函数图像ppt课件(第一课时y=Asin(ωx+φ))-数学高一必修4第一章1.5人教A版

)
图 1－3－2
π π π π 2x＋6＝sin2x＋3＝cos2－2x＋3
π π ＝cos－2x＋6＝cos2x－6，故选
B.
(2)因为函数
π y＝2sinx＋3的图象向左平移
m 个单位长度，
法二
由图象知
π 5π A＝3，且图象过点3，0和 6 ，0，
π ω＋φ＝π， 3· 根据五点作图法原理，有 5π· ω＋φ＝2π， 6
π π 解得 ω＝2，φ＝ ，∴y＝3sin2x＋3. 3
法三 由图象，知 A＝3，T＝π，又图象过点
π π π 令 2kπ － 2 ≤x － 3 ≤2kπ ＋ 2 (k ∈ Z) 得 原 函 数 的 增 区 间 为
π 5 2kπ－ ，2kπ＋ π(k∈Z). 6 6
π π 3 令 2kπ ＋ 2 ≤x － 3 ≤2kπ ＋ 2 π ， (k ∈ Z) 得原函数的减区间为
5 11 2kπ＋ π，2kπ＋ π(k∈Z). 6 6
的图象，并写
出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间和 对称轴方程.
【分析】 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期 的图象，左、右扩展可得图象，然后根据图象研究性质.
【解析】
①列表： π 5 4 11 7 x π π π π 3 6 3 6 3 π π 3 0 π x－ π 2π 3 2 2 y 3 5 3 1 3
(2)五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一
φ 个零点－ω，0 作为突破口.“五点”的
ωx＋φ 的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ； 2 “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝ ； 2 “第五点”为 ωx＋φ＝2π.
【跟踪训练 3】 (2014· 湖南师大附中高一检测)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， π π ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示，将 f(x)的图象向右平移 个 2 6 单位长度后得到函数 g(x)的图象， 则 g(x)的单调递增区间为(
π π A.2kπ－6，2kπ＋3 (k∈Z) π 5π B.2kπ＋3，2kπ＋ 6 (k∈Z) π π C.kπ－6，kπ＋3 (k∈Z) π 5π D.kπ＋3，kπ＋ 6 (k∈Z)
所得图象对应的函数为
π π y＝2sin x＋3＋m 是偶函数，所以 ＋m＝ 3
π π kπ＋2，k∈Z，即 m＝kπ＋6，k∈Z，又 m＞0，所以 m 的最小值 π 为6，故选 B.
【答案】 (1)B (2)B
求三角函数的解析式
【例 3】 如图所示的是函数 确定其一个函数解析式.
y＝sin 2x
π 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 其中正确的是 3 ________.(写出所有正确结论的序号)
【解析】
因为
11π 11π π f 12 ＝sin2× 12 －3＝－1，所以图象
C
2π 2π π 11π 关于直线 x＝ 12 对称，即①正确；因为 f 3 ＝sin2× 3 －3＝0，
度的大小.
利用图象变换法作 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象
1．将 y＝f(x)的图象 向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位 得到 y＝f(x＋a)的图象．
2．y＝sin(x＋ )的图象。 4
1 3.函数 y＝sin x，y＝sin 2x 和 y＝sin x 的周期分别是2π，π，4π. 2
【跟踪训练 1】 (2014· 天津高一检测)函数
π f(x)＝sin2x－3 的图象为
C，有以
2π 11π 下结论： ①图象 C 关于直线 x＝ 对称； ②图象 C 关于点 3 ，0 12
对称；③函数
π 5π f(x)在区间－12，12 上是增函数；④由
C，故④不正确.综上，应填①②③.
【答案】
①②③
运用图象变换作函数图象
π 1 【例 2】已知函数 y＝ sin2x＋6 ，该函数的图象如何由 y＝ 2 sin x(x∈R)的图象经过变换得到？
【分析】 变换方法有两种：一种是先进行相位变换，后进 行周期变换；另一种是先进行周期变换，后进行相位变换.
探究新知
正弦型函数
【问题导思】 一个弹簧振子作简揩振动，如图甲所示，该弹簧振子离开平 衡位置的位移随时间 t 变化的图象如图乙：
甲
乙
做简谐振动的物体离开平衡位置的位移 s 与时间 t 满足 s＝ π 2sin2t,2,4 各具有怎样的物理意义？
2π 【提示】 2 表示振幅，周期 T＝ π ＝4. 2
y＝Asinx
的图象．
(4)上下平移变换：y＝sin x 的图象 向上b＞0或向下b＜0 y＝sinx＋b的图象 ――――――――――――→ 平移|b |个单位长度 .
