自动控制系统的数学模型

[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述 的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数， 则这类系统为线性时变系统。
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速

第2章 自动控制系统的数学模型
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2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
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1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即

只产生微小偏差(增量)。
第二章 自动控制系统的数学模型
编写微分方程是描述系统动态特性最基本的方法。 系统微分方程式的建立的基本步骤如下: ⑴ 明确要解决问题的目的和要求，确定系统的输入变量和输出变量； ⑵ 对问题进行适当的简化，抓住能代表系统运动规律的主要特征，舍去一些次要因素，必要时也
可进行一些合理的假设； ⑶ 根据系统所遵循的物理、化学定律，从输入端开始，按照信号传递顺序，依次列出组成系统各
第二章 自动控制系统的数学模型
数学模型的种类: ①经典:微分方程,差分方程,瞬态响应函数,传递函数,频率特性。 ②现代:状态方程,状态空间表达式。 本章重点以机理分析法为基础,介绍微分方程,瞬态响应函数和传递函数的建立。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1.1 动态微分方程式的编写 微分方程是描述自动控制系统动态特性的最基本数学模型。 建立微分方程的前提条件: ①给定发生变化或出现扰动瞬间之前,系统应处于平衡状态,被控量各阶段导数为零。(初始为零)； ②在任一瞬间,系统状态可用几个独立变量完全确定； ③被控量几个独立变量原始平衡状态下工作点确定后,当给定变化或有扰动时,它们在工作点附近
次数 一般不高于分母多项式的次数 ，且所有系数都为实数。 ⑶ 传递函数与系统的微分方程相联系，两者可以互相转换。 ⑷ 传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 ⑸ 传递函数是与 平面上的零、极点图相对应。 ⑹ 传递函数只描述系统的输入—输出特性，而不能表征系统的物理结构及内部所有状况的特性。
不同的物理系统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不 相同。
元件的微分方程； ⑷ 消去中间变量，最后得到描述系统输出量与输入量的微分方程。 ⑸ 写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项写在方程左边，所有与输入变量有关的

（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量） 关系的微分方程，即元件的数学模型。
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
2.1.1 机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移） 和转动（相应的位移称为角位移）两种。
2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只 是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不 够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分 析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模 型。它是分析和设计系统的依据。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
黑盒
输出
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。
实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。
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如 果 取 电 动 机 的 转 角 θ （ rad ） 作 为 输 出 ， 电 枢 电 压 ua
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