即|a-b|=2,包含2个根本领件,P(B)= ,P(A)=1- = ,应选D.3.中国作家莫言被授予诺贝尔文学奖,成为有史以来首位获得诺贝尔文学奖的中国籍作家.某学校组织了4个学习小组.现从中抽出2个小组进展学习成果汇报,在这个试验中,根本领件的个数为( C )(A)2(B)4(C)6(D)8解析:设4个学习小组为A,B,C,D,从中抽出2个的可能情况有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6种.应选C.4.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( D )(A) (B) (C) (D)解析:如下图,从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随机选2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共15种.假设要构成矩形,只要选相对顶点即可,有A、D,B、E,C、F,共3种,故其概率为 = ,应选D.5.(2021年高考新课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,那么取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( B )(A) (B) (C) (D)解析:从1,2,3,4中任取2个不同的数有六种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的有(1,3),(2,4),故所求概率是 = .应选B.6.(2021银川模拟)抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,那么直线 + =1的斜率k- 的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:记a,b的取值为数对(a,b),由题意知a,b的所有可能取值有(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(2,2),,(2,6),(3,1),(3,2),, (3,6),(4,1),(4,2),,(4,6),(5,1),(5,2),,(5,6),(6,1),( 6,2),,(6,6),共36种.由直线 + =1的斜率k=- ,知 ,那么满足题意的a,b可能的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6, 3),共有9种,所以所求概率为 = .应选D.7.(2021临沂模拟)A={1,2,3},B={xR|x2-ax+b=0,aA,bA},那么AB=B的概率是( C )(A) (B) (C) (D)1解析:∵AB=B,B可能为,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1 ,3}.当B=时,a2-4b0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1.当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b.当B={1,2 }时,满足条件的a,b为a=3,b=2.当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b,AB=B的概率为 = .应选C.二、填空题8.曲线C的方程为 + =1,其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A=方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆,那么P(A)=.解析:试验中所含根本领件个数为36,假设想表示椭圆,那么前后两次的骰子点数不能一样,那么去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,那么mn,又只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)= = .答案:9.(2021年高考新课标全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.解析:从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 5),(4,5)10种.其中和为5的有(1,4 ),(2,3)2种.由古典概型概率公式知所求概率为 = .答案:10.关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1.设集合P={-1,1,2,3,4,5},Q={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q 中随机取一个数作为a和b,那么函数y=f(x)在[1,+)上是增函数的概率为.解析:分别从集合P、Q中各任取一个数,所有的可能情况有(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,-2), (1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-2),(2,-1),(2 ,1) ,(2,2),(2,3),(2,4),(3,-2),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,-2), (5,-1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共36种,能使f(x)是增函数,需a0且 1,所以其中符合上述条件的有(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-1),(3, 1),(4 ,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(5,-2),(5,-1),(5,1),( 5,2)共16种,P= = .答案:11.(2021南京模拟)在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),那么点P在圆x2+y2=9内部的概率为.解析:点P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为 = . 答案:12.(2021年高考浙江卷)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,那么该两点间的间隔为的概率是.解析:如下图,在正方形ABCD中,O为中心,从五个点中随机取两个,共有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B, D),(C,D),10种等可能情况.∵正方形的边长为1,两点间隔为的情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4种,故P= = .答案:13.(2021年高考重庆卷)假设甲、乙、丙三人随机地站成一排,那么甲、乙两人相邻而站的概率为.解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有6种方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,其中甲、乙相邻的有4种.故所求概率P= = .答案:三、解答题14.向量a=(2,1),b=(x,y).假设x{-1,0,1,2},y{-1,0,1},求向量a∥b的概率.解:设a∥b为事件A,由a∥b得x=2y.根本领件有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1 ,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共包含12种等可能情况.其中A={(0,0),(2, 1)},包含2个根本领件.那么P(A)= = ,即向量a∥b的概率为 .15.(2021滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:(1)甲、乙选择同一所院校的概率;(2)院校A、B至少有一所被选择的概率.解:由题意可得,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为:(甲A,乙A),(甲A,乙B),(甲A,乙C),(甲A,乙D),(甲B,乙A),(甲B,乙B),(甲B,乙C),(甲B,乙D),(甲C,乙A),(甲C,乙B),(甲C,乙C),(甲C,乙D),(甲D,乙A),(甲D,乙B),(甲D,乙C),(甲D,乙D),共16种.(1)其中甲、乙选择同一所院校有4种,所以甲、乙选择同一所院校的概率为 = .(2)院校A、B至少有一所被选择的有12种,所以院校A、B 至少有一所被选择的概率为 = .16.(2021年高考天津卷)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.假设S4,那么该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1) 产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4,求事件B发生的概率.解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为 =0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2 ,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7 },{A5,A9},{A7,A9},共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,那么事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2 ,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)= = .古典概型一轮专项练习题及答案的相关内容就是这些，希望考生认真做题，发现问题。

古典概型与几何概型考纲要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型 (1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(3)古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.2．几何概型 (1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)概率为0的事件一定是不可能事件．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B ．415C ．35D ．非以上答案答案 A解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p ＝615＝25. 3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________．答案 0.6解析 由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S4≈30200，∴S ≈0.6.4．(2020·全国Ⅰ卷)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B ．25C ．12D ．45答案 A解析 从O ，A ，B ，C ，D 这5个点中任取3点，取法有{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种，其中取到的3点共线的只有{O ，A ，C }，{O ，B ，D }这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.5．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12答案 D解析 设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.6. (2021·郑州模拟)公元前5世纪下半叶，希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为4，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是________．答案π＋68π＋4解析 上方阴影部分的面积等于△AOB 的面积，S △AOB ＝12×2×2＝2，下方阴影部分面积等于14×π×22－⎣⎡⎦⎤14×π×22－12×2×2＝π2＋1，所以根据几何概型概率公式得所求概率P ＝2＋π2＋14π＋2＝π＋68π＋4.考点一 古典概型的简单计算1．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B ．35C ．25D ．15答案 B解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.2．(2021·安徽江南十校质量检测)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( ) A.15 B ．13C ．35D ．23答案 A解析 6拆成两个正整数的和的所有基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的为(3,3)，所以所求概率为15，故选A.3．(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________． 