2018届北京市石景山区高三下学期一模考试数学(理)试题

2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．74．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm36．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，∴集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+【解答】解：对于A，y＝（x≥0）是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y＝﹣x3，是定义域R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数，满足条件；对于C，y＝x，定义域是（0，+∞），是非奇非偶的函数，不满足条件；对于D，y＝x+，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，但在区间（0，+∞）上不是单调减函数，也不满足题意．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1满足条件i≤3，执行循环体，S＝1，i＝2满足条件i≤3，执行循环体，S＝2，i＝3满足条件i≤3，执行循环体，S＝4，i＝4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为4．故选：C．4．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．【解答】解：∵A＝60°，b＝AC＝4，a＝，由余弦定理：cos A＝，即＝，解得：c＝2．那么△ABC的面积S＝|AB|•|AC|•sin A＝＝2．故选：C．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1＝1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是＝∴几何体的体积是1﹣＝故选：A．6．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种【解答】解：根据题意，设需要涂色的四个部分依次分①、②、③、④，对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域③，与区域①②相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域④，与区域②③相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有4×3×2×2＝48种；故选：D．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设AB中点为O，设C（x，y），AB＝2a，则D（x，0），A（﹣a，0），B（a，0），∵线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），∴y2＝λ（x+a）（x﹣a）＝λx2﹣λa2，∴λx2+y2＝λa2．∴点C的运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，﹣1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2＝32+（﹣1）2＝10，故答案为：10．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x＝1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y ﹣2）2＝1，其圆心C（0，2），半径r＝1．直线l截圆C所得的弦长＝2＝．故答案为．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是（0，1）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）＝k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．【解答】解：解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为＝．故答案为：．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是②③．【解答】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）＝＝＝………………（5分）所以周期为．………………（6分）（Ⅱ）因为，所以．………………（7分）所以当时，即x＝π时f（x）max＝1．当时，即时f（x）min＝﹣2．…………（13分）16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得m＝4，n＝2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组；…………………（3分）（Ⅱ）v1＜v2，＜；…………………（6分）（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝30）＝，P（ξ＝140）＝，P（ξ＝170）＝．∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为．…………………（13分）17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）依题意，P A⊥平面ABCD．如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．……（2分）依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．因为，，所以．……（5分）所以AF⊥PC．……（6分）（Ⅱ）取PC的中点M，连接EM．因为M（2，2，2），，，所以，所以BD∥EM．……（8分）又因为EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC．……（9分）解：（Ⅲ）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．……（10分）设平面PCE的法向量为，因为，，所以即令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．……（12分）所以，……（13分）所以二面角D﹣PC﹣E的大小为．……（14分）18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣ax2的导数为f′（x）＝e x﹣2ax，由已知可得f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，解得a＝1，b＝e﹣2．（Ⅱ）令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g'（x）＝e x﹣2，故当0≤x＜ln2时，g'（x）＜0，g（x）在[0，ln2）单调递减；当ln2＜x≤1时，g'（x）＞0，g（x）在（ln2，1]单调递增；所以g（x）min＝g（ln2）＝2﹣2ln2＞0，故f（x）在[0，1]单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝e﹣1．