【课题】7.3 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．
【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式.
【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．
（2）|a |?a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；
（3）cos＝||||
?a b
a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；
（4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学 过 程
教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间
*揭示课题
7.3 平面向量的内积
*创设情境 兴趣导入
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的
力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？
介绍 质疑
引导
分析
了解 思考 自我 分析
从实例出发使学生自然的走向知识点
0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】
我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则
F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?，
即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即
W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100×2
3
·10＝5003 （J ）
总结 归纳
思考 理解
带领 学生 分析
F
s
图7—21 ?
30O
过 程
行为 行为 意图 间
图7－22
这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA
＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作．
两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即
a ·
b ＝｜a ||b |
c os (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知
a ·0＝0, 0·a ＝0．
仔细
分析 讲解 关键 词语
记忆
引导 式启 发学 生得 出结 果
15
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
（1） 当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b
＝?|a ||b |.
思考
O
x i
j F (x ,y )
y
B
A
O
图7－23
a
b
过 程
行为 行为 意图 间
（2） cos＝
||||
?a b
a b . （3） 当b ＝a 时，有＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，
即|a |＝?a a .
（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝
cos900,a b ?=因此对非零向量a ，b ，有
a ·
b ＝0?a ⊥b.
可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．
（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．
注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即
a ·(
b ·
c )≠（a ·b ）·c .
请结合实例进行验证. 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 带领 学生 分析 反复强调
30 *巩固知识 典型例题
例1 已知|a |＝3,|b |＝2, ＝?60,求a ·b ． 解 a ·b ＝|a ||b | cos ＝3×2×cos ?60＝3． 例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-
,求．
解 cos＝||||?a b
a b ＝2
22?-＝?22.
由于 0≤≤?180， 所以 ＝135． 说明 强调 引领
思考 主动 求解
注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40
*运用知识 强化练习
1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为?60，求a ·b ．
2. 已知a ·a ＝9,求|a |．
3. 已知|a |＝2,|b |＝3, ＝?30，求(2a ＋b )·b ．
提问 巡视 指导
思考 口答
及时 了解 学生 知识 掌握
过 程
行为 行为 意图 间
得情 况
45 *动脑思考 探索新知
设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以
a ·
b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )
＝ x 1 x 2 i ?i ＋ x 1 y 2 i ?j ＋ x 2 y 1 i ?j ＋ y 1 y 2 j ?j
＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2 ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．
这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即
a ·
b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2 (7.11)
利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则
a a a ==22+x y ，即
a =22+x y (7.12)
由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时， cos＝||||?a b
a b ＝121222221122
x x y y x y x y +++. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a ⊥b ?a ·b ＝0，由公式(7.11)可知
a ·
b ＝0? x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．
因此
a ⊥
b ? x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． 总结
归纳
仔细 分析
讲解
关键
词语
思考 归纳 理解 记忆
带领 学生 总结
60
*巩固知识 典型例题
例3 求下列向量的内积：
说明 强调
观察
过 程
行为 行为 意图 间
（1） a ＝ (2,?3), b ＝(1,3)； （2） a ＝ (2, ?1), b ＝(1,2)； （3） a ＝ (4,2), b ＝(?2, ?3)． 解 (1) a ·b ＝2×1＋(?3)×3＝?7； (2) a ·b ＝2×1＋(?1)×2＝0； (3) a ·b ＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14．
例4 已知a ＝(?1,2),b ＝(?3,1).求a ·b , |a |,|b |, ． 解 a ·b ＝(?1)( ?3)＋2×1＝5；
|a |＝2
2
(1)25?=-+=a a ； |b |＝22(3)110?=-+=b b ； cos＝||||?a b
a b ＝522105
=， 所以 ＝45． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a ＝(?2, 3), b ＝(6, 4)； (2) a ＝(0, ?1), b ＝(1, ?2)．
解 (1) 因为a ·b ＝(?2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ． (2) 因为a ·b ＝0×1＋(?1)×（?2)＝2，所以a 与b 不垂直．
引领 讲解 说明 引领 分析 强调 含义 说明
思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解
讲解 说明 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调
70 *运用知识 强化练习
1． 已知a ＝(5, ?4)，b ＝(2,3)，求a ·b ． 2． 已知a ＝(1,3)，b ＝(0,
3)，求．
3． 已知a ＝(2, ?3)，b ＝(3,－4)，c ＝(?1,3),求a ·(b ＋c )． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直：
(1) a ＝(?2, ?3)，b ＝(3, ?2)； (2) a ＝(2,0)，b ＝(0, ?3)； 启发 引导
提问
巡视
指导
思考 了解 动手 求解
及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况
过程行为行为意图间
(3) a＝(?2,1)，b＝(3,4)．
5. 求下列向量的模：
(1) a＝(2, ?3)，(2) b＝(8, 6 )．
80 *理论升华整体建构
思考并回答下面的问题：
平面向量内积的概念、几何意义?