答案 19解析 列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112点数的和共有点数和为5的概率P ＝436＝19.感悟升华 古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 考点二 古典概型与其他知识的简单交汇【例1】 (1)(2020·郑州一模)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取k ∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________(结果用数值表示)．(2)(2021·河北七校联考)若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________． 答案 (1)14 (2)12解析 (1)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任意k ∈A 的基本事件总数为8，当k ＝±2时，幂函数f (x )＝x k 为偶函数，从而幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数为2，∴幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率p ＝14.(2)∵m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p＝36＝12. 感悟升华 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解．【训练1】 设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18 B ．14C ．13D ．12答案 A解析 有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.考点三 古典概型与统计的综合应用【例2】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x ＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， 所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5， 且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224， 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)， 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)， 月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)．抽样方法为分层抽样，在[240,260)，[260,280)，[280,300]中的用户比为3∶2∶1， 所以在[240,260)，[260,280)，[280,300]中分别抽取3户、2户和1户．设参加节目的2户来自不同组为事件A ，将来自[240,260)的用户记为a 1，a 2，a 3，来自[260,280)的用户记为b 1，b 2，来自[280,300]的用户记为c 1，在6户中随机抽取2户有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝1115.感悟升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．【训练2】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝1 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.考点四 几何概型角度1 与长度(角度)有关的几何概型【例3】 (1)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215B ．715C ．35D ．1115(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案 (1)D (2)34解析 (1)因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率p ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115. (2)过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC ，又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为p ＝67.5°90°＝34.感悟升华 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 角度2 与面积有关的几何概型【例4】 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B ．1625C ．1725D ．1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.感悟升华 几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率． 角度3 与体积有关的几何概型【例5】 有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 由题意得该圆柱的体积V ＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P 到点O 的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V 1＝12×43π×13＝23π，所以所求概率p ＝V －V 1V ＝23.感悟升华 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【训练3】 (1)(2021·西安一模)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) A.12B ．13C ．24D ．23(2) (2020·新疆一模)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．剪纸艺术通过一把剪刀、一张纸就可以表达生活中的各种喜怒哀乐．如图是一边长为1的正方形剪纸图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为( )A.π64B ．π32C ．π16D ．π8答案 (1)C (2)D解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)， 圆心到直线y ＝k (x ＋3)的距离为|3k |k 2＋1， 要使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则|3k |k 2＋1<1，解得－24<k <24. ∴在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为24－⎝⎛⎭⎫－242＝24. (2)设黑色小圆的半径为r .由题意得2r ＋2r ＋2×2r ＝1，解得r ＝18，所以白色区域的面积为π·⎝⎛⎭⎫122－4×π·⎝⎛⎭⎫182－π·⎝⎛⎭⎫142＝π8.所以在正方形图案上随机取一点，该点取自白色区域的概率为π81×1＝π8.故选D. 基础巩固一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B ．14C ．34D ．0答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.故选A.2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B ．16C ．29D ．518答案 C解析 由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29.故选C.3. (2021·河北六校联考)《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a (0<a <r )，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A.a 21－p r 2B ．a 21＋p r 2C.a1－p rD ．a1＋p r答案 A解析 由几何概型的概率计算公式，得πr 2－a 2πr 2＝p ，化简得π＝a 21－p r 2.故选A.4．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( ) A.12 B ．13C ．34D ．25答案 B解析 点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.5．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15—8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )A.23 B ．58C ．13D ．38答案 D解析 该职工在7：50至8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率p ＝1540＝38.故选D.6．(2021·合肥质检)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC的概率为( ) A.13 B ．49C ．827D ．1927答案 D解析 作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC， ∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率p ＝1－827＝1927.二、填空题7．(2020·太原模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次随机走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________．答案 13解析 2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的基本事件有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的基本事件有2种．故第2位走出的是女同学的概率是p ＝26＝13.8．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________． 答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ， 则所求概率为33a a ＝33.9．(2021·郑州质量预测改编)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 答案 16解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故p ＝212＝16.三、解答题10．(2020·成都诊断)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝715.11．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以事件M发生的概率P(M)＝1115.能力提升12．(2021·长春质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为()A.35 B ．12C ．25D ．13答案 B解析 (列举法)依题意，三种物质间相生相克关系如下表，金木水 金木火 金木土 金水火 金水土 金火土 木水火 木水土 木火土 水火土 × √√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p ＝510＝12，故选B.13．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.。