（Ⅲ）当x∈R时，y＝f（x）与y＝bx+1有两个交点．20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，所有可能的数列{a n}为1，2，3，4，1；1，2，3，4，2；1，2，3，4，3；1，2，3，4，4；（Ⅱ）由题意知数列{b n}中b k+1≥b k．又a k+b m﹣k+1＝2018，所以a k+1+b m﹣k＝2018，a k+1﹣a k＝（2018﹣b m﹣k）﹣（2018﹣b m﹣k+1）＝b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0所以a k+1≥a k，即a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）当m＝2时，由b1+b2＝b1b2得（b1﹣1）（b2﹣1）＝1，又，所以b1＝b2＝2，不满足题意；当m＝3时，由题意知数列{b n}中b n+1＞b n，又b1+b2+b3＝b1b2b3当b1≠1时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3＞6b3，所以等式成立b1＝1；当b2≠2时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3≥3b3，所以等式成立b2＝2；当b1＝1，b2＝2得b3＝3，此时数列{a n}为1，2，3．当m≥4时，b1+b2+…+b m＜mb m，而b1b2…b m≥（m﹣1）!b m＞mb m，所以不存在满足题意的数列{a n}．综上数列{a n}依次为1，2，3．。

2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合A={x|(x+1)(x−2)<0}，集合B={x|1<x<3}，则A∩B=()A.{x|−1<x<3}B.{x|−1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先解出A={x|−1<x<2}，然后进行交集的运算即可．【解答】A={x|−1<x<2}；∴A∩B={x|1<x<2}．2. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0, +∞)上是单调递减的函数为（）A.y=√xB.y=−x3C.y=log12x D.y=x+1x【答案】B【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对选项中的函数进行分析判断即可．【解答】对于A，y=√x(x≥0)是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y=−x3，是定义域R上的奇函数，且在区间(0, +∞)上是单调减函数，满足条件；对于C，y=log12x，定义域是(0, +∞)，是非奇非偶的函数，不满足条件；对于D，y=x+1x，是定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇函数，但在区间(0, +∞)上不是单调减函数，也不满足题意．3. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.3B.11C.38D.123【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】模拟程序的运行，可得 a =1满足条件a <10，执行循环体，a =3 满足条件a <10，执行循环体，a =11不满足条件a <10，退出循环，输出a 的值为11．4. 设x ，y 满足约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0 ，则下列不等式恒成立的是（ ）A.x ≥1B.y ≤1C.x −y +2≥0D.x −3y −6≤0【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可． 【解答】作出x ，y 满足约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0对应的平面区域如图：则A(0, 2)，易知x ≥1，y ≤1不成立，直线z ＝x −y +2经过A 时取得最小值为0，直线z ＝x −3y −6经过A 时取得最小值为：−12，由图象可知x −3y −6≤0不成立， 恒成立的是x −y +2≥0，5. 已知平面向量a →，b →满足|a →|=3，|b →|=2，a →与b →的夹角为120∘，若(a →+mb →)⊥a →，则实数m 的值为（ ）A.1B.32C.2D.3【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由(a→+mbb→)⊥a→，可得(a→+mb→)⋅a→=0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．【解答】解：∵|a→|=3，|b→|=2，a→与b→的夹角为120∘，∴a→⋅b→=|a→||b→|cos120∘=3×2×(−12)=−3，∵(a→+mb→)⊥a→，∴(a→+mb→)⋅a→=a→2+ma→⋅b→=32−3m=0，解得m=3．故选D.6. “a>b>1”是“log a3<log b3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据对数的运算性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log a3<log b3得，1log3a <1log3b若a>b>1，则log3a>log3b>0，则1log3a <1log3b成立，即充分性成立，若log3a<0，log3b>0时，满足条件log a3<log b3，但此时0<a<1，b>1，则a>b>1不成立，即“a>b>1”是“log a3<log b3”的充分不必要条件.故选A.7. 若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A.7 8cm3B.23cm3 C.56cm3 D.12cm3【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，三棱柱的底面是腰长是12的直角三角形，高是1，做出两个几何体的体积，相减得到结果．【解答】由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1=1，三棱柱的底面是腰长是12的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是12×12×12×1=18∴几何体的体积是1−18=788. 如图，已知线段AB上有一动点D(D异于A、B)，线段CD⊥AB，且满足CD2=λAD⋅BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【答案】B【考点】轨迹方程【解析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由此能求出点C的运动轨迹为椭圆的一部分．