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第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！第2课时 完全平方公式一． 填空 1．（）+（）． 2=+22520y xy 22．（ --=+⨯-227987981600800=．2)3．已知，则= 3=+y x 222121y xy x ++．4．已知 0106222=++-+y x y x 则．=+y x 5．若是完全平方式，则数的值是．4)3(2+-+x m x m 6．能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是 ．158-二．把下列各式分解因式： 7． 32231212x x y xy -+8． 442444)(y x y x -+9．22248)4(3ax x a -+10． 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-（11）． 2222224)(b a c b a --+（12）． 22222)(624n m n m +-（13）．115105-++-m m m x x x三．利用因式分解进行计算：（14）．419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯（15）． 2298196202202+⨯+（16）． 225.15315.1845.184+⨯+四．（17）．将多项式加上一个单项式，使它成为一个整式的平方． 1362+x五．（18）．已知， 212=-b a 2=ab 求：的值． 42332444b a b a b a -+-（19）．已知，用含有m ，n 的式子表示： n b a m b a =-=+22)(,)(（1）a 与b 的平方和； （2）a 与b 的积； （3）． ba ab +【课外拓展】（20）．已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且求证：此三角形为等ca bc ab c b a ++=++222边三角形．（21）．已知是△ABC 三边的长，且你能判断△ABC c b a ,,0)(22222=+-++c a b c b a 的形状吗？请说明理由．（22）．求证：不论为何值，整式总为正值． x,y 5422+-xy y x一、填空1．2．800,798,43．4．-2 5．7或-16． 26、24 2,25x x y +92二．把下列各式分解因式：7．【解】=32231212x x y xy -+232x(x y )-8．【解】= 442444)(y x y x -+42244224(2)(2)x x y y x x y y ++-+=22222()()()x y x y x y ++-9．【解】= 22248)4(3ax x a -+2223[(4)16]a x x +-==2223[(4)16]a x x +-223(2)(2)a x x +-10．【解】 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-==2[3()2()]a b a b -++2(5)a b -（11）．【解】= 2222224)(b a c b a --+22222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++--==222222[()][()]a b c a b c +---()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--（12）．【解】 22222)(624n m n m +-==222226[()4]m n m n -+-226()()m n m n -+-（13）．【解】115105-++-m m m x x x==125(21)m xx x --+125(1)m x x --三．利用因式分解进行计算： （14）．【解】 419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯===25 1(25.378.6 3.9)4+-1(25.378.6 3.9)4+-（15）．【解】 2298196202202+⨯+==900002(20298)+（16）．【解】 225.15315.1845.184+⨯+==400002(184.515.5)+四．（17）．【解】12x ±五．（18）．【解】42332444b a b a b a -+-==2222(44)a b a ab b --+222(2)a b a b --而，.所以= 212=-b a 2=ab 42332444b a b a b a -+-222(2)a b a b --=-=-1. 144⨯（19）．【解】（1）因为， n b a m b a =-=+22)(,)( 所以. 22222,2a ab b m a ab b n ++=-+=即22.a b m n +=+所以a 与b 的平方和为. m n +（2）由（1）可知： 1()4ab m n =-所以a 与b 的积为1()4m n -（3）由（1）（2）可知， 22.a b m n +=+1()4ab m n =-所以==ba ab +22a b ab +1()4m n m n +-44m nm n+=-【课外拓展】（20）．证明：因为，所以ca bc ab c b a ++=++222.222222222a b c ab bc ca ++=++即. 222()()()0a b b c c a -+-+-=所以0,0,0a b b c c a -=-=-=所以a=b=c.此三角形为等边三角形． （21）．【解】△ABC 是等边三角形．理由是： ∵ 0)(22222=+-++c a b c b a ∴ 2222220a b c ba bc ++--=∴ 22()()0a b b c -+-=所以0,0,a b b c -=-=所以a=b=c.∴△ABC 是等边三角形．（22）．证明：=. 5422+-xy y x 2(2)110xy -+≥>即不论为何值，整式总为正值．x,y 5422+-xy y x相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
第十四章 整式得乘法与因式分解因式分解14.3.2 公式法课时 运用完全平方公式因式分解. .a 2＋2a ＋1分解因式吗？ ； ②(a －b)2＝________. 1＝(a ＋1)2； ④a 2－________＋1＝(a －1)2.(1)③④两式从左____________＝(a ＋b)2 ；_____________＝(a －b)2完全平方公式得特点：左边：①项数必须是________；②其中有两项是________；③另一项是________．右边：________________________________________________.要点归纳：把a²+______+b²和a²-______+b²这样得式子叫作完全平方式. 2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式得联系是________．把乘法公式逆向变形为：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________.要点归纳：用完全平方公式因式分解，即两个数得平方和加上(或减去)这两个数得积得2倍，等于这两个数得和(或差)得平方.三、自学自测1．下列式子为完全平方式得是( )A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1 2．若x2＋6x＋k是完全平方式，则k＝________．3.