两向量的内积

空间向量内积公式在咱们学习数学的这个大旅程中，空间向量内积公式可是个相当重要的角色。

咱们先来说说空间向量内积公式到底是个啥。

简单来说，它就是计算两个空间向量之间关系的一个重要工具。

比如说，有两个空间向量 a = (x1, y1, z1) 和 b = (x2, y2, z2) ，那它们的内积 a·b 就等于 x1x2 + y1y2 + z1z2 。

记得我以前教过一个学生小明，这孩子特别聪明，就是一开始对空间向量内积公式有点迷糊。

有一次课堂上，我出了一道题：已知空间向量 a = (2, 3, 1) ，b = (1, -2, 4) ，求它们的内积。

小明很快就拿起笔开始算，结果算错了。

我走过去一看，发现他把公式给记错了，把加号弄成了减号。

我就耐心地跟他说：“小明啊，这内积公式就像你搭积木的规则，记错了规则，这积木可就搭不好啦。

”然后我又给他详细地讲解了一遍，他恍然大悟，之后再遇到这类题，那是做得又快又准。

咱们再深入聊聊这个公式的应用。

它在求解空间中向量的夹角问题上，那可是大显身手。

通过内积公式算出内积的值，再结合向量的模长，就能轻松求出夹角的余弦值，从而得出夹角的大小。

这在解决几何问题，比如求异面直线的夹角时，可帮了大忙。

还有啊，在证明空间向量的垂直关系时，空间向量内积公式也是一把好手。

如果两个向量的内积为 0 ，那就说明它们垂直。

这就好比在一个大操场上，两个方向的力相互抵消，那不就相当于垂直了嘛。

而且，在物理学科中，当我们研究力在空间中的作用效果时，也会用到空间向量内积公式。

比如说，计算力做的功，就需要用这个公式来帮忙。

总之，空间向量内积公式就像是一把万能钥匙，能帮我们打开很多知识的大门，解决各种各样的难题。

咱们可得把它牢牢地掌握在手中，让它为我们的学习之路保驾护航。

就像我前面提到的小明，经过那次的小挫折，他深刻理解了空间向量内积公式的重要性，后来在考试中遇到相关的题目，都能轻松应对，成绩也越来越好。

向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。

在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。

向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。

也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。

向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。

这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。

2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。

这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。

3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。

这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。

4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。

这里，u 表示向量u的长度。

向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。

在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。

在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。

在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。

通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。

未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。

1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。

每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。

第一部分是引言部分。

在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。

平面向量的内积平面向量的内积概念解释内积是向量的一种运算，也叫点积。

对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。

在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

性质1. 内积具有交换律：a·b=b·a2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。

5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。

6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。

应用1. 向量投影通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。

这在计算机图形学中非常常见。

2. 判断两条直线是否垂直如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。

3. 计算向量的模长通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。

4. 计算两个向量之间的夹角通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。

5. 判断两条直线是否平行如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。

6. 判断三角形是否直角三角形如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。

如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。

总结平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。

因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。

内积的概念及内积公式内积这个概念在数学中可是个很有趣的家伙呢！咱先来说说啥是内积。

简单来讲，内积就是两个向量之间的一种运算，通过它能得到一个数值。

想象一下，有两个向量，就像两个小伙伴，它们之间的内积就像是在计算这两个小伙伴相互作用的某种“力量”。

比如说，在二维平面上，有向量 A = (a1, a2) ，向量 B = (b1, b2) ，那它们的内积公式就是 A·B = a1*b1 + a2*b2 。

这就好比两个小伙伴 A 和 B ，各自有自己的“本事”（坐标值），通过这个公式就能算出它们一起合作能产生的“效果”（内积的值）。

我给您讲讲我曾经遇到的一件事，来帮助您更好地理解内积。

有一次，我在课堂上讲内积，有个学生就特别迷糊，一直问我：“老师，这内积到底有啥用啊？”我想了想，就跟他说：“你看啊，假如你要把一个箱子从这儿搬到那儿，你用力的方向和你移动的距离，这两个结合起来，就可以用内积来算你做了多少功。