【解答】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设AB中点为O，设C(x, y)，AB=2a，则D(x, 0)，A(−a, 0)，B(a, 0)，∵线段CD⊥AB，且满足CD2=λAD⋅BD（λ是大于0且不等于1的常数），∴y2=λ(x+a)(x−a)=λx2−λa2，∴λx2+y2=λa2．∴点C的运动轨迹为椭圆的一部分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．复数i31+i=________．【答案】−12−12i【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】i3 1+i =−i1+i=−i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i2=−12−12i，双曲线x22−y2=1的焦距是________，渐近线方程是________.【答案】2√3,y=±√22x【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线x22−y2=1中，a=√2，b=1，c=√3，∴焦距是2c=2√3，渐近线方程是y=±√22x．故答案为：2√3；y=±√22x.若圆C的半径为1，其圆心与点(1, 0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【答案】x2+(y−1)2＝1【考点】圆的标准方程【解析】利用点(a, b)关于直线y＝x±k的对称点为(b, a)，求出圆心，再根据半径求得圆的方程．【解答】圆心与点(1, 0)关于直线y＝x对称，可得圆心为(0, 1)，再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+(y−1)2＝1，在△ABC中，A＝60∘，AC＝4，BC＝2√3，则△ABC的面积等于________．【答案】2√3【考点】正弦定理利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积． 【解答】∵ △ABC 中，A ＝60∘，AC ＝4，BC ＝2√3， 由正弦定理得：BCsinA =ACsinB ， ∴2√3sin60=4sinB ， 解得sinB ＝1，∴ B ＝90∘，C ＝30∘，∴ △ABC 的面积=12×2√3×4×sin30=2√3．在等差数列{a n }中a 3=0，如果a k 是a 6与a k+6的等比中项，那么k =________． 【答案】 9【考点】等差数列的通项公式 【解析】由等差数列的通项公式分别写出a k 、a 6、a k+6，再由a k 是a 6与a k+6的等比中项列式求得k 值． 【解答】在等差数列{a n }中，由a 3=0，得a k =a 3+(k −3)d =(k −3)d ，a 6=a 3+3d =3d ，a k+6=a 3+(k +3)d =(k +3)d ，∵ a k 是a 6与a k+6的等比中项，∴ a k 2=a 6∗a k+6，即(k −3)2d 2=3d ⋅(k +3)d ， ∵ d ≠0，∴ k 2=9k ，得k =9．已知函数f(x)={−x 2−2x,x ≤mx −4,x >m．①当m =0时，函数f(x)的零点个数为________；②如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m 的取值范围为________． 【答案】3,[−2, 0)∪[4, +∞) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】①令f(x)=0求出f(x)的零点；②根据m 与−2，0和4的大小关系逐一判断f(x)的零点个数即可得出结论． 【解答】①令−x 2−2x =0可得x =−2或x =0， 令x −4=0得x =4．∴ 当m =0时，f(x)有3个零点．②若m <−2，则f(x)在(−∞, m]上无零点，在(m, +∞)上有1个零点x =4，不符合题意；若−2≤m <0，则f(x)在(−∞, m]上有1个零点x =−2，在(m, +∞)上有1个零点x =4，若0≤m <4，则f(x)在(−∞, m]上有2个零点x =−2，x =0，在(m, +∞)上有1个零点x =4，不符合题意；若m ≥4，则f(x)在(−∞, m]上有2个零点x =−2，x =0，在(m, +∞)上无零点，符合题意；∴ −2≤m <0或m ≥4．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx −1． (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π2,πbrack 上的最小值和最大值． 【答案】（本小题满分1(Ⅰ)f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx −1 =cos2x +√3sin2x =2(12cos2x +√32sin2x)=2sin(2x +π6)所以周期为T =2π2=π．(Ⅱ)因为π2≤x ≤π， 所以7π6≤2x +π6≤13π6．所以当2x +π6=13π6时，即x =π时f(x)max =(1)当2x +π6=3π2时，即x =23π时f(x)min =−(2) 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可． 【解答】（本小题满分1(Ⅰ)f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx −1 =cos2x +√3sin2x =2(1cos2x +√3sin2x)=2sin(2x +π)所以周期为T =2π2=π．(Ⅱ)因为π2≤x ≤π，所以7π6≤2x+π6≤13π6．所以当2x+π6=13π6时，即x=π时f(x)max=(1)当2x+π6=3π2时，即x=23π时f(x)min=−(2)等差数列{a n}中，a2=4，其前n项和S n满足S n=n2+λn(λ∈R)．(1)求实数λ的值，并求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{1S n+b n}是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{b n}前n项的和T n．【答案】解：(1)∵a2=S2−S1=4+2λ−1−λ=4，解得λ=1，∴S n=n2+n .由S n=n2+n可知S1=a1=2 .当n≥2时，则a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，当n=1时，a1=2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)．(2)已知数列{1S n+b n}是首项为1，公比为2的等比数列，则其通项公式为1S n+b n =(1S 1+b 1)2n−1，且首项1S 1+b 1=1，故b 1=12，1S n+b n =2n−1 ，则b n =2n−1−1n 2+n =2n−1−1n(n+1)=2n−1−(1n −1n+1)，∴ 其前 n 项和T n =(1+21+⋯+2n−1)−[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)] =2n −1−nn+1．