填空：(1)x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²(2)m² -6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²(3)a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²4.分解因式：a2－4a＋4＝________．四、我得疑惑____________________________________________________________________例2：因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2； (2)(a 2＋4)2－16a 2. 例3：简便计算.(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 方法总结：在较为复杂得有理数运算中，通常要先观察式子得特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单得运算.例4：已知x 2－4x ＋y 2－10y ＋29＝0，求x 2y 2＋2xy ＋1得值．. 方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数得和得形式，然后利用非负数性质求出未知数得值，然后代入，即可得到所求代数式得值．例5：已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边得长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，请判断△ABC 得形状，并说明理由． 针对训练1.下列式子中为完全平方式得是( )A ．a 2＋b 2B ．a 2＋2aC ．a 2－2ab －b 2D ．a 2＋4a ＋42.若x 2＋mx ＋4是完全平方式，则m 得值是________． 3．分解因式：(1)y 2＋2y ＋1； (2)16m 2－72m ＋81. 4．分解因式：(1)(x ＋y)2＋6(x ＋y)＋9； (2)4xy 2－4x 2y －y 3. 5.已知|xy-4|+（x-2y-2）2=0，求x 2+4xy+4y 2得值． 二、课堂小结教学备注 配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片13-21）4.课堂小结1.下列四个多项式中，能因式分解得是( )A ．a 2＋1B ．a 2－6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2－5y2.把多项式4x 2y －4xy 2－x 3分解因式得结果是( ) A ．4xy(x －y)－x 3 B ．－x(x －2y)2C ．x(4xy －4y 2－x 2)D ．－x(－4xy ＋4y 2＋x 2) 3.若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2得值是________． 4.若关于x 得多项式x 2－8x ＋m 2是完全平方式，则m 得值为___________.5.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2.6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. （2）20142-2014×4026+20132.7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)21233x x-+.小聪和小明得解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2得值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3得值．。
14. 3.2公式法第2课时运用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式的特点.2.能较熟悉地运用完全平方公式分解因式.3.会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用.重点用完全平方公式分解因式.难点灵活应用公式分解因式.一、复习引入1.叙述平方差公式，并写出公式.2.把下列各式分解因式：(1)－16＋x2；(2)x3－xy2；(3)m4－1; (4)ab(x－y)3＋ab3(y－x).3.填空：(1)(a＋b)2＝________；(2)(a－b)2＝________.二、探究新知完全平方式与完全平方公式(1)公式：把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就可以得到：a2＋2ab ＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式.上面两个公式叫做完全平方公式.(2)完全平方式的形式和特点；①项数：三项；②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍.(3)例子：把x2＋6x＋9和4x2－20x＋25因式分解.显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式分解吗？三、应用举例1.(1)提问：式子x2－4x＋4，1＋16a2，4x2＋4x－1，x2＋xy＋y2，m2＋2nm＋n2是不是完全平方式？(2)填空：m 2＋(____)＋4＝(m ＋2)2，m 2＋(____)＋4＝(2－m)2，a 2b 2－(____)＋14＝(ab －12)2； (3)判断下列式子分解因式是否正确：x 2＋2x －1＝(x －1)2；－2ab ＋a 2＋b 2＝(－a ＋b)2；2x 2－4xy ＋y 2＝(2x －y)2；x 2＋x ＋14＝(x ＋12)2；－a 2＋2ab －b 2＝(－a ＋b)2；4a 2＋6ab ＋9b 2＝(2a ＋3b)2.2.例题例1 把16x 2＋24x ＋9和－x 2＋4xy －4y 2因式分解.提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？课堂练习：把下列各式因式分解：(1)x 2＋2x ＋1; (2)4a 2＋4a ＋1；(3)1－6y ＋9y 2; (4)1＋m ＋m 24. 例2 分解因式：(1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (2)(a ＋b)2－12(a ＋b)＋36.提问：(1)中有公因式吗？如果把(2)中(a ＋b)看作一个整体怎样因式分解？练习：把下列各式因式分解：(1)－x 2＋2xy －y 2; (2)－4－9a 2＋12a ；(3)－a 2－4ab －4b 2; (4)－25x 2－30xy －9y 2.四、课堂小结(1)分解因式前注意式子是否符合公式的形式和特点；(2)平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面.五、布置作业教材第119页习题14.3第3题.完全平方公式的结构特点：等号左边是一个二项式的平方，等号右边记作：首平方，尾平方，2倍之积中间放.逆用完全平方公式进行因式分解只需要“颠倒使用”即可：等号右边作为“条件”，左边作为“结果”，但对学生来说，还是相当困难的.教学过程中要多讲多练方可达到效果.。
第2课时运用完全平方公式因式分解教学目标1．使学生理解用完全平方公式分解因式的原理。
2．使学生初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件，会用完全平方公式分解因式。
