第三章 n维向量组 PPT课件

线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。

第三章 n 维向量一、n 维向量的概念与运算 （一）n 维向量的概念n 个数n a a a ,...,,21构成的有序数组称为n 维向量，记作()n a a a ,...,,21或()Tn a a a ,...,,21分别称为n 维行向量或n维列向量，也就是n ⨯1或1⨯n 的矩阵，数i a 称为向量的第i 个分量（二）n 维向量的运算如果,),...,,(21T n a a a =αT n b b b ),...,,(21=β 1.加法 T n n b a b a b a ),...,,(2211+++=+βα 2.数乘 T n ka ka ka k ),...,,(21=α3.内积 αββαβαT T n n b a b a b a ==+++=...),(22114.若0),(=βα，则βα,正交 ★22221...),(n T a a a +++==αααα★22221...n a a a +++=α 00),(=⇔==αααααT二、线性组合与线性表出1.线性组合若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组由s 个n 维向量s ααα,...,,21及s 个常数s k k k ,...,,21所构成的向量s s k k k ααα+++...2211称为向量组s ααα,...,,21的一个线性组合，其中s k k k ,...,,21称为组合系数2.线性表出如n 维向量β能表示成向量s ααα,...,,21的线性组合βααα=+++s s k k k ...2211则称β可由s ααα,...,,21线性表出，或说β是s ααα,...,,21的线性组合3.向量组等价如果向量组（1）s ααα,...,,21的每个向量都可以有向量组（2）t βββ,...,,21线性表出，则称向量组（1）可由向量组（2）线性表出； 如果两个向量组可以互相线性表出，则称两个向量等价①等价向量组具有传递性、对称性及反身性，但向量个数可以不一样，线性相关也可以不一样 ②任一向量组和它的极大无关组等价 ③向量组的任意两个极大相关组等价④两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同⑤等价的向量组具有相同的秩，★但秩相同的向量组不一定等价★⑥如果向量组（1）可由向量组（2）线性表出，⇒=)2()1(r r 向量组（1）（2）等价★单向线性表出+秩相同三、向量组的线性相关与线性无关 （一）线性相关与线性无关的概念1.线性相关对于n 维向量s ααα,...,,21，如存在一组不全为0的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα，则称此向量组s ααα,...,,21线性相关2.线性无关对于n 维向量s ααα,...,,21，如果0...2211=+++s s k k k ααα必有0...21====s k k k ，则称此向量组s ααα,...,,21线性无关；或者说如存在一组数s k k k ,...,,21不全为0，必有0...2211≠+++s s k k k ααα，称此向量组s ααα,...,,21线性无关（二）线性相关与线性无关的充分必要条件1.线性相关的充分必要条件向量组s ααα,...,,21线性相关★⇔齐次方程组0...),...,,(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s s x x x ααα有非零解★s r s ),...,,(21ααα⇔（秩小于向量个数）★⇔存在某i α可由其他1-s 个向量线性表出★n n 个维向量线性相关0,...,,21=⇔s ααα ★n n 个1+维向量一定线性相关★2.线性无关的充分必要条件 向量组s ααα,...,,21线性无关★⇔齐次方程组0...),...,,(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s s x x x ααα只有零解★s r s =⇔),...,,(21ααα（秩等于向量个数）★★⇔每一个向量i α都不能用其他1-s 个向量线性表出★3.几个重要结论（1）阶梯形向量组一定线性无关（2）★若向量组s ααα,...,,21线性无关，则它的任一个部分分组ti i i ααα,...,,21必然线性无关★（3）★若向量组s ααα,...,,21线性无关，则它的任一个延伸组⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡s s βαβαβα，，，...2211必然线性无关★ （4）★两两正交、非零的向量组必然线性无关★四、线性相关性与线性表出的关系（1）向量组s ααα,...,,21线性相关的充要条件是s α可以用其余1-s 个向量组表示，存在即可，不需要全部 （2）若向量组s ααα,...,,21线性无关，而向量组βααα，s ,...,,21线性相关，则β可由s ααα,...,,21线性表出，且表示法唯一★（3）若向量组s ααα,...,,21可由向量组t βββ,...,,21线性表出，且t s 大于 s ααα,...,,21⇒线性相关★ ★（4）若向量组s ααα,...,,21可由向量组t βββ,...,,21线性表出，且s ααα,...,,21线性无关t s ≤⇒★五、向量组的秩与矩阵的秩（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念1.极大线性无关组在向量组s ααα,...,,21中，如存在一个部分组ti i i ααα,...,,21线性无关，且在添加进组任一向量jα（如果还有的话），向量组j i i i tαααα，,...,,21一定线性相关，则称ti i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21的一个极大线性无关组①只由一个零向量构成的向量组不存在极大的线性无关组，规定它的秩为0，一个线性无关组的极大线性无关组就是该向量自身②一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的；但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大线性无关组中所含向量的个数都是r ，即个数r 是由原向量唯一确定的2.向量组的秩（引入了向量组的秩）（第二章通过等价的矩阵引入矩阵的秩）向量组s ααα,...,,21的极大线性无关组中所含向量的个数r ，称为该该向量的秩，记为r r s =),...,,(21ααα3.矩阵的秩矩阵A 中非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作)(A r矩阵A 中的秩r A r =)(⇔A 中有r 阶子式不为0，r +1阶子式（若还有）全为0 矩阵A 中的秩r A r ≥)(⇔A 中有r 阶子式不为0 矩阵A 中的秩r A r )(⇔A 中有r 阶子式全为0（二）向量组的秩与矩阵的秩的关系①A A r =)(的行秩（矩阵A 的行向量的秩）=A 的列秩（矩阵A 的列向量的秩）；求向量的极大线性无关组和向量组的秩时，可通过对矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵来实现（行列变换可混用） ②经初等变换矩阵，向量组的秩均不变；③若向量组（1）可由向量组（2）线性表出，则)2()1(r r ≤;特别地，等价的向量组有相同的秩；但秩相同不一定等价六、矩阵秩的重要公式)()(.1T A r A r = ★)()()(.2B r A r B A r +≤+ ★0),()(.3≠=k A r kA r★))(),(min()(.4B r A r AB r = ))()()()(B r AB r A r AB r ≤≤，A 如.5可逆，)()(B r AB r =；如B 可逆，)()(A r AB r =★A .6是n m ⨯矩阵，B 是p n ⨯矩阵，如0=AB ，则n B r A r ≤+)()(★B 每列都是方程解，方程解的个数为)(A r n -七、施密特正交化（前提条件是线性无关）若s ααα,...,,21线性无关，则可构造s βββ,...,,21使其两两正交，且i β是s ααα,...,,21的线性组合，再把i β单位化。