【考点】等比数列的性质 数列的求和 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1) ∵ a 2=S 2−S 1=4+2λ−1−λ=4，解得λ=1 ， ∴ S n =n 2+n .由S n =n 2+n 可知S 1=a 1=2 .当n ≥2时，则a n =S n −S n−1=n 2+n −(n −1)2−(n −1)=2n ， 当n =1时，a 1=2 也满足上式，所以 a n =2n(n ∈N ∗)． (2)已知数列{1S n+b n }是首项为1，公比为2的等比数列，则其通项公式为1S n+b n =(1S 1+b 1)2n−1，且首项1S 1+b 1=1，故b 1=12，1S n+b n =2n−1 ，则b n =2n−1−1n 2+n =2n−1−1n(n+1)=2n−1−(1n −1n+1)，∴ 其前 n 项和T n =(1+21+⋯+2n−1)−[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)] =2n −1−n n+1．抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）： 102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：(Ⅱ)记C 组红包金额的平均数与方差分别为v 1、s 12，E 组红包金额的平均数与方差分别为v 2、s 22，试分别比较v 1与v 2、s 12与s 22的大小；（只需写出结论）(Ⅲ)从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．【答案】（本小题1(Ⅰ)由题意求出m=4，n=2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组．(Ⅱ)记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，则v1<v2，s12<s22．(Ⅲ)A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合有6种结果，分别为：(22, 22)，(22, 162)，(22, 192)，(22, 162)，(22, 192)，(162, 192)，记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果，∴这2个数据差的绝对值大于100的概率P(A)=46=23．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(Ⅰ)由题意求出m=4，n=2，从而能求出这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组．(Ⅱ)记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，由此能比较v1与v2、s12与s22的大小．(Ⅲ)A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192，任取两个数据，利用列举法能求出这2个数据差的绝对值大于100的概率．【解答】（本小题1(Ⅰ)由题意求出m=4，n=2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组．(Ⅱ)记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，则v1<v2，s12<s22．(Ⅲ)A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合有6种结果，分别为：(22, 22)，(22, 162)，(22, 192)，(22, 162)，(22, 192)，(162, 192)，记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果，∴这2个数据差的绝对值大于100的概率P(A)=46=23．如图，在三棱锥D−ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F在棱AC上，且AF=3FC．(1)求三棱锥D−ABC的体积；(2)求证：AC⊥平面DEF；(3)若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=38CA，求证：MN // 平面DEF．【答案】(1)解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，∴三棱锥D−ABC的体积V=13×√34a2×a=√312a3．证明：(2)取AC的中点H，连结BH.如图∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF // BH.则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．(3)连结CM，设CM∩DE=O，连结OF．由条件知，O为△BCD的重心，则CO=23CM．当CN=38CA时，CF=23CN，∴MN // OF．∵MN平面DEF，OF⊂平面DEF，∴MN // 平面DEF．【考点】直线与平面平行直线与平面垂直柱体、锥体、台体的体积计算构成空间几何体的基本元素【解析】（1）直接利用体积公式，求三棱锥D−ABC的体积；（2）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可．（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN // OF即可．【解答】(1)解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，∴三棱锥D−ABC的体积V=13×√34a2×a=√312a3．证明：(2)取AC的中点H，连结BH.如图∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF // BH.则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．(3)连结CM，设CM∩DE=O，连结OF．由条件知，O为△BCD的重心，则CO=23CM．当CN=38CA时，CF=23CN，∴MN // OF．∵MN平面DEF，OF⊂平面DEF，∴MN // 平面DEF．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，焦距为2√2．(1)求椭圆E的方程；(2)若C，D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆E于点P．证明：OM→⋅OP→为定值（O为坐标原点）．【答案】(1)解：因为2c=2√2，所以c=√2，因为e=ca =√22，所以a=2,b=√a2−c2=√2.所以a2=4，b2=2，所以椭圆方程为x24+y22=1．(2)证明：由(1)知C(−2,0),D(2,0)，设M(2,y0),P(x1,y1)，则OP→=(x1,y1),OM→=(2,y0)，直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +y 02，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0，所以x 1=−12×4(y 02−8)y 02+8=−2(y 02−8)y 02+8, 所以y 1=8y 0y02+8.