复变函数论第5章第2节

第二章教学课题：第二节 初等解析函数教学目的：1、了解复正、余弦函数的有关性质；2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；3、理解指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质；4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；教学重点：指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：这一节主要是讨论初等单值函数的解析性，这可从他们的可微性来判定，他们是数学分析中相应初等函数在复数域中的自然推广。

教学过程：1、指数函数定义2.4对于任何复数iy x z +=我们用关系式),sin (cos y i y e e e x iy x z +==+来规定指数函数z e指数函数z e 它有如下性质：（1）当z=x 时（y=0）我们的定义与实指数函数是一致的。

（2）0;arg ,0≠=>=z z x z e z y e e e 平面上在（3）z e 在z 平面上解析，且z z e e =')(（4）2121z z z z e e e +（5）z e 是以i π2为基本周期的周期函数。

（6）极限z z e ∞→lim 不存在，既无意义。

2、三角函数与双曲函数：由于Euler 公式，对任何实数x ，我们有：x i x e x i x e ix ix sin cos ,sin cos -=+=-，所以有,2sin ,2cos ie e x e e x ixix ix ix ---=+= 因此，对任何复数z ，定义余弦函数和正弦函数如下：,2sin ,2cos ie e z e e z iziz iz iz ---=+=则对任何复数z ，Euler 公式也成立：,sin cos z i z e iz +=关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cos z 和sin z 是单值函数；2、cos z 是偶函数，sin z 是奇函数:,cos 22)cos()()(z e e e e z iziz z i z i =+=+=----- ,sin 22)sin()()(z ie e i e e z iziz z i z i -=-=-=----- 3、cos z 和sin z 是以π2为周期的周期函数:,cos 2)2cos()2()2(z e e z z i z i =+=++-+πππ ,sin 2)2sin()2()2(z ie e z z i z i =-=++-+πππ 4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±； 证明：)(4122sin cos )()()()(21212121212211z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e i i e e e e z z +-+--+---+-=-+=，)(4122sin cos )()()()(12212112211122z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e ii e e e e z z +---+---+-=-+= 所以)sin()(21sin cos cos sin 21)()(21212121z z e e iz z z z z z i z z i ±=-=±±-± 5、;1cos sin 22=+z z12242)2()2(sin cos 22222222=-+-++=-++=+----z i z i z i z i iz iz iz iz e e e e i e e e e z z 注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到1|sin |,1|cos |≤≤z z ，例如z=2i 时，有,22sin ,122cos 2222ie e i e e i -=≥+=-- 6、cos z 和sin z 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=证明：,sin 222cos z i e e ie ie e e dz d z dz d iz iz iz iz iz iz -=--=-=+=---z e e i ie ie i e e dz d z dz d iz iz iziz iz iz cos 222sin =+=+=-=--- 7、cos z 和sin z 在复平面的零点：cos z 在复平面的零点是，)(2Z k k z ∈+=ππ，sin z在复平面的零点是，)(Z k k z ∈=π。

复变函数教案 5.1(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学课题：第一节 解析函数的洛朗展式教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。

教学过程： 1、双边幂级数在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。

首先考虑级数...)(...)()(0202010+-++-+-+------nn n z z z z z z ββββ其中,...,...,,,100n z --βββ是复常数。

此级数可以看成变量1z z -的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R 。

如果+∞<<R o ，那么不难看出，此级数在Rz z 1||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛，在Rz z 1||0<-内发散。

同样，如果+∞=R ，那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。

在上列情形下，此级数在0z z =没有意义。

于是根据定理，按照不同情形，此级数分别在0||)0(1||010>-+∞<<=>-z z R R Rz z 及内收敛于一个解析函数。

2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数,)(0∑+∞-∞=-n n nz z β这里,...)2,1,0(,0±±=n z n β是复常数。

当级数,)()(1000∑∑-∞-=+∞=--n n n n nnz z z z ββ及都收敛时，我们说原级数∑+∞-∞=-n n nz z )(0β收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。

复变函数论课程教学实施方案章节、名称：第一章，第1、2、3节，I Complex number field, 1.1 Sums and products, 1.2 Operation, 1.3 Modulus and arguments 课时安排：2教学方式：理论讲授教学目的和要求：重温熟悉复数的概念，熟练掌握复数的四则运算及共轭运算，了解复平面，理解复数的几何表示及其应用。