高考数学一轮复习：第五节 古典概型、几何概型授课提示：对应学生用书第383页 [A 组 基础保分练]1．（2021·厦门月考）甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23解析：由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9种不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13． 答案：B2．利用计算机在区间（0，4）内产生随机数a ，则不等式log 2（2a －1）＜0成立的概率是（ ） A ．78 B ．34C ．14D ．18解析：由log 2（2a －1）＜0，可得0＜2a －1＜1，即12＜a ＜1，由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P ＝1－124－0＝18． 答案：D3．（2021·长沙模拟）如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．π8B ．π16C ．1－π8D ．1－π16解析：正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π．在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P ＝82－8π82＝1－π8． 答案：C4．从集合A ＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3，4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为（ ）A ．29B ．13C ．49D ．59解析：依题意k 和b 的所有可能的取法一共有9种，当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时，应有k ＞0，b ＜0，一共有4种，所以所求概率为49． 答案：C5．（2021·河南洛阳模拟）在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）A ．1－36B ．1－3π6C ．1－33D ．1－3π3解析：若点P 到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A ，B ，C 为圆心作半径为1的圆，则P 的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为12×3×π3×12＝π2，△ABC 的面积S ＝12×22×sin 60°＝3，则阴影部分的面积S ＝3－π2，则对应的概率P ＝3－π23＝1－3π6．答案：B6．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12解析：随机到达教室总的时间长度为40分钟，第二节课8：40开始，9：20结束，听第二节课的时间不少于20分钟，必须在9：00前到达教室，即8：50～9：00到达即可，时间长度为10分钟，根据几何概型可知听第二节课的时间不少于20分钟的概率P ＝1040＝14． 答案：B7．（2019·高考江苏卷）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_________．解析：法一：设3名男同学分别为A ，B ，C ，2名女同学分别为a ，b ，则所有等可能事件分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共7个，故所求概率为710． 法二：同法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－310＝7 10．答案：7108．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝1x，y＝－1x，y＝x，y＝－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_________．解析：根据图像的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14．答案：149．已知关于x的二次函数f（x）＝b2x2－（a＋1）x＋1．（1）若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f（x）恰有一个零点的概率；（2）若a，b∈[1，6]，求满足y＝f（x）有零点的概率．解析：（1）设（a，b）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），（6，6），共36个．用A表示事件“y＝f（x）恰有一个零点”，即Δ＝[－（a＋1）]2－4b2＝0，则a＋1＝2b．则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个，所以P（A）＝336＝112．即事件“y＝f（x）恰有一个零点”的概率为112．（2）用B表示事件“y＝f（x）有零点”，即a＋1≥2b．试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，构成事件B的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．所以所求的概率为P（B）＝12×5×525×5＝14，即事件“y＝f（x）有零点”的概率为14．10．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．（1）试估算这三类行业中每类行业的单位个数；（2）若在A 类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．解析：（1）由题意，抽取的三类行业单位个数之比为3∶3∶4．由分层抽样的定义，有A 类行业单位的个数为310×200＝60； B 类行业单位的个数为310×200＝60； C 类行业单位的个数为410×200＝80． ∴A ，B ，C 三类行业单位的个数分别为60，60，80．（2）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M ． 在A 类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有：{85，82，77}，{85，82，78}，{85，82，83}，{85，82，87}，{85，77，78}，{85，77，83}，{85，77，87}，{85，78，83}，{85，78，87}，{85，83，87}，{82，77，78}，{82，77，83}，{82，77，87}，{82，78，83}，{82，78，87}，{82，83，87}，{77，78，83}，{77，78，87}，{77，83，87}，{78，83，87}．共20种．这3个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有：{85，82，83}，{85，82，87}，{85，83，87}，{82，83，87}．共4种．这3个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有0种．∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种．∴所求概率P （M ）＝1－420＝45． [B 组 能力提升练]1．（2021·石家庄摸底）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）A ．112B ．12C ．13D ．16解析：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n ＝C 24A 33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m ＝A 33＋C 23A 22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率P ＝m n ＝1236＝13． 答案：C2．（2021·广州四校联考）某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2∶2∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，再从所抽取样本中选2人进行问卷调查，则至少有1人是高一学生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34解析：从高一、高二、高三所抽取的人数分别为4，4，2，再从所取样本中选2人进行问卷调查的总的情况数为C 210＝10×92×1＝45，则至少有1人是高一学生的情况数为C 14C 16＋C 24＝4×6＋6＝30，故至少有1人是高一学生的概率为3045＝23． 答案：C3．（2020·安徽合肥模拟）已知圆C ：x 2＋y 2＝4与y 轴负半轴交于点M ，圆C 与直线l ：x －y＋1＝0相交于A ，B 两点，那么在圆C 内随机取一点，则该点落在△ABM 内的概率为（）A ．378πB ．374πC ．328πD ．324π解析：如图所示，由点到直线距离公式得|OC |＝|1|2＝22，则|AB |＝2 22－⎝⎛⎭⎫222＝14，同理可得|MD |＝|0＋2＋1|2＝322，所以S △MAB ＝12|AB |·|MD |＝372，由几何概型知，该点落在△ABM 内的概率为S △MAB S 圆＝372π×22＝378π．答案：A4．博览会安排了分别标有“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ）A ．P 1·P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1＜P 2D ．P 1＋P 2＝56解析：三辆车的出发顺序共有6种可能：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1）．若该嘉宾按方案一乘车，坐到“3号”车的可能情况有（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），共3种，所以其坐到“3号”车的概率P 1＝36＝12；若该嘉宾按方案二乘车，坐到“3号”车的可能情况有（3，1，2），（3，2，1），共2种，所以其坐到“3号”车的概率P 2＝26＝13．所以P 1＋P 2＝56． 答案：D5．（2021·辽宁省实验中学期末测试）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是_________．解析：设事件A ＝{春节和端午节至少有一个被选中}，则A －＝{两个节日都没被选中}，所以P（A ）＝1－P （A －）＝1－310＝0．7． 答案：0．76．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496，8 128，33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为_________．解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为10．又6和28恰好在第一组有1种情况，6，28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为1＋310＝25． 答案：257．（2021·甘肃诊断）甘肃省瓜州县自古就以盛产蜜瓜而名扬中外，生产的瓜州蜜瓜有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%～19%，是消暑止渴的佳品．有诗赞曰：冰泉浸绿玉，霸刀破黄金；凉冷消晚暑，清甘洗渴心．调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度、日照时长、温差有极强的相关性，分别用x ，y ，z 表示蜜瓜甜度与海拔高度、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定蜜瓜的等级，若ω≥4，则为一级；若2≤ω≤3，则为二级；若0≤ω≤1，则为三级．近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标ω至少有一个为4的概率．解析：（由上表可知：等级为三级的有A ，H ，共2块，其频率为210． 用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为三级的蜜瓜种植地的数量为110×210＝22（块）． （2）由（1）可知，等级是一级的（ω≥4）有B ，D ，F ，G ，I ，共5块，从中随机抽取两块，所有的可能结果为：（B ，D ），（B ，F ），（B ，G ），（B ，I ），（D ，F ），（D ，G ），（D ，I ），（F ，G ），（F ，I ），（G ，I ），共10个．其中综合指标ω＝4的有D ，F ，2块，符合题意的可能结果为（B ，D ），（B ，F ），（D ，F ），（D ，G ），（D ，I ），（F ，G ），（F ，I ），共7个，设“两块种植地的综合指标ω至少有一个为4”为事件M ，则P （M ）＝710． [C 组 创新应用练]1．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数．素数对（p ，p ＋2）称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16解析：10以内的素数有2，3，5，7，共4个，从中任取2个构成的素数对有12个．根据素数对（p ，p ＋2）称为孪生素数，知10以内的素数组成的素数对（3，5），（5，7）为孪生素数，所以能构成孪生素数的概率P ＝212＝16． 答案：D2．（2021·惠州二调）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和”，如40＝3＋37．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（）A．115B．117C．122D．126解析：不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数．40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3组数的和等于40，所以随机选取2个不同的数，其和等于40的概率为366＝122．答案：C3．（2021·大同调研）我国古代数学家赵爽所著的《周髀算经注》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图所示是赵爽的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋（股－勾）2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2，设其中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500C．300 D．134解析：因为勾股比为1∶3，不妨设勾为1，则股为3，大正方形的边长为2，小正方形的边长为3－1．设落在黄色图形内的图钉数为n，则有n1 000＝（3－1）24，解得n≈134．答案：D。

