高考数学 5.2复数的四则运算课件 北师大版选修2-2

3．证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 z＝a＋bi，证明 a＝0 且 b≠0； (2)z2<0⇔z 为纯虚数； (3)若 z≠0，则 z＋ z ＝0⇔z 为纯虚数． 4．证明 z∈R 的方法 (1)设 z＝a＋bi(a、b∈R)，证明 b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0； (4)z∈R⇔|z|2＝z2．
2 2
1＋i 1－i a＋bi ＝i， ＝－i， ＝i， 1－i 1＋i b－ai in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
2．重要等式 z· z ＝|z|2＝| z |2 的应用 z· z ＝|z|2＝| z |2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数 (或其共轭复数)模的平方． 此等式虽然结构很简单，但它将 z、 z 、|z|、| z |紧密地联系 在一起，并且等式左→右具有实数化功能，右→左具有分解因 式功能．
－1 合并 __________ ，并且把实部与虚部分别__________ ．
设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a
(ac－bd)＋(ad＋bc)i (a 、 ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ac ＋ bci ＋ adi ＋ bdi2 ＝ __________________
5．乘法、乘方的一些运算在实数集、复数集内的差异 (1)实数集 R 中正整指数幂的运算律，在复数集 C 中仍然 1 成立．若规定 z ＝1，z ＝zm(z∈C，z≠0，m∈N＋)，则对于复
0
－m
数的指数幂运算，可以把 m、n 推广到整数集(注意只推广到整 1 1 数集)，复数集中未定义分数指数幂，如[(1＋i) ]4≠(1＋i)4×4．
1．虚数单位i的乘方的几个注意点： 对任意n∈N＋，都有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n ＝1．

【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.

如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
复数z=a+bi
实数(b0) 虚数(b0)非 纯纯 虚虚 数数 (a(a0，0， bb0)0)
问 题 4：
你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚 数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？
虚数集 复 数 集 C
纯虚数集
实数集R
问 题 5：
若复数 a+ b= ic+ dib (ca ,d , ,R) a,b,c,d应满足什么条件呢？
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
得
x 5, y 4 2
练一练
当m为何实数时，复数
zm 2m 2(m 21)i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
m1或m1 m1且 m1
m 2
虚数的引入
复数
z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
自主学习
• 对于复数a+bi(a,b∈R), • 当且仅当＿＿＿b=＿0 ＿时,它是实数; • 当且仅当＿a=＿0且＿b＿=0＿时,它是实数0; • 当＿＿＿＿b≠0＿＿＿时, 叫做虚数; • 当＿＿a=＿0且＿b＿≠0＿＿时, 叫做纯虚数;
问 题 3：
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数
知新
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,通常用字 母z表示.全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示.
复数的代数形式：
zabi (aR,bR)
实虚 部部
小试牛刀
说出下列复数的实部和虚部？
实数

五、复数的除法
给出两个复数 a＋bi，c＋di(c＋di≠0)，我们把满足等式(a＋di)·(x＋yi)＝a＋bi 的 复数 x＋yi 叫作复数 a＋bi 除以 c＋di 所得的___商_____，记作_(a_＋__b_i_)÷__(c_＋__d_i_) 或者 __ac_＋＋__db_ii__，ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝__a_c_＋__b_dc_2_＋＋__db_2c_－__a_d__i_.
－62＋－32＝3 5.
2．已知 z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数 z＝z2－z1 对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i. 答案：B
探究一 复数的加减法运算 [例 1] 设 m∈R，复数 z1＝(3m＋2)＋(m－2)i，z2＝－m2m＋＋2 3＋(m2－4m－2)i，若 z1＋z2 为虚数，求 m 的取值范围．
共轭复数的求解与应用 (1)若复数 z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 z ，再进行复数的 四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数 z 的代数形式，再根据共轭 复数的定义求 z . (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于 z 和 z 的方程，而复数 z 的代数 形式未知，求 z，解此类题的常规思路为设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，代 入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
[解析] z1＋z2＝(3m＋2)＋(m－2)i＋－m2m＋＋2 3＋(m2－4m－2)i ＝(3m＋2＋－m2m＋＋2 3)＋(m2－3m－4)i ＝3m2m＋＋6m2＋7＋(m2－3m－4)i. 因为 z1＋z2 为虚数，则mm2＋－23≠m0－，4≠0， 解得 m≠4，且 m≠－1，且 m≠－2. 所以 m 的取值范围是{m|m∈R，且 m≠4，且 m≠－2，且 m≠－1}．