教学内容及重点、难点：介绍课程理论框架：Chapter I Complex number fieldChapter II Analytic FunctionsChapter III Elementary FunctionsChapter IV IntegralsChapter V SeriesChapter VI ResiduesChapter VII Applications of Residues第一章 Complex number field介绍复数的背景知识，复数的代数表示、代数运算、几何表示。

1．Complex numbers2. operations;Grip the operations, representations and the triangle inequality of complex numbers;3．Complex plane, moduli and arguments of complex numbers;授课实施方案：启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。

注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。

讨论、思考题、作业：思考：（1）复数为什么不能比较大小？（2）复数可以用向量表示，则可以认为与向量运算相同？作业：P7 Exercises 1(a)参考资料：1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang,An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J. B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 19783. Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing:Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第一章，第4、5、6节，I Complex number field, 1.4 Conjugate, 1.5 Exponential form, 1.6 Regions in complex plane课时安排：2教学方式：理论讲授教学目的和要求：掌握复数的共轭、乘幂与方根的运算，了解复平面中的区域概念。

《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。

已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。

先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。

（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。

（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。

（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。

（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。

二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。

1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。

2、使学生了解区域的概念。

3、使学生了解复球面与无穷远点。

4、使学生理解复变函数概念。

教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。

场论与复变函数(Functions of Complex Variables) 教学大纲付小宁课程编号: SC1112004 学分数：3学分课内时数：46 课程性质：必修课适用专业：测控技术与仪器先修课程：数学分析开课学期：第四学期开课院系：04院自动化/电气/测控一、该课程的地位、基本要求、与其他课程的联系和分工《复变函数》课程是研究复数域上函数的一门学科，为“测控技术与仪器专业”的必修课，属于专业基础课性质。

本课程讲述复变函数及其相互关系的研究、计算复变函数的各种方法，包括复数及复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和保角映射。

通过本课程的学习，可以进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生的数学知识，为学生掌握复变函数在自然科学和工程技术中的应用打下基础。

数域从实数域扩大到复数域后，产生了复变函数论，并且深刻地深入到代数学、微分方程、概率统计、拓朴学等数学分支。

二十世纪以来，已被广泛地应用到理论物理、天体力学等方面，发展到今天已成为一个内容非常丰富，应用极为广泛的数学分支，成为理工科大学的必修课程。

掌握场论的有关内容、概念和方法，使学生理解和掌握在力学、电学、电磁学等学科中所遇到的场的数学背景，掌握其运算的一般规律，使学生得到抽象科学思维的训练，提高学生数学素养和能力，为学生学习有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。

二、课程内容及学时分配第一章复数与复变函数 3学时第一节复数及其代数运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节区域第五节复变函数第六节复变函数的极限和连续性。

要求：[1]. 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。

[2]. 了解区域的概念。

[3]. 熟悉简单图形或区域的复变函数表示[4]. 掌握复变函数的极限与连续性。

第二章解析函数 6学时第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数第四节解析函数与调和函数的关系。

要求：[1]. 了解复变函数等价于一对实二元函数，理解有关导数及解析的概念。

复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。

本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。

复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。

因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。

早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。

复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。

在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。

2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。

（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。

同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。

（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。

3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。

6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。

复变函数要点第一节基本概念w=f(z)，w和z都是复数，与二元函数有本质区别！令z=x+jy，w=u+jv，则可以写成w=f(z) = u(x,y)+jv(x,y)极限：w=f(z)在z0的去心邻域0<|z-z0|<ρ内有定义，对任给ε>0，总有δ>0，当0<|z-z0|<δ时，恒有|f(z)-A|<ε称A为f(z)在z=z0处的极限，记为limf(z) →A|z→z0【形象化：任意ε扁的盒子里，总能装下一片δ半径z0心的f(z)全圆饼】有极限【某扁的盒子里，放不下一片任意小δ半径z0心的f(z)全圆饼】无极限【δ半径z0心的f(z)圆饼，全在任意N高盒子上方】正无限大【δ半径z0心的f(z)圆饼，在任意N高盒子内外都有】正无界连续：lim f(z)|z→z0=f(z0)，称为f(z)在z0处连续若f(z)在区域D内处处连续，称f(z)在D内连续导数：若lim(f(z0+Δz)-f(z0))/Δz||Δz|→0存在，称f(z)在z0处可导，记为f’(z)若f(z)在区域D内处处可导，称f(z)在D内可导解析：若f(z)在z0的有心邻域内处处可导，称f(z)在z0解析。