2021年高考数学一轮精选练习：64《古典概型》一、选择题1.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.1121 D.12.甲、乙两校各有3名教师报名支教，若从这6名教师中任选2名，则选出的2名教师来自同一学校的概率为( ) A.59 B.49 C.35 D.253.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.344.红、黑两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，记事件A 为：每对同字的棋子中，均为红棋子在前，则事件A 发生的概率为( ) A.16 B.18 C.112 D.1205.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a>b ，b<c 时称为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( ) A.16 B.524 C.13 D.7246.已知集合A={x|x 2＋2x －3<0}，B={x|(x ＋2)(x －3)<0}，设(a ，b)为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，则“a －b ∈(A ∪B)”的概率为( ) A.12 B.23 C.34 D.457.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B.15 C.19 D.320 二、填空题8.若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y22=1的焦距为整数的概率为 .9.用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率为 .得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 .11.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的6个面的中心分别为E ，F ，G ，H ，I ，J ，甲从这6个点中任选2个点连成直线l 1，乙也从这6个点中任选2个点连成与直线l 1垂直的直线l 2，则l 1与l 2异面的概率是 .12.无重复数字的五位数a 1a 2a 3a 4a 5，当a 1<a 2，a 2>a 3，a 3<a 4，a 4>a 5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是 .三、解答题13.袋中装有黑球和白球共7个， 从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率.14.某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率.的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元.该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？答案解析1.答案为：B ；解析：由古典概型的概率公式得P=C 110C 15C 215=10×5×215×14=1021.2.答案为：D ；解析：从6名教师中任选2名教师的种数为C 26=15，其中来自同一学校的种数为2C 23=2×3=6，故所求事件的概率P=25，故选D.3.答案为：A ；解析：在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有4个， 分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6).数字2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1个.∴数字2是三个不同数字的平均数的概率P=14.故选A.4.答案为：B ；解析：6枚棋子排成一列，基本事件的总数为n=A 66=720，事件包含的基本事件：先从6个位置中选出2个排车，因为红车在前，所以有C 26种排法，同理，再从剩下的4个位置中选2个排马，红马在前有C 24种排法；最后的两个位置排炮，红炮在前有C 22种排法.故共有C 26C 24C 22=90种排法，由古典概型的概率公式得P(A)=90720=18.5.答案为：C ；解析：选出一个三位数有A 34=24种情况，取出一个凹数有C 34×2=8种情况，所以，所求概率为P=824=13.6.答案为：C ；解析：由已知得A={x|－3<x<1}，B={x|－2<x<3}，因为a ，b ∈Z ，且a ∈A ，b ∈B ，所以a ∈{－2，－1,0}，b ∈(－1，0,1,2)，a －b 共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A ∪B=(－3，3)，设事件E 为“a －b ∈(A∪B)”，则事件E 包含9个基本事件，故事件E 发生的概率P(E)=912=34.7.答案为：A ；解析：法一：当学生A 最后一个出场时，有A 13A 33=18种不同的安排方法；当学生A 不是最后一个出场时，有A 23A 33=36种不同的安排方法，所以满足“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18＋36=54种.其中“C 第一个出场”的结果有A 13A 13A 22=18种，则所求概率为1854=13，选项A 正确.法二：“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C 第一个出场”的概率是13.8.答案为：0.5；解析：m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y22=1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22=1的焦距为整数的概率P=36=12.9.答案为：120.解析：用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，基本事件总数n=A 55，用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字， 出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数有12543,13542,23541,34521,24531,14532，共6个，∴出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率P=6A 55=120.10.答案为：13；解析：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球， 规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3＋3×2=12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率P=m n =1236=13.11.答案为：45；解析：如图所示，因为正方体6个面的中心构成一个正八面体，所以甲、乙连成的两条直线互相垂直的情况有：IJ ⊥EF ，IJ ⊥GH ，IJ ⊥GE ，IJ ⊥GF ，IJ ⊥EH ，IJ ⊥FH ，EF ⊥GH ，EF ⊥GI ，EF ⊥GJ ，EF ⊥HI ，EF ⊥HJ ，GH ⊥EI ，GH ⊥EJ ，GH ⊥FI ，GH ⊥FJ ，共15组，其中异面的有：IJ ⊥GE ，IJ ⊥GF ，IJ ⊥EH ，IJ ⊥FH ，EF ⊥GI ，EF ⊥GJ ，EF ⊥HI ，EF ⊥HJ ，GH ⊥EI ，GH ⊥EJ ，GH ⊥FI ，GH ⊥FJ ，共12组，故所得的两条直线异面的概率P=1215=45.12.答案为：215；解析：∵a 2>a 1，a 2>a 3，a 4>a 3，a 4>a 5，∴a 2只能是3,4,5中的一个.(1)若a 2=3，则a 4=5，a 5=4，a 1与a 3是1或2，这时共有A 22=2(个)符合条件的五位数.(2)若a 2=4，则a 4=5，a 1，a 3，a 5可以是1,2,3，共有A 33=6(个)符合条件的五位数. (3)若a 2=5，则a 4=3或4，此时分别与(1)(2)中的个数相同.∴满足条件的五位数有2(A 22＋A 33)=16(个).又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有A 55=120(个)，故所求概率为16120=215.13.解：(1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C 2n ，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C 27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P=C 2n C 27=17，则n(n －1)=6，解得n=3(舍去n=－2)， 即袋中原有3个白球.(2)设事件A 为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，P(A)=C 14×C 13C 17×C 16=4×37×6=27. (3)设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件A i ，i=1,2,3,4,5， 因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球. 所以P(B)=P(A 1∪A 3∪A 5)=P(A 1)＋P(A 3)＋P(A 5) =37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3=37＋635＋135=2235.14.解：(1)设第1组[20,30)的频率为f 1，则由题意可知，f 1=1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10=0.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10=0.25. 故估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)∵第1组[20,30)的人数为0.05×120=6.∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名.设至少有1名女性群众为事件A ，全都是男性群众为事件B ，故事件A 与事件B 为对立事件，P(A)=1－P(B)=1－C 23C 26=1－315=45.故至少有1名女性群众的概率为45.15.解：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100=1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润为235×5－2×100=975(元).综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.。

（聪慧测评）2021届高考数学大一轮总温习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型课时训练 理 新人教A 版一、选择题1．将一枚硬币前后抛掷两次，恰好显现一次正面的概率是( ) A ．12B.14 C ．34D ．13解析：大体事件为正正、正反、终归、反反4个，恰好显现一次正面"（聪慧测评）2021届高考数学大一轮总温习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型课时训练 理 新人教A 版 "答案：A2．(2021河北省衡水中学高三模拟)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是( )A ．310B ．112C ．12D ．1112解析：无人中奖的概率为C 57C 510＝112.故至少有1人中奖的概率为1－112＝1112.应选D. 答案：D3．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，那么这正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A ．14B ．13C ．427D ．415解析：由题意可知6≤AM ≤9， 于是所求概率为P ＝9－612＝14.应选A. 答案：A4．设p 在[0,5]上随机地取值，那么方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实数根的概率为( ) A ．34B ．35C ．12D ．25解析：Δ＝p 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)≥0. 解得p ≥2或p ≤－1， 所求概率为5－25＝35.应选B. 答案：B5．设AB →＝(k,1)(k ∈Z )，AC →＝(2,4)，假设k 为知足|AB →|≤4的一个随机数，那么△ABC 是直角三角形的概率是( )A ．17B ．27C ．37D ．47解析：∵|AB →|≤4，∴k 2＋1≤16， ∴k 2≤15. 又∵k 为整数， ∴k ＝0，±1，±2，±3.经查验，只有当k ＝－1，－2,3时，△ABC 为直角三角形，∴该概率P ＝37.应选C. 答案：C6．(2021陕西师大附中高三模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数别离记为a ，b ，那么使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A ．