2_因数和倍数

总复习——数与代数倍数与因数1．理解倍数与因数的意义，会找一个数的倍数和一个数的因数。

2．掌握2、3、5的倍数的特征，能判断一个数是不是2、3、5的倍数。

3．理解奇数、偶数的意义，能快速地判断一个数是奇数还是偶数。

4．理解质数、合数、质因数、互质数的意义，能正确判断一个数是质数还是合数，会把一个合数分解质因数。

5．掌握公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的意义，能求出两个数的公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数。

6．能运用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题。

考点1 倍数和因数1．因数和倍数的意义。

如果a×b＝c（a，b，c均为正整数），那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。

因数和倍数是相互依存的。

2．因数的特征。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3．找因数的方法。

找因数时，可以一对一对地找。

（1）用乘法找。

把一个数写成两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以找到这个数的全部因数。

（2）用除法找。

用这个数分别除以1，2，3，4…能整除的，这个除数与对应的商就是这个数的因数。

4．倍数的特征。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

5．找倍数的方法。

一个数和任意非0自然数的乘积都是这个数的倍数。

找一个数的倍数时，可以先写出这个自然数本身，然后用这个自然数分别乘2，3，4，5…求出对应的积即可。

1．9的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。

2．一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是（）。

3．有一个数，它既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（）。

4．判断。

（1）李想说：“12是倍数，3是因数。

”（）（2）一个数的倍数一定大于它的因数。

（）（3）一个自然数越大，它的因数的个数就越多。

（）5．选择。

（1）如果自然数a是自然数b的倍数，那么a（）b。

A．一定大于 B一定小于 C．大于或等于（2）古希腊人认为，如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。

因数与倍数的关系因数与倍数是初等数学中常见的概念，它们在数学运算中有着重要的作用。

本文将介绍因数与倍数的定义、性质以及它们之间的关系。

一、因数的定义与性质1. 定义：对于整数a和b，如果a能够整除b，即b可以被a整除，那么a称为b的因数；而b称为a的倍数。

2. 性质：a) 每个整数都有自身和1作为因数和倍数。

b) 如果a是b的因数，那么b是a的倍数；反之亦成立。

c) 如果a是b的因数，并且b是c的因数，那么a也是c的因数。

二、1. 关系一：如果a是b的因数，那么b一定是a的倍数。

示例：对于数对(a, b) = (3, 9)，3是9的因数，所以9是3的倍数。

2. 关系二：如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数。

示例：对于数对(a, b) = (6, 24)，6是24的倍数，所以24是6的因数。

3. 关系三：如果a是b的因数，而b是c的因数，那么a一定是c的因数。

示例：对于数对(a, b, c) = (2, 6, 12)，2是6的因数，6是12的因数，所以2也是12的因数。

三、最小公倍数与最大公因数最小公倍数（LCM）和最大公因数（GCD）是因数与倍数之间的重要概念。

1. 最小公倍数：对于整数a和b，它们的最小公倍数LCM(a, b)是能够同时整除a和b的最小整数。

示例：LCM(4, 6) = 12，4和6的最小公倍数是12，因为12能够同时被4和6整除。

2. 最大公因数：对于整数a和b，它们的最大公因数GCD(a, b)是能够同时整除a和b的最大整数。

示例：GCD(6, 9) = 3，6和9的最大公因数是3，因为3能够同时整除6和9。

最小公倍数和最大公因数之间有着重要的关系，即：a × b = LCM(a, b) × GCD(a, b)。

示例：对于数对(a, b) = (4, 6)，LCM(4, 6) = 12，GCD(4, 6) = 2，那么4 × 6 = 12 × 2。

五年级下册《因数和倍数》教学设计(优秀3篇)五年级下册《因数和倍数》教学设计篇一教学目标：1、使学生结合具体情境初步理解倍数和因数的含义，初步理解倍数和因数相互依存的关系。

2、使学生依据倍数和因数的含义以及已有的乘法和除法知识，通过尝试和交流等活动，探索并掌握找一个数的倍数和因数的方法，能在1-100的自然数中找出10以内某个数的所有倍数，找出100以内某个数的所有因数。

