对称性分岔理论基础(唐云著)思维导图

图形推理第一节平面规律推理概述题目特征：题干给出若干个图形，要求考生通过观察找出图形之间排列的规律，选出符合规律的一项。

解题思维：（1）观察给出图形构成的特点；（2）根据特点总结图形间的规律；（3）根据规律结合选项推出答案。

确定图形构成的特点是解答图形推理的起点，具体如下：（1）图形组成元素相同，一般考查位置规律；（2）图形组成元素相似，一般考查样式规律；（3）图形组成元素不同，一般考查属性、数量及其他特殊规律。

第二节位置规律位置规律是图形推理的一个高频命题规律。

题型特征：图形元素组成完全相同常考的位置规律有三种：平移、旋转、翻转考点一：平移平移是指图形中的某一个或几个元素沿特定方向进行规律移动。

常见考法：（1）平移方向。

①直线方向：上下平移、左右平移②时针方向：顺时针平移、逆时针平移（2）平移的步长（移动几格）：恒定、递增（递减）提示：遇到平移问题，一般先判断平移的方向（怎么走），后判断平移的步长（走几步）。

考点二：旋转旋转是指图形在平面上按特定规律进行转动。

常见考法：（1）旋转的方向（怎么转）：顺时针旋转、逆时针旋转。

（2）旋转的角度（转几度）：恒定、规律变化。

考点三：翻转翻转是指图形仅痛殴平面转动无法变化得到，必须经过类似于"翻书"的动作才能得到。

常见考法：（1）翻转的方向（怎么翻）：关于横轴（x轴）进行上下翻转，或关于纵轴（y轴）进行左右翻转，或关于自身对称轴进行自身对折。

（2）翻转和旋转的区分：利用"时针法"进行判断。

第三节样式规律样式规律是图形推理的一个高频命题规律。

题型特征：图形元素组成相似，优先考虑样式规律。

常见考点：样式遍历、加减同异、黑白运算考点一：样式遍历通俗地说，遍历就是缺什么补什么，首先要求构成图形的元素在一定范围内都要出现，在此基础上要求元素出现的次数相同。

常见考法：（1）整体遍历（2）部分遍历考点二：加减同异加减同异是指两个图形经过相互加、减、去异存同、去同存异得到一个新图形。

第三章分子的对称性3.1 对称操作与对称元素3.2分子点群3.3 分子的对称性和分子的物理性质对称在自然界中普遍存在。

北京天坛北京地坛在化学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对称性。

有时会感觉这个分子对称性比那个分子高（如HF、H2O、NH3、CH4 、PF5 、SF6）。

如何表达、衡量各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些对称。

3.1 对称操作与对称元素•对称操作：是指不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原或与原分子等价的操作。

•对称元素：对称操作所依据的几何元素。

•对称元素与对称操作紧密联系又有区别。

•点操作：对于分子等有限物体，在进行操作时，物体中至少有一点是不动的，这种对称操作叫点操作。

点对称操作和相应的点对称元素旋转反映操作旋映轴S n反演操作对称中心I 反映操作对称面σ旋转操作对称轴（真轴）C n 恒等操作恒等元素E对称操作对称元素符号分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角度能使分子复原或与原分子等价，就称此轴为旋转轴，符号为C n 。

1. 对称轴C n和旋转操作旋转轴的性质C n 旋转轴能生成n 个旋转操作，记为：EC C C C C C n n n n n n n n ˆˆ,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆˆ1321=⋅⋅⋅=−m n m n b a nb n a n C C C C C ˆˆˆˆˆ22==⋅+•基转角：和C n 轴相应的基本旋转操作为Ĉn 1，它为绕轴转360˚/n 的操作，该旋转角度为基转角。

旋转角度按逆时针方向计算。

C n 旋转轴有如下性质：分子中若有多个旋转轴，轴次最高的轴一般叫主轴，其它的叫副轴。

通常将主轴取笛卡尔坐标的z轴。

旋转可以实际进行，旋转轴称为真轴。

分子中若存在一个平面，将分子两半部分互相反映而能使分子与原分子等价，则该平面就是对称面σ（镜面），这种操作就是反映。

=为奇数）（为偶数）n n E nσσˆ(ˆˆ2.对称面σ和反映操作和主轴垂直的镜面以σh 表示；通过主轴的镜面以σv 表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表示。

分叉理论和方法对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态（如平衡态和或周期运动的数目和稳定性等）会发生突然变化，这种变化称为分叉。

分叉是重要非线性现象，与其它非线性现象（如混沌、突变、分形、拟序结构等）紧密相关。

主要研究：（a）相空间中轨线的集合；（b）控制参数空间中分叉集的性态。

分叉包括两类：（a）静态分叉：讨论平衡态数目和稳定性的变化，常见有：极限点分叉（鞍结分叉）、叉形分叉、跨临界分叉、滞后分叉、孤立点分叉等；（b）动态分叉：讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化，常见有：Hopf分叉、次谐和超谐分叉、概（准）周期分叉（不变环面分叉）、同异宿轨线分叉等。

分叉问题起源于力学失稳现象的研究。

18世纪中叶，D.Bernoulli和L.Euler等人研究了杆件在纵向压力下的屈曲问题。

1834年C.G.J.Jacobi在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首次引进“分叉”术语。

1885年，Poincare提出旋转液体星平衡图形演化过程的分叉理论。

1883年，O.Reynods发现在临界雷诺数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性的研究。

本世纪20年代，van der Pol 和安德罗诺夫等在非线性振动研究中即已发现大量分叉现象。

本世纪70年代形成分叉的数学理论和方法。

分叉揭示系统不同运动状态之间的联系和转化，且与失稳和混沌密切相关，是非线性动力学重要组成部分。

主要应用于：非线性振动、结构力学、流体力学、非线性波、飞行器动力学、机器人动力学、化学动力学、控制、非线性电学、非线性光学、生态学、经济学、交通动力学、转子动力学等等。

主要研究方法有：(1) 奇异性方法奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的GS范式进行识别和分类，再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。

可以处理：静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。