所以OP →=(−2(y 02−8)y 02+8,8y 0y 02+8), 所以OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4. 即OM →⋅OP →为定值.【考点】椭圆的定义【解析】【解答】(1) 解：因为2c =2√2，所以c =√2，因为e =c a =√22，所以a =2,b =√a 2−c 2=√2.所以a 2=4，b 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)证明：由(1)知C(−2,0),D(2,0)，设M(2,y 0),P(x 1,y 1)，则OP →=(x 1,y 1),OM →=(2,y 0)，直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +y 02，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0，所以x 1=−12×4(y 02−8)y 02+8=−2(y 02−8)y 02+8, 所以y 1=8y 0y02+8.所以OP →=(−2(y 02−8)y 02+8,8y 0y 02+8), 所以OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4. 即OM →⋅OP →为定值.设函数f(x)＝lnx +m x ，m ∈R ．(Ⅰ)当m ＝e （e 为自然对数的底数）时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)讨论函数g(x)＝f′(x)−x3零点的个数；(Ⅲ)若对任意b>a>0，f(b)−f(a)b−a<1恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）当m＝e时，f(x)＝lnx+ex，∴f′(x)=x−ex2；∴当x∈(0, e)时，f′(x)<0，f(x)在(0, e)上是减函数；当x∈(e, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e, +∞)上是增函数；∴x＝e时，f(x)取得极小值为f(e)＝lne+ee=2；（2）∵函数g(x)＝f′(x)−x3=1x−mx2−x3(x>0)，令g(x)＝0，得m=−13x3+x(x>0)；设φ(x)=−13x3+x(x>0)，∴φ′(x)＝−x2+1＝−(x−1)(x+1)；当x∈(0, 1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0, 1)上是增函数，当x∈(1, +∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1, +∞)上是减函数；∴x＝1是φ(x)的极值点，且是极大值点，∴x＝1是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)=23；又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象，如图；可知：①当m>23时，函数g(x)无零点；②当m=23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；综上，当m>23时，函数g(x)无零点；当m=23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<23时，函数g(x)有两个零点；(Ⅲ)对任意b>a>0，f(b)−f(a)b−a<1恒成立，等价于f(b)−b<f(a)−a恒成立；设ℎ(x)＝f(x)−x＝lnx+mx−x(x>0)，则ℎ(b)<ℎ(a)．∴ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减；∵ ℎ′(x)=1x −mx 2−1≤0在(0, +∞)上恒成立，∴ m ≥−x 2+x =−(x −12)2+14(x >0)，∴ m ≥14；对于m =14，ℎ′(x)＝0仅在x =12时成立；∴ m 的取值范围是[14, +∞)．【考点】函数恒成立问题函数的零点利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)m ＝e 时，f(x)＝lnx +e x ，利用f′(x)判定f(x)的增减性并求出f(x)的极小值；(Ⅱ)由函数g(x)＝f′(x)−x 3，令g(x)＝0，求出m ；设φ(x)＝m ，求出φ(x)的值域， 讨论m 的取值，对应g(x)的零点情况；(Ⅲ)由b >a >0，f(b)−f(a)b−a <1恒成立，等价于f(b)−b <f(a)−a 恒成立；即ℎ(x)＝f(x)−x 在(0, +∞)上单调递减；ℎ′(x)≤0，求出m 的取值范围．【解答】（1）当m ＝e 时，f(x)＝lnx +e x ，∴ f′(x)=x−ex 2；∴ 当x ∈(0, e)时，f′(x)<0，f(x)在(0, e)上是减函数；当x ∈(e, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e, +∞)上是增函数；∴ x ＝e 时，f(x)取得极小值为f(e)＝lne +e e =2；（2）∵ 函数g(x)＝f′(x)−x 3=1x −m x 2−x 3(x >0)，令g(x)＝0，得m =−13x 3+x(x >0)；设φ(x)=−13x 3+x(x >0)，∴ φ′(x)＝−x 2+1＝−(x −1)(x +1)；当x ∈(0, 1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0, 1)上是增函数， 当x ∈(1, +∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1, +∞)上是减函数； ∴ x ＝1是φ(x)的极值点，且是极大值点，∴ x ＝1是φ(x)的最大值点，∴ φ(x)的最大值为φ(1)=23；又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x)的图象，如图；可知：①当m >23时，函数g(x)无零点；②当m =23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g(x)有两个零点；④当m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；综上，当m >23时，函数g(x)无零点；当m =23或m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m <23时，函数g(x)有两个零点；(Ⅲ)对任意b >a >0，f(b)−f(a)b−a <1恒成立，等价于f(b)−b <f(a)−a 恒成立；设ℎ(x)＝f(x)−x ＝lnx +m x −x(x >0)，则ℎ(b)<ℎ(a)．∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减；∵ ℎ′(x)=1x −mx 2−1≤0在(0, +∞)上恒成立，∴ m ≥−x 2+x =−(x −12)2+14(x >0)，∴ m ≥14；对于m =14，ℎ′(x)＝0仅在x =12时成立；∴ m 的取值范围是[14, +∞)．。