重点难点重点：让学生会用完全平方公式分解因式。
难点：让学生识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件。
教学过程一、引入新课我们知道，因式分解是整式乘法的反过程。
倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法；运用平方差公式法。
现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们共学过三个乘法公式：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2。
完全平方公式：(a±b) 2= a2±2ab+ b2.这节课，我们就要讲用完全平方公式分解因式。
二、新课讲解1．将完全平方公式倒写：a2+2ab+ b2=(a+b) 2，a2–2ab+ b2=(a–b) 2。
便得到用完全平方公式分解因式的公式。
2．分析上面两个等式的左边，它们都有三项，其中两项符号为“+〞是一个整式的平方，还有一项呢，符号可“+〞可“–〞，它是那两项幂的底的乘积两倍。
凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方。
将它写成平方形式，便实现了因式分解。
例如x2 + 6x + 9↓↓↘=(x) 2+2(3)(x)+(3) 2=(x+3) 2.4 x2– 20x + 25↓↓↘=(2x) 2– 2(2x)(5) + (5) 2=(2x+5) 2.3．范例讲解例4 把25x4+10x2+1分解因式。
[教学要点]按前面的分析，让学生先找两个平方项，写出这两个二次幂：25x4=(5x2) 2,1=12.再将另一项写成前述两个幂的底的积的二倍：10x2=2•〔5x2〕•1，原式便可以写成(5x2+1) 2.可以问学生，如果题中第二项前面带“–〞好呢？是否可用完全平方公式：仍可用完全平方公式，得出的是(5x2–1)的平方。
例5把–x2–4y2+4xy分解因式。
第2课时运用完全平方公式因式分解1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2.2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式【类型一】判断能否用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋14；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋1 4＝(a－12)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．【类型三】利用完全平方公式求值已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决．解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121.方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.【类型四】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型五】利用因式分解判定三角形的形状已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型六】整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计运用完全平方公式因式分解1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领．。
第2课时 运用完全平方公式因式分解1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)2－4y 2； (2)32－3y 2；(3)4－1； (4)(＋3y )2－(－3y )2.2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a 2＋2ab ＋b 2、a 2－2ab ＋b 2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式【类型一】 判断能否用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )(1)a 2＋ab ＋b 2；(2)a 2－a ＋14；(3)9a 2－24ab ＋4b 2；(4)－a 2＋8a －16. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】因式分解：(1)－3a22＋24a2－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(2－8＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a2(2－8＋16)＝－3a2(－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．【类型三】已知2－4＋y2－10y＋29＝0，求2y2＋2y＋1的值．解析：首先配方，借助非负数的性质求出、y的值，问题即可解决．解：∵2－4＋y2－10y＋29＝0，∴(－2)2＋(y－5)2＝0.∵(－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴－2＝0，y－5＝0，∴＝2，y＝5，∴2y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝112＝121.方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.【类型四】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型五】利用因式分解判定三角形的形状已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型六】 整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计运用完全平方公式因式分解1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领．。
第2课时 运用完全平方公式因式分解1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式得形式和特点．(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式得方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x 2－4y 2； (2)3x 2－3y 2；(3)x 4－1； (4)(x ＋3y)2－(x －3y)2.2．根据学习用平方差公式分解因式得经验和方法，你能将形如“a 2＋2ab ＋b 2、a 2－2ab ＋b 2”得式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式【类型一】 判断能否用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式得有( )(1)a 2＋ab ＋b 2；(2)a 2－a ＋14；(3)9a 2－24ab ＋4b 2；(4)－a 2＋8a －16.