z1 |z1| (ⅲ)z ＝|z |(z2≠0)． 2 2
第五章
数系的扩充与复数的引入
第五章 §2 复数的四则运算
1
知能目标解读
5
探索延拓创新
2
知能自主梳理
6
易错辨误警示
3
学习方法指导
7
课堂巩固训练
解读
• 1．理解复数代数形式的四则运算法则，能 进行复数代数形式的四则运算． • 2．掌握共轭复数的概念． • 本节重点：复数的加、减法运算，乘除运算 及理解共轭复数的概念． • 本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的灵 活应用．
(2)复数的运算性质 ①设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi(a，b∈R)，有以 下性质 (ⅰ)z＋ z ＝2a，z－ z ＝2bi； (ⅱ)|z|2＝| z |2＝z· z ＝a2＋b2； (ⅲ)z∈R⇔z＝ z ； (ⅳ)非零复数z为纯虚数⇔z＝－ z .
②复数模的运算性质 (ⅰ)|z|＝| z |； (ⅱ)|z1z2|＝|z1|· |z2|；
• 2．复数的乘法 • 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数， (ac － bdb )＋ (ad ＋bc )i＝ 定义复数的乘法为： (a ＋ i)( c＋ di) ___________________________. • 两个复数的乘积仍然是一个确定的复数．两 个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要 在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部 和虚部分别合并即可．
4．复数的除法 复数的除法是复数乘法的逆运算，即把满足(c＋di)(x＋ yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除 a＋bi 以c＋di所得的商，记作(a＋bi)÷ (c＋di)或 . c＋di ac＋bd bc－ad 2 2＋ 2 2i a＋bi c ＋ d c ＋ d ＝______________________ (c＋di≠0)． c＋di

答案
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理 (1)复数的加、减法法则
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). ①数学表达式：z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； ②语言叙述：两个复数的和(或差)仍然是一个复数，它的实部是原来两个 复数的实部的和(或差) ，它的虚部是原来两个复数的 虚部 的和(或差). (2)复数加法的运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
60°，则
z1＋z2
等于
√A.1
B.－1
C.12－
3 2i
D.12＋
3 2i
解析 z1＋z2＝1.
12345
解析 答案
2.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四√象限
解析 ∵z1－z2＝5－7i， ∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.
∴ x2＋y2＋x＝1， y＝3，
解得xy＝ ＝－ 3，4，
∴z＝－4＋3i.
解析 答案
类型二 复数加、减运算的应用 例2 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0， 3＋2i，－2＋4i.求：①A→O表示的复数；②C→A表示的复数；③O→B表示的复数.
解答
(2)已知 z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 3，求|z1－z2|.
∴∠AOC＝30°.
同理，得∠BOC＝30°，
∴△OAB 为等边三角形，则|B→A|＝1，B→A对应的复数为 z1－z2，
∴|z1－z2|＝1.