3、使学生在认识倍数和因数以及找一个数的倍数和因数的过程中，进一步感受数学知识的内在联系，提高数学思考的水平。

教学重点：理解倍数和因数的含义。

教学难点：探索并掌握找一个数的倍数和因数的方法。

教学过程：一、理解倍数和因数１、用12个同样大的正方形拼成一个长方形，可以怎样摆？先独立思考，在同桌交流自己的看法，再集体交流。

根据学生的回答，教师出示相应的拼法，并列式。

2、在4×3=12中，12是4的倍数，12也是3的倍数，3和4都是12的因数。

你能照老师的样子试着说一说吗？如果有学生只说倍数和因数，让学生通过争论明白倍数和因数表示的是两个数之间的关系，因此一定要说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

3、下面这些算式也能用倍数和因数表示吗？16÷2=85+6=1118-6=12学生如果有争论，让学生说说自己的理由。

由16÷2=8可以得到2×8=16，实际上16是2和8的乘积，所以也可以用倍数和因数来表示。

4、你能自己写出一条算式，用倍数和因数来说一说吗？学生自己思考，写一写，然后集体交流。

二、探索找一个数的倍数的方法1、谈话：3的倍数有哪些呢？我们来找找看。

一分钟内完成。

1分钟内你们写完了吗？如果再给半分钟呢？为什么？2、3的倍数有很多，我们不能都写出来，就用省略号来代替。

下面，谁来说说看，3的倍数是怎么找的？小结：找一个数的倍数，只要用这个数去乘以1、2、3、。

就能得到它的倍数。

3、填一填：2的倍数有________________________5的倍数有________________________4、观察上面的几个例子，你有什么发现？先小组交流，再指名回答。

《因数与倍数》1. 判断（1） 研究对象：非0的自然数（2） 判断两数是否为因数与倍数的关系方法：用除法，大数÷小数，整除，没有余数。

（3） 因数与倍数是相互依存的。

比如12和6，12是6的因数，6是12的倍数。

（4） 根据除法或乘法说关系：比如10÷2=5（2╳5=10）都可以说成2和5是10的因数，10 是2和5的倍数。

2. 找一个数的倍数（1）用乘法：比如7的倍数，7的1倍7，2倍14，3倍21，4倍28……，那么7，14，21，28等都是7的倍数。

一个数的倍数有无数个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

（2）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。

（3）5的倍数特征：个位上是0，5的数。

（4）10的倍数特征：个位上是0。

（5）3的倍数：每个数位上的数字之和是3的倍数。

（去3的倍数法）（6）4的倍数：末尾两位（十位和个位上合成的数是4的倍数）3. 奇偶性（1） 自然数中，根据是否被2整除为分类标准，可分为：奇数（单数），除以2有余数，例如1、3、5、7、9……，最小的奇数是1； 偶数（双数），除以2没有余数，例如2、4、6、8、10……最小的偶数是0；（2）奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数（建议举例子）4. 找一个数的因数(1) 一般情况利用乘法进行分解，比如18=1╳18=2╳9=3╳6，所以18的因数有（1，18，2，9，3，6）(2) 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

(3) 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以一个数的最大因数=最小倍数。

(4) 非0自然数中，根据因数的个数，可分为1 ：1只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数.2个因数，1和它本身。

