2022衡水中学高考模拟调研卷数学试题(二)

河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（二）数学试题1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 如果复数其中为虚数单位，b为实数为纯虚数，那么( )A. 1B. 2C. 4D.3. “”是命题p：，成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设直线与圆：交于A，B两点，若圆的圆心在线段AB上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，则圆的半径的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 在平行四边形ABCD中，，点M在AB边上，且，则等于( )A. B. C. 1 D. 26.设，，且，则当取最小值时，__________.7.已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为A，上顶点为B，以线段为直径的圆交线段的延长线于点P，若且线段AP的长为，则该椭圆方程为( )A. B. C. D.8. 已知函数，，直线与函数，的图象分别交于N，M两点，记，函数的极大值为( )A. B. C. D.9. 已知，，则( )A. 若，则B. 若，则C. 的最小值为5D. 若向量与向量的夹角为钝角，则10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为( )A. B. 2 C. 3 D. 411. 如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是( )A. 的最大值为B. 的最小值为C. D.平面平面12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则( )A.B.C. 取得最小值时n等于5D. 设，为的前n项和，则13. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为__________.14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，则__________.15.如图，在长方体中，，，，则点到平面的距离为__________16. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，则__________；方程在区间内的解的个数是__________.17. 随机抽取某电子厂的某种电子元件400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6元、2元、1元，而1件次品亏损2元.设1件产品的利润单位：元为求1件产品的平均利润即X的数学期望；经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为，如果此时要求1件产品的平均利润不小于元，则三等品率最多是多少？18.已知数列的前n项和为，且设，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A的大小；若，求面积的最大值及此时边b，c的值.20. 如图所示的多面体是由三棱锥与四棱锥对接而成，其中平面AEB，，，，，，G是BC的中点．求证：；求平面DEG与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．21. 已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，求抛物线C的方程；设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．22. 已知函数的图象在处的切线为若函数，求函数的单调区间；设函数图象上存在一点处的切线为直线l，若直线l也是曲线的切线，证明：实数存在，且唯一.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合交集，属于基础题.根据给定条件结合交集的定义直接计算即可判断作答.【解答】解：因集合，，所以，故选2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，复数的除法运算，属于基础题.根据给定条件利用复数的除法运算化简复数，再结合复数的分类即可作答.【解答】解：，因复数为纯虚数，于是得且，解得，所以故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查对数函数的应用，属于一般题.根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答】解：当时，在上单调递增，而此时，所以，成立，因此“”是命题p：，成立的充分条件；若，，则可知，且时，，因此，从而可得，故必要性成立.故选4.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，韦达定理的应用，属于中档题.先根据圆的方程找出圆心坐标与半径R的值，由题可知当圆的圆心为线段AB的中点时，圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，此时圆的半径r的最大，利用距离公式求出两圆心的距离等于1，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆的半径最大值.【解答】解：由圆，可得圆心，半径，设圆的半径为r，则即故当最小时，r取最大值如图，当圆心为线段AB的中点时，取最小值且圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，设切点为P，联立直线与圆的方程得，消去y得到，设，，则，线段AB的中点的横坐标为，把代入直线方程中解得，，两圆心之间的距离，圆的最大半径故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算，向量加法运算的应用，属于一般题.作于E，于F，用，进行转化，运算即可.【解答】解：如图，作于E，于F，易得，，则故选6.【答案】12【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于中档题．当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得．【解答】解：，，当取最小值时，取最小值，，，，，，，当且仅当即时取等号，当取最小值时，即，时，则，，故答案为7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，属于一般题.推导出、是等腰直角三角形，可得出以及，可求出a、c的值，进而可求得b的值，由此可得出该椭圆的方程.【解答】解：设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段为直径的圆上，所以又因为，所以又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形，，，，得，解得，，得，所以椭圆方程为故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数求函数极值，属于中档题．由题意可设，则，利用函数的性质可求函数的极大值即可.【解答】解：设，，，，由，，，，解得，或，由，得，，，解得，当时，函数有极大值为故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查向量的坐标运算，向量平行、垂直和向量的夹角，属于基础题．直接利用向量的共线，向量的模，向量的数量积，向量的夹角的应用判断各选项的正误．【解答】解：由，得，A不正确;由，，，B正确;，当时，取得最小值5，C正确;当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则或，D不正确.10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦型函数单调性的应用，函数图象变换，属于中档题.根据给定条件求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式作答.【解答】解：依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因为在上为增函数，因此，，即有，解得，所以，选项C，D不满足，选项A，B满足.故选11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，空间位置关系的判定，属较难题.当时，为钝角，A错误；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，可知B正确，利用平面，可得，C正确;利用平面平面，得出平面平面，D正确.