”然后我在黑板上画了个简单的图，标上力的大小和方向，还有移动的距离，用内积公式一算，这孩子恍然大悟：“哦！原来是这样啊！”内积的应用可广泛啦！在物理学中，计算功就是一个典型的例子。

力和位移都是向量，它们的内积就能算出力对物体做功的多少。

再比如，在信号处理中，内积可以用来衡量两个信号的相似程度。

如果两个信号的内积值大，就说明它们比较相似；内积值小，就说明差异较大。

在数学里，内积还有很多有趣的性质。

比如，内积满足交换律，也就是 A·B = B·A ，这就像两个小伙伴，不管谁先谁后，相互作用的“力量”是一样的。

还有正定性，就是自己和自己的内积总是大于等于零的，而且只有当自己是零向量的时候，内积才等于零。

这就好像一个人，如果自己有真本事（不是零向量），那自己的价值（内积）肯定是正的。

内积还和向量的长度以及夹角有关系呢！两个非零向量的内积除以它们的长度的乘积，就得到了它们夹角的余弦值。

向量内积和外积的几何意义
**内积和外积的几何意义：**
1. 内积：
内积是指两个向量相乘，结果是一个标量（实数）。

例如，给定两个实数向量（x1，y1）和（x2，y2），他们的内积就是：x1*x2+y1*y2。

内积可以用来表示空间中两个向量的位置和比例关系，而且它的大小是受向量的角度和大小的影响的。

意义：内积的几何意义就是可以用来判断两个向量之间是相互垂直，相互平行，还是有任意夹角。

当两个向量垂直时，他们的内积为0；当两个向量平行时，他们的内积等于其中一个向量的模长的平方乘以另一个向量模长的绝对值；而介于这两者之间的内积都不为0且小于上述的数值。

2. 外积：
外积又称叉积，是一种向量的乘法，一般指两个空间上的向量相乘所得的向量，而不是标量。

例如，给定两个实数向量（x1，y1）和（x2，y2），他们的外积可以表示成：
(x1*y2-y1*x2，x2*y1-y2*x1)
外积的大小可以用来表示两个向量间距离。

外积可以具有正数，负数和0三种不同的值。

意义：外积的几何意义是表示两个向量相乘之后所产生的新向量的方向和大小，以及它们之间的方向关系。

通常，外积的大小与两个向量之间角度大小成正比，外积模值乘以两个向量模值的乘积等于正弦值的角度值的平方。

而当两个向量互斥（垂直）时，外积的模值等于这两个向量的模长的乘积。

如果外积的结果是正的，则表明两个向量的夹角是逆时针；如果外积的结果是负的，则表明两个向量的夹角是顺时针。

内积计算公式
内积（Inner Product）是一种线性代数中常用的概念，它也是矩阵的乘法的一种特殊形式。

一、什么是内积？
内积是一种以线性代数的角度来解释空间中向量的乘积，是把两个向量投影到一个方向上，并乘以该方向上其他一个小向量（即投影后的长度）再相加，最后得出它们乘积的结果。

二、内积的定义
设u，v为两个n维向量，u={u1，u2，…，un}，v={v1，v2，…，vn},n维实空间内积定义为：
u·v=u1v1+u2v2+...+unvn
三、内积的性质
1、交换性：u·v=v·u
2、结合性：(u1+u2)·v=u1·v+u2·v
3、绝对值性质：‖u·v‖=‖u‖·‖v‖
4、分配率性质：u·(v1+v2)=u·v1+u·v2
四、内积的应用
1、求夹角
由于内积的绝对值性质可以得到u·v=‖u‖·‖v‖·cosα，从而求出夹角α
2、求向量长度
也由绝对值性质可知‖u‖=u·u/‖u‖，两边取平方后即可得出向量的长度3、求平面内两向量的夹角
如果u，v在平面内，那么可以把它们投影到平面内的法向量上，然后再由夹角公式求解；如果他们的投影结果完全平行，则可知夹角为0 说明：向量的投影为(u·v)/(‖u‖·‖v‖)。

