复变函数课件6-2分式线性映射

格式：ppt
大小：1.04 MB
文档页数：29

下载文档原格式

复变函数课件6-2分式线性映射

够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等方面有重要应用。

6-2分式线性映射

一.分式线性映射分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射分式线性映射. 称为分式线性映射任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题得证. 故命题得证 [证毕证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时这当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2

复变函数的映射 PPT

下面的定理表明，解析函数具有局部单叶性 .
定理7.3 若w 函 f(z )在数 z 0解点 ,且析 f(z0)0,
则f(z)在z0的一个邻域内单.叶解析 —符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个
充分小邻域变成w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w ez在区 aIm z 域 a2 (a 为一 )内实单数
关系呢？又C有: 什z么样z(t的)几(t何0 意t义呢t1)？
正向: t 增大的方向; z0z(t0), 且 z(t0)0.
如果规定: 割线p0p正向对应 t y于
增大的方向, 那么 P0 P
p. C z(t0t)
与z(t0t)tz(t0)同,向
p0. z(t0 )
即z t
与t
增大的方向. 一0致
|f(z ) w 0 | 0 .对在 |w 邻 w 0| 域内的任
点w 及在 C上的z有点
|f(z)w 0||w0w| 0,
|f ( z ) w 0 | |w 0 w | 0
因此由儒歇定理知，在C的内部 f(z)w[f(z ) w 0 ] w 0 w
与 f(z)w0有相同的零点个数, 于 w 是 f(z) 在D内有解 , 从而G为开.集
复变函数的映射
在这一章中，我们先分析解析函数所构成映射的特性，引出共形映射这一重要概念 . 然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的共形映射.
共形映射之所以重要，原因在于它能把在比较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上进行讨论 . 因此，在解决诸如流体力学、弹性力学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用.
证：先证G是开集 (即证G的点都是其内).点
设有一 z0D 点 , 使 f(z0)w 0Gf(D ), 要证 w0为G的内,点只须w 证与w 明 0充分接 , 近

复变函数6.2

圆 C 上的点和本身关于圆 C 对称。圆心及是关于圆 C 的对称点。
定理 4.4 如果分式线性函数把扩充 z 平面上的圆 C 映射成扩充 W 平面上的圆 Γ , 则它把关于圆 C 的对称点及映射成关于圆 Γ 的对称点及 .（保对称点性） Γ
例设则当因为所以表示扩充 z 平面上的圆。因为 0 和是圆 W 平面的对称点，且时是 w 平面上的圆， Z 平面
例在扩充复平面上
把实轴映射成实轴。
在有限复平面上除去原点的实轴。
把除去原点的实轴映射成
例设
把不通过点通过点
的圆和直线映射为圆，把
的圆和直线映射为直线。
设分式线性函数把扩充 z 平面上的圆 C 映射成扩充 w 平面上的圆Γ C Γ
则或例问把圆的内部区域和外部
分别映射成什么区域？切线由实轴知圆实轴，直线
（2）把圆盘
保形映射成圆盘
的分式线性函数。取使
时
因此
，所求函数是
例如取总结分式线性函数的性质：
则
保角性，保圆性，保对称点性，三个点（圆）分别映射成三个点（圆）的存在性。
扩充w平面
当当
时时
可见，分式线性函数是由以下三种简单函数复合而得。
例
4. 分式线性函数的映射性质约定：把复平面上的直线看作半径是无穷大的圆，或通过无穷远点的圆。
定理4.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射为圆。（保圆性）证设直线的方程为或对于是 w 平面上的直线把直线映射成直线。
由保角性知道：圆直线
圆内的点 1 映射成直线右边的点 1 ，所以圆内的区域映射成直线右边的区域。

