分析力学基础

第15章 分析力学基础在这一章里，我们将达朗贝尔原理与虚位移原理结合起来，给出动力学普遍方程和拉格朗日方程。

它们是分析力学的基础，是解决非自由质点系动力学问题的最一般原理。

5.1 动力学普遍方程设质点系由n 个质点组成，应用达朗贝尔原理，第i 个质点的惯性力i i i m =a F I -，则作用该质点的主动力i F 、约束力Ni F 、惯性力i I F 构成平衡力系。

其平衡方程为=++Ii i i F F F N )n ,,,i ( 21=质点系受到理想、双侧约束时，依据虚位移原理有∑=∙ni i Ii i i=)++(1r F F FN δ若质点系受的理想约束，即1=ni i i ∑=∙r F N δ则∑=∙ni i Ii i=)+(10r F Fδ（15-1）或者-1=)m (ni i i i∑=∙r a Fδ （15-2）式（15-1）或（15-2）称为动力学普遍方程，也称为达朗贝尔—拉格朗日方程。

它表明：具有完整、理想、双侧束的质点系在运动的任一瞬时，作用在质点系上的主动力和惯性力在任一组虚位移中所作的元功之和为零。

它建立了质点系动力学问题的普遍规律，特别是对于非自由质点系来说，在求解时不必考虑未知的约束力，只需研究主动力，从而大大地简化了计算过程。

式（15-2）的解析式为∑=---ni i zi i zi i yi i yi i xi i xi=z )m (+y )m (+x )m (1][δδδa F a F a F（15-3）在应用动力学普遍方程求解时应遵循以下步骤：（1）判断系统是否是理想、双侧约束，确定系统的自由度；（2）计算主动力和惯性力，对于刚体而言将惯性力进行简化； （3）确定系统的虚位移；（4）由式（15-1）或（15-2）进行计算。

例题15-1如图15-1所示的滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为1m 的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂质量为2m 的重物，设两均质滑轮的质量为m ，半径为r ，绳的质量及轮轴处的摩擦不计，试求定滑轮的角加速度及质量为2m 的重物加速度解：取整个滑轮系统为研究对象，系统为完整、理想、双侧束的约束，所受到的主动力为g m 1、g m 2和mg ，惯性力为重物：111a m F I =，222a m F I =，轮：11ma F I ='，12121αmrMI =，22221αmrMI =，则由虚位移原理得222222111111=--+-+-ϕδδϕδδI I M s )a m g m (M s )a m g m ( （1）因此系统为1个自由度，设广义虚位移为动滑轮的角位移1ϕδ，则虚位移间的关系为11ϕδδr s = 11222ϕδδδr s s == 112222ϕδϕδδϕδ===rr rs （2）则式（1）为022121222111111=--+-+-ϕδϕδϕδϕδI I M r )a m g m (M r )a m g m (即0]22[122221111=--+-+-ϕδI I M )a m g m (r M r )a m g m (由于虚位移1ϕδ是任意独立的，有2222221111=--+-+-I I M )a m g m (r M r )a m g m (又由运动学知角加速度关系：122αα=加速度关系：2211αr αr a == 22αr a =a 2图15-11I则定滑轮的角加速度为gr )m m m ()m m (α342221121++-=质量为2m 的重物加速度为g)m m m ()m m (a 34222112++-=例题15-2如图15-2所示的橢圆规机构在水平面内运动，曲柄OC 上作用一力偶矩为M ，已知曲柄OC 的质量均为1m 和连杆AB 的质量为12m ，滑块A 、B 的质量均为2m ，lBC AC OC ===。

若各处的摩擦不计，试求曲柄的角加速度。

I AxF图15-2解：此机构为1个自由度体系，设广义坐标为曲柄与x 轴的夹角ϕ。

受完整、理想、双侧的约束。

此机构上的主动力为力偶矩M ，惯性力为 曲柄OC ：ϕ2131l m M ICO =； 连杆AB ：ϕϕ21213222121l m )l (m M IAB ==，ϕττ l m a m F c IAB 1122==； 滑块A 、B ：B A IA ym a m F 22==，A B IB x m a m F 22==。

由虚位移原理得0=-----B IB A IA IAB IABICO x F y F l F MM M δδϕδϕδϕδϕδτ代入惯性力，得0232312212121=-----B B A A x x m y y m l l m l m l m M δδϕδϕϕδϕϕδϕϕδ （a ）由运动学知（1）曲柄OC 和连杆AB 的角速度相等，其虚位移也相等，即为ϕδ（2）⎩⎨⎧+-===+-=-==)cos sin (l y,cos l y :sin l y )sin (cos l x,sin l x :cos l x A A A B B B ϕϕϕϕϕϕδδϕϕϕϕϕϕϕδδϕ 222222由于虚位移ϕδ是任意独立的，则式（a ）为ϕϕϕ21212123231l m l m l m M ---02]2[2]2[22=-+--+--)sin l ()sin (cos l m cos l )cos sin (l m ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ解得曲柄的角加速度为22143l)m m (M+=ϕ（b ）15.2 拉格朗日方程在应用动力学普遍方程求解复杂质点系问题时，如何将复杂的惯性力系表示成简洁方式，普遍方程中并没有给出，因此求解非常不便。