78B ．34C ．12D ．14解析：在区间[－π，π]内随机取两个数别离记为(a ，b )，表示边长为2π的正方形． 要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点， 需4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，表示以原点为圆心，π为半径的圆的外部，且在正方形的内部，因此其面积为4π2－π2＝3π2， 因此有零点的概率为3π24π2＝34.应选B. 答案：B 二、填空题 7．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m 、n 是将一枚骰子前后抛掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示核心在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝______.解析：实验中所含大体事件个数为36；假假想表示椭圆，那么前后两次的骰子点数不能相同，那么去掉6种可能，既然椭圆核心在x 轴上，那么m >n ，又只剩下一半情形，即有15种．因此P (A )＝1536＝512.答案：5128．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，那么使点P 到三个极点的距离至少有一个小于1的概率是________．解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形， 当P 落在其内时符合要求．∴P ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π3×1234×22＝36π.答案：36π9．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，取得点P (m ，n )，那么点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情形，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.答案：1310．(2021山西康杰中学第二次模拟)设Ω＝{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}，A 是曲线y ＝x 2与y ＝x 12围成的区域，假设在区域Ω上随机投一点P ，那么P 点落入区域A 的概率为________．解析：S Ω＝2×2＝4，S A ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x故所求概率P ＝S A S Ω＝134＝112. 答案：112三、解答题11．已知袋中有编号1～9的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个小球．求： (1)恰好有一球编号是3的倍数的概率； (2)至少有一球编号是3的倍数的概率；(3)三个小球编号之和是3的倍数的概率．解：(1)从九个小球中任取三个共有C 39种取法，它们是等可能的．设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A .则P (A )＝C 13·C 26C 39＝1528.(2)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B ，则P (B)＝1－C 36C 39＝1621或P (B)＝C 33＋C 23C 16＋C 13C 26C 39＝1621.(3)设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C ，设集合S 1＝{3,6,9}，S 2＝{1,4,7}，S 3＝{2,5,8}，那么掏出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有3C 33＋C 13·C 13·C 13种， 则P (C)＝3C 33＋C 13·C 13·C 13C 39＝514.12．(2021烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且总分值为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，4 (1)请把给出的样本频率散布表中的空格都填上； (2)估量成绩在85分以上学生的比例；(3)为了帮忙成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100]当选两位同窗，一起帮忙成绩在[40,50)中的某一名同窗．已知甲同窗的成绩为42分，乙同窗的成绩为95分，求甲、乙两同窗恰好被安排在同一小组的概率．样本频率散布表解：(1)样本的频率散布表：(2)估量成绩在85分以上的有6＋4＝10人，因此估量成绩在85分以上的学生比例为1050＝15.(3)[40,50)内有2人，[90,100]内有4人，那么“二帮一”小组有C 12C 24＝12(种)分组方法．其中甲、乙两同窗被分在同一小组有C 13＝3(种)方法．因此甲、乙两同窗恰好被安排在同一小组的概率为 P ＝312＝14.。

专题十一概率与统计【真题探秘】11.1 随机事件、古典概型与几何概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机事件的概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.(3)理解古典概型及其概率计算公式.2019课标Ⅰ,6,5分古典概型排列与组合★★★2018课标Ⅱ,8,5分古典概型组合2018课标Ⅰ,10,5分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积2.古典概型2017课标Ⅰ,2,5分与面积有关的几何概型圆的面积3.几何概型2016课标Ⅰ,4,5分与长度有关的几何概型(4)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(5)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (6)了解几何概型的意义2016课标Ⅱ,10,5分与面积有关的几何概型随机模拟分析解读本节是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.破考点练考向【考点集训】考点一随机事件的概率1.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为( )A.13B.12C.23D.56答案 D2.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=( )A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案 A考点二古典概型1.(2020届河南百校联盟9月联合检测,4)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理条例》正式实施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类,没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶,若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶,则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( )A.13B.23C.14D.34答案 D2.(2019江西南昌一模,6)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为( )A.12B.13C.16D.19答案 B考点三几何概型1.(2020届贵州贵阳8月月考,7)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )A.15B.14C.13D.12答案 B2.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,3)已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为( )A.12B.14C.16D.18答案 B炼技法提能力【方法集训】方法1古典概型概率的求法1.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为( )A.13B.14C.16D.112答案 B2.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是( )A.12B.23C.14D.13答案 D方法2几何概型概率的求法1.(2020届河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asin x在R上单调递增的概率为( )A.45B.35C.25D.15答案 C2.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A.1-π4B.π12C.π4D.1-π12答案 A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一古典概型(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.118答案 C考点二几何概型1.(2018课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案 A2.(2017课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4答案 B3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案 B4.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn答案 CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一古典概型1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.79答案 C2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.答案7103.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 答案310考点二 几何概型1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y ∈R),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( ) A.34+12π B.14-12πC.12-1πD.12+1π答案 B2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=√6+x -x 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 . 答案593.(2015福建,13,4分)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f(x)=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .答案512C 组 教师专用题组考点一 古典概型1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78答案 D2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案563.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 答案564.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= . 答案 85.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41+C 32C 102=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32+C 32+C 42C 102=415, P(X=1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以,随机变量X 的分布列为X 01 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.6.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1+T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)+P(T 1=30,T 2≤40)+P(T 1=35,T 2≤35)+P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1+T 2>70)=P(T 1=35,T 2=40)+P(T 1=40,T 2=35)+P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P(A )=0.91.考点二 几何概型1.