【解答】解：设，则，，，当时，，即为钝角，错误；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在上图中，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，正确；由正方体的结构特征可知，，，且平面，平面，又平面，，C正确；平面即为平面，平面即为平面，且平面，平面，平面平面，平面平面，正确.故选：12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于中档题.根据给定条件求出等差数列的公差d，再逐项分析计算即可判断作答.【解答】解：在等差数列中，因，，则公差，则，，A，B正确；，当且仅当，即时取“=”，因，且，，，则取最小值时，n等于6，C不正确；因，则，D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，属于基础题.根据离心率为2，得到的值，从而得到两条渐近线方程，进而可得结果.【解答】解：，，故，所以，两条渐近线方程为：，故两条渐近线对应的倾斜角分别为和，两条渐近线所成的锐角为故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于一般题.利用正弦定理化边为角，再逆用两角和的正弦公式化简，结合三角形的内角和以及诱导公式即可求解.【解答】解：因为，由正弦定理可得：，即，所以，在中，因为，所以，即，所以，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查等体积法求点到面的距离，属基础题．利用，可求点到平面的距离．【解答】解：设点到平面的距离为d，由，可得，又，，解得故答案为：16.【答案】11【解析】【分析】本题考查求函数值，方程根的个数，属于中档题.根据得；根据题意作出和的图象，数形结合即可得答案.【解答】解：，…；在同一坐标系中画出满足条件：①定义域为R；②，有；③当时，的函数与函数的图象：观察图象可得：两个函数的图象在区间内共有11个交点，则方程在区间内的解的个数是：故答案为；17.【答案】解：的所有可能取值有6，2，1，，，，，故X的分布列为X621P设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得，三等品率最多为【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于一般题.的所有可能取值有6，2，1，，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．设技术革新后的三等品率为x，求出此时1件产品的平均利润为，由此能求出三等品率的最大值．18.【答案】证明：由，①则当时，有②①-②得两边同除以，得，即，即，所以数列是等差数列.由，得则，所以，，故公差，所以是以为首项，为公差的等差数列.解：由可知数列是首项为，公差为的等差数列.，即，，③，④③-④得…【解析】本题考查等差数列的判定与通项公式，利用错位相减法求数列的和，数列的递推关系，属于中档题.由已知数列的递推关系可得，与原递推式相减可得，两边同除以，得，即可证得数列是等差数列；由求出数列的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法可得数列的前n项和19.【答案】解：在中由正弦定理得：，为外接圆半径，，，化简得：即，，，，由余弦定理得，又，，，又，，则，当且仅当时，的面积取得最大值为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于一般题.结合正弦定理化简已知条件，求得，从而求得A的大小.利用余弦定理列方程，结合基本不等式，三角形面积公式求解即可.20.【答案】解：证明：平面AEB，平面AEB，，又，，EB，平面BCFE，平面过D作交EF于H，则平面平面BCFE，，，四边形AEHD为平行四边形，，，又，，四边形BGHE为正方形，，又，平面BHD，平面BHD，平面平面BHD，解：平面BCFE，平面AEFD，平面平面BCFE由可知，平面AEFD平面AEFD，取DE的中点M，连接MH，MG ，如图四边形AEHD是正方形，，平面GHM，平面GHM，平面GHM，是二面角的平面角，在中，，，，，平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为【解析】本题考查线线垂直，考查面面角，属于中等题.证明，只需证明平面BHD，证明，即可；先证明是二面角的平面角，再在中，可求平面DEG与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.21.【答案】解：因为，在抛物线方程中，令，可得于是当直线与x轴垂直时，，解得所以抛物线的方程为由题意知直线AB的方程为，因为抛物线的准线方程为，所以由，消去x得设，，则，若点满足条件，则，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以代入化简可得，将，代入，解得将代入抛物线方程，可得于是点为满足题意的点．【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题.由题意可得，即可求出抛物线的方程.由题意知直线AB的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标.22.【答案】解：函数定义域为，求导得：，因的图象在处的切线为，则有，解得，即，因此，，且，，所以函数的单调递增区间为和，无单调递减区间.证明：由函数得，，，则切线l的方程为，即，设直线l与曲线相切于点，由求导得：，则直线l的方程也为，即，因此有：，即，整理得：，由知，在区间上递增，又，，于是得方程必在区间上有唯一的根，即方程在上有唯一的根，因，，因此，方程在上唯一的根就是，而，所以存在，且唯一.【解析】本题考查导数的应用，导数的几何意义，属于难题.根据给定条件结合导数的几何意义求出函数，再借助导数求出函数的单调区间.利用导数的几何意义求出直线l，设出l与曲线相切的切点，写出由该切点所得的切线l，再借助函数性质，结合函数的零点即可推理作答.。

一、单选题二、多选题1. 已知两个全等的矩形与所在的平面相互垂直，，，点为线段（包括端点）上的动点，则三棱锥的外接球的半径可以为（ ）A．B．C．D．2. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 若复数满足，则（ ）A．B．C ．1D ．54.椭圆与椭圆的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5. 已知，平面ABC ，若，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的体积为（ ）A ．B．C．D．6. 在数列中，已知，则的前10项的和为（ ）A ．1023B ．1024C ．2046D ．20477. 已知的边的中点为D ，点E 在所在平面内，且，若，则（ ）A ．7B ．6C ．3D ．28.已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）A．B ．3C．D．9. 甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61、83、84、87、90、91、92．则下列说法正确的有（ ）A ．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小B ．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小C ．这7个分数的平均数小于中位数D ．这7个分数的第70百分位数为8710. 已知三棱锥，过顶点B 的平面分别交棱，于M ，N （均不与棱端点重合）．设，，，，其中和分别表示和的面积，和分别表示三棱锥和三棱锥的体积．下列关系式一定成立的是（ ）A．B．C．D．11. 已知函数，则（ ）A．过点有且只有一条直线与曲线相切B ．当时，C．若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1D ．若，，则湖南省衡水金卷2022-2023学年高三二调数学试题(2)湖南省衡水金卷2022-2023学年高三二调数学试题(2)三、填空题四、解答题12. 在如图所示的平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点.则（）A ．若A 点的横坐标为，点的纵坐标为，则B．C．D ．以，，为三边构成的三角形的外接圆的面积为13.在锐角中，已知，则的最小值为________.14.若函数在上存在唯一零点，则实数的取值范围是_______.15.的二项展开式中的系数为______.16. 有一种曲线画图工具如图1所示，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动，跟踪动点的轨迹得到曲线，跟踪动点的轨迹得到曲线，以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)分别求曲线和的方程；(2)曲线与轴的交点为，，动直线与曲线相切，且与曲线交于，两点，求的面积与的面积乘积的取值范围.17. 如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥.(1)若，求证：平面平面；(2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.如图，在直三棱柱中，；点，分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为．(1)求异面直线与的距离；(2)若，求二面角的平面角的正切值．19. 已知定义域为函数有极值点.（1）求实数的取值范围；（2）若为的极小值点，求证：20. 已知函数图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为.(1)求的单调递增区间；(2)当时，求的值域.21. 某超市计划销售某种产品，先试销该产品天，对这天日销售量进行统计，得到频率分布直方图如图．(1)若已知销售量低于50的天数为23，求；(2)厂家对该超市销售这种产品的日返利方案为：每天固定返利45元，另外每销售一件产品，返利3元；频率估计为概率．依此方案，估计日返利额的平均值．。