方程组向量的内积公式向量的内积是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域有广泛的应用，包括物理学、计算机科学和工程学等。

本文将介绍向量的内积公式及其应用。

一、向量的内积公式向量的内积又称为点积或数量积，是两个向量之间的一种运算。

对于两个n维向量A和B，它们的内积可以通过以下公式计算：A·B = A1B1 + A2B2 + ... + AnBn其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示向量A和B 的各个分量。

二、内积的几何意义内积的几何意义是非常直观的，它等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

具体来说，对于两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (A·B) / (|A| |B|)其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模。

三、内积的性质内积具有以下几个重要的性质：1. 对称性：A·B = B·A，即内积的结果与向量的顺序无关。

2. 线性性：(kA)·B = k(A·B)，A·(B+C) = A·B + A·C，其中k是一个常数。

3. 正定性：如果两个向量的内积等于零，那么它们一定是正交的（即夹角为90度）。

另外，如果一个向量与自身的内积等于零，那么它一定是零向量。

四、内积的应用1. 判断向量的正交性：通过计算两个向量的内积，可以判断它们是否正交。

如果内积等于零，则两个向量正交；如果内积不等于零，则两个向量不正交。

2. 计算向量的投影：对于一个向量A和另一个向量B，可以通过计算A在B上的投影来求解。

投影的计算公式为：projB(A) = (A·B / |B|²) * B。

3. 判断向量的夹角：通过计算两个向量的内积和模的乘积，可以求解它们的夹角。

具体地，夹角的计算公式为：cosθ = (A·B) / (|A| |B|)。

4. 判断向量的平行性：通过计算两个向量的内积，可以判断它们是否平行。

向量的内积（点乘）定义概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。

对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a 和向量b：a和b的点积公式为：这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。

注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)定义：两个向量a与b的内积为a·b =|a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

向量内积的性质：a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）a·b = b·a. （对称性）(λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立. （线性）cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立.向量内积的几何意义内积（点乘）的几何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹角b向量在a向量方向上的投影有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量c：根据三角形余弦定理（这里a、b、c均为向量，下同）有：根据关系c=a-b有：即：a∙b=|a||b|cos⁡(θ)向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间a∙b=0→ 正交，相互垂直a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间向量的外积（叉乘）定义概括地说，两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。

并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

向量内积相似度
向量内积在机器学习和数据科学中是一个很重要的概念，它通常用于计算向量之间的相似度。

向量内积的定义是两个向量对应位置上的元素相乘再相加的结果，也就是说，对于两个向量A和B，它们的内积可以表示为：A·B = A1B1 + A2B2 + … + AnBn。

向量内积可以用来计算向量的长度、角度以及判断向量是否垂直等。

在机器学习领域，向量内积常常被用于计算两个向量的余弦相似度。

余弦相似度是指两个向量之间夹角的余弦值，它可以用来度量两个向量之间的相似程度。

具体来说，余弦相似度的计算公式是：cos θ= (X·Y) / (||X|| * ||Y||)，其中X和Y分别表示两个向量，||X||和||Y||分别表示它们的长度。

余弦相似度的值在[-1, 1]之间，越接近1表示两个向量越相似，越接近-1表示两个向量越不相似，而等于0则表示两个向量完全不相关。

除了余弦相似度，向量内积还可以用来计算其他的相似度度量，比如皮尔逊相关系数、欧氏距离等。

在实际应用中，向量内积可以用于文本分类、图像识别、推荐系统等领域，它为我们提供了一种简单有效的相似度计算方法。

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向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义向量的内积（点乘）定义概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。