实部、虚部与虚部分别相加（减），即
（a+bi） ±（c+di）=（a± c）+（b± d）i .
例题
例：计算 （5-6i）+（-2-i）-（3+4i）.
解： （5-6i）+（-2-i）-（3+4i） =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i .
小结
一. 数学知识： 复数的加法与减法；
二. 数学思想： (1)转化思想； (2)类比思想.
z1 + z2 = z2 + z1， (z1 + z2 )+ z3 = z1 + (z2 + z3 ) .
ｙ
Z1 (a, b)
Ｏ
bi，c di对应，
Z 则有OZ 1 （a，b），OZ 2 （c，d），
有OZ 1 OZ 2 （a c，b d）.
高中数学课件
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新课
1、复数的加法与减法
复数的加法规定按照以下的法则进行：
设z1= a+bi, z2= c+di是任意两个复数，
那么它们的和是：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+ d）i .
显然，两个复数的和仍然是一个复数. 可以验证，复数的加法满足交换率、结合率， 即对于任何z1，z2， z3 ∈C，有
作业
根据复数相等的定义，有
c+ x=a， d+ y=b，
由此
x=a-c， y=b- d，
所以
x+ yi=（a-c）+(b- d )i，
即
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b- d）i .

-7-
1
2
3
【做一做 3】 若复数 z 同时满足 z-������=2i,������=iz(i 为虚数单位),则 z= . 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则������=a-bi. ∵z-������=2i,∴(a+bi)-(a-bi)=2i, ∴b=1,∴z=a+i,������=a-i. ∵������=iz,∴a-i=(a+i)i. ∴a-i=-1+ai. 由复数相等的充要条件,得 a=-1.∴z=-1+i. 答案:-1+i
1 ������
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2
3
【做一做 2】 若复数 z 满足方程 z2+2=0,则 z3 的值为 A.± 2 2 B.-2 2 C.± 2 2i D.-2 2i 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),由 z2+2=0, 得 a2-b2+2abi+2=0. ������ = 0, ������2 -������ 2 + 2 = 0, 由 解得 ������ = ± 2, 2������������ = 0, ∴z=± 2i,∴z3=± 2 2i. 答案:C
∴|a+bi|= (-6)2 + (-3)2 =3 5.
答案:C
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2.复数的乘法 (1)复数乘法的定义 设 a+bi 与 c+di 分别是任意两个复数,我们定义复数的乘 法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.也就是说,两个复数的积仍然是一个复 数.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但在运算过程中,用 i2=-1 进行化 简,然后把实部与虚部分别合并. (2)复数乘法的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.对任何 z1,z2,z3∈C,有 ①z1· z2=z2· z1(交换律); ②(z1· z2)· z3=z1· (z2· z3)(结合律); ③方 对于任意的 z,z1,z2∈C,m,n∈N+,有 ①zm· zn=zm+n; ②(zm)n=zmn; ������ ������ ③(z1· z2)n=������1 ·������2 .

我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
由①可得 y＝3. ∴z＝3i. 【答案】 3i
复数的乘法与除法运算
已知复数 z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算： (1)z1·z2 和 z41； (2)z1÷z2 和 z22÷z1. 【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行.
【自主解答】 (1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i. z41＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4. (2)z1÷z2＝31－＋2ii＝（（31－＋2ii））（（33＋＋22ii））＝1＋135i＝113＋153i. z22÷z1＝（31－＋2ii）2＝5－ 1＋12i i＝（（5－ 1＋12i）i）（（11－－i）i） ＝－7－2 17i＝－72－127i.
2.复数的减法 设 a＋bi(a，b∈R)和 c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下： (a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i .
复数 z1＝2－12i，z2＝12－2i，则 z1＋z2 等于(
)
A.0
B.32＋52i
C.52－52i 【解析】
D.52－32i z1＋z2＝2＋12＋－12－2i＝52－52i.

是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1 时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）复数的一个y几何意义 （形）
建立了平面直角
z=a+bi
坐标系来表示复数的
Z(a,b)
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。
例2:用复平面内点表示复数(每个小方格的 边长是1)：3-2i, 3i, -3, 0.
高中数学北师大版 选修22512复数的 有关概念课件17张
数系的①分扩数充分过数程 .
自然数
②
负数
整数
有理数 无理数 ③
实数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？
与y.
2x 1 y 1 3 y
x2,y2
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？