其中最小的质数是2，2是唯一的偶质数。

: 至少有3个因数。

最小的合数是4。

（5）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

倍数与因数公因数与公倍数——基本知识点1.倍数与因数1.1倍数：一个数a如果能够被另一个数b整除，那么a就是b的倍数。

例如，6是2的倍数，因为6能够被2整除。

1.2因数：对于一个数a来说，如果存在一些数b使得a能够被b整除，那么b就是a的因数。

例如，2是6的因数，因为6能够被2整除。

2.公因数与公倍数2.1公因数：对于两个数a和b来说，如果存在一些数c同时是a和b的因数，那么c就是a和b的公因数。

例如，4是8和12的公因数，因为4同时是8和12的因数。

2.2公倍数：对于两个数a和b来说，如果存在一些数c同时是a和b的倍数，那么c就是a和b的公倍数。

例如，24是8和12的公倍数，因为24同时是8和12的倍数。

3.公因数与公倍数的性质3.1公因数的性质：-任何一个数的因数都是它的公因数。

-0的所有因数都是任何一个数的公因数。

-两个数的公因数的集合中一定包含它们的最大公因数。

3.2公倍数的性质：-任何一个数的倍数都是它的公倍数。

-两个数的公倍数的集合中一定包含它们的最小公倍数。

4.最大公因数与最小公倍数4.1 最大公因数：对于两个数a和b来说，它们的最大公因数，记作gcd(a, b)，是同时是a和b的因数中最大的一个数。

例如，gcd(8, 12) = 44.2 最小公倍数：对于两个数a和b来说，它们的最小公倍数，记作lcm(a, b)，是同时是a和b的倍数中最小的一个数。

例如，lcm(8, 12) = 245.两个数的最大公因数与最小公倍数的关系对于两个数a和b来说，有以下关系成立：a *b = gcd(a, b) * lcm(a, b)6.公因数与公倍数的计算方法6.1公因数的计算方法：-可以将两个数的所有因数列举出来，然后找出它们的公因数。

-使用辗转相除法来计算最大公因数，具体步骤如下：-用较大的数除以较小的数，得到商和余数。

-若余数为0，则较小的数就是最大公因数。

-若余数不为0，则将较小的数作为被除数，余数作为除数，继续进行除法运算，直到余数为0为止。

1、因数：因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

倍数：倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

在讨论因数和倍数时，一般不讨论0.2、2的倍数特点：末尾是0、2、4、6、8。

3的倍数特点：各个数位上的数之和是3的倍数。

5的倍数特点：末尾是0、5。

既是2的倍数又是5的倍数特点：末尾是0。

3、奇数：不是2的倍数，末尾是1、3、5、7、9。

偶数：是2的倍数，末尾是0、2、4、6、8。

最小的奇数是1；最小的偶数是0；最小的非零偶数是2.奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数；偶数-偶数=偶数。

奇数-偶数=奇数；奇数+偶数=奇数。

两个相同类型的数加减结果是偶数，两个不同类型的数加减结果是奇数。

4、质数：只有1和它本身两个因数的数，叫作质数（素数）。

合数：除了1和它本身还有其他因数的数，叫作合数。

最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数又不是合数。

质数有两个因数；合数有至少3个因数。

5、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

6、除了2以外的偶数都是合数。

7、0是最小的自然数。

8、末尾是0：除了零都是合数；末尾是1：21，51,81,91,111,121.末尾是2：除了2都是合数；末尾是3: 33,63,93，123是合数。

末尾是4：都是合数。

末尾是5：除了5都是合数。

末尾是6：都是合数。

末尾是7: 27、57、77、87末尾是8：都是合数。

末尾是9: 39、49、69、99、169。

9、三角形面积=底×高÷2 平行四边形面积=底×高S=ah÷2 S=ah梯形面积=（上底+下底）×高÷2S=(a+b)×h÷2组合图形面积的求解方法：分割法、添补法。

10、把一个平行四边形沿着（高）分割成两部分，通过（割补法）可以把这两部分拼成一个（长方形），它的（长)等于平行四边形的（底），它的（宽）等于平行四边形的（高）。

