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大一高数下册知识点框架在大一的高等数学下册中，学生们将进一步学习和掌握一系列高数的重要知识点。
本文将为您提供大一高数下册的知识点框架，以便于您对该学期的学习内容有一个全面的了解。
一、多元函数及其极限1. 二元函数的概念与表示2. 二元函数的极限与连续性3. 多元函数的极限与连续性4. 二元函数的偏导数与全微分二、多元函数的微分学1. 多元函数的偏导数与全微分的概念2. 多元函数的微分法则与高阶偏导数3. 隐函数与参数方程的求导4. 多元函数的泰勒展开式三、多元函数的积分学1. 重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的计算方法4. 曲线与曲面的面积四、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算2. 空间直线与平面的方程3. 空间曲线的参数方程与切向量4. 空间曲面的方程与切平面五、微分方程1. 常微分方程的基本概念与解法2. 一阶线性微分方程及其应用3. 高阶线性常微分方程及其应用4. 非齐次线性微分方程的常数变易法六、级数1. 数项级数的概念与性质2. 收敛级数的判定方法3. 幂级数的收敛半径与收敛域4. 泰勒级数与函数的展开七、常微分方程初步1. 常微分方程的基本概念与解法2. 可化为常微分方程的高阶微分方程3. 高阶线性微分方程的常数变易法4. 常微分方程的应用问题八、多元函数微分学应用1. 多元函数的条件极值与最值2. 线性规划与凸集3. 多元函数在工程与物理问题中的应用4. 二重积分在平面图形中的应用九、场论初步1. 初等矢量场2. 偏导数与梯度3. 散度与旋度4. 基本定理与应用以上为大一高数下册的知识点框架，希望对您的学习有所帮助。
通过系统地学习这些知识点，并进行大量的练习与应用，相信您将能够顺利掌握高等数学下册的内容，并取得优异的成绩。
祝您学业进步！。
高等数学下册考试提纲第一篇：高等数学下册考试提纲高等数学下册考试提纲一、二元函数求极限二、求向量投影，已知一定条件求平面方程三、求方向导数最大值（梯度的模），隐函数求一阶偏导，多元抽象复合函数求二阶偏导四、二元分段函数在分界点连续，偏导数、可微性判断五、交换二重积分次序；二重积分在直角坐标计算六、三重积分计算（球面坐标）七、第一类曲线积分计算；第二类曲线积分计算（利用曲线积分与路径无关或格林公式）八、第一类曲面积分计算；第二类曲面积分计算（利用高斯公式）九、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数十、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛十一、利用条件极值求最大、最小值在几何上的应用题第二篇：《高等数学》考试大纲《高等数学》考试大纲――各专业（工科及管理类专业）适用1.极限与连续数列极限和函数极限的概念和性质，函数的左、右极限概念，无穷小的概念及性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在准则与两个重要极限，利用存在准则1及两个重要极限求极限。
函数连续的概念及运算，函数间断点及其分类，初等函数的连续性，利用初等函数的连续性求极限，闭区间上连续函数的性质。
2.导数与微分导数的概念，几何意义，可导与连续的关系，基本初等函数的导数公式，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则，隐函数的求导方法，对数求导法，高阶导数及其计算。
微分的概念，微分基本公式，微分运算法则，微分形式不变性，微分的计算。
3.中值定理及其导数应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用洛必塔（罗彼塔）法则求极限。
函数单调性的判别法，函数单调区间的求法及利用单调性证明不等式，函数取极值的判别法及极值求法，函数最大值与最小值的求法，最值应用。
曲线的凹（上凹）、凸（下凹）的判别法，曲线凹（上凹）、凸（下凹）区间及拐点的求法。
4.不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数及无理函数的不定积分求法。
高三数学下册第一章知识点高三数学下册第一章主要涵盖了以下几个知识点：函数的综合运用、数列与数学归纳法以及排列与组合。
本文将对这些知识点进行详细介绍。
一、函数的综合运用函数是数学中经常出现的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在高三数学下册第一章中，我们学习了函数的综合运用，包括函数的定义、函数的图像与性质、函数的单调性、函数的奇偶性等。
在函数的定义方面，我们需要理解函数的自变量和因变量，以及函数的定义域和值域。
通过确定函数的定义域和分析函数的图像，我们可以研究函数的性质，如函数的单调性、奇偶性以及极值等。
在解题时，我们需要根据函数的性质，运用化简、代入和推理等方法，进行综合运用，解决实际问题。
二、数列与数学归纳法在高三数学下册第一章中，数列与数学归纳法也是重要的知识点。
数列是按照一定的规律排列的一串数，可以用于描述实际问题中的信息变化。
而数学归纳法则是解决数列问题的重要方法。
在数列的学习中，我们需要理解数列的概念、通项公式以及数列的性质。
通过求解数列的通项公式，我们可以获得数列的一般项，从而进一步分析数列的性质。
在解题时，我们要善于利用数列的性质，熟练运用不同数列的通项公式，解决各类数列问题。
数学归纳法是一种用于证明数学结论的重要方法。
通过证明基础情况成立，并利用归纳假设推导出下一步情况成立，我们可以使用数学归纳法证明一些数学结论。