拉格朗日方程有效地解决了这个问题。

15.2.1拉格朗日关系式设具有理想、双侧约束的质点系，由n 个质点组成，，受有s 个几何约束，系统的自由度为s n k -=3，若以k q ,,q ,q 21表示质点系的广义坐标，质点系第i 个质点广义坐标的矢量形式为)t ,q ,,q ,q (k i i 21r r = )n ,,,i ( 21= (15-4)式(15-4)对时间t 求导∑=kj j ji i t+qq =dtd =1∂∂∂∂i i r r r v (15-5)式中dtdq =qjj 称为广义速度，由于ji q ∂∂r 、t∂∂i r 只是广义坐标j q 和时间t 的函数，因此式(15-5)对j q求偏导得 ji j i q =qv ∂∂r ∂∂ (15-6)式(15-6)表示：任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，它为拉格朗日关系式第一式。

式(15-5)对任一广义坐标s q 求偏导，得∑=kj ssj i si q t +qq q =q 122∂∂∂∂∂∂∂∂i r r v （a ）将sq ∂∂i r 对时间t 求导，得skj j sj i sq t +qq q =)q (td d ∂∂∂∂∂∂∂∂212i i r r r ∑= （b ）比较式（a ）和式（b ）得)q (td d q ssi ∂∂∂∂i r v = (15-7)式(15-7)表示：任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的一阶导数，它为拉格朗日关系式第二式。

15.2.2拉格朗日方程式(15-4)求变分得∑=kj j ji q q =1∂∂δδr r i代入动力学普遍方程式（15-1）中，得0]∂∂[11=q q )+(kj j j i n i Ii i ∑∑==∙δr F F 0∂∂∂∂111∑=q )q +q (j kj ni ni ji Ii ji iδ∑∑===∙∙r F r F即有01=q )Q +Q(kj j Ij j∑=δ )k ,,,j ( 21= （15-8）其中，式(15-8)中的ji ni j q =Q ∂∂1r Fi∙∑=为广义坐标j q 对应的广义力，ji ni I Ij q =Q ∂∂1r Fi∙∑=为广义坐标j q 对应的广义惯性力。

由于虚位移j q δ是任意独立的，式(15-8)中j q δ前面的系数为0=Q +Q Ij j （15-9）即具有完整、理想、双侧约束的质点系，每个广义坐标所对应广义力和广义惯性力相平衡。

将广义惯性力进行如下的变换)q (m =q =Q ji ni i i ji ni I Ij ∂∂∂∂11r a r F i ∙-∙∑∑== （15-10）其中)q (dt d m )q m (dt d q m ji j i ji ∂∂∂∂∂∂i i i i i i r v r v =r a ∙-∙∙ji j i q m )qm (dtd ∂∂∂∂i i i i v v v v =∙-∙)v m (q q)v m (dtd i i jji i 2221∂∂∂21∂-=（15-11）并注意到)v m(=T i ini 2121∑=是质点系的动能。

将式（15-11）代入（15-10）得jj Ij q T +qT (dt d Q ∂∂∂∂)- = （15-12）再将式（15-12）代入（15-9），得广义力jj j q T qT (dt d Q ∂∂∂∂-) =)k ,,,j ( 21= （15-13）式（15-13）称为拉格朗日方程，它建立了完整约束的主动力与运动之间的关系。

只要将动能表示成广义坐标的函数，即得到与自由度相等的方程组。

当主动力是势力时，由式(14-16)有jj q V =Q ∂∂-)k ,,,j ( 21=并注意到势能V 是广义坐标的函数，与广义速度无关，因此有0=qV j ∂∂于是式（15-13）为jj jq T qT (dt d q V ∂∂)∂∂∂∂-- =整理后得0∂) ∂∂)∂=jj q V T (qV T (dtd --- （15-14）令VT =L - （15-15）其中，式（15-15）表示质点系的动能和势能之差，称为拉格朗日函数，简称拉氏函数。

则有0∂∂∂∂=jj q L qL dt d- )k ,,,j ( 21= （15-16）即式（15-16）称为主动力是势力时的拉格朗日方程。

例题15-3如图15-3所示，平板重为P ，放在两个轮子上，每个轮为均质的，其重为1P ，在一水平力推F 作用下沿直线只滚不滑的运动，假设平板和轮无相对滑动。

试求平板的加速度。

图15-3解：取整体为研究对象，系统的自由度为1，取广义坐标为平板前进的位移x 。

系统所受的主动力为水平推力F ，受完整、理想、双侧束的约束。

其广义力为F xxF xW Q x ===δδδδ （1）系统的动能为21T T T +=其中，板作平移，动能：2121vgP T =；轮作平面运动，动能：2121223432vgP vgP T =⨯=对系统动能作如下的运算：v gP v gP v T 13+=∂∂ （2）vg P v gP )vT (dt d 13+=∂∂ （3）=∂∂xT （4）式（1）、（2）、（3）、（4）代入拉格朗日方程式（15-13）得平板的加速度为gP P F a 13+=例题15-4如图15-4所示定滑轮绕水平轴O 转动，在滑轮上有一不可伸长的绳索，绳索的一端悬挂一质量为m 重物，另一端与弹簧A 端相连；弹簧的另一端B 与地相连，弹簧处于铅垂位置。