下载文档原格式
第一节 向量组及其线性组合分布图示★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2内容要点一、n 维向量及其线性运算定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=⨯X A n m的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义3 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、向量组的线性组合 考察线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1) 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1(βα则线性方程组(1)可表为如下向量形式:βααα=+++n n x x x 2211 (2)于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：.2211n n k k k αααβ+++=定义4 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.定义5 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组A 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；定理1 设向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21β，),,,2,1(21s j a a a mj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α则向量β能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A ααα =与矩阵),,,,(~21βαααs A =的秩相等.三、向量组间的线性表示 定义6 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在),,2,1(,,,21t j k k k sj j j = 使,),,,(21212211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=sj j j s s sj j j j k k k k k k ααααααβ所以,),,,(),,,(2122221112112121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t s t k k k k k k k k k αααβββ其中矩阵t s ij t s k K ⨯⨯=)(称为这一线性表示的系数矩阵.引理 若,n t t s n s B A C ⨯⨯⨯= 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵.定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.例题选讲n 维向量及其线性运算例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT ---=--=αα 如果向量满足 ,0)(2321=+-αβα 求β.解 由题设条件,有022321=--αβαβ)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 (E01) 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --=例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 由于212ααβ-=, 因此β是21,αα的线性组合.例4 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证 先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+=例5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1(-及)2,3,3(的线性组合. 证 假定321,,λλλ是数，它们使)5,5,4()2,3,3()4,1,1()3,2,1(321λλλ+-+=)2,3,3()4,,()3,2,(333222111λλλλλλλλλ+-+=),243,32,3(321321321λλλλλλλλλ+++++-=这样便可得到一个线性方程组:.524353243321321321⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-λλλλλλλλλ （2） 这个方程组的解不是唯一的，例如以下二组数都是方程组(2)的解:,11=λ,02=λ;13=λ,31=λ,12-=λ.03=λ因此);2,3,3()3,2,1()5,5,4(+=).4,1,1()3,2,1(3)5,5,4(--=即向量)5,5,4(可以用不止一种方式表示成另外3个向量的线性组合.注：本例表明，判断一个向量是否可用多种形式由其它向量组线性表出的问题也可以归结为某一个线性方程组解的个数问题. 解唯一，表示方式也唯一. 解越多，表示方式也越多.这说明线性方程组的解同向量线性关系之间的紧密联系.向量组的线性组合例6 (E02) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 =α都是n 维向量单位组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.因为 .2211n n a a a εεεα+++=例7 (E03) 零向量是任何一组向量的线性组合.因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例8 (E04) 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=例9 (E05) 判断向量T )11,1,3,4(1-=β与T )11,0,3,4(2=β是否各为向量组,)5,1,2,1(1T -=α T )1,1,1,2(2-=α的线性组合. 若是, 写出表示式.解 设,12211βαα=+k k 对矩阵)(121βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000110421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110201 易见，秩=)(121βαα秩.2),(21=αα故1β可由21,αα线性表示，且由上面的初等变换可取,21=k 12=k 使.2211ααβ+= 类似地，对矩阵),,(221βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1115011312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990430550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010*******易见, 秩,3)(221=βαα秩.2)(21=αα 故2β不能由21,αα线性表示.课堂练习1.下列向量组中,向量β能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:.)6,5,4(,)1,2,1(,)2,1,2(,)2,3,3(321T T T T =-=-=-=βααα。
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