一、单选题二、多选题1. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A．B．C．D．2. 某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（ ）A ．26B ．30C ．32D ．363. 已知集合，，则（）A．B．C．D．4. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ）A．B．C．D．5. 数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知，那么等于（ ）A．B．C．D．7.已知函数，则f （x ）的大致图象为（ ）A．B．C．D．8. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）A ．(-∞，3]B ．[2，3]C ．(2，3]D ．（2，3）9.若是函数（为自然对数的底数）图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（ ）A．B ．最小值为1C．的最小值为D．的最大值为10.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ）湖南省衡水金卷2022-2023学年高三二调数学试题(2)湖南省衡水金卷2022-2023学年高三二调数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．设总样本的平均数为，则B ．设总样本的平均数为，则C ．设总样本的方差为，则D ．若，则11. 从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a ，b，记点，，，则（ ）A ．是锐角的概率为B ．是直角的概率为C ．是锐角三角形的概率为D ．的面积不大于5的概率为12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D ．函数在上单调递增13. 已知a ，b ，c 为某三角形的三边长，其中，且a ，b 为函数的两个零点，若恒成立，则M 的最小值为__________．14.已知函数且，且，则的值是_________15. 木星的表面积约是地球表面积的120倍，则它的体积约是地球体积的_________倍.16. 点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将，折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2.（1）证明：；（2）若正方形ABCD 的边长为6，求点M 到平面DEF 的距离.17. 如图，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，，.(1)求三棱锥的体积；(2)求证：BC ⊥平面；(3)求直线PC与平面所成角的正切值.18. 如图，在底面半径为、高为的圆柱中，分别是上、下底面的圆心，四边形是该圆柱的轴截面，已知是线段的中点，是下底面半圆周上的三等分点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．19. 已知函数f（x）＝a（|sin x|+|cos x|）﹣sin2x﹣1，a∈R．（1）写出函数f（x）的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数f（x）的最大值；（3）当a＝1时，若函数f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．20. 某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩频率(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知样本中竞赛成绩在的男生有人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取人进行调查，记抽取的男生人数为，求的分布列及期望.21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．(1)证明：直线平面PAD；(2)当二面角为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．。

2022年河北省石家庄市衡水中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）．A．B．C．D．参考答案：D：的，在区间上先减后增；：的，在区间上为增函数；：的，在区间上为减函数；：符合，且在区间上为减函数．∴选择．2. 复数的共轭复数为，若，则a=A.±1B. ±3C. 1或3D. －1或－3参考答案：A3. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差（）A．2 B．1 C．D．参考答案：C试题分析：每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布，即,所以，故选C.考点：二项分布.4. 以下判断正确的是A．函数为R上的可导函数，则“”是“为函数极值点”的充要条件B．命题“存在x∈R，<0”的否定是“任意x∈R，>0”．C．命题“在ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆命题为假命题．D．“b=0”是“函数是偶函数”的充要条件．参考答案：D5. 已知为第三象限角，且，则的值为A． B． C． D．参考答案：B略6. 在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：且最后发现，两个分类变量X和y没有任何关系，则m的可能值是A．200 B．720 C．100D．180参考答案：B7. 若将正方体(如图4－1)截去两个三棱锥，得到如图4－2所示的几何体，则该几何体的侧视图是图4-1 图4-2A．B．C．D．参考答案：B8. 已知数列的前n项和，且，猜想等于A. B. C. D.参考答案：B9. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点与的夹角为,且，则b=( )A．1 B． C. D．参考答案：B本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设,M,则，两式作差得.因为,所以.即.设直线的倾斜角为，则或，.又,由，解得,即.10. 已知集合A={1,2,3},集合B={x|x2－5x+4＜0},则集合A∩B的子集的个数为( )A. 4B.3C. 2D. 1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面向量的夹角为60°，13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝a cos C，则cos A＝ .参考答案：略12. （不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .参考答案：.不等式可以表示数轴上的点到点和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点到点和点1的距离之和最小时即是在点和点1之间时，此时距离和为，要使不等式有解，则，解得.13. 已知，，，则x．y．z的大小关系为；参考答案：14. 若函数有零点，则k的取值范围为_______.参考答案：； 12 .15. 公差不为0的等差数列的前n项和，若成等比数列，则.参考答案：1916. 正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为____ ．参考答案：如图3，设三棱锥的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以.17. 