北京市石景山区 2018 年 高 三 统 一 测 试数学试题（理科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。

2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i +等于 （ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 （ ）A ．80B ．60C ．40D ．205．经过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示， 那么函数)(x f 的图象最有可能的是 （ ）8．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4 4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+111．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p= ．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x= ；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．19．（14分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（14分）已知集合R n ={X |X=（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{0，1}，i=1，2，…，n }（n ≥2）．对于A=（a 1，a 2，…，a n ）∈R n ，B=（b 1，b 2，…，b n ）∈R n ，定义A 与B 之间的距离为d （A ，B ）=|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…|a n ﹣b n |=．（Ⅰ）写出R 2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：M ⊆R 3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合P ⊆R n ，P 中有m （m ≥2）个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为，证明．北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，1可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；=×2×2=2，所以，S△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a 的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n ≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，•a n=﹣2（n≥2），又a n﹣1∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=4；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【考点】分段函数的应用．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．16．（12分）（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．17．（14分）（2017•石景山区一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，则，令z=1得x=0，y=﹣3．平面FDA的法向量，平面BDA的法向量，，．二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1），依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，a ＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f （1）=0，所以切线方程为y=x ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x ＞0，令=．令，解得x=1．易知当x ＞1时，g'（x ）＞0，易知当0＜x ＜1时，g'（x ）＜0． 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0即，即x ＞0时，；（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1）， 依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，h'（x ）＞0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=0，满足题意．a ＞1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：h （x ）在（1，a ）上单调递减，所以g （a ）＜g （1）=0 即当a ＞1时，总存在g （a ）＜0，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC 丨及丨MN 丨，丨BN丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，即可求得B ，N 两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段中点M （x 0，y 0），则，整理得：x 2+2mx +2m 2﹣2=0，由△=（2m ）2﹣4（2m 2﹣2）=8﹣4m 2＞0，解得：﹣＜m ＜，则x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m 2﹣2，则M （﹣m ， m ），丨AC 丨=•=•=由l 与x 轴的交点N （﹣2m ，0），则丨MN 丨==，∴丨BN 丨2=丨BM 丨2+丨MN 丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，∴B ，N 两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（14分）（2017•石景山区一模）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）=2．max（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素个数最大值为4．（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则由于（i=1，2，…，n）所以从而【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。