复变函数课件：分式线性变换.ppt

注三对对应点唯一确定一分式线性变换.
证明先考虑已给各点都是有限点的情形,
设所求分式线性函数是
w az b , cz d
那么，由
w1
az1 b cz1 d
, w2
az2 cz2
b d
, w2
az2 cz2
b d
18
得
w
w1
(az
b)(cz1 d ) (az1 b)(cz (cz d )(cz1 d )
1定义7.4 扩充z平面上有顺序的四个相异点z1, z2, z3, z4
构成下面的量, 称为它们的交比,记为:(z1, z2, z3, z4 ).
(z1, z2 , z3, z4 )
z4 z1 z4 z2
:
z3 z1 z3 z2
.
注当四点中有一点为时,包含此点的项用1代替.
如( z1 ,
z2, ,
“充 ”
z2
分性
a
由z2 R2 z1 a
a
z1 a z1 a
R2 ,有 z1 a R2
z1 a
2
( z1
a)
k (z1 a)
29
2 定理7.1 扩充z平面上的两点z1, z2关于圆周对称的
充要条件是,经过z1, z2的
任何圆周与正交.
z.
证明设 z1, z2是关于圆周
z0. z.1
z4 )
z4 z4
z1 z2
:1, 1
相当于z3 .
15
2 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。
证明
设wi
azi b czi d 则wi wj
i 1, 2,3, 4, (ad bc)(zi z j ) , (czi d )(cz j d )

复变函数教程 §6-2 分式线性映射

§2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2

w

w1

1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图

z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作出点w1关于实轴对称的点即得w(见图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆周C 圆周圆周C 直线直线C 圆周直线C 直线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,

《复变函数映射》课件

4
用
介绍Schwarz-Christoffel映射及其在实际中的应用。
线性变换和仿射变换
探索线性变换和仿射变换对复变函数的映射作用。
双全纯映射以及作用
双全纯映射在复变函数的映射中具有重要作用。
复变函数的应用
线性分式变换及其应用
线性分式变换在复变函数的应用中发挥着重要的作用。
上对数函数和多重连通域
探索上对数函数和多重连通域的关系。
球面上的全纯函数及其应用
应用于物理的调和函数
了解球面上的全纯函数以及它们在物理中的应用。将调和函数应用于物理问题的解决。
复变函数的展望
微分形式和调和形式
深入研究微分形式和调和形式的关联及其在复变函数中的应用。
复植根和三维建模
探索复植根的特性，并了解它在三维建模中的应用。
复平面及其表示方法
复平面将帮助我们可视化复数，学习不同表示方法对理解复变函数至关重要。
全纯函数和亚纯函数的定义
全纯函数和亚纯函数是我们研究复变函数映射时的关键概念。
复变函数的映射
1
保角变换和相应的代数特征
2
保角变换是复变函数映射中的重要概
念，了解它们的代数特征。
3
Schwarz-Christoffel映射及其作
3 复变函数映射在未来的应用展望
展望复变函数映射在未来发展中的可能性和应用。
Bergman空间及其应用
了解Bergman空间的概念以及它在复变函数领域的重要性。
计算机辅助设计中的应用
介绍复变函数映射在计算机辅助设计中的实际应用。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ语
1 复变函数映射在数学和物理中的应用
总结复变函数映射在数学和物理领域中的实际应用。

复变函数第十五讲

第十五讲《§2分式线性映射》 §2分式线性映射一、分式线性映射定义分式线性映射是共形映射中比较简单但很重要的一类映射，它的一般形式：w az b cz dad bc =++-≠()0其中a b c d ,,,均为常数。

ad bc -≠0是为了保证映射的保角性成立而限定的。

否则dw dz ad bccz d =-+()2将有dwdz=0，这时w ≡常数，它将整个z 平面映射成w 上的一个点。

将z 解出，即得逆映射：z dz bcw aa d bc =-+----≠,(()())0 分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。

容易知道两个分式线性映射的复合仍是分式线性映射。

任何一个分式线性映射都能分解成一些简单分式线性的复合。

设w z =++-≠αξβγδαδβγ()0用除法可以把它化为w z =-++()βαδγγδαγ1令 ξγξδξξ1211=+=,，那么w A B A B =+ξ2,(,为常数）由此可见，一个一般的分式线性映射是由下列三种分式线性映射复合而成：), ); ).1111111w z b w az w z=+== 现在来讨论这三种映射。

为了方便，我们暂且将w 平面与z 平面重合。

)1w z b =+。

这是一个平移映射。

因为复数相加可以化成向量相加，所以在映射w z b =+之下，z 沿向量b （即复数b 所表示的方向）的方向平行移动一段距离b 后，就得到w 。

),110w az a =≠。

这是一个旋转与伸长（或缩短）映射。

事实上，设z re a e i i ==θαλ,，那么w r e i =+λθα()。

因此，把z 先旋转一个角度α，再将z 伸长（或缩短）到a=λ倍后得到w （图6.6）.)1111w z=，这个映射可以分解为 w zw w 111==,为了用几何方法从z 作出w ，首先给出关于一已知圆周的对称点的概念。