某同学为研究函数的性质，构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河北省衡水中学2022届高三下学期二调数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,5-B ．(]1,1-C ．()1,3D ．[)1,32．若()20221i(2i)z =-+，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．4C ．2iD ．4i3．设 1.612a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 6b =，238c -=，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lge 0.4343)≈（ ） A ．1086B ．1229C ．980D ．10605．宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为60cm ，高为6cm ，中间一层的正棱柱高为18cm.设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（ ）A ．2650cm πB ．21300cm πC ．21500cm πD ．22600cm π 6．在抛物线28y x =上有三点A ，B ，C ，F 为其焦点，且()13AF AB AC =+，则AF BF CF ++=（ ）A ．6B ．8C ．9D ．127．双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=是高等数学中重要的函数之一.定义在R 上的函数(1)f x +的图象关于点(1,1)-对称，且当0x ≥时，()cosh f x x =，则不等式(1)(23)2f x f x ++->的解集为（ ） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(2,)+∞8．在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，O 是侧面11A ADD 的中心，E ，F 分别是11B C ，1CC 的中点，点M ，N 分别在线段OB ，EF 上运动，则MN 的最小值为（ ）A．B ．3 C ．D ．二、多选题9．（多选）下列命题正确的是（ ）A ．若()sin cos f x x x x =+，则()sin cos sin f x x x x x '=-+B ．设函数()ln f x x x =，若()02f x '=，则0e x =C ．已知函数()23e xf x x =，则()112e f '=D ．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-10．已知曲线C 方程为：()222101x y m m m-=≠+，则下列结论正确的是（ ）A ．若0m >，则曲线C 为双曲线B ．若曲线C 为椭圆，则其长轴长为C ．曲线C 不可能为一个圆D ．当1m =时，其渐近线方程为2xy =±11．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．函数4()e 1x f x a x π-⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为-1，且在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上唯一的极大值点为0x ，则下列说法正确的有（ ） A ．1a = B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调C ．03,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．()01f x <三、填空题13．曲线2()2e e x f x x =-+在点(0,(0))f 处的切线方程为________.14．如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1P ，2P ，…，10P ，记()21,2,,10i i M AB AP i =⋅=，则1210M M M +++=______．15．函数3π()sin 2cos 4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值为________.四、双空题16．已知0,0,a b >>3a b ab ++=，则ab 的最大值为_________；则2244()413a b a b a b ab +-+-+++的取值范围是_________．五、解答题17．已知数列{}n a 满足()1*21(N )n n na n a n +=+∈，且11a =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()1n n na b n n=+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项的和2n S 18．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，BC //AD ，AD ⊥CD ，BC ＝2，AD ＝3，CD ＝AD 上一点E 满足DE ＝1，现将⊥ABE 沿BE 折起到⊥PBE 的位置，使平面PBE ⊥平面BCDE ，如图2所示．(1)求证：PC BE⊥；(2)求平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值．19．在⊥cb是1和tantanAB的等差中项；⊥22cos0b c a C--=；⊥222cos cos sin sin1cosB C B C A++=+．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足条件（填写所选条件的序号）．(1)求角A；(2)若a=ABC的周长的取值范围．20．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>长轴长为4，P在C上运动，F1，F2为C的两个焦点，且cos⊥F1PF2的最小值为12．(1)求C的方程；(2)已知过点(0,)()M m b m b-<<的动直线l交C于两点A，B，线段AB的中点为N，若OA OB OM ON⋅-⋅为定值，试求m的值．21．非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了110，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 22．已知函数()212ln 2f x x x ax x =-- （a ∈R ）存在极值点．(1)求实数a 的取值范围：(2)若0x 是()f x 的极值点，求证：020032e 1x x ax -≤<-． 参考数据：ln 20.69≈．参考答案：1．D 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式解得集合A ，然后利用交集运算法则求出答案. 【详解】 解：由题意得：{}{}2230|13A x x x x x =--<=-<<，{}15B x x =≤≤{}[)|131,3A B x x ∴=≤<=故选：D 2．A 【解析】 【分析】由虚数i 的性质求出202221i i ==-，从而根据虚部的定义即可求解. 【详解】解：因为202221i i ==-，所以()20221i (2i)2(2i)42i z =-+=+=+，所以z 的虚部为2， 故选：A. 3．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可 【详解】11.6.6122a -⎛⎫= ⎪=⎝⎭，()232323228c ---===，因为2x y =在R 上为增函数，且2 1.60-<-<， 所以2 1.6002221--<<<=，即01c a <<<， 因为3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且63>，所以33log 6log 31>=，即1b >， 所以 c a b <<， 故选：C 4．A 【解析】 【分析】由题中的定义，可知是计算ln1100000000，再根据对数的运算法则及性质求解即可.【详解】由题意，可知100002500(10000)2500lg e 25000.43431086ln100004ln10l 00100n 10π≈===≈⨯≈.故选:A 5．B 【解析】 【分析】根据正六棱柱的外接球的直径2R 是其对角线的长，从而可得外接球的半径，利用外接球表面积公式计算即可得到答案. 【详解】由题意，将该宫灯看成一个高为26+18=30cm ⨯、底面边长为6010cm 6=的正六棱柱. 而正六棱柱的外接球（球形盒子）的直径2R 是其对角线的长，则2R =得R =222441300R cm πππ=⨯=. 故选：B 6．D 【解析】 【分析】设出,,A B C 的坐标，根据()13AF AB AC =+列方程，化简求得123x x x ++，结合抛物线的定义求得AF BF CF ++. 