因数与倍数的概念因数与倍数的概念引言：因数和倍数是初中数学中非常基础的概念，它们在日常生活和工作中也有着广泛的应用。

本文将详细介绍因数和倍数的含义、性质、求解方法以及应用场景。

一、因数的概念1.1 定义在整数a中，如果存在一个整数b，使得a能够被b整除，则称b是a的因数，a是b的倍数。

例如，2是4的因数，4是2的倍数。

1.2 性质（1）任何一个正整数都有1和它本身两个因数。

（2）如果一个正整数有除了1和它本身以外的其他因子，则称该正整数为合数；否则称为质数。

（3）如果一个正整数a能够被b整除，则a一定可以被b的所有因子整除。

（4）如果一个正整数同时是另外两个不同正整数的因子，则这个正整数一定小于等于这两个正整数之间较小的那个。

1.3 求解方法（1）列举法：将一个正整数分解成若干个质因素相乘，然后从这些质因素中选取若干个进行组合，得到该正整数所有的因数。

（2）分解质因数法：将一个正整数分解成若干个质因素相乘，然后根据质因数分解式得到该正整数的所有因数。

二、倍数的概念2.1 定义在整数a和b中，如果存在一个整数k，使得a=k*b，则称a是b的倍数，b是a的约数。

例如，6是3的倍数，3是6的约数。

2.2 性质（1）任何一个正整数都是1的倍数。

（2）如果一个正整数同时是另外两个不同正整数的倍数，则这个正整数一定大于等于这两个正整数之间较大的那个。

（3）如果一个正整数能够同时被两个不同的正整数整除，则这个正整数一定是这两个正整数的公倍数。

2.3 求解方法（1）列举法：将一个正整数分别乘以1、2、3、4……得到它所有的倍数。

（2）公式法：设a为某一正整数，b为它的倍数，则有b=a*k(k 为自然数组成)，即k=b/a。

根据此公式可以求出任意正整数的倍数。

三、应用场景3.1 因式分解因式分解是将一个多项式或整数分解成若干个因式的乘积。

因为每个整数都可以唯一地分解成若干个质因子相乘的形式，所以对于任意一个整数，我们都可以将它分解成若干个质因子的乘积，从而得到它所有的因数。

因数和倍数的知识点整理
因数和倍数是初中数学中的重要概念，对于学生来说，掌握这两个知识点有助于提高解题能力和数学素养。

下面是因数和倍数的知识点整理：
1. 因数
因数是指能整除一个数的数，例如，数a能被数b整除，则数b 是数a的因数，数a是数b的倍数。

2. 倍数
倍数是指一个数是另一个数的整倍数，例如，数a是数b的倍数，则数b是数a的因数，数a是数b的倍数。

3. 最大公因数
最大公因数是指两个或多个数的因数中最大的一个数，例如，12和18的因数分别是1、2、3、4、6、12和1、2、3、6、9、18，则它们的最大公因数是6。

4. 最小公倍数
最小公倍数是指两个或多个数的倍数中最小的一个数，例如，12和18的倍数分别是12、24、36、48、60、72和18、36、54、72，则它们的最小公倍数是36。

5. 性质
(1) 一个数的因数中，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数中，最小的是它本身，最大的是无穷大。

(2) 两个数的公因数越多，它们的最大公因数就越大；两个数的
公倍数越多，它们的最小公倍数就越小。

(3) 两个数的最大公因数乘上它们的最小公倍数等于这两个数
的积，即：(a, b) × [a, b] = ab。

(4) 如果a是b的因数，那么a也是b的公约数；如果a是b的倍数，那么a也是b的公倍数。

以上是因数和倍数的知识点整理，希望对大家的学习有所帮助。

因数和倍数1.因数和倍数的描述：谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

判断方法：大数是小数的倍数，小数是大数的因数。

例如：2和6是12的因数。

12是2的倍数，也是6的倍数。

2.一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的因数的个数是有限的。

3.一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个数的倍数的个数是无限的。

4.因数＜或=它本身；倍数＞或=它本身；最大的因数=最小的倍数=它本身5.自然数中，是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

不是2的倍数的数叫奇数。

也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

6.自然数分成偶数和奇数，最小的偶数是0，最小的奇数是1。

7.奇数+/- 偶数=奇数奇数+/- 奇数=偶数偶数+/-偶数=偶数。

8.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数，是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

