第五章留数留数(Residue )理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物,它既是复积分问题的延续,又是复级数应用的一种表达, 它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用. 例如,它能给复积分的计算提供一种有效的方法, 能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具.另外,它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助.本章,我们首先引进孤立奇点处留数的定义,利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法,以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法.在此根底上,再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理, 从而有效地解决“大范围〞积分计算的问题.其次,介绍留数定理的两个方面的应用. 一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法, 另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法,即幅角原理与儒歇定理.一.学习的根本要求1 .掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法,即洛朗展式法.注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异.并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数.2 .熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点处留数的的两种具体计算方法：｛洛朗展式法：Resf(z) 1,其中i为f(z)在处的洛朗展式中1/z的系数. 化为有限点处的留数：Res f (z) Res-2 f (~) •3 . 了解有限可去奇点处的留数与可去奇点处的留数的差异,理解为什么函数在可去奇点处的留数一般不一定为零？4 .掌握留数定理以及含的留数定理(即留数定理的推广),并能熟练地运用它们计算函数沿封闭曲线的积分.能用留数定理导出第 3章中的柯西定理和柯西积分公式,从而正确地熟悉为什么留数定理可以看成柯西定理和柯西公式的统一. 5 . 了解利用留数计算实积分的根本思想或根本原理： 通过适当方法将实积分转化为适当复 变函数沿封闭曲线的积分熟悉将实积分转化为适当复变函数沿适当封闭曲线的积分的两种途径:途径一：通过适当变量替换. 途径二：作适当补充路径.6 .熟悉补充积分路径计算积分时,常用的如下三个引理:引理0设函数f(z)在角形闭区域 上连续,且 limz f(z) A,记 R {z z zz Dimz .f (z)e dz 0 .R［提示］利用积分的估值性,并注意到R,z D},R 的方向是逆时针,那么以及Rimf(z)dz i(R［提示］利用积分的估值性, 并注意到lim(zz z DZ o )f (z)A,1 . v 、------ dz i( 2 i ) R z z .f(z)dz i( 2 i )(z 4)f(z) Rz zAdz(z Rz o )f(z) A11dz .引理1 设函数f(z)在闭区域D: 0 i arg(z .)2z z o上连续,记R {z ||z z 0R,zR 的方向是逆时针,假设ljm f(z) 0 ,z DRlim引理2 设函数f(z)在圆环形闭区域D: 0 i arg(z Z 0)22 , 0 z z 0 r 0上连续,记 r {z z Z 0r,z D}, r 的方向是逆时针,且lim( z z 0)f (z)A,z z . z D那么lim f (z)dz i( 21) A .r 0 r「 .. .... ........... .. ,1［提示］利用积分的估值性,并注意到 ------------ dz i( 21),以及rz z 0. ../ (z z 0)f(z) A I(z z 0)f (z) A ,f(z)dz i( 21)A --------- ------ ---------- dz --------- ------------------ 11dz .rr z z 0 r r7.熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法2①形如 o R(cos ,sin )d 或 R(cos ,sin )d 的积分,其中 R(cos ,sin ) 是三角有理函数,且分母函数在［0,2 ］或［,］上恒不为零.特别,当R(cos ,sin )是偶函数时,还可考虑积分 ° R(cos ,sin1 21-(1 cos2 )或$巾 -(1 cos2 )降次,再计算.•当被积函数是R(cos ,sin ) cosm 或 R(cos ,sin ) sin m时,可利用欧拉公式将积分先化为 再计算.R(x)dx 的反常积分,其中 R(x )为实有理函数.其中用到了约当不等式：当 0—时,- sin2)d注意：•当被积函数是cos 2或sin 2的有理函数时,可先用公式2cos②形如特别,当R(x)是偶函数时,还可考虑积分° R(x)dx.注意：此类型的积分的柯西主值( PV.值)用留数来计算时,可分两种情况补充积分路径•当R(x )的分母在？上恒不为零时,可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径.•当R(x )的分母在？上仅有一阶零点时,可用以原点为心充分大的正数R为半径的上半圆周和以R(x)在？上的一阶零点为心充分小的正数为半径的上半圆周作为补充路径.③ 形如R(x) e mx dx 或R(x) cosmxdx 或R(x) sin mxdx 的反常积分,其中R(x )为实有理函数, m 0.特另L当R(x)是偶函数时,还可考虑积分° R(x) cosmxdx ;当R(x)是奇函数时, 也可考虑积分° R(x) sin mxdx .注意：此类型的积分的柯西主值( PV.值)用留数来计算时,可分两种情况补充积分路径•当R(x )的分母在？上恒不为零时,可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径.•当R(x )的分母在？上仅有一阶零点时,可用以原点为心充分大的正数R为半径的上半圆周和以R(x)在？上的一阶零点为心充分小的正数为半径的上半圆周作为补充路径.④ 被积函数含有因子ln x , x , n/P(x)和1R(x)的实积分注意：此类型的积分的柯西主值( P.V.值)用留数来计算时,常选择相应多值函数的支割线的两沿以及单独围绕各支点的适当圆周作为补充积分路径.8.理解对数留数—f^dz的几何意义,掌握对数留数的计算公式. 并掌握下面的一2 i C f(z)个结论：假设Z0是函数f(z)的m阶零点或m阶极点,那么Z0必为工^)的一阶极点,且f(z)当z0是函数f⑵的m阶零点时,Res f⑶ m ；zz0 f(z)当z0是函数f⑵的m阶极点时,Res f (z) m . z z o f (z)9 .正确理解幅角原理与儒歇定理的条件和结论,并能熟练地运用幅角原理和儒歇定理来讨论区域内函数的零点和极点的分布情况或者方程根的分布情况.10 .附：孤立奇点处留数的常用计算方法；合理使用留数定理计算复积分的技巧；补充积分路径利用留数计算实积分的根本思路；用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路.•孤立奇点处留数的常用计算方法我们仅对函数的孤立奇点才定义留数, 对有限孤立奇点处的留数的计算归纳起来,主要有下面的三种常用方法,①洛朗展式法,即假设f(z)在其孤立奇点a的去心邻域0 |z a| R内的罗郎展式为1…一,,.那么Resf(z) c1,其中c i是罗郎展式中——这一项的系数.这种方法是留数计算的一般z a z a 方法.②孤立奇点的类型法,即根据孤立奇点的具体类型来计算留数的方法,其具体方法如下：对可去奇点处的留数假设a为函数f(z)的可去奇点,那么Resf(z) 0 .z a对极点处的留数假设点a为函数f (z)的m阶极点,那么Resf(z) 1 lim[(z a)m f(z)](m1).z a (m 1)!z a特另1J,假设点a为函数f(z)的1阶极点,那么Res f (z) lim(z a) f(z).假设点a 为函数f(z)的1阶极点,且f(z) -(■旦,其中 (z)(a) 0, (a) 0,(a) 0(即 a 为(z)的 1 阶零点),Res f(z) lim( z a) f (z) ―(—)zaz a(a)假设点a 为函数f (z)的2阶极点,那么_ _ 2 一 Res f (z) lim[( z a) f (z)].,其中(z)在点a 解析,那么1m (m 1)(7F!