【详解】依题意28,22pp ==. 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()2,0F ，()112,AF x y =--，()2121,AB x x y y =--， ()3131,AC x x y y =--，又()13AF AB AC =+，故()12131123x x x x x -=-+-，⊥1236x x x ++=，⊥123612AF BF CF x x x ++=+++=． 故选：D 7．A 【解析】 【分析】先推出()f x 的图象关于点(0,1)对称，则()()2f x f x +-=，再将不等式化为(23)(1)f x f x ->--，然后根据导数判断函数()f x 的单调性，利用单调性可解得结果.【详解】因为函数(1)f x +的图象关于点(1,1)-对称，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称， 所以()()2f x f x +-=，所以(1)(1)2f x f x ++--=， 所以2(1)(1)f x f x -+=--，所以不等式(1)(23)2f x f x ++->等价于(23)2(1)(1)f x f x f x ->-+=--， 因为当0x ≥时，()cosh f x x =，e e ()2x xf x --'=0≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 当0x <时，e e ()2()2cosh()22x x f x f x x -+=--=--=-，e e ()2x xf x --+'=-0>， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，又因为()f x 的图象连续不断，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， 所以(23)(1)f x f x ->--等价于231x x ->--，得23x >， 所以不等式(1)(23)2f x f x ++->的解集为2,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A 8．C 【解析】 【分析】以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设()01OM OB λλ=≤≤，()01FN FE μμ=≤≤，则()22,4,22M λλλ+-，()2,4,22N μμ+，根据空间中两点间的距离公式求出MN ，利用配方法即可求解. 【详解】解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，由题意，()2,0,2O ，()4,4,0B ，()2,4,4E ，()0,4,2F ，因为点M ，N 分别在线段OB ，EF 上运动，所以设()01OM OB λλ=≤≤，()01FN FE μμ=≤≤， 所以()22,4,22M λλλ+-，()2,4,22N μμ+，所以MN ==所以当12μλ==时，min MN ==所以MN 的最小值为 故选：C. 9．BD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式求解即可. 【详解】对于选项A , 即()sin cos sin f x x x x x '=+-，则选项A 不正确；对于选项B ,即()ln 1f x x '=+, 则()00ln 12f x x =+'=，解得0e x =，则选项B 正确；对于选项C ,即()26e 3e x xf x x x '=+，则()16e 3e 9e f '=+=，则选项C 不正确；对于选项D ,即()()1232f x x f x''=++，()()124322f f ''=++，解得()924f '=-，则选项D 正确. 故选：BD . 10．AC 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线标准方程的结构特征及其几何性质可得. 【详解】当0m >时，显然A 正确；当0m <，210m m +>->，故a =2a =B 不正确；因为21m m +>-恒成立，所以C 正确；当1m =时，方程为2212x y -=，其渐近线方程为y =，故D 不正确. 故选：AC 11．ABC 【解析】 【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可． 【详解】观察此数列，偶数项通项公式为222n a n =，奇数项是后一项减去后一项的项数，2122n n a a n -=-，故C 正确；由此可得220210200a =⨯=，故A 正确；192020180a a =-=，故B 正确；2(1)n S n n n n =-=-是一个等差数列的前n 项，而题中数列不是等差数列，不可能有(1)n S n n =⋅-，故D 错误． 故选：ABC ．12．ABD 【解析】 【分析】由题可得4()e x f x a x π-'=-，由()14f π=-可知，()04f π'=，进而可求1a =，然后再证明即可判断选项AB ；再利用数形结合可得()'f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即可判断选项CD. 【详解】解：⊥4()e 1x f x a x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，⊥4()e x f x a x π-'=-，又函数4()e 1x f x a x π-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为1-，⊥函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以选项B 正确；又44()e 1144f a ππππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ⊥4x π=时，函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上取得最小值， 可得原条件的一个必要条件()04f π'=，⊥44()e 1044f a a ππππ-'=-=-+=，即1a =，下面证明充分性：当1a =时，4()e 1x f x x π-=-，4()e x f x x π-'=-， 令()4exg x x π-=-，则()40os e xx g x π-'=>，⊥函数()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又44(0)e 0,()e 02f f πππ-''=-<=-，⊥函数()'f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点4x π=，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '>，⊥函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为()14f π=-，综上，1a =故选项A 正确；⊥4()e x f x x π-'=-+，令4()e 0x f x x=π-'=-+，得4e x x π-，由函数图像可知4e x ,y y x π-==在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个交点，即存在唯一0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得040e xx π-，又3243()e 10,()e 04f >f ππππ--''=-+=-<，故03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 错误；且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<，⊥在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 唯一的极大值点0x ，040000()e 11x f x x x x π-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭02sin 14x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，⊥03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，03,424x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，⊥00()2sin 12114f x x π⎛⎫=--<-= ⎪⎝⎭.故选项C 错误，选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把函数的极值问题，转化为函数的零点问题，再计算极值的范围.13．