在运用数学归纳法时，我们需要注意步骤的合理性与逻辑推理的严密性，从而得到正确的结论。
三、排列与组合排列与组合是高三数学下册第一章的又一个重要知识点。
排列是从给定的元素集合中按照一定的顺序选择若干元素的方式，组合则是从给定的元素集合中选择若干元素的方式。
在排列与组合的学习中，我们需要理解排列与组合的概念、计算排列与组合的公式以及运用排列与组合求解实际问题。
在解题时，我们要善于运用排列与组合的思想，根据问题的要求选择合适的方法，进行计算与分析。
总结：高三数学下册第一章涵盖了函数的综合运用、数列与数学归纳法以及排列与组合这三个重要的知识点。
高数下大一知识点总结笔记一、导数与微分导数是研究函数变化率的重要工具，也是微积分的基础概念之一。
在高数下的大一课程中，我们学习了导数的基本定义、导数的四则运算、高阶导数以及一些特殊函数的导数。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，可以通过极限的方式来定义。
对于函数f(x)，它在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim[(f(x) - f(a))/(x - a)], 当极限存在时。
2. 导数的四则运算导数具有四则运算的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的导数。
- 常数函数的导数为0：(c)' = 0，其中c为常数。
- 幂函数的导数：(x^n)' = n * x^(n-1)，其中n为整数。
- 指数函数的导数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数。
- 对数函数的导数：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a))，其中a为底数。
- 三角函数的导数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)。
3. 高阶导数高阶导数表示导数的导数，可以通过连续求导来得到。
- 一阶导数的导数称为二阶导数，一般用f''(x)表示。
- 二阶导数的导数称为三阶导数，一般用f'''(x)表示。
- n阶导数的导数称为n+1阶导数，一般用f^(n+1)(x)表示。
4. 特殊函数的导数在高数下的大一课程中，我们还学习了一些特殊函数的导数。
- 反函数的导数：如果f(x)的反函数存在，并且在点x=a处可导，则反函数在点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。
- 复合函数的导数：如果f(x)和g(x)分别可导，则复合函数(f[g(x)])' = f'(g(x)) * g'(x)。
二、定积分与不定积分定积分和不定积分是微积分中的另外两个重要概念，它们可以用来计算曲线下的面积和函数的原函数。
高等数学Ⅰ（经济类）下册考试复习大纲空间解析几何与向量代数理解向量的概念。
掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件、了解混合积。
熟悉单位向量，方向余弦及向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算。
熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形。
熟悉以作坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
了解空间曲线的参数方程和一般方程。
会求两曲面的交线在坐标面上的投影。
作业习题7-1 1，2，5，6，7，8，10，12，13，15，16，17，18，19，习题7-2 1，2，3，6，7，8，9，10习题7-3 2，3，4，7，8（3）（4），9，10，11习题7-4 2，3，4，7习题7-5 1，2，3，4（1）（3）（5）（7），5，8，9习题7-6 1，2，3，6，7，10，11，12，13，15，16(1)(3)总习题七多元函数微分学理解多元函数的概念。
了解二元函数的极限和连续性的概念，知道有界闭域上连续函数的性质。
理解偏导数和全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。
掌握方向导数与梯度的概念及其计算方法。
掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求出它们的方程。
理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
作业习题8-1 2，4，5，6，7，8习题8-2 1，3，4，6(2)(3)，7，8，9(2)习题8-3 1,2,3,4习题8-4 2,4,5,6,8,9,10,11,12(2)(4)7习题8-5 1,3,4,6,7,9,10(2)(3)(4),11习题8-6 2,3,4,5,7,8,9,10习题8-7 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10习题8-8 1,3,4,5,7,8,9,10总习题八多元函数积分学理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。
高一数学下第一章知识点高一是人们学习生涯中的一个重要阶段，学生们需要逐步适应新的学习环境和学科要求。
数学是高一学习的重要学科之一，第一章是数学下册的开始，它涉及了一些基础的数学知识点。
在本文中，我们将重点讨论高一数学下第一章的知识点，以帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