9.个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。

既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是120。

最大的两位数是90.10.同时满足2.3.5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。

11.一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

（至少3个因数）12.1既不是质数，也不是合数。

最小的质数是2，最小的合数是4。

13.按因数的个数划分为：自然数分为质数、合数、1和0 。

按2的倍数划分：自然数分为偶数、奇数。

14.100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19 。

15.每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

1。

第二章分數的運算§2-1因數與倍數(1)三個整數甲、乙、丙，如果甲÷乙=丙，且乙不為0，那麼甲=乙⨯丙。

這時甲能被乙整除，而且乙是甲的因數，甲是乙的倍數。

(2)1是任何整數的因數。

(3)2、3、5、11的倍數的判別方法如下述：2的倍數：個位數字是0、2、4、6、8。

3的倍數：數字和是3的倍數。

5的倍數：個位數字是0或5。

11的倍數：奇數位數字和與偶數位數字和之差是0或11的倍數。

(4)一個大於1的整數，如果除了1和它自己之外再也沒有其他的因數，這個整數就叫做質數。

例：2、3、5、7-----(5)如果一整數的因數是質數，我們稱此因數是這個整數的質因數。

(6)大於1且不是質數的整數都可以分解成質因數的乘積。

在乘積中，通常我們把較小的質數寫在前，較大的質數寫在後，並將相同的質數的乘積寫成幾次方的形式。

這種式子稱為這個整數的標準分解式。

(這個表示法是唯一的)(7)如果甲數同時為某幾個整數的因數時，甲數就是這些整數的公因數。

公因數中最大的一個就是這幾個整數的最大公因數。

(8)如果甲數同時為某幾個整數的倍數時，甲數就是這些整數的公倍數。

公倍數中最小的一個正整數就是這幾個整數的最小公倍數。

(9)如果兩個整數的最大公因數是1，這兩個整數稱做互質。

例1.下列各整數何者是2的倍數？3的倍數？5的倍數？11的倍數？1546、1983、217481、31475。

解：【答：1546；1983；31475；217481】例2.求756標準分解式及其質因數。

解：【答：22×33×7；2、3、7】例3.求360與432的最大公因數及最小公倍數。

解：【答：72；2160】例4.(1)求標準分解式：480、540 (2)求(480,540 )及[480 , 540]。

解：【答：(1)25×3×5；22×33×5 (2) 60；4320】例5.求(23×3×5 , 22×33×7)及[23×3×5 , 22×33×7]。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------倍数和因数(2)《倍数和因数》教学设计一、目标预设 1、结合乘（除）法运算，初步认识自然数之间存在的倍数和因数关系，使学生领会因数和倍数的意义，进一步丰富对自然数的认识，激发学生探究的兴趣和意识； 2、引导学生经历探索的过程，掌握求一个数的倍数和因数的方法，理解一个数的倍数、因数仲的最大的数、最小的数及个数方面的特征。

在解决问题的过程中，培养学生思维的有序性、条理性。

3、通过教学，让学生从中感受到数学知识间的内在联系和数学思考的魅力，体验到数学学习的乐趣。

二、重点、难点教学重点：理解倍数和因数的意义，掌握找一个数倍数和因数的方法。

教学难点：能够不重复、不遗漏的有序的找出一个数的因数和倍数的方法，学会有序的思考。

三、教学过程（一）课前谈话，引入概念：1、介绍陈景润和哥德巴赫猜想小朋友，你们喜欢数学吗？那你知道我国有哪些著名的数学家呢？（学生举例说出华罗庚、祖冲之、陈景润等）陈景润为数学研究做出了巨大的贡献，他在 1966 年对歌德巴赫猜想的证明到今天为止，还没有人能够超过，被称为陈氏定理。

1 / 7为祖国赢得了极大的骄傲。

2、高斯曾经说过数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠。

哥德巴赫猜想就是数论里面的一个问题。

什么是数论呢？数论是数学的一个分支，它是研究数的有关规律和性质的，今天我们就走进数论这个数学王国里去遨游，有兴趣吗？ 3、介绍：我们生活在一个数的世界里，象 0 、1、2、3、4、等这些数叫自然数，今天我们来研究因数和倍数，它的研究范围是自然数。

设计说明：陈景润中学时代因为听老师讲起哥德巴赫猜想的故事而产生了兴趣，定下的志向研究哥德巴赫猜想。

本课的开始就将学生带入丰富多彩的数学王国中，不仅让学生了解一些数学知识，而且可以激发学生对学习数学的兴趣。

因数和倍数的知识点整理因数和倍数是数学中常见的概念，它们在我们的日常生活中起着重要的作用。

本文将从因数和倍数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、因数的定义和性质1.1 因数的定义一个数如果能被另一个数整除，我们就称这个数为另一个数的因数。