2e 20x y +-+= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出结果. 【详解】因为()22e x f x x '=-，所以(0)2f '=-， 又(0)2e f =-+，所以曲线2()2e e x f x x =-+在点(0,(0))f 处的切线方程为(2e)2(0)y x --+=--， 即2e 20x y +-+=. 故答案为：2e 20x y +-+=. 14．180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B ，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y i i y +=坐标表示，计算即可得到所求和． 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得(1B ，(2B ，(3B ，()36,0C ，直线33B C 的方程为6)y x =-，可设(,)i i i P x y ，()1,2,,10i =i i y +=(23,AB =，(),i i i AP x y =，即有23)18i i i i i i M AB AP x y =⋅==+=， 则12101810180M M M +++=⨯=．故答案为：180．15．98-【解析】 【分析】先用三角恒等变换化简得到)()2sin cos cos sin f x x x x x =++，设cos sin x x t ⎡+=∈⎣，换元后，再配方求出最小值.【详解】)3π3π3π()sin 2cos sin 2cos cos sin sin 2sin cos cos sin 444f x x x x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，令cos sin x x t ⎡+=∈⎣，则22sin cos 1x x t =-，故()22918g t t t ⎛=-=- ⎝⎭，所以当t =时，()min 98g t =- 故答案为：98-16． 1 21[,)1110-- 【解析】 【分析】利用基本不等式可得3a b ab ab ++=≥，可求01ab <≤；根据基本不等式可得()2032a b ab a b +⎛⎫<=-+≤ ⎪⎝⎭，解得23a b ≤+<，又2244()413a b a b a b ab +-+-+++可化为24()6()19a b a b a b +-+-++，令4t a b =--，可得24()6()19a b a b a b +-=+-++1112t t -+-，再设11y t t=+，然后利用函数的单调性可求取值范围. 【详解】⊥0,0,a b >>3a b ab ++=，⊥3a b ab ab ++=≥，当且仅当a b =时取等号，⊥)310≤，10≤即01ab <≤，⊥ab 的最大值为1；由3a b ab ++=可得()2032a b ab a b +⎛⎫<=-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，⊥解得23a b ≤+<，⊥142a b <--≤ 令4t a b =--，则(1,2]t ∈，又[]222444()413()4()23()13a b a b a b a b ab a b a b a b +-+-=+-++++-++-++ 224()6()19(4)6(4)19a b ta b a b t t +--==+-++---+21112112t t t t t--==-++-，设11y t t =+，(1,2]t ∈，则21110y t'=-<， 所以函数在(1,2]t ∈为减函数，⊥1115[,12)2y t t =+∈， ⊥11112[,10)2t t +-∈， ⊥121[,)1111102t t-∈--+-， 即2244()413a b a b a b ab +-+-+++的取值范围是21[,)1110--. 故答案为：1；21[,)1110--. 17．(1)112n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭(2)212122n n S n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用累乘法求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用分组求和法求得2n S . (1)⊥()121n n na n a +=+，11a =，*N n ∈，⊥0n a ≠， ⊥1112n n a n a n++=⋅， ⊥1121n n a n a n -=⋅-，121122n n a n a n ---=⋅-，231223n n a n a n ---=⋅-，…，211221a a =⨯，将上述式子左右分别相乘得11121n n a n a -⎛⎫=⋅⎪⎝⎭， ⊥()1122n n a n n -⎛⎫=⋅≥ ⎪⎝⎭．⊥11a =满足上式，⊥112n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．(2)⊥()1n n n a b n n =+-⋅，令112n n n a c n -⎛⎫== ⎪⎝⎭，()1nn d n =-⋅，{}n c 的前2n 项和为2nT，{}n d 的前2n 项和为2n M ，⊥22121112121212n n n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-， ()()()()()2122123412112n nn M n n n -⋅=-++-++⋅⋅⋅+--+-⋅=，⊥21222122n n n nS T M n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭．18．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）取BE 的中点O ，通过证明BE ⊥平面POC 来证得PC BE ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面PBE 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值. (1)取BE 中点O ，连接AO ，CO ，CE ，因为BC ＝2，AD ＝3，DE ＝1，所以2AE BC ==， 又因为AD //BC ，所以AE //BC ， 所以四边形ABCE 是平行四边形，因为1,,CD DE AD CD ==⊥所以2,60CE BC DEC =∠=，所以ABCE 为边长为2的菱形，且60BAE DEC ∠=∠=， 所以ABE △和BEC △都是正三角形， 所以PO ⊥BE ，CO ⊥BE ，又因为PO CO O =，所以BE ⊥平面POC ， 又因为PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥BE ．(2)由于平面PBE ⊥平面BCDE ，且交线为BE ，OP BE ⊥， 所以OP ⊥平面BCDE ，所以,OP OB OP OC ⊥⊥， 由（1）知OB 、OC 、OP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，(()(),1,0,0,P E C -，⊥()()1,0,3,1,3,0EP EC ==， 设平面PCE 的法向量为(),,n x yz =，则()(()(),,0,,0n EP x y z x n EC x y z x ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅==⎪⎩， 令1y z ==-得()3,1,1n =--，由（1）知平面PBE 的法向量为()0,1,0m =，所以平面PBE 与平面PCE所成锐二面角的余弦值为1cos 5m n m nθ⋅===⋅【点睛】19．(1)条件选择见解析，3A π=；(2)(3+. 【解析】 【分析】（1）选⊥，利用正弦定理结合三角恒等变换求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选⊥，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选⊥，利用同角三角函数的平方关系、正弦定理以及余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）求出角B 的取值范围，利用正弦定理以及三角恒等变换可得出a b c ++关于B 的三角函数关系式，利用正弦型函数的基本性质可求得a b c ++的取值范围.(1)解：选⊥，由已知可得tan 21tan A cB b+=， 所以，()sin 2sin sin cos sin cos cos sin sin 1sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B C A B A B A B CB A B A B A B A B++=+===， B 、()0,C π∈，则sin 0B >，sin 0C >，可得1cos 2A =，()0,A π∈，故3A π=；选⊥，因为22cos 0b c a C --=，由正弦定理可得2sin 2sin cos sin B A C C -=， 所以，()sin 2sin 2sin cos 2cos sin C A C A C A C =+-=， 因为()0,C π∈，则sin 0C >，可得1cos 2A =， ()0,A π∈，故3A π=.