正弦型函数的性质
正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)有如下性质． (1)定义域： R . (2)值域：
[－A，A]
π y＝Asin(ωx＋φ)|φ|< 2 的图象，
【解析】 解答本题可由最高点、最低点确定 A，再由周期 确定 ω，然后由图象所过的点确定 φ.
【解析】 法一 由图象知振幅 A＝3.
5π π 又 T＝ －－6＝π， 6 π π 2π ∴ω＝ ＝2.又过点－6，0，则得 sin－6×2＋φ ＝0，得 φ T π π ＝ ，∴y＝3sin2x＋3 . 3
(1)相位变换：y＝sin x 的图象 向左φ＞0或向右φ＜0 ――――――――――→ 平移|φ |个单位长度
y＝sin(x＋φ)
的图象．
(2)周期变换：y＝sin x 的图象 横坐标 1 ――――――――――――→ 变为原来的 纵坐标不变 ω
y＝sinωx
的图象．
纵坐标变为原来的 (3)振幅变换：y＝sin x 的图象――――――――――――→ AA＞0倍横坐标不变
)
(2)(2013· 湖北高考 ) 将函数
π y ＝ 2sin x＋3 的图象向左平移
m(m＞0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的 最小值为( π A.12 π C.3 ) π B.6 5π D. 6
π 【解析】 (1)将 y＝sin 2x 的图象向左平移6个单位长度即得 y＝f(x)的图象，即 f(x)＝sin
【解析】 法一 步骤：(1)将函数 y＝sin x 的图象向左平移
π π 个单位长度，可以得到函数 y＝sinx＋6 的图象； 6
(2)把
π 1 y＝sinx＋6的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ， 而 2 π y＝sin2x＋6 的图象；
纵坐标不变，可以得到函数 (3)将函数
π y＝sin2x＋6 的图象上的各点的纵坐标缩短到原
π 1 1 来的 ，而横坐标不变，可以得到函数 y＝ sin2x＋6 的图象. 2 2
法二 (1)将函数 y＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原 1 来的 ，而纵坐标不变，得到函数 y＝ sin 2x 的图象； 2 π (2)将 y＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度，可以得到函 π 数 y＝sin(2x＋ )的图象； 6 (3)将
π A－6，0，
π ∴所求图象由 y＝3sin 2x 的图象向左平移 个单位得到. 6 ∴y＝3sin
π 2x＋6，即 π y＝3sin2x＋3.
【方法探究】 确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是 φ 的确定， 常用 方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω 已知) 或代入图象与 x 轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是 在下降区间上).
π y＝sin2x＋6的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的
π 1 1 2x＋ 的图象. ，而横坐标不变，可以得到函数 y ＝ sin 6 2 2
【方法探究】 左右平移时要注意：(1)明确平移的方向；(2)要弄清楚平移 的单位长度是针对“自变量 x”的改变量， 以免混淆而导致失误， 总之，弄清平移对象是减少失误的好方法.
【跟踪训练 2】 π (1)(2014· 广州高一检测)函数 y＝f(x)的图象向右平移 个单位 6 长度后与函数 y＝sin 2x 的图象重合， 则 y＝f(x)的解析式是(
π A.f(x)＝cos2x－3 π C.f(x)＝cos2x＋3 π B.f(x)＝cos2x－6 π D.f(x)＝cos2x＋6
(1)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 都是常数)的函数， 通常叫做正弦型函数． (2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A≠0，ω＞0，x∈R)的周期 2π ω T＝ ω ，频率 f＝ 2π ，初相为φ ，值域为 [－|A|，|A|] ，
|A| 也称为振幅，|A |的大小反映了 y＝A sin(ωx＋φ)的波动幅
π π 5 令 x－3 ＝kπ＋ 2(k∈ Z)得原函数的对称轴方程为 x＝kπ＋ 6 π.(k∈Z).
【方法总结】 1.用五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令 ωx＋φ 分别为 π 3 0， ，π， π，2π，然后解出自变量 x 的对应值，作出一周期内 2 2 的图象. 2.求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把 x 的系数化为正 值，然后利用整体代换，把 ωx＋φ 代入相应不等式中，求出相 应的变量 x 的范围.