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≥12”的概率,p 2为事件“|x-y|≤12”的概率,p 3为事件“xy ≤12”的概率,则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1答案 B2.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.答案34【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届陕西百校联盟九月联考,4)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花的故事.她们分别是中国古代的四大美女,某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为( )A.13B.712C.512D.12答案 B2.(2020届四川成都青羊石室中学10月月考,9)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为( )A.136B.116C.18D.16答案 D3.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34,某人猜测事件A∩B发生,则此人猜测正确的概率为( )A.1B.12C.14D.0答案 C4.(2019河北石家庄3月教学质量检测,9)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244 431 233 214 344 142 134由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为( )A.16B.29C.518D.19答案 B5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中第一次素质测试,8)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行.长三角城市群包括上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为( )A.2764B.916C.81256D.716答案 B6.(2020届四川石室中学高三开学考试,7)一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”,如图是由三个半圆构成的图形,最大半圆的直径为6,若在最大的半圆内随机取一点,该点取自阴影部分的概率为49,则阴影部分图形的“周积率”为( )A.2B.3C.4D.5答案 B7.(2019山西阳泉二模,8)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图1).类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形内的概率是( )图1 图2A.2√1313B.413C.2√77D.47答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西静乐第一中学高三月考,15)如图所示,阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=2及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .答案18-112π9.(2018广东江门一模,16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为 . 答案 0.44。

一、填空题1. (xx·上海嘉定区模拟)分别从集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数,则这两个数的积为偶数的概率是.2. 若集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是.3. (xx·上海虹口区模拟)从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任意取三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.4. 若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为.5. (xx·台州中学)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为.6. 现有某类病毒记作Xm Yn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.7. 满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为.8. (xx·北京昌平区模拟)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次得到的点数分别为m 和n,若记向量a=(m,n)与向量b=(1,-2)的夹角为θ,则θ为锐角的概率是.二、解答题9. 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是下棋.游戏规则:以O为起点,再从如图所示的A1,A2,A3,A4,A5,A6这6个点中任取2个点分别为终点得到2个向量,记这2个向量的数量积为X,若X>0,就去打球;若X=0,就去唱歌;若X<0,就去下棋.(1) 写出数量积X的所有可能的取值;(2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.(第9题)10. 某中学共有学生xx人,各年级男、女生人数如下表所示:已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.(1) 求x的值;(2) 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问:应在高三年级抽取多少名?(3) 已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.11. 某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.先从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:(1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率.(2) 在该样品的一等品中,随机抽取2件产品.①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.第66课古典概型1. 解析:从两个集合中各取一个数的取法总数为4×4=16,两个数的积为奇数的取法有2×2=4种,因此为偶数的取法有12种,从而所求概率为=.2. 解析:从A,B中各任取一个数,共有6种取法,其中两数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为P==.3. 解析:从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任意取三条的不同取法有4种,但要能构成三角形,只有取(2,3,4)这一种方法,故所求概率为.4. 解析:5人中录用3人,列举可得基本事件个数是10,“甲或乙被录用”的对立事件是“甲、乙都没有被录用”,即录用的是其余3人,只含有1个基本事件,故所求概率为1-=.5. 解析:试验包含的所有事件共有6×6=36种猜数的结果.其中他们心相近有如下情形:若a=1,则b=1,2;若a=2,则b=1,2,3;若a=3,则b=2,3,4;若a=4,则b=3,4,5;若a=5,则b=4,5,6;若a=6,则b=5,6,共16种.故他们“心相近”的概率P==.6. 解析:基本事件共有7×9=63种,m可以取1,3,5,7,n可以取1,3,5,7,9,所以m,n 都取到奇数的情况有20种,故所求概率为.7. 13 解析:方程ax2+2x+b=0有实数解,分类讨论:①当a=0时,很显然为垂直于x轴的直线方程,有解,此时b可以取4个值,故有4种有序数对;②当a≠0时,需要Δ=4-4ab≥0,即ab≤1,显然有3个实数对不满足题意,分别为(1,2),(2,1),(2,2).因为实数对(a,b)共有4×4=16个,故满足条件的实数对有16-3=13(个).8. 解析:当θ为锐角时,cosθ=>0a·b=m-2n>0,即m>2n.连掷两次骰子得到的点数记为(m,n),所包含的基本事件有6×6=36种,其中满足m>2n的基本事件有(6,1),(6,2),(5,1),(5,2),(4,1),(3,1),共6个,故所求概率P==.9. (1) X的所有可能的取值为-2,-1,0,1.(2) 数量积为-2的有·,共1种;数量积为-1的有·,·,·,·,·,·,共6种;数量积为0的有·,·,·,·,共4种;数量积为1的有·,·,·,·,共4种.故所有可能的情况共有15种.=.所以小波去下棋的概率为P1因为去唱歌的概率为P=,2=1-=.所以小波不去唱歌的概率P=1-P210. (1) 由 =0.19,得 x=380.(2) 高三年级人数为y+z=xx-(373+377+380+370)=500.现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在高三年级抽取的人数为×500=12.(3) 记“高三年级女生比男生多”的事件为A,高三年级女生、男生人数记为(y,z),由(2)知y+z=500,且y,z∈N,基本事件共有(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11个.事件A包含的基本事件有(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共5个.故所求概率 P(A)=.11. (1) 计算10件产品的综合指标S,如下表所示:其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2) ①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A 4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种,所以P(B)==. g36446 8E5E 蹞40827 9F7B 齻21796 5524 唤t34660 8764 蝤24752 60B0 悰ml32874 806A 聪24029 5DDD 川39125 98D5 飕&31088 7970 祰U。

2021届高考数学大一轮温习古典概型与几何概型精品试题理（含2021模拟试题）1. (2021山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长别离为的三角形区域内随机投一点，那么该点与三角形三个极点距离都大于1的概率为（）A． B. C. D.[解析] 1. 设△ABC的三边AB=5，BC=6，AC=. 依照余弦定理可得，又因为∠B∈（0，π），因此. 因此△ABC的面积为. 而在△ABC的内部且离点A距离小于等于1的点组成的区域的面积为，同理可得在△ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点组成的区域的面积别离为，，因此在△ABC内部，且与三角形三个极点距离都大于1的平面区域的面积为，依照几何概型的概率计算公式可得所求概率为.2. (2021河北石家庄高中毕业班温习教学质量检测（二），3) 利用运算机产生0～1之间的均匀随机数, 那么使关于的一元二次方程无实根的概率为( )[解析] 2. 由，故，选C .3. (2021湖北黄冈高三4月模拟考试，8) 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机遇均等地进入同一部电话，假设这两条短信进入电话的时刻之差小于2秒，电话就会收到干扰，那么电话收到干扰的概率为（）A.B.C.D.[解析] 3. 设两条短信进入电话的时刻别离为、，那么，作平面区域，如图，由几何概型知，电话受到干扰的概率为.4. (2021贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数, 那么0≤≤2的概率是（）A.B.C.D.[解析] 4.：如图，.5. (2021黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，10) 在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项从头排成一列，那么有理项都互不相邻的概率为（）A. B. C. D.[解析] 5. 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，因此，其通项公式为，当时，项为有理项，展开式的9项全排列为种，，所有的有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项插入形成的7个空中，有，因此有理项互不相邻的概率为.6.（2021吉林实验中学高三年级第一次模拟，6）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手. 假设从中任选3人，那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A．B．C．D．[解析] 6. 从18个选手中任选3人的选法有种选法，由数字1，2，3，…，18组成的以3为公差的等差数列其等差中项只能是4、五、…. 、15，每一个等差中项对应1个等差数列，因此以3为公差的等差数列共有：12个，因此所求概率为.7.（2021湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，9）将一颗骰子持续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为（）A． B． C．