选⊥，222cos cos sin sin 1cos B C B C A ++=+，则2222sin sin sin sin 2sin B C B C A --+=-，即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， ()0,A π∈，故3A π=；(2)解：因为ABC 为锐角三角形，则022B A B ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，可得62B ππ<<，由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，则2sin b B =，2sin c C =，所以，2sin 2sin 2sin 2sin 3a b c B C B B π⎛⎫++=+=++ ⎪⎝⎭2sin sin 3sin 6B B B B B B π⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭因为62B ππ<<，则2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故(36a b c B π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭. 20．(1)22143x y +=；(2)m =【解析】 【分析】（1）设|PF 1|，|PF 2|长分别为p ，q ．利用余弦定理及基本不等式可得222112b a -=，结合条件即求；（2）直线l 的斜率不存在，可得3OA OB OM ON ⋅-⋅=-，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ，利用韦达定理法及数量积的坐标运算可得OA OB OM ON ⋅-⋅=2243343m k --++，即得. (1)由题意得a ＝2，设|PF 1|，|PF 2|长分别为p ，q ．则2p q a += 222124cos 2p q c F PF pq +-∠=22()422p q c pqpq+--==2222222222111()2b pq b b b p q pq pq a -=-≥-=-+ （当且仅当p ＝q 时取等号）从而222112b a -=，得2234b a =，⊥224,3a b ==，则椭圆的标准方程为22143x y +=． (2)若直线l 的斜率不存在，易得3OA OB OM ON ⋅-⋅=-；若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222()4384120k x kmx m +++-=，易知0∆>恒成立， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(,)22x x y y N ++， 且122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+，1212122y yOA OB OM ON x x y y m +⋅=⋅=+-⋅＝121212()()()2mx x kx m kx m kx m kx m +++-+++ ＝2221212224128(1)()(1)243243km m km km k x x x x k k k --+++=++⋅++ ＝22222222124123(43)43433434343k m k m m k k k -+--++--==-++++， 要使上式为常数，必须且只需2430m -=，即(m =． 此时3OA OB OM ON ⋅-⋅=-为定值，符合题意．综上可知，当m =时，能使得若3OA OB OM ON ⋅-⋅=-． 21．(1)3350； (2)该同学没有希望进入决赛. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论所有可能的情况，再求其概率之和即可；（2）由题可得12p p +，先计算强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率的最大值，再根据5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X 服从二项分布，估算()E X ，结合题意即可判断. (1)由题可知，所有可能的情况有：⊥规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率124312255325C C P C C ⋅==⋅， ⊥规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率21143222255925C C C P C C ⋅⋅==⋅，⊥规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率224332255950C C P C C ⋅==⋅，故所求的概率3993325255050P =++=． (2)设强化训练后，规定作品入选的概率为1p ，创意作品入选的概率为2p ， 则12431355102p p +=++=， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：()()12222122222112221222212211P C p p C p C p C p p C p C p =-⋅+⋅-+⋅()()212121223p p p p p p =+- ()2121233p p p p =-⊥1232p p +=，且1243,55p p ≥≥，也即213433,2525p p -≥-≥，即2179,1010p p ≤≤故可得：149510p ≤≤，237510p ≤≤， 2121113392416p p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⊥122714,5025p p ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，令12p p t =，则()221333324P t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在2714,5025⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，⊥()2272333505044P t P ⎛⎫⎛⎫≤=-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ⊥该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数()5,X B P ~， ⊥315()55444E X P =<⨯=<，故该同学没有希望进入决赛．【点睛】本题考察概率的求解以及二项分布、解决问题的关键是求得某一轮获得“巧手奖”的概率的范围，再估算5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X 的数学期望，涉及函数值域问题，范围问题，属综合困难题.22．(1)a ∞⎛∈- ⎝⎭(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，转化为2ln 1x a x +=，构造函数()2ln 1x g x x+=，利用导数求出最值即可； （2）根据极值点的定义可得002ln 1ax x =+，将所证不等式转化为00000322ln e 1x x x x x -≤+<-，进一步构造函数，求出最值，即可证明不等式.(1)由题意，得()2ln 10f x x ax '=-+=（0x >）有非重根， 变形得2ln 1x a x+=． 记()2ln 1x g x x +=，则()212ln xg x x -'=， 令()0g x '=，得x = 则()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，故()max g x g==当0x →时，()g x →-∞，所以()g x ⎛∈-∞ ⎝⎦，所以a ∞⎛∈- ⎝⎭． (2)由题意可得，()0002ln 10f x x ax '=-+=，得002ln 1ax x =+．要证020032e 1x x ax -≤<-，即证00000322ln e 1xx x x x -≤+<-（000,x x >．⊥先证0000322ln x x x x -≤+，只需证001ln 1x x +≥． 记()1ln t x x x=+()0x >，则()21x t x x -'=．令()0t x '=，得1x =，所以()t x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 故()()min 11t x t ==，所以()1t x ≥，故原不等式左边证毕．⊥再证00002ln e 1xx x x +<-．法1：原式即证()e 2ln 10xx x x x ϕ=--->(000,x x >≠． 