例如，6能被2整除，因此2是6的因数。

1.2 因数的性质（1）一个数的因数一定不能大于这个数本身。

（2）一个数的因数一定不能小于1。

（3）一个数的因数都是整数。

1.3 最大公因数和最小公倍数最大公因数是指两个或多个数公有的最大的因数，最小公倍数是指两个或多个数公有的最小的倍数。

最大公因数和最小公倍数在数学中有着广泛的应用。

二、倍数的定义和性质2.1 倍数的定义一个数如果能被另一个数整除，我们就称这个数为另一个数的倍数。

例如，12是6的倍数，因为12能被6整除。

2.2 倍数的性质（1）一个数的倍数一定能被这个数整除。

（2）一个数的倍数都是整数。

三、因数和倍数的应用3.1 因数的应用（1）判断一个数是否为质数：如果一个数只有1和它本身两个因数，那么这个数就是质数。

（2）简化分数：将分子和分母的最大公因数约去，可以得到最简分数。

（3）求一个数的所有因数：通过列举所有小于这个数的正整数，并判断能否整除这个数来求得。

3.2 倍数的应用（1）求最小公倍数：通过列举两个数的倍数，找到它们的公共倍数中最小的一个数，就是最小公倍数。

（2）求最大公因数：通过列举两个数的因数，找到它们的公共因数中最大的一个数，就是最大公因数。

（3）计算简单分数的通分：将两个分数的分母的最小公倍数作为它们的公分母，然后将分子按比例扩大。

四、因数和倍数的联系与区别4.1 联系一个数的因数也是它的倍数，一个数的倍数也是它的因数。

4.2 区别因数是指能够整除一个数的数，而倍数是指能够被一个数整除的数。

因数是从小到大逐个增加的，而倍数是从大到小逐个增加的。

因数和倍数是数学中常见的概念，它们在数学中有着重要的地位和应用。

6946943471735d 第四讲 因数与倍数（二）因数与倍数现在对我们来说已经很熟悉了，因为现在学校课堂上已经讲解了很多，再加上去年秋季班我们也学习了因数与倍数（一）。

那么今天，我们要在现有的基础上，再次提高一个程度，了解并掌握一些新的因数倍数题型及其解决办法。

本讲知识重难点 、因数个数定理的反应用 重点 例 、、短除模型的应用 重点 例 、 、因倍的综合运用 难点 例 、一、基本知识复习1、最大公因数与最小公倍数的求法（1）短除法：求72和126的最大公因数？则72与126的最大公因数为短除式中左边的数相乘； =最小公倍数为边上与底下的数都乘。

（2）分解质因数法：72= ；则： =2（3）辗转相除法：此方法主要用于求两个较大数的最大公因数。

如：求2429和1735的最大公因数？我们假设2429和1735分别是长方形的两个边长，若此长方形的长和宽都可以 分解出若干个边长一样且最大的小正方形，则此正方形的边长即为长2429和宽1735的最大公因数，由图可知： ‥‥‥‥也就是说2429和1735都可以分解成边长最大为347的正方形。

即最后，我们在回顾一下求347的过程，始终都是用除数除以余数，除数除以余数，直到余数为0时的那个除数即为最大公因数，若除到最后余数为0时的除数为1，则说明两数互质，即最大公因数为1。

2、因数个数定理：先将此数分解质因数，再把每个质因数的指数（次数）加1相乘。

如：360有多少个因数？360= ；则因数个数为（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个3、短除模型：由图可知当a 与b 互质时，（A,B ）=d;[A,B]=d ×a ×b,则可得到：（1）A=d ×a; B=d ×b ；A ×B=（A,B ）×[A,B] （2）A+B, (A,B),[A,B]三个量知道任意两个都可以推出其他的量。

第2讲因数与倍数(一)知识点一：因数与倍数1、如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c 就是a和b的倍数。

因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。

例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。

2、因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。

(1是所有非0自然数的因数)一个数的因数的求法：成对地按顺序找3、倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

一个数的倍数的求法：依次乘以自然数知识点二：2、5、3的倍数的特征1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。

2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

考点1：因数与倍数【典例1】下面每组数中，有因数和倍数关系的是（）A．7和4B．3.6和0.9C．4和32D．0.5和1【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可。

【解答】解：根据因数和倍数的意义可知：A、7÷4＝1…3，不能整除，所以7和4不是倍数关系；B、3.6和0.9是小数，所以3.6和0.9不是倍数关系；C、32÷4＝8，所以属于因数和倍数关系的是4和32；D、0.5和1中，0.5是小数，所以0.5和1不是倍数关系。

故选：C。

【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要熟练掌握。

【典例2】有数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是（）A．12、6、2B．6、18、24C．12、6、24D．8、12、2【分析】先找出24的因数，然后找出24以内（包括24）的6的倍数，进而结合题意，得出结论．【解答】解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；24以内的6的倍数有：6，12，18，24；所以数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是：6，12，24．故选：C．【点评】解题的关键是：根据求一个数的倍数的方法和求一个数的因数的方法，进行分析、解答．【典例3】30的最大因数和最小倍数都是（）A．15B．30C．60【分析】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；进行解答即可。