【辨析：可导无需有邻域，解析必须全邻域】若f(z)在区域D内处处解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是在D内的解析函数。

若f(z)在z0处不解析，则称z0是f(z)的奇点。

柯西黎曼CR条件：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xf(z) = u(x,y)+jv(x,y)在D内解析的充要条件是满足CR条件，满足CR条件的复变函数一定可以写成f(z)形式初等函数：包括幂指三函数及其四则、复合指数函数e z=e x+jy=e x e jy=e x(cos y+j sin y)，注意欧拉公式即角度数，全部复变函数皆源于此！对数函数Ln z = ln |z| +jarg(z) +j2kπ；∵z=|z|∠θz=e w=e u e jv，∴w=u+jv，u= ln|z|，v=θz +2kπ；幂函数zα = eαLn z三角函数sin z = (e jz-e-jz)/2j，cos z = (e jz+e-jz)/2例：z1z2=(ρ1∠θ1)(ρ2∠θ2) = e(ρ2∠θ2)(Ln (ρ1∠θ1)) = e(ρ2∠θ2)(ln|ρ1|+jθ1+j2kπ)= e (x2+jy2)(ln|ρ1|+jθ1+j2kπ) =e x2 ln|ρ1|-y2(θ1+2kπ)e j(y2 ln|ρ1|+x2(θ1+2kπ))初等函数在定义域内处处解析【讨论微积分需要路径】曲线积分：∫C f(z)dz = ∫C(udx-vdy)+j(vdx+udy)C，积分路径；若C是闭合路径，记为∮C f(z)dz∫C f(z)dz = -∫C-f(z)dz，等于负的逆方向积分柯西积分定理：若f(z)在C围成的单连域内处处解析，则∮C f(z)dz = 0若f(z)在单连域D内处处解析，则∫C f(z)dz与路径无关于是有∫z0z f(z)dz，只与z、z0有关。

《复变函数》教学大纲课程编号：121062B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时： 32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分： 2适用对象：金融数学专业先修课程：数学分析毕业要求:1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题3.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、课程的教学目标《复变函数》是我校金融数学专业的专业选修课程之一，是《数学分析》的后续课程，主要研究复变数之间的相互依赖关系。

复变函数论现已成为微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法，同时也为众多学科提供了广泛的几何定性研究方法。

因此这门课程在专业理论研究与实际应用方面都起着非常重要的作用。

通过本课程的学习，可以进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生的数学知识，为学生掌握复变函数在科学和技术中的应用打下扎实的基础。

《复变函数》的思想方法与《数学分析》紧密相关。

但是，《复变函数论》并非对《数学分析》内容在复数域中作简单平行推广，而是更注重研究新问题，建立新理论，因此，学生在学习本课程的过程中，应重视基本概念的正确理解、基本理论的系统阐述以及基本运算能力的培养，注意本课程与《数学分析》相关理论的联系与区别。

二、教学基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、共性映射理论等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。

具体包括：正确理解复数、复平面、复变函数等概念，熟练掌握复数与复变函数运算、性质及应用；熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件，掌握初等函数的解析性；正确理解复变函数积分的定义，熟练掌握柯西积分定理及其推广形式、柯西积分公式、高阶导数公式以及它们的各种应用；掌握解析函数的泰勒展式、罗朗展式，并能用它来解决实际问题；正确理解留数的定义及留数定理，会用留数计算实积分；理解并掌握分式线性映射概念及其的各种性质，并学会应用。

《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。

同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。

另外，通过教学使学生了解复变函数与积分变换的一些基本知识，逐步培养利用这些知识解决实际问题的能力。

第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求解析函数、复积分、留数的计算能力。

第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。

第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的复变函数与积分变换知识去分析和解决一些实际问题的能力。

三、教学学时分配《复变函数与积分变换》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求第一章复数与复变函数（7学时）（一）教学要求1．理解复数的概念，掌握复数的表示方法；2．掌握复数的四则运算、乘方与开方运算；3．了解复平面上点集的基本概念，理解区域的概念，了解无穷远点的概念；4．掌握复变函数的概念，了解复变函数极限与连续性。