第一章的主题是函数与方程，它是高中数学的重要基础，对于理解后面更复杂的数学概念和问题解决方法至关重要。
在这一章中，我们将学习如何理解和应用函数以及如何解决各种类型的方程。
首先，我们来讨论函数的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用数学符号表示为y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f 是函数的规则或表达式。
函数的定义域是所有可能的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
理解函数的概念非常重要，因为它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
函数可以用来描述和分析各种实际问题，比如物体的运动、人口增长、经济增长等等。
我们可以通过绘制函数的图像来帮助我们理解函数的特性和行为。
接下来，让我们来探讨方程的概念和解决方法。
方程是一个等式，它包含一个或多个未知数，并且要求找到使等式成立的值。
在高一数学下的第一章中，我们将主要学习一元一次方程和一元二次方程的解法。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
解决一元一次方程主要使用“移项”和“消项”两个基本操作，通过逆向运算将未知数从方程中解出。
这个过程可以用代数的方法进行，也可以通过绘制方程的图像进行。
一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。
解决一元二次方程的方法包括“配方法”、“求根公式”等。
通过这些方法，我们可以求得方程的根或解，并且可以通过绘制抛物线来更好地理解方程的特性。
除了这些基本的数学知识点，第一章还涉及到函数的性质和关系。
我们将学习如何判断一个函数的单调性、奇偶性和周期性。
高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。
1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。
- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。
- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。
3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。
- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。
4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。
- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。
5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。
大一下册高数复习知识点大一下册高等数学是大一学生在学习数学方面的重要课程之一。
本文将为大家总结大一下册高数的复习知识点，供大家参考和学习。
一、极限与连续1. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数的取值接近于一个常数的性质。
其中包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 连续与间断函数在某一点上连续是指函数在该点的极限与函数在该点的值相等，否则函数在该点上间断。
根据间断的性质，可以将间断分为可去间断、跳跃间断和无穷间断。
3. 介值定理与零点存在定理介值定理表明，若函数在区间[a, b]上连续，则函数在该区间上可以取到任意两个介于f(a)和f(b)之间的值。
零点存在定理指出，若函数在区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，则在该区间上至少存在一个零点。
二、导数与微分1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率，可以用极限的概念进行定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数定义为f'(x) = lim（△x→0）[f(x+△x) - f(x)]/△x。
2. 基本导数公式常见的基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等，应熟练掌握它们的导数表达式和求导法则。
3. 导数的几何意义导数可以表示函数在某一点处的切线斜率，通过导数可以分析函数的单调性、极值和拐点等性质。
三、积分与不定积分1. 定积分的概念定积分表示函数在一个闭区间上的面积值，可以看作是函数在该区间上的累积效应。
2. 不定积分的概念不定积分表示函数在某一点的原函数，也可称为反导函数。
3. 基本积分公式常见的基本积分公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等的积分表达式和求积法则。
四、微分方程1. 微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程，描述了函数与其导数之间的关系。
2. 常微分方程的解法常微分方程包括一阶和二阶微分方程，可以使用分离变量法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次方程法等方法求解。