网(z a) f(z)](这个公式说明：只要点 a 是f(z)的至多m 阶极点,我们仍可用 m 阶极点留数的计算公 式计算Resf(z))z a对本性奇点处的留数本性奇点处的留数的计算一般直接用洛朗展式法计算. ③ 留数定理法,即假设函数f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点 Z I , z2, L , zn,.那么f (Z)在扩充复平面上的所有奇点(包括 )处的留数之和等于 0 .即nRes f(z) Res f (z i ) 0 .zi 1z z注意：方法③会涉及到 处的留数.对孤立奇点 处的留数的计算有下面的三种常用方法： ① 洛朗展式法,即假设 f (z)在其孤立奇点 的去心邻域0 R z 内的罗郎展式为那么 Res f (z) c 1.注意此公式与有限孤立奇点处留数计算公式的区别.Res f(z) Res ［f (1) -12］ - z z0 z z③ 留数定理法,即假设函数 f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点4, z 2, L , z n,Res f (z) z a (z)和(z)都在点a 解析,(m1)(a)(m 1)!.那么nRes f (z) Res f (z i).z i 1 z %注意：关于函数在孤立奇点处的留数,我们不能根据孤立奇点的类型来计算,例如,1 ... ..............为函数f(z)的可去奇点,并不一定保证Resf(z) 0 (如f(z)-,显然为它的可z z去奇点,但Res f(z) 1 0).z•使用留数定理计算复积分的技巧留数定理和留数定理的推广提供了计算围线积分的一种方法, 它是对第三章复积分计算的一种补充.通常在计算复积分f(z)dz (其中C是围线)时,如果f (z)在围线C内部C的孤立奇点不太多,可考虑用留数定理,将此积分的计算化为函数 f (z)在C内部各孤立奇点处的留数来计算；如果f(z)在围线C内部的孤立奇点比拟多, 而在C外部的孤立奇点(包括 )不太多,可考虑用留数定理的推广,将此积分的计算化为函数 f (z)在C外部各孤立奇点(包括 )处的留数来计算.•补充积分路径利用留数计算实积分的根本思路 b 对于一个实函数f (x)沿x轴上一条有限线段［a,b］的积分f (x)dx ,我们在平面上a补充一条或几条适当的辅助曲线,使线段［a,b］和一起构成一条围线,并围成一个区域D (如下列图).如果存在除D内有限个点外解析,在D D C上也除这有限个点外连续的辅助函数g(z),使得在［a,b］上g(z)或g(z)的实部或虚部中的一个等于f(x),那么由留数定理就有其中汇是g(z)在D内的奇点处的留数总和.b假设上式中的第二个积分能够计算出来,那么 a f(X)dX的计算问题就解决了.b如果a或b不是有限数,那么积分f(x)dx为反常积分,此时,可由上式两端取极限, a如能求得g(z)dz的极限,就能至少得到所求反常积分的柯西主值 (注意,当反常积分收敛时,柯西主值就是反常积分的值； 通常情况下,所考虑的问题,只要求得到柯西主值即可). •用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路儒歇定理是讨论解析函数在区域内零点分布或方程在区域内根的个数的一种强有力的 工具. 用儒歇定理讨论解析函数F(z)在有界区域 D 内零点的个数或者方程 F(z) 0在D内根的个数时,其关键是寻找满足定理要求的f (z ),而(z)可通过F (z) f (z)来得到,其中f (z)可按下面的两个原那么来寻找：一方面 f (z)在D 的零点个数比拟容易得到,另一 方面在区域D 的边界上,f (z) (z) F(z) f (z).二.问题研究问题1：探讨下面几类实积分的留数计算的一般公式：公式1 ：假设实有理函数 R(x) P(^)满足：P(x)和Q(x)互质,分母Q(x) 0 (x ?), Q(x) 且Q P 2,那么R(x)dx 2 i ResR(z), z 4 Imz k 0其中z k 是R(z)在上半平面内的孤立奇点,ResR(z)表示对R(z)在上半平面内的所 Im z k0 z z k有孤立奇点的留数求和.公式2 ：假设实有理函数 R(x) P3 满足：P(x)和Q(x)互质,分母Q(x) 0 (x ?), Q(x) 且 Q P 1 , m 0,那么imx imzR(x)e dx 2 I Res R(z)e ,Im Z k 0zzk其中z k 是R(z)在上半平面内的孤立奇点,ResR(z)e imz 表示对R(z)e i mz 在上半平面z z k Im z k 0内的所有孤立奇点的留数求和.P(x)公式3 :假设实有理函数 R(x) 满足：P(x)和Q(x)互质,分母Q(x)在？