结论：
两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即
a·b＝｜a||b|c os
归纳
强调
回答
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
83
*归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导回忆*自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
1.已知a＝(5, ? 4),b＝(2,3),求a·b．
2.已知a＝(2, ?3),b＝(3, ?4),c＝(?1,3),求a·(b＋c)．提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
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*继续探索活动探究
(1)读书部分：阅读教材
(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）
(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．说明记录分层
次要
求
90
【教师教学后记】
项目反思点学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；
学生实践的情况学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
课题：平面向量的内积 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹 角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫a 与b 的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ， （０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1 e a = a e =|a |cos ； 2 a b a b = 0 3 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |
特别的a a = |a |2或a a a || 4 cos =| |||b a b a ；5 |a b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a 数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i 所以b a 2121y y x x 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a 2121y y x x 2.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a ，则2 22||y x a 或22||y x a （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么 221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)
【课题】7.3 平面向量的积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积． 在讲述向量积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
+ F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
．两个向量a
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
平面向量的内积教案
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |算向量模的公式的基础； （3）cos＝ |||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100×2 3·10＝5003 （J ） 图7—21
范数：用于度量“量”大小的概念 1. 引言 实数的绝对值：a 是数轴上的点a 到原点0的距离； 复数的模：a bi +=是平面上的点()b a ,到原点()0,0的距 离； 还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如 １）b a +； ２）{}max , a b 2. 向量的范数：p-范数 1 1n p p k p k x x =??= ??? ∑ （1） 示例： 1211234515,2345,5x x x x ∞ ???=+-+++= ?-? ?? ?=?==? ?? = ??? ??? 3. 矩阵（算子）的范数 01max max x x Ax A Ax x ≠=== （2） 矩阵的谱半径:设M 是n 阶矩阵，称
()()()(){}12max , ,, n M M M M ρλλλ=L （3） 为该矩阵的谱半径。 记 ()1212,,,T T n T n A ββαααβ?? ? ?== ? ? ??? L M ， 那么， {}{}()1211111211112 max ,,,max max ,,,n k n p p x k T A A Ax A A A A αααβββρ∞=?=?? =?=??=??L L （3） 4. 矩阵的条件数：用于刻画矩阵“病态”程度的概念 ()1 cond A A A -=? 5.利用范数定义点之间的距离 (),,,n n x R y R d x y y x ∈∈?=- 向量的内积、范数及n 维空间距离的度量 令 P 是一数域， P n 是 P 上的向量空间，如果函数 ()?x y P P P n n ，:?→有如下性质： １、共轭对称性：?∈x y P n ，，()()??y x x y ，，=； ２、非负性：?∈x P n ，()?x x ，≥0，()?x x x ，=?=00；
【课题】7.3 平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究相关问题奠定基础. 水平目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的水平． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．所以，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的准确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．能够记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 + F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量：
根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c 均为向量）有： 即： 向量a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b 间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是 一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b 的叉乘公式为：
其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个 垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180o 时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】
*揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?o o ， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100× 2 3 ·10＝5003 （J ） 这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积． 如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA u u u r ＝a , OB u u u r ＝ b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，图7—21
关于向量内积的基本知识点： 基本概念： 设 V 是实数 R 上的线性空间 .如果 V 中任意两个向量α, β都按某一法则对应于 R 中一个唯一确定的数 , 记作 ( α , β ), 且 满足 (i) ( α , β)=( β, α ); (ii) ( α+β, γ )=( α , γ ) + (β , γ ); (iii) ( k α , β) = k(α, β); (iv) 当αθ≠时, ( α , α )>0; 其中的α , β,γ是 V 中任意向量 , k 是任意实数 .则称 ( α , β) 为向量 α , β的内积. 而 V 叫做对这个内积来说的一个欧几里德 (Euclid) 空间 , 简称欧氏空间 . 举例说明： 例1： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β , 规定： n n y x y x y x +++= 2211),(βα 容易验证 , 关于内积的公理被满足 , 因而 R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间。 例2： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β , 规定： n n y nx y x y x +++= 22112),(βα 不难验证 , 这样R n 也作成一个欧氏空间. 由以上两个例子可以看出 , 对同一个线性空间可以引人不同的内积 , 使它作成欧氏空间 例3： 令 C[a ,b] 是定义在 [a ,b] 上一切连续实函数所成的线性空间 .关于任意 f(x), g(x) ∈C[a ,b] , 规定: dx x g x f g f b a ?=)()(),( 根据定积分的基本性质可知 , 关于内积的公理都被满足 , 因而 C[a ,b] 作成一个欧氏空间 .