对两个向量执⾏点乘运算，就是对这两个向量对应位⼀⼀相乘之后求和的操作，如下所⽰，对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：这⾥要求⼀维向量a和向量b的⾏列数相同。

注意：点乘的结果是⼀个标量(数量⽽不是向量)定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是⾮零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

向量内积的性质：a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）a·b = b·a. （对称性）(λa + µb)·c = λa·c + µb·c，对任意实数λ, µ成⽴. （线性）cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成⽴.向量内积的⼏何意义内积（点乘）的⼏何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹⾓b向量在a向量⽅向上的投影有公式：推导过程如下，⾸先看⼀下向量组成：定义向量c：根据三⾓形余弦定理（这⾥a、b、c均为向量，下同）有：根据关系c=a-b有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从⽽有a和b间的夹⾓θ：进⽽可以进⼀步判断两个向量是否同⼀⽅向或正交(即垂直)等⽅向关系，具体对应关系为：向量的外积（叉乘）定义概括地说，两个向量的外积，⼜叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。

并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平⾯垂直。

定义：向量a与b的外积a×b是⼀个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其⽅向正交于a与b。

并且，(a,b,a×b)构成右⼿系。

向量内积展开公式向量内积展开公式，这可是数学里一个相当重要的知识点呢！咱先来说说啥是向量内积。

想象一下，你在操场上跑步，有个小伙伴跟你跑的方向不太一样，这时候怎么衡量你们俩跑的“效果”呢？向量内积就派上用场啦！向量内积展开公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多数学难题的大门。

比如说，对于两个向量 a = (x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂) ，它们的内积公式就是 a·b = x₁x₂ + y₁y₂。

我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵，怎么都理解不了。

我就举了个例子，假设你是个快递小哥，要从 A 点送快递到 B 点，A 点的坐标是 (2, 3) ，B 点的坐标是 (5, 7) ，那你在 x轴和 y 轴上移动的距离就可以看成两个向量。

x 轴上移动的距离是 5 - 2 = 3 ，y 轴上移动的距离是 7 - 3 = 4 。

这两个向量的内积就是 3×5 +4×7 ，这就相当于你在送快递这个过程中“付出的努力”。

向量内积展开公式在很多领域都大有用处。

比如说物理中的做功问题，力和位移都是向量，力在位移方向上做的功就可以用向量内积来计算。

在几何中，它还能帮咱们判断两个向量的夹角。

要是两个向量的内积是正数，那它们的夹角就是锐角；要是内积是零，那夹角就是直角；要是内积是负数，夹角就是钝角。

再比如说，在计算机图形学里，用向量内积展开公式能计算光线和物体表面的夹角，从而决定物体的明暗程度，让画面看起来更逼真。

而且，向量内积展开公式还是进一步学习线性代数、高等数学等课程的基础。

就像盖房子，这是一块重要的基石。

总之，向量内积展开公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题，多想想实际生活中的例子，就能掌握它，让它成为咱们解决数学问题的得力工具！。

向量内积、外积和混合积
向量的内积和外积在计算方式、几何意义以及各自的性质上都有区别。

具体如下：
1、计算方式不同
向量的内积（点乘／数量积），是对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作；向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。

并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

2、几何意义不同
内积（点乘）的几何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹角；向量在a向量方向上的投影；在三维几何中，向量a和向量b 的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

3、性质不同
内积性质：a^2≥0；当a^2=0时，必有a=0.（正定性）；
（λa+μb)×c=λa×c+μb×c，对任意实数λ，μ成立（线性）；cos∠（a，b)=a×b/(|a|×|b|)；|a×b|≤｜a||b|，等号只在a与b共线时成立。