高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)第一次课1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法3．向量与数的乘法设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r点A 与点B 间的距离为 →212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==向量的方向：向量a 与b 的夹角 当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即 c = a ⨯b . 坐标表示:zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα向量的投影向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面由方程1222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面12222=+b y a x ,双曲柱面122=-by a x , 抛物柱面ay x =2, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .空间直线的对称式方程与参数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有pz z n y y m x x 000-=-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 直线L 1和L 2的夹角ϕ可由 |) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=直线与平面的夹角设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为ϕ , 那么|) , (2|^n s -=πϕ, 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:D =0, 平面过原点.n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.截距式；平面夹角和距离两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ.来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于212121C C B B A A == 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F空间曲线的参数方程（33）空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线： 切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφϕ=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为)(00t x x ϕ'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφϕ=就是曲线Г在点M 处的一个切向量 法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0F x y z =)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-法线方程是.),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-),(y x z =在点),(00y x如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22yxx ff f ++-=α ,1c o s 22yxy ff f ++-=β.11cos 22yxff ++=γ2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解 偏微分全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ∂∂dx +y u ∂∂dy ＋zu ∂∂dz 第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题。
高三下册第一章数学知识点在高三下册的数学学习中，第一章通常涵盖了多个重要的数学知识点，这些知识点是理解后续课程内容的基础。
以下是对高三下册第一章数学知识点的详细解析：# 函数的概念与性质函数的定义函数是数学中描述变量之间依赖关系的一种表达方式。
如果存在一个映射规则，使得集合A中的每一个元素a，都有集合B中唯一确定的元素b与之对应，那么称f:A→B是从集合A到集合B的一个函数。
函数的表示方法函数可以通过解析式、图象和表格三种方式表示。
解析式是最常用的表示方法，它用数学表达式直接描述函数的映射规则。
函数的基本性质函数的基本性质包括单调性、奇偶性和周期性。
单调性描述了函数在某个区间内的增减趋势；奇偶性描述了函数图像关于y轴或原点的对称性；周期性则描述了函数值在一定区间内重复出现的特性。
# 指数与对数指数函数指数函数是形如\( y = a^x \)的函数，其中a是底数，x是指数。
指数函数在数学中有广泛的应用，尤其是在复利计算和科学计算中。
对数函数对数函数是指数函数的逆运算，表示为\( y = \log_a(x) \)，其中a 是底数，x是真数。
对数函数在解决实际问题，如pH值计算和地震强度评估时非常有用。
指数与对数的运算法则指数和对数遵循一系列的运算法则，如指数法则、对数法则和换底公式等，这些法则在解决复杂数学问题时非常有用。