【最新整理，下载后即可编辑】 概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
1 运用性质和运算律进行相关的运算和判断； 1 2 4 ≤<>≤ ,180 a b 注：①a与b同向时，,a b <>= a与b反向时，,180 a b>= a b ⊥时，90 <>= b = a b cos ?的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零；注：①a b <> cos, b a b
cos a =2 a =或a a a =?；④cos ,a b a b a b ?<>=； ⑤a b a b ?≤ 二、向量内积的坐标运算及运算律注：一般地，()()a b c a b c ?≠??。也就是说，向量内积没有“乘法的结合律”。12(,)OA a a =和1(,OB b =为任意两个向量，且两向量的夹角为因为OB BA +,BA OA =2222 2BA OA OB OA OB OA =-=+-?2221 cos (OA OB OA OB BA =+-1212112[()()[()(2 a a b b a b a =+++--+-结论：设12(,),a a a =1122cos b a b a b a b θ==+）若a 与b 皆不为0，则2a b a = ）若向量a 与b 不为a b a =???
2 cos a a a == 8,a b 1 2 a b a b a b ? ?>==-，且,a bπ ≤<>≤ (3,1),(1,3) b =-=-,a b> 2222 (3)12,1(3)2 a b =-+==+-=，3 -? 3 2 a b b a b ? ?>==-，且0,a bπ ≤<>≤, 6 b>= “已知两向量的直角坐标，求夹角”，只需求出,a b和a b ?，再用向量夹角公式即可。 AB AC ? 的坐标，再用向量内积的坐标公式即可解 ，5），B（2，3）， ?ABC是直角三角形 BC AC =，求 > BC可联想到“找向量 2 a BC AC =∴(AB BC - AB BC ?=即AB BC ⊥，故= ∠90 ABC 课堂练习 P34 A 1，
【课题】7.3 平面向量的积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积． 在讲述向量积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
+ F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
向量的内积及其运算 考点解析及例题讲解 已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b的坐标公式吗？ 探究过程 a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2) ＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2 ＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2， 又因为 e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0， 所以 a·b＝a1b1＋a2b2． 定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a·b＝a1b1＋a2b2． 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和． 我们还可以得到以下结论： (1)向量垂直的充要条件为 a⊥b a1 b1＋a2 b2＝0； (2)两向量夹角余弦的计算公式为 cos?a，b?＝ a1b1＋a2b2 a12＋a22b12＋b22 ．
问题： (1)若已知a＝(a1，a2)，你能用上面的定理求出|a|吗？ 解因为 |a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2) ＝a12＋a22， 所以|a|＝a12＋a22． 这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式． AB|吗？ (2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出|→ 解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 → AB＝(x2－x1，y2－y1)． 因为|a|＝a12＋a22，所以 AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， |→ 这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式． 例1 设a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求： (1) a·b；(2) |a|； (3) |b |；(4)?a，b?． 解(1)a·b＝3×1＋(－1)×(－2) ＝3＋2 ＝5； (2) |a|＝32＋(－1)2＝10；
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义、 (2)了解平面向量内积的计算公式、为利用向量的内积研究有关问题奠定基础、 能力目标: 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察与归纳的能力. 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式、 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角. 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都就是向量,而功就是数量.因此,向量的内积又叫做数量积. 在讲述向量内积时要注意: (1)向量的数量积就是一个数量,而不就是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积、其符号就是由夹角决定; (2)向量数量积的正确书写方法就是用实心圆点连接两个向量、 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中: (1)当＝0时,a ·b ＝|a ||b |;当＝180o 时,a ·b ＝－|a ||b |.可以记忆为:两个共线向量,方向相同时内积为这两个向量模的积;方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数. (2)|a |,就是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础; (3)cos＝ |||| ?a b a b ,就是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础; (4)“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题,就是推出两个向量内积坐标表示的重要基础. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 2课时.(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7、3 平面向量的内积
*创设情境 兴趣导入 如图7－21所示,水平地面上有一辆车,某人用100 N 的力,朝着与水平线成?30角的方向拉小车,使小车前进了100 m.那么,这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.如图7－22所示,设水平方向的单位向量为i ,垂直方向的单位向量为j ,则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?o o , 即力F 就是水平方向的力与垂直方向的力的与,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s ,即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100× 2 3 ·10＝5003 (J) 这里,力F 与位移s 都就是向量,而功W 就是一个数量,它等于由两个向量F ,s 的模及它们的夹角的余弦的乘积,W 叫做向量F 与向量s 的内积,它就是一个数量,又叫做数量积. 如图7－23,设有两个非零向量a , b ,作OA u u u r ＝a , OB u u u r ＝b , 由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角,记作. 两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 图7—21 B