定义设C 为以原点为心，r 为半径的圆周。

《复变函数与积分变换》§6.2 分式线性映射

§6.2 分式线性映射
一分式线性映射
分式线性映射定义为 w az b cz d
a 、b 、c 、d 均为复常数．
ab
其中
0
cd
条件 ad bc 0
是为了使
dw dz
ad bc (cz d )2
0
因此分式线性映射是保角映射．
对于分式线性映射 w az b cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c0时
z d 映射为 w c
z 映射为 w a c
当 c0时
z 映射为 w
一分式线性映射
一分式线性映射
容易求出该映射的逆映射 z dw b cw a
d b
由于
c
ad bc 0 a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 且为扩充复平面上的一一映射．容易验证分式线性映射的复合仍是分式线性映射．
则映射化为
u v
x y
b1 b2
平移公式
(2) w ei z 为实数
由 w z , Arg w Arg z
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转．
二分式线性映射的分解
(3) w kz (k 0)
则 w k z , Arg w Arg kz Arg z
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍．
C
r
O P
P
二分式线性映射的分解
如图，从 P 作圆周 C 的切线 PT ，
CT
由 T 作 OP 的垂线 TP 与 OP 交于P ，
r
则 P 与 P关于圆周 C 对称．
O P
P
规定
无穷远点关于圆周的对称点为圆心 O ．
二分式线性映射的分解

复变函数映射课件

证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
lim
z z0
(z
z0
)(z n1
zn2z0 z z0
z0n1 )
nz0n1
第25页，共33页。
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)， [f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
( x, y )( x0 , y0 )
x, x,
y) y)
u( x0 , v( x0 ,
y0 ) y0 )
.
第18页，共33页。
例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。
证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
lim arg z y0 lim arg z y0
arg z在负实轴上不连续。
P( x,0)
y (z) z
ox z
第19页，共33页。
定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
第10页，共33页。
3. 反函数或逆映射
例设 z=w2 则称 w z为z=w2的反函数或逆映射
2 k
w z z e 2 (k 0,1) ∴为多值函数,2支.
定义设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
z G w f(z) w G*