由()x ϕ可得，()e 2ln 3xx x ϕ'=--，所以()2e xx xϕ''=-在()0,∞+上单调递增．又因为()1e 20ϕ''=->，1402ϕ⎛⎫''=< ⎪⎝⎭，所以11,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10x ϕ''=，所以()x ϕ'在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增． 又因为0x →，()x ϕ'→+∞；x →+∞，()x ϕ'→+∞，()1e 30ϕ'=-<，所以23,x x ∃，()()230x x ϕϕ''==，231x x <<．由332233e 32ln e 4022ϕ⎛⎫'=-->-> ⎪⎝⎭，所以331,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()33e 2ln 30xx --=*，所以()x ϕ'在()20,x ，()3,x +∞上单调递增，()23,x x 上单调递减．()()33333333e 2ln 121ln 2x x x x x x x x ϕ=---=-+-．记()()21ln 2x x x x τ=-+-，31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22ln 3x x xτ'=--在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且()110τ'=-<，所以()x τ在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．又因为91ln 3134ln 02222τ-⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，所以()30x ϕ>．又因为0x →，()0x ϕ→，所以()0x ϕ>．法2：原式即证2e 12ln 1x x x x-+>(000,x x >≠．由（1）可得，()2ln 1x g x g x +=<=． 记()2e 1x s x x -=，则：()()32e 2x x s x x -+'=．记()()2e 2x r x x =-+，则()()1e xr x x '=-，故()r x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．又因为()00r =，3234e 022r -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()20r >，所以3,22x *⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()0r x *=即()2e 20x x **-+=，所以()s x 在()0,x *上单调递减，在(),x *+∞上单调递增，所以()()()222min21e 1142311x x s x s x x x x ******---====>-- 即()()min max s x g x >，所以2e 12ln 1x x x x-+>，故原不等式右边证毕．法3：即证000e 12ln 1x x x -+<．记()2ln 1h x x x =+-，则()2xh x x-'=， 所以()h x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， 故()()max 22ln 21h x h ==-．记()e 1x k x x x -=-，则()()()21e 1e e 11x x x x x x k x x x----+'=-=． 记()e 1xx x μ=--，()0,x ∈+∞， 则()e 10xx μ'=->在()0,∞+恒成立，所以函数()e 1xx x μ=--在()0,∞+上单调递增，所以()()00x μμ>=，即e 10x x -->在()0,∞+恒成立． 令()0k x '=，解得1x =，所以()k x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 故()()min 1e 2k x k ==-．又因为e 22ln 21->-，所以()()h x k x <，即e 12ln 1x x x x x-+-<-， 所以00002ln e 1xx x x +<-，故原不等式右边证毕．综上所述，020032e 1x x ax -≤<-．【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数证明不等式，其中的关键点是构造适当的函数.可通过构造一个函数，经过一阶、二阶导数，以及其中的部分函数求导，求出函数的最值，从而证明不等式；也可左右两边分别构造函数，如欲证2e 12ln 1x x x x -+>，令()2ln 1x g x x +=，()2e 1x s x x-=，利用导数的方法，求出()max g x 和()min s x ，发现()()min max s x g x >，则该不等式也得证.。

一、单选题1. 复数z 1=3+i,z 2=1－i ，则z=z 1·z 2在复平面内的对应点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（）A．B．C．D．3. 已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知非零向量，，，那么“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（ ）A．B ．3C ．4D ．66.一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7.设向量，则等于（ ）A．B．C．D．河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（二）数学试题(高频考点版)河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（二）数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题8. 设集合，，则( )A．B．C．D．9. 有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（ ）A．B．C．D．10. 与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白银分割率．若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，则随着n 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越接近白银分割率．记该数列为，其前n 项和为，则下列结论正确的是（ ）A ．（）B．C．D．11. 在长方体中，为的中点，则（ ）A．B ．平面C．点到直线的距离为D ．点到平面的距离为12. 已知随机变量X 服从正态分布N （100，102），则下列选项正确的是（ ）（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）A ．E （X ）＝100B ．D （X ）＝100C ．P （X ≥90）＝0.8413D ．P （X ≤120）＝0.998713. 已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则_____________.14.已知是等比数列的前项和，，则___________.15.若，则______．16. 设A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B在单位圆上，且其横坐标为，直角坐标系原点为O .(1)设α是以OA 为始边，OB 为终边的角，求的值；(2)若P在单位圆上，且位于第一象限，点在第二象限，求的面积S 的最大值.17. 某班班主任对本班55名学生参加体育类社团与文艺类社团的情况进行了调查，统计结果如下：体育类社团文艺类社团男同学1218女同学1510（1）根据上表说明，是否有85%的把握认为参加社团的类别与性别有关？（2）从男同学中，根据参加社团的类别按分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人作为代表参加学校组织的视频会议，求选取的2人中参加体育类社团、文艺类社团的同学各1名的概率．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.0763.841 5.024 6.6357.87910.82818. 已知，，．(1)若，求x的值；(2)求的最大值及取得最大值时相应的x的值．19. 已知数列的前项和，，且满足（）.（1）证明数列为等差数列；（2）求.20. 如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.21. 已知正项数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．。