（二）教学重点与难点教学重点：复数的表示方法,复数的四则运算、乘方与开方运算，区域，复变函数的概念。

教学难点：复数的乘方与开方运算，区域，复变函数的极限与连续性。

（三）教学内容第一节复数1．复数的概念2．共轭复数及复数的四则运算第二节复平面及复数的三角表达式1．复平面2．复数的模、辐角及三角表达式3．复数模的三角不等式4．利用复数的三角表达式作乘除法5．复数的乘方和开方第三节平面点集1．邻域与开集2．区域、简单曲线3．单连通区域与多连通区域4．无穷远点第四节复变函数1．复变函数的概念2．复变函数的极限和连续性本章习题要点：1．复数的模和辐角；2．复数的三角表达式；3．利用复数的三角表达式作乘除法、乘方和开方运算。

《复变函数》课程教学大纲适用专业:数学与应用数学执笔人：王小灵审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《复变函数》课程教学大纲课程代码：200072英文名：Complex Variable Function课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析后置课：概率论、数学物理方程、偏微分方程学分：2学分课时：54课时主讲教师：王小灵等选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.课程概述：复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。

复变函数是在数学分析的基础上，复变函数又称复分析，也称为解析函数论.是实变函数微积分的推广和发展。

因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。

复变函数是一门古老而富有生命力的学科。

早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。

复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

复变函数作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。

教学目的：复变函数是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。

教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。

本课程可根据需要安排课堂讨论。

第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式双边幂级数设级数()()() +-++-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c c a z c 100 （1*）它在收敛圆R a z <-)0(+∞≤<R 内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 1；考虑函数项级数()() +-++-----n n a z c a z c 11 （2*） 作代换az -=1ξ 则（2*）即为 +++--n n c c ξξ1，它在收敛圆⎪⎭⎫⎝⎛+∞≤<<rr 101ξ内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2，从而（2*）在区域()+∞<≤>-r r a z 0内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2；当且仅当R r <时，（1*）（2*）有共同的收敛区域()+∞≤<≤<-<R r R a z r H 0:，此时，称()∑∞=-0n n n a z c 为双边幂级数。

关于双边幂级数的性质，见p185 定理1.5 定理1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:+∞≤<≤<-<R r R a z r H 内解析，那么在H 内,)()(∑+∞-∞=-=n n na z cz f其中，,...)2,1,0(,)()(211±±=-=⎰+τζζζπn d a f i c n n τ是圆ρρ,||=-a z 是一个满足R r <<ρ的任何数，并且展式是唯一的。

证明：H z ∈∀，作圆周11:ρτ=-a z 和22:ρτ=-a z 使z 含于圆环21':ρρ<-<a z H 内，于是()z f 在圆环'H 内解析。

由柯西积分公式()()ζζζπττd zf i z f ⎰-+-=1221 ()()nn n a z c d z f i -=-∑⎰+∞=0221ζζζπτ，其中()()ζζζπτd a f i c n n ⎰+-=2121 () ,1,1,0-=n 现考虑()()ζζζπζζζπττd z f i d z f i ⎰⎰-=--112121 ()()az aaz f z f ----=-ζζζζ11而沿1τ，1<--az a ζ，nn a z a az a ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛--=---∴011ζζ（在1τ上一致收敛）由于函数()ζζ-z f 沿1τ有界，所以()()()()n nn a z a a z f z f ---=-∑∞+=ζζζζ0 ∴()()()()∑⎰⎰+∞=----=-01112121n nn d a f i a z d z f i ττζζζπζζζπ ()()()ζζζπτd a f i a z n n n∑⎰-∞-=+--=11121故当H z ∈：()()∑+∞-∞=-=n nn a z c z f ，其中()()ζζζπρτd a f i c n n ⎰+-=121() ,1,0±=n 展式的唯一性：设()()∑+∞-∞=-=n nn a z c z f '任意取某正整数m ，在ρτ上有界，()()()∑+∞-∞=--+-=-∴n m n n m a z c a z z f 1'1()()()∑⎰⎰+∞-∞=--+⋅=-=-n m m n nm c i dz a z c dz a z z f '1'12ρρττπ()()⎰+-=∴ρτπdz a z z f i c m m 1'21() ,1,0±=m ，故() ,1,0'±==n c c n n，展式唯一。