D．[解析] 7. 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列的情形有公差为0：有6种情形；公差为1的有4×2=8个；公差为2的有：2×2=4个，而知足这三次抛掷向上的点数之和为12的有：（3,4, 5）、（5,4, 3）、（4,4, 4）、（2,4, 6）、（6,4, 2）共5个，依照古典概型的概率计算可得所求概率为.8. (2021重庆五区高三第一次学生调研抽测，7) 设点（）是区域内的随机点，函数在区间[）上是增函数的概率为（）A. B. C. D.[解析] 8. 表示的区域的面积为. 函数在区间[）上是增函数，那么，因此概率. 选C.9.(2021湖北武汉高三2月调研测试，8) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H别离是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点别离为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F别离在棱A1B1，BB1上运动且知足EF＝a时，那么P的最小值为[解析] 9. 依照几何概型，===，其中“＝” 当且仅当时成立. 应选D.10.(2021吉林高中毕业班上学期期末温习检测, 5) 小波通过做游戏的方式来确信周末活动，他随机地往单位圆内抛掷一点，假设此点到圆心的距离小于，那么周末去踢球，不然去图书馆. 那么小波周末去图书馆的概率是（）A.B.C.D.[解析] 10. 圆的面积为，点到圆心的距离小于的面积为，因此点到圆心的距离大于的面积为，由几何概型小波周末去图书馆的概率为.11. (2021河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 8) 已知菱形的边长为4，，假设在菱形内任取一点，那么该点到菱形的四个极点的距离大于1的概率（）A. B. C. D.[解析] 11.如右图，阴影部份M即为点到菱形四个极点的距离大于1的点的集合，空白部份是半径为的圆，因此.12. (2021兰州高三第一次诊断考试, 9) 以下五个命题中正确命题的个数是( )①关于命题，那么，均有②是直线与直线相互垂直的充要条件③已知回归直线的斜率的估量值为，样本点的中心为(4,5) ，那么回归直线方程为＝＋④假设实数，那么知足的概率为⑤ 曲线与所围成图形的面积是A. 2B. 3C. 4D. 5[解析] 12. 对①，因为命题，那么，均有，故①错误；对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标知足方程，那么，解得，回归直线方程为，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的选项是③⑤，共2个.13. (2021湖北黄冈高三期末考试) 福彩3D是由3个0～9的自然数组成投注号码的彩票，耀摇奖时利用3台摇奖器，各自独立、等可能的随机摇出一个彩球，组成一个3位数，组成中奖号码，以下图是近期的中奖号码（如197,244, 460等），那么在下期摇奖时个位上显现3的可能性为（）[解析] 13. 古典概型. 依题意，个位上的数字由10种情形，个位上的数去3 只有一种情形，故所求的概率，即个位上显现3的可能性是10%.14.（2021重庆一中高三下学期第一次月考，13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时刻段内任一时刻等可能的抵达）在华岩寺正大门前集中前去，那么他们中先到者等待的时刻不超过15分钟的概率是（用数字作答）。

古典概型与几何概型1. （2020佛山重点中学联考）“微信抢红包” 次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为自2015年以来异常火爆，在某个微信群某8元，被随机分配为 1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元共5份供甲、乙等5人抢, 金额之和不低于3元的概率是（）2 B.5C .2解析: 依题意，甲、乙抢到红包的可能情况 n = C2= 10.其中, 甲、乙二人抢到红包的金额之和不低于3元包含的基本事件有 6个，所以P=^35.答案: 2. （2020济南调研）2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团 面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁App 抢票，小陈抢 到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参 加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为 （ ）1 A.6 1 B.32 C"3 5 D.6 解析：小王和小李至多 1人被选中的反面为小王和小李都被选中.设A = ｛小李和小王 至多1人被选中｝, B=｛小李和小王都被选中｝,则B 包含1个基本事件. __ 1 5 所以 P(A) = 1-P (B)=1-C4=6. 答案：D 3. （2017全国卷I ）如图所示，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形 内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则 此点取自黑色部分的概率是 （ ） B.81A.4每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的红包D.51 兀C.2D .4解析：设正方形的边长为 2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分............. ..................... .................. .. TT 一一 . ■、. . . • .................................... .....关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为2,所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色兀八T 兀上,、位部分的概率P= ------ =故选B.2X2 8答案：B两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1 A .2 D.112答案：B5. （2020深圳质检）19世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了 “贝特朗悖论”即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多 少？”贝特朗用了 “随机半径”“随机端点” “随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化.已知“随机端 点”的方法如下：设 A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B,连接AB,求所得弦长AB 大于圆。

[基础题组练]A.363π10 mm 2B.363π5 mm 2C.726π5mm 2D.363π20mm 2解析：选A.向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π10(mm 2)．2．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B.π12C.π4D ．1－π12解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.3．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥22”发生的概率为( ) A.12 B.13 C.712D.23解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ≥22，0≤x ≤π，即⎩⎨⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥12，0≤x ≤π，解得0≤x ≤7π12，故所求的概率为7π12π＝712.A.π8 B.π16 C ．1－π8D ．1－π16解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P ＝82－8π82＝1－π8，故选C.5．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为( )A.12 B.13 C.14D.16解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张， 基本事件总数n ＝A 33＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m ＝C 13C 11C 11＝3，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p ＝m n ＝36＝12.故选A.6．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )A.17B.27C.37D.47解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A 77＝5 040(种)．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A 44.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A 35，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A 44A 35＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P ＝1 4405 040＝27.故选B.解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋14b 有零点，则Δ＝a 2－b ≥0，所以b ≤a 2，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋14b 有零点的概率P ＝⎠⎛01a 2d a 1×1＝13.答案：13解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×π3×4－12×2×3＝2π3－3，所以向圆(x －2)2＋(y－3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝16－34π.答案：16－34π9．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i 次得到的向上一面的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n ＝6×6×6，要使a 1＋a 2＋a 3＝6，则a 1，a 2，a 3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数m ＝A 33＋C 13＋1＝10.故幸运数字为3的概率为P ＝106×6×6＝5108.答案：510810．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 答案：131411.如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率；(2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． 解：(1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记事件M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)由题意－b2×12a ≥－1，即b ≤a .(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为16.13．某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金[0.3，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.8)[0.8，0.9]额分组发放金额50100150200(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x 0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9 y 50100150200频率0.40.30.280.0211 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知，P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.。