# 三角函数三角函数的定义三角函数是通过直角三角形的边长比值来定义的，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数在解决与角度相关的几何问题时非常重要。
三角函数的图像与性质三角函数的图像具有周期性和对称性，它们的周期性与角度的测量单位有关。
正弦和余弦函数是周期函数，而正切函数则在每个周期内有一段不连续的区间。
三角恒等式三角恒等式是三角函数之间关系的数学表达式，包括和差化积、积化和差、倍角公式和半角公式等。
这些恒等式在简化三角表达式和解决三角问题时非常有用。
高等数学下册第一章内容提要：第9章微分方程内容提要一.基本概念1.微分方程:表示未知函数及其导数与自变量之间的关系的方程,称为微分方程.2.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.3.微分方程的解:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数,称为微分方程的解(这个函数的图形,称为该微分方程的积分曲线).4.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,那么这样的解称为微分方程的通解.5.微分方程的初始条件:确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件.6.微分方程的特解:不含有任意常数的微分方程的解,称为微分方程的特解.二.微分方程的类型及其解法2.高阶微分方程记二阶线性微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''(1)对应的齐次方程为 0)()(=+'+''y x Q y x P y (2)若*y 为(1)的一个特解,21,y y 为(2)的两个线性无关的特解,则2211y c y c +为(2)的通解2211*y c y c y ++为(1)的通解.注:对于n 阶线性微分方程的解结构也有类似结论.(3)二阶常系数线性齐次微分方程的解法 ),(0为常数q p qy y p y =+'+''(3)首先写出对应于该方程的特征方程02=++q p λλ21,λλ,λλ以上结论可推广至n 阶常系数线性齐次微分方程01)2(2)1(1)(=+'++++---y p y p y p y p y n n n n n (4)其中),,3,2,1(n i p i =为常数.根据特征方程012211=+++++---n n n n np p p p λλλλ 的根的四种情况,分别写出对应的解：a) λ为特征方程的单重实根,(4)有相应的一个解xe λb) λ为特征方程的k 重实根, (4)有相应的k 个解xk x x e xxe e λλλ1,,,-c) bi a ±为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解bx e bx e axax sin ,cos d) bi a ±为特征方程的k 重共轭复根,(4)有相应的2k 个解bx e x bx e x bx xe bx xe bx e bx e ax k ax k ax ax ax ax sin ,cos ,,sin ,cos ,sin ,cos 11-- 若记以上求出的n 个解为)(,),(),(21x y x y x y n ,则（4）的通解就是)()()(2211x y c x y c x y c n n +++(5)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法)0)(()(≠=+'+''x f x f qy y p y (5)其中q p ,为常数. 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程(3)的通解2211y c y c +,再求出(5)的一个特解*y ,则(5)的通解为2211*y c y c y y ++= 而*y 的求法如下:当)(x f 为某些特殊类型函数时,用待定系数法求*y .a) )()(x P e x f m xλ=,其中λ为常数,)(x Pm 为x 的m 次多项式 则可设(5)的特解为xm k e x Q x y λ)(*=(6) 其中⎪⎩⎪⎨⎧=;)3(,2;)3(,1;)3(,0的特征方程的二重根是的特征方程的单根是的特征方程的根不是λλλk)(x Q m 为与)(x P m 同次的多项式.将(6)代入(5)比较系数可求出)(x Q m ,从而求出*y .b) []x x P x x P ex f n l xωωλsin )(cos )()(+=其中ωλ,均为常数, )(,x P P n l 分别为l 次,n 次多项式.则(5)的特解可设为[] x x R x x Q e x y m m x k ωωλsin )(cos )(*+=(7)其中⎩⎨⎧±±=的特征方程的单重根是的特征方程的根不是)3(,1)3(,0i i k ωλωλ )(),(x R x Q m m 为m 次多项式,{}n l m ,max =将(7)代入(5)比较同类项系数可求出)(),(x R x Q m m ,从而求出*y .复习指导：第9章 微分方程学习指导一．解微分方程的方法解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始条件代入通解，确定任意常数，得到特解。
求通解时首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同的方法去解。
所学的微分方程分类如下注: 另外还有一种全微分方程，将在下册讲授.二．微分方程的应用题解微分方程的应用题分两步：a) 根据具体问题建立微分方程：对于几何问题一般利用导数的几何意义列方程,对于物理问题一般根据微元法和物理定理列方程。