上仅有Q(x)一阶零点,且 Q P 1 , m 0,那么R(x)e imx dx 2 i(ResR(z)e imz - ResR(z)e imz ),Imz k 0zzk2 Im z j0 z zj其中z k 是R(z)在上半平面内的孤立奇点,z j 是R(z)在？上的一阶极点.P(x)公式4 ：假设实有理函数 R(x) 满足：P(x)和Q(x)互质,Q(x)在R [0,)Q(x)上恒不为零,且 Q P 1 , 01 ,那么皿dx 上七ResR^, 0x 1 ez k £\[0, ) zz k z其中z 为£\[0,)上满足z z 1± 1的解析分支(即主值支),z k 为_R3 在£\[0,)z内的孤立奇点,即 Q(z)在£ \[0,)内的零点.公式5 ：假设实有理函数 R(x) P® 满足：P(x)和Q(x)互质,Q(x)在R [0,) Q(x) 上恒不为零,且 Q P 2,那么其中lnz 为£\[0,)上满足1nz z 1上 0的解析分支(即主值支),z k 为解析分支2R(z)ln z 在£\[0,)内的孤立奇点,即 Q(z)在£\[0,)内的零点.公式6 ：设实有理函数 R(x) 巴的■满足：P(x)和Q(x)互质,分母 Q(x)在[0,1]上Q(x)恒不为零,那么(2)证实:(1)n1 2 n 1 n其中n/z k (1 z)n k 为£\［0,1］上满足在割线［0,1］的上沿取正数的解析分支(即主值支),Z k 为解析分支R(z)n/z k (1 z)n k 在£\［0,1］内的孤立奇点,即 Q(z)在£\［0,1］内的零点.(2)其中n/z k (1 z)n k 为£\［0,1］上满足在割线［0,1］的上沿取正数的解析分支 (即主值支),z k为解析分支R (z)在 £\［0,1］内的孤立奇点,即 Q(z)在£\［0,1］内的零点.nz k (1 z)n k问题2 :按下面的步骤探讨数项级数的和： 第一步：设C N 表示曲线… 1、一 … 1、 (N —)和 y (N —)围成的正方形区域的边界, 其中N 为正整数,C N 的方向为逆时针.(1)证实：对任意复数iy C ,总有sin z sin x 和 sinz sinh y其中 sinhy 1(e y e y ).(2 )利用(1 )证实：在正方形区域的竖边界上有sin z 1 ;而在正方形区域的竖边界上有sin z sinh —.从而存在与 N 无关的正常数 A ,2使得对任意z C N ,都有sin z A.(3 )证实:一一dz2C Nz sin z一-一,从而推出(2N 1)ANlimCN1 . c - -------- dz 0. z sin z第二步:(1 )利用留数定理证实:C N11 二 dz2 i[-z sin z631 22•n问题3 :按下面的步骤探究儒歇定理的另一种证法.设D是有界区域, C为其边界,f(z)和g(z)都在D D C上解析,且在C上, f(z) g(z),对任意t [0,1],(1)证实：对每一个固定的t [0,1],函数f(z) tg(z)在D内解析,在D续,且在C上f(z) tg(z) 0.(2)在[0,1]上定义函数如下：1 f (z) tg (z) - ((t)——一U2dz, 0 t 1.2 i C f(z) tg(z)证实：⑴表示函数f(z) tg(z)在区域D零点的个数;c)对任意t,t0 [0,1],存在常数A 0,使得(3)证实：(t)为[0,1]上连续的函数,且为常函数.从而(0) (1),即f(z^f(z) g(z)在D内有相同的零点个数.参考文献:[1]方企勤.复变函数教程.北京：北京大学出版社, 1996 : 148 ~189.[2]余家荣.复变函数(第三版).北京：高等教育出版社,[3]郑建华.复变函数.北京：清华大学出版社, 2005 : 74 ~94 .[4]范宜传,彭清泉.复变函数习题集.北京：高等教育出版社, D C上连a)对每一个固定的t [0,1],对任意t,t0[0,1],f g f g(f tg)(f t°g)f g f g(IfRgl)2其中A If g f g(IfRgl)22000: 88~108.1980 : 136 ~155 .[5]James Ward Brown and Ruel V．Churchill ．Complex Variables and Applications(Seventh Edition) ．McGraw-Hill Higher Education , Burr Ridge , IL , 2004．。