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

26
思考题
已知映射w 3z 4 , 试将其分解为简单 iz 1
变换的复合.
27
思考题答案
z1
z
i, z2
1 z1
, z3
(3
4i)z2, w
z3
3i.
放映结束，按Esc退出.
28
默比乌斯资料 ◇
August Möbius
Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony
关键: 在几何上如何由 z w1 ?
8
对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以
圆心为起点的一条半直线上, 如果有两点 P与 P 满足关系式
OP OP r 2 , 那末就称这两点为关于这圆周的对称点. 规定: 无穷远点的对称点是圆心O.
9
作图: 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂
事实上, 设 z rei ,a ei 那末 w rei( ) ,
因此, 把z先转一个角度
再将 z 伸长(缩短)到倍后, 就得到 w.
(z) (w)
w
z o
7
3. w 1 反演变换 z
此映射可进一步分解为
w1
1 z
,
w w1
欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:
z z w1 w 关于横轴对称
(1) 考察 w 1 z
因
w
1 z2
，所以除去z
0与z
,映射是共形的.
若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角, 等于它们在映射 w 1 下所映成的通过
z 原点的两条象曲线的交角. 那么映射 w 1在 z 处是共形的.
z
13
同理 :映射 z 1 在 w 处是共形的. w
所以映射 w 1在 z 0处是共形的. z
23
证设 : 经过z1与z2的圆周, : 经过w1与w2的任一圆周, 分式线性映射
因为与C正交,而分式线性映射具有保角性,
所以与C(C的象) 必正交.
因此, w1与w2是一对关于C的对称点.
[证毕]
24
小知识
1. 分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯 (1790~1868)研究, 所以也称为默比乌斯映射.
z 关于单位圆对称
w1 关于实轴对称
w
.z w1.
o w.
11
三、分式线性映射的性质
1.一一对应性例如: 映射 w 1将z 映射成 w 0,
z
即当z 时, w 0.
如果把 w 1 改写成 z 1 ,
z
w
可知当 w 时, z 0.
结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.
12
2.保角性
特殊的简单映射复合而成:
(1) w z b,
(2) w az ,
(3) w 1 . z
对 w 的研究可化为对以上映射的研究.
4
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合) 1. w z b 平移映射
在此映射下, z沿向量b(即复数b所表示的向量) 的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
第二节分式线性映射
一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质四、小结与思考
课件
1
一、分式线性映射的概念
w az b (ad bc 0, a,b,c,d均为常数.) cz d
称为分式线性映射.
小知识
说明:
1) ad bc 0的限制，保证了映射的保角性.
在
0处解析,且( ) 0
1 a
0
因而在 0处共形, a b
即: w az b在z 处共形. 综上所述:
映射 w az b在扩充复平面上是处处共形的. 定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性
16
3. 保圆性所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为
圆周的性质. 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周. 1) 映射 w az b (a 0) 特点: 将 z平面内一点z0经平移旋转伸缩而得到
21
则 z2 z0 z1 z0 R2 , 即 z1与z2是关于圆周C的一对对称点. 结论 z1, z2 是关于圆周C : z z0 R的一对对称点的充要条件是: 经过 z1, z2的任何圆周与 C正交.
22
定理三设点 z1, z2 是关于圆周C的一对对称点, 那么
在分式线性映射下, 它们的象点w1, w2也是关于 C的象曲线的一对对称点. 即分式线性映射具有保对称性.
(now Germany) Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany ◇
29
因为 z z0 2 z2 z0 z1 z0 R2 ,
所以 z z0 R.
即 : z在 C上,且的切线就是C的半径.
20
因此与C正交. 反之,
C
z.
设是经过z1, z2且与C正
z0. z.1
. z2
交的任一圆周,
显然过 z1与 z2的直线是的特殊情形 (半径为无穷大),其必与C正交,因而必过z0 . 又因与C在交点z处正交, 因此 C的半径 z0z 就是的切线.
z ( 0)仍复合为分式线性映 z
射 w az b ((ad bc ( )( ) 0))
cz d
3
4) 分式线性映射
w 1
令 1
, 2
1
1
,
则w A 2 B( A, B为常数)
一个一般形式的分式线性映射是由下列三种
说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 如果有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
19
z2是关于圆周
z0. z.1
. z2
C : z z0 R的一对对称点,
从z0作的切线,切点为z. 显然z0z2是的割线.
否则, 由于
dw dz
ad bc (cz d )2
0,有w
常数.
那末整个z平面映射成 w平面上的一点.
2
2) 由 w az b (ad bc 0) cz d z dw b (ad bc 0) cw a
分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.
3) 两分式线性映射 w ( 0)
综上所述知: 映射 w 1 在扩充复平面上是处处是共形的. z
(2) 考察 w f (z) az b (a 0)
因为 f (z) a 0, 所以当z 时,映射是共形的.
若令 1 , , z a b
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
则 w az b 成为 a b
2. w az b 经变形得: cz d cwz dw az b 0
默比乌斯
对每一个固定的w, 此式关于z是线性的;对每一
个固定的z, 此式关于w也是线性的, 因此称上式是双线性的. 分式线性映射也称双线性映射. ◇
25
四、小结与思考
分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合, 及其保角性、保圆性和保对称性.
线 TP与 OP交于 P, 那么 P与 P即互为对称点.
.T
C
r o.
.P
OPT ~ OTP
. P OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r2
10
设
z
re i
,
则有
w1
1 z
1 ei r
,
从而 w1 z 1. 故可知:
w
w1
1 ei r
,
z与w1是关于单位园周 z 1的对称点
象点 w0. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.
17
2) 映射 w 1 z
若z平面上圆方程为: a( x2 y2 ) bx cy d 0
令 z x iy, w 1 u iv,
z
有 1 u iv x iy
即
x
u u2 v2 ,
y
v u2 v2
代入z平面圆方程得其象曲线方程:
d(u2 v2 ) bu cv a 0. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.
18
3) 分式线性映射 w f (z) az b (ad bc 0) cz d
因为映射由w 1 , w az b (a 0) 复合而成. z
定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.
(z) (w)
w b
z o
5
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合) 1. w z b 平移映射
在此映射下, z沿向量b(即复数b所表示的向量) 的方向平移一段距离b后, 就得到w.
(z) (w)
w b
z o
6
2. w az, (a 0) 旋转与伸长(或缩短)变换

复变函数课件6-2分式线性映射

合集下载