核心素养测评七十二古典概型、几何概型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3个,故所求概率P=.2.已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数,则a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1满足题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)e x+b为减函数的概率P==.3.在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=,从这些向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,从所作平行四边形中随机抽取一个,则它的面积不超过2的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.由已知可得向量,,,,这4个向量组成的平行四边形的面积为4,2,2,10,6,8,所以这个平行四边形的面积不超过2的概率为=.4.如图,在正方形区域内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.-1B.C. D.【解析】选B.阴影部分的面积为(cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)=-1,正方形面积为,所以所求概率为=.5.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( )A. B. C. D.【解析】选A.将齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3,齐王与田忌赛马,其情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3)共9种,其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2)共3种,所以田忌获胜的概率为=.6.某一天晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红月亮,月全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.如图所示,概率为P==.7.如图所示的图形是弧三角形,又叫莱洛三角形,它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点,则此点取自等边三角形内的概率是 ( )A. B.C. D.【解析】选B.设等边三角形的边长为a,则每个扇形的面积为S扇形=×π×a2=,S正三角形=,所以封闭图形的面积为3S扇形-2S正三角形=-,由几何概型的概率公式可得所求概率为P==.二、填空题(每小题5分,共15分)8.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为________________.【解析】由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.答案:9.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________________.【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.答案:10.m∈{-2,-1,0,1,2},n∈{-1,0,1},随机抽取一个m和一个n,使得平面向量a=(m,n),满足|a|>2的概率为________________.【解析】向量a的所有可能情况是:(-2, -1),(-2, 0),(-2, 1),(-1, -1),(-1, 0),(-1, 1),(0, -1),(0, 0),(0, 1),(1, -1),(1, 0),(1, 1),(2,-1),(2, 0),(2, 1),满足|a|>2即m2+n2>4的有(-2, -1),(-2, 1), (2, -1),(2, 1),所以所求概率为.答案:(15分钟35分)1.(5分)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为=.2.(5分)在边长为a的正三角形内任取一点P,则点P到三个顶点的距离均大于的概率是( )A.-πB.1-πC.D.【解析】选B.如图正△ABC的边长为a,分别以它的三个顶点为圆心,以为半径在△ABC内部画圆弧,得三个扇形,则题中点P在这三个扇形外,因此所求概率为P==1-π.3.(5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是____.【解析】从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛,有2种方法;红色和紫色的花不在同一花坛,有4种方法,所以所求的概率为=.答案:【一题多解】将红、黄、白、紫记为1,2,3,4,由列举法可得,有(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共6种情况则所求概率P==.答案:4.(10分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不需要等待码头空出”,则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h 以上,即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y-x≥1或x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.A为图中阴影部分,全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)====.5.(10分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).(1)求事件“a⊥b”发生的概率.(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.【解析】(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共36种.因为a⊥b,所以m-3n=0,即m=3n,有(3,1),(6,2),共2种,所以事件a⊥b发生的概率为=.(2)由|a|≤|b|,得m2+n2≤10,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为=.。

2021高考数学专题复习：古典与几何概型〔文理〕古典概型：“K的概率是____1.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌”2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是3.某人忘记了号码的最后一个数字，随意拨号，那么拨号不超过三次而接通的概率为4.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率5.从五件正品，一件次品中随机取出两件，那么取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率6.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全一样,从中摸出2个球,那么1个是白球,1个是黑球的概率是7.先后抛3枚均匀的硬币, 恰好有两枚正面向上的概率为________,至少出现一次正面的概率为_______,8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性一样，那么这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为9.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是10.同时掷两颗骰子，以下命题正确的选项是①“两颗点数都是6”比“两颗点数都是4”的可能性小②“两颗点数一样的概率〞是61③“两颗点数之和为奇数〞的概率与“两颗点数之和为偶数〞的概率相等5,4,3,2,1中任取两个不同的数字构成一个两位数，那么这两位数大于40的概率是12.从4,3,2,1这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率为______13.同时转动如下图的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对()y x,，那么所有数对()y x,中满足4=xy的概率为每个图形只能涂一种颜色，那么三个形状颜色不全一样的概率为15.从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a从{}2,3,4中随机选取一个数b,那么b a>的概率是16.有100张卡片〔从1号到100号〕，从中任取一张，取到的卡片是6或者8的倍数的概率是321，，组成可重复数字的三位数，求三位数中至多出现两个不同数字的概率18.袋中有除颜色外完全一样的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：(1)3个全是红球的概率(2)3个颜色全一样的概率(3)3个颜色不全一样的概率(4)3个颜色全不一样的概率444⨯⨯〔长、宽、高均为4〕正方体，被锯成同样大小的单位〔长宽高均为1〕小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，那么取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为几何概型：20.〔1〕设[]0,5p 在上随机地取一整数,那么关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为 〔 〕〔2〕设[]0,5p 在上随机地取值,那么关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为 〔 〕A ．15B ．25C ．35D ．32045，假设向圆内投镖，假如某人每次都投入圆内，那么他投中阴影局部的概率为22.一路口的红绿灯，红灯时间是为30秒，黄灯时间是为5秒，绿灯时间是为40秒，问你到达路口时，恰好为绿灯的概率为23.在一个不规那么多边形内随机撒入200粒芝麻，恰有40粒落入半径为1的圆内，那么该多边形的面积约为24.〔1〕在区间[]100，中任意取一个整数，那么它与4之和大于10的概率是 〔2〕在区间[]100，中任意取一个数，那么它与4之和大于10的概率是10的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率为26.如图，某人向圆内投镖，假如他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为m 6的木杆上系一根绳子，在绳子上挂一盏灯，那么灯与两端间隔 都大于m 2的概率是ABC ∆中，C 为直角，在斜边AB 上任取一点D ，那么AD 的长小于AC 的长的概率为ABC ∆中，C 为直角，作射线CD 与斜边AB 交于点D ，那么AD 的长小于AC 的长的概率为30〔13〕在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121≥--+x x 成立的概率为31.〔1〕向量()(),,,2,1y x b a =-=假设[]4,1,∈y x ，且N y x ∈,，那么满足0≥⋅b a 的概率为_____.〔2〕向量()(),,,2,1y x b a =-=假设[]4,1,∈y x ,那么满足0≥⋅b a 的概率为_____.32.〔1〕在区间[]3,1上任取一个整数,那么这个数大于2[]3,1上任取两个整数,那么这两个数之和大于3的概率是________.〔2〕在区间[]3,1上任取一个数,那么这个数大于2[]3,1上任取两个数,那么这两个数之和大于3的概率是________.()1,0中随机地取出两个数，那么两数之和小于65的概率是34.函数b ax x x f 2)(2-+=.假设b a ,都是区间[]4,0内的数，那么使0)1(>f 成立的概率是35.在区间[]0,4内随机取两个数b a ,,那么使得函数22()f x x ax b =++有零点的概率为________(){}4,22≤+=y x y x A 和集合(){}0,0,02,≥≥>-+=y x y x y x B 表示的平面区域分别为1Ω、2Ω，假设在区域1Ω内任取一点()y x M ,，那么点M 落在区域2Ω内的概率为37.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．那么两人会面的概率[]5,1和[]6,2内分别取一个数，记为a 和b ， 那么方程)(12222b a b y a x <=-表示离心率小于5的双曲线的概率为39.用一个平面截一个半径为5的球面而得到一个圆，那么此圆面积小于π9的概率是40.〔2021文科〕在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为41.,11,11≤≤-≤≤-b a 那么关于x 的方程022=++b ax x 有实根的概率是()1,1-内任取实数a ，在区间()1,0内任取实数b，那么直线0=-by ax 与圆1)2()1(22=-+-y x相交的概率为()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()[]()()()()()[]()()()()()()()()[]()()[]()()()()()()()()()()()().16542.4141.3140.5139.321538.95374236.4153.8334.722533.87,212.32,31132.91241131.3130.43292228.3127.226.5125.522114124.523.15822.8121.2120.8319.924.983.9122118.8717.25616.5215.4314.16313.3112.5211.210.36119.318.87,837.326.315.324.1033.212.2721ππππ-C D。