注: 在应用问题中常常包含有一些初试条件，在列方程时不要遗漏。
b) 解微分方程。
高等数学下册 第二章内容提要：第10章 向量与空间解析几何内容提要(一) 向量和空间直角坐标系 1．概念 （1）向量既有大小又有方向的量称为向量，常记为→a 、→b 、→c ，或→AB 、→CD 。
只有大小没有方向的量称为标量。
（2）径向量给定坐标原点O ，设P 为空间中任意一点，则称向量→OP 为点P 相对于原点O 的径向量。
任一向量都可以看作是空间中某一点相对于原点O 的径向量。
（3）模向量→a 的大小称为它的模，记作||→a 或a 。
模为0的向量称为零向量，记作→0。
（4）单位向量模为1的向量称为单位向量。
与向量→a 同方向的单位向量记为||→→→=→a ae a 。
（5）向量的坐标表示设向量→a 的起点为坐标原点，则其终点的坐标),,(z y x a a a 称为向量→a 的坐标，记作},,{z y x a a a a =→，向量→a 的模为222||z y x a a a a ++=→。
设),,(1111z y x M =，),,(2222z y x M =为空间中两点，则以1M 为起点，2M 为终点的向量},,{12121221z z y y x x M M ---=→。
（6）向量的夹角，平行，垂直对任意两个非零向量→→=OA a 和→→=OB b ，称=θ∠AOB 为向量→a 和→b 的夹角，并规定],0[πθ∈。
向量→a 和→b 的夹角通常记为∧→→b a ,或),(∧→→b a 。
当0,=∧→→b a 或π时，称→a 与→b 平行，也称→a 与→b 共线，记作→→b a //；当2,π=∧→→b a 时，称→a 与→b 垂直或正交，记作→→⊥b a 。
（7）方向余弦设向量→a 与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为γβα,,，则αcos 、βcos 、γcos 称为向量→a 的方向余弦，它们满足等式1cos cos cos 222=++γβα。
2．向量的运算（1）加法把向量→b 的起点移到向量→a 的终点，则以向量→a 的起点为起点，向量→b 的终点为终点的向量称为向量→a 和→b 的和，记作→→→+=b a c 。
若},,{z y x a a a a =→，},,{z y x b b b b =→，则},,{z z y y x x b a b a b a b a +++=+→→。
（2）数乘实数λ与向量},,{z y x a a a a =→的乘积是一个向量，记作},,{z y x a a a a λλλλ=→。
加法与数乘有如下性质：（i ）→→→→+=+a b b a ； （ii ）)(→→→→-+=-b a b a ； （iii ）)()(→→→→→→++=++c b a c b a ； （iv ）→→→=-+0)(a a ； （v ）)()(→→=a a λμμλ； （vi ）→→→→+=+b a b a λλλ)(； （vii ）→→→+=+a a a μλμλ)(。
（3）点积（数量积、内积）向量},,{z y x a a a a =→和},,{z y x b b b b =→的点积是一个数),cos(||||∧→→→→b a b a ，记作→→⋅b a ，即),cos(||||∧→→→→→→=⋅b a b a b a 。
用坐标表示为z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅→→。
点积的性质：（i ）→→→→⋅=⋅a b b a ； （ii ）)()(→→→→⋅=⋅a b b a λλ； （iii ）→→→→→→→⋅+⋅=⋅+c b c a c b a )(； （iv ）→→⊥b a ⇔0=⋅→→b a 。
（4）叉积（向量积、外积）向量},,{z y x a a a a =→和},,{z y x b b b b =→的叉积是一个向量，记作→→⨯b a ，它的模为),sin(||||||∧→→→→→→=⨯b a b a b a ，方向垂直于→a ，→b ，且使→a ，→b ，→→⨯b a 成右手系。
用坐标表示为},,{yx yxz x z x z yz yzyxz y xb b a a b b a a b b a a b b b a a a kj ib a -==⨯→→→→→。
叉积的性质：（i ）→→→→⨯-=⨯a b b a ； （ii ）)()(→→→→⨯=⨯b a b a λλ； （iii ）→→→→→→→⨯+⨯=⨯+c b c a c b a )(； （iv ）→→→→→=⨯⇔0//b a b a 。
（5）混合积：→→→→→→⋅⨯=c b a c b a )(],,[称为向量},,{z y x a a a a =→，},,{z y x b b b b =→，},,{z y x c c c c =→的混合积，其几何意义是以向量→a ，→b ，→c 为相邻的三条棱的平行六面体的有向体积。
用坐标表示为zyxz y xz y x c c c b b b a a a c b a =→→→],,[。
混合积的性质：（i ）],,[],,[],,[],,[],,[],,[→→→→→→→→→→→→→→→→→→-=-=-===c a b a b c b c a b a c a c b c b a ； （ii ）向量→a ，→b ，→c 共面的充要条件是0],,[=→→→c b a 。
（6）投影（i ）已知空间一点A 以及一个有向轴u ，过点A 作轴u 的垂直平面π，则平面π与轴u 的交点称为点A 在轴u 上的投影。
（ii ）设向量→AB 的起点和终点在轴u 上的投影记为'A 和'B ，则有向线段→''B A 的值称为向量→AB 在轴u 上的投影，记作→AB u Prj 。