向量外积的性质：a×b=-b×a（反称性）；（λa+μb)×c=λ（a×c)+μ（b×c)（线性）。

向量内积的坐标运算与距离公式向量的内积，也叫点积或数量积，是一个很重要的概念，常用于几何学、物理学和工程学等领域的问题求解中。

本文将详细介绍向量内积的坐标运算和距离公式。

一、向量的内积向量的内积定义如下：对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2更一般地，对于n维向量A = (x1, x2, ..., xn)和B = (y1,y2, ..., yn)，它们的内积表示为A·B = x1*y1 + x2*y2 + ... +xn*yn。

内积有以下重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.分配律：A·(B+C)=A·B+A·C3.结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k是一个常数二、向量内积的坐标运算当我们给出向量的坐标时，可以通过坐标运算来计算向量的内积。

设A=(x1,y1)和B=(x2,y2)是二维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们的内积为A·B=2*4+3*1=11设A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)是三维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2例如，当A=(1,2,3)和B=(4,5,6)时，它们的内积为A·B=1*4+2*5+3*6=32三、向量的距离公式向量的距离公式是用来计算两个向量之间的距离的公式。

对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们之间的距离为d=√((4-2)^2+(1-3)^2)=√8=2√2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

向量的内积和转置的关系向量的内积和转置的关系是线性代数中一个非常重要的概念，本文将从以下几个方面进行阐述：1. 向量的内积向量的内积（也称为点积）是两个向量按照一定的规则进行乘法运算后所得到的一个标量。

在二维空间中，向量a和向量b的内积可以表示为：a·b=a·b·cosθ，其中a和b分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

在三维空间中，向量a和向量b的内积可以表示为：a·b=a·b·cosθ，其中a和b 分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

2. 转置在矩阵中，转置操作是将矩阵的行列互换，将原先的行变为列，将原先的列变为行。

对于一个m行n列的矩阵A，其转置可以表示为：A^T=[a_ij]_n^m，其中a_ij表示A矩阵第i行第j列的元素。

3. 向量的内积与转置的关系对于向量的内积和转置的关系，可以通过以下公式进行表示：a·b=a^T·b，其中a和b为列向量，a^T为a的转置。

这个公式可以很容易地证明。

对于a和b这两个向量，根据向量的定义，它们都可以表示为列向量，即：a=[a1,a2,...,an]^Tb=[b1,b2,...,bn]^T其中a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn分别表示a和b的各个分量。

将这两个向量的内积展开，则有：a·b=a1b1+a2b2+...+anbn将a和b转置，则有：a^T=[a1,a2,...,an]b^T=[b1,b2,...,bn]则有：a^T·b=a1b1+a2b2+...+anbn可以看到，a·b和a^T·b所表示的含义是相同的，即对于两个向量按照一定的规则进行乘法运算后所得到的一个标量。

因此，有a·b=a^T·b的关系。

4. 总结综上所述，向量的内积和转置是线性代数中两个非常重要的概念。

向量的内积
内积也被称之为“点积”，是两个向量之间的一种预算法则。

内积是指接受在实数R上的两个向量并返回到一个统一的实数值标量的一种二元算法，它也代表着欧几里面空间的标准内积值。

在我们的日常生活中，其实内积的应用是非常广泛的，比如在摄像机上的运用。

我们可以利用内积来准确判断出一个多边形是背朝摄像机还是面朝摄像机，这里还运用到一个小的知识点，就是向量的点积与它们夹角的余弦是成正比的，我们将多边形和摄像机放于聚光灯下，根据内积就可以准确测试出光照效果，如果得到的内积值越大，代表着夹角越小，从而判断出多边形物体距离光照的轴线是非常近的，光照最强，反之亦然。

在物理应用上，内积可以用来计算“功”和“合力”的数值，假设一个b为单位的矢量值，那内积代表着a在方向b上的投影数值，所以就给出了力在这个方向上的分解。

我们可以用这个思路来分解“功”，功是力和位移的内积，如果两个矢量点之间的积大于0，代表他们的方向越近，反之亦然。