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数积得2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋14＝(a－12)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数积得4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a ＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式得多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)得平方和得形式，另一项是这两个数(或式)得积得2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.方法总结：分解因式得步骤是一提、二用、三查，即有公因式得首先提公因式，没有公因式得用公式，最后检查每一个多项式得因式，看能否继续分解．【类型三】利用完全平方公式求值已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1得值．解析：首先配方，借助非负数得性质求出x、y得值，问题即可解决．解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x －2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121.方法总结：几个非负数得和为0，则这几个非负数都为0.【类型四】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2得形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型五】利用因式分解判定三角形得形状已知a，b，c分别是△ABC三边得长，且a2＋2b2＋c2－2b(a ＋c)＝0，请判断△ABC得形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数得和得形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般得思路．【类型六】 整体代入求值 已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3得值． 解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b)2得乘积，因此可以运用整体代入得数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab(a ＋b)2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题得关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式得形式，然后整体代入．三、板书设计运用完全平方公式因式分解1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2.2．完全平方公式得特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项得)；(2)有两个同号得平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数积得±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生得探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式得探究活动本身既是对学生能力得培养，又是对公式得识记过程，而且还可以提高他们应用公式得本领．。
第2课时 运用完全平方公式因式分解
[学生用书P
93]
1．下列因式分解正确的是( ) A ．－a ＋a 3＝－a (1＋a 2) B ．2a －4b ＋2＝2(a －2b ) C ．a 2－4＝(a －2)2 D ．a 2－2a ＋1＝(a －1)2
2．[2016·荣成期中]把2x 2
－2x ＋1
2
分解因式，其结果是( )
A ．2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122 C.12(x －1)2
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2x －122 3．[2016·聊城]把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( )
A ．2a (4a 2－4a ＋1)
B ．8a 2(a －1)
C ．2a (2a －1)2
D ．2a (2a ＋1)2 4．分解因式：
(1)[2016·湘西]x 2－4x ＋4＝_ __；
(2)[2016·泸州]2a 2＋4a ＋2＝_ __； (3)[2016·临沂]x 3－2x 2＋x ＝__ __； (4)[2016·深圳]a 2b ＋2ab 2＋b 3＝__ __；
(5)[2016·宜宾]ab4－4ab3＋4ab2＝___．5．[2015·南京]分解因式：(a－b)(a－4b)＋ab＝__ _．
6．把下列多项式因式分解：
(1)－3x2－12＋12x；
(2)3ax2＋6axy＋3ay2；
(3)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25.
7．将下列各式因式分解：
(1)9(x＋2)2－25(x－3)2；
(2)(x2＋4)2－16x2.
8．多项式4x2＋1加上一个数或单项式后，能成为一个整式的完全平方，那么从下列数或单项式中可选取的是( )
①－1；②4x；③－4x；④－4x2.
A．②B．③
C．②③D．①②③④
9．(1)若x2＋2kx＋9是一个完全平方式，则k＝__ __；
(2)若x2＋8x＋k2是一个完全平方式，则k＝__ __．
10．(1)当m＋n＝3时，m2＋2mn＋n2＝__ __；
(2)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2＝__ __．
11．阅读以下文字，解答问题．
对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成(x＋a)2的形式，但是对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接运用完全平方公式了．
我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2
＝[(x＋a)＋2a][(x＋a)－2a]
＝(x＋3a)(x－a)．
用上述方法将下列各式因式分解：
(1)m2－6m＋8；(2)x4＋4.
参考答案
【知识管理】
1．积的2倍
2．(a＋b)2(a－b)2
【归类探究】
例1(1)(2a＋3b)2(2)－(x－2y)2(3)3a(x＋y)2 (4)(2x＋y－3)2
例2(x＋y)2(x－y)2
例3900
【当堂测评】
1．D 2.C 3.A
4．(1)(x＋1)2(2)(x＋3)2(3)(x－2)2
【分层作业】
1．D 2.A 3.C
4．(1)(x－2)2(2)2(a＋1)2(3)x(x－1)2
(4)b(a＋b)2(5)ab2(b－2)2
5．(a－2b)2
6．(1)－3(x－2)2(2)3a(x＋y)2(3)(2x＋2y－5)2 7．(1)(8x－9)(－2x＋21) (2)(x＋2)2(x－2)2 8．D 9.(1)±3 (2)±4 10.(1)9 (2)1 11．(1)(m－2)(m－4) (2)(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)。
