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分析力学-清华大学基科班课件

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分析力学PPT课件

分析力学PPT课件
则约束方程为：
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力

大学物理课件-分析力学

大学物理课件-分析力学

xB xA
f y
dy
d dx
f y
dy
d dx
f y
dydx
f dy xB
y xA
xB xA
d dx
f y
f y
dydx
f dy xB 0 y xA
由於端點固定
δy(xA), δy(xB ) 0
xB xA
d dx
f y
f y
dydx
0
由於 δy 任意變化 所以 δy 前的係數 = 0
mx
cos
ms
L Lx s
0 mg
s in
d dt
L q
L q
0
Mx mx mscos 0 mxcos ms mg sin 0
q x, s 廣義座標
x mg sin cos M m m cos2
例：耦合雙振子
k
k
k
m
m
O1 x1
O2 x2
T
1 2
mx12
1 2
mx22
V
1736－1813 法國數學家
1維質點
F ma d p dt
T
1 2
mx
2
,
dT dx
mx
p
F
d dt
dT dx
dV dx
令：L(x, x) T (x) V (x) 是座標和速度的函數
L x
dT dx
,
L x
dV dx
d dt
dT dx
dV dx
d dt
L x
L x
0
拉格朗日方程
d dx
f y
f y
0
初積分

清华大学理论力学lecture20_257309407

清华大学理论力学lecture20_257309407

ml2
sin
kx
0
1 2
mlxcos
1 3
ml
2
l 2
mg
sin
0
系统动力学方程
5 2
mx
1 2
mlcos
1 2
ml2
sin
kx
0
1 2
mlxcos
1 3
ml
2
l 2
mg sin
0
讨论： 如果系统在 x 0, 600处从静止
状态释放， 请计算释放时刻A的加速度和
AB的角加速度。
初始状态 x(0) 0, (0) 600 x(0) 0,(0) 0
mhC2
2mRhC
cos
取过O的水平面为零势面，系统的重力势能为
V mghC cos
系统为理想有势系统， 应用Lagrange方程
L T V
d dt
(
L
)
L
0
系统的运动微分方程
O
OC hc
C
θ
mg
A
(IC mR2 mhC2 2mRhC cos ) mhC R2 sin mghC sin 0
L q j
)
L q j
0,
j 1, , N
V q j
0
请用Lagrange方程建立半圆盘在水平面上纯滚动的动力学方程。
半圆盘质量和绕质心的转动惯量分别为 m, IC ， 半径为 R 解：取广义坐标 θ 。 A点为半圆盘的瞬心, 它的动能可以表示为
T
1 2
J A2
JA
(IC
md
2 AC
)
IC
mR 2
(
l 2

分析力学四一.ppt

分析力学四一.ppt
在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到
推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标， 则系统的拉格朗日函数为
设：q0 ——系统的平衡位置，则
对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有
——二阶小量 (势能：平滑不陡峭； 若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动)
则 a(q)只需展开到零阶小量，即
略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于 选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)， 且令
则
由拉格朗日方程
得到运动方程
注：参见《理论物理基础教程》P383－388“量子谐振子”
二、自由振动方程的解
自由振动：无强迫力、无阻尼的振动
方程
的解为
积分常数：A—振幅； 角频率； —初相位。其中振 幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
时，振幅c取极大值，发生共振(并不
随t的增长而 无限增长)。
四、通过共振时的相位变化和能量吸收率
接近共振时，令
( 很小
小量)
共振时：
远离共振时
：
由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变
共振点相位：
振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有 振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量
通过吸收外力源能量来补充。
频率 。设S在 0时达到共振，则
S ( )
S0
(
2 /
0 )2
4
2
/
4
——布雷特－维格纳分布(共振曲线的普遍分布)
一维阻尼振动方程另外的推导方法 定义耗散函数：
——瑞利耗散函数 由此得到
而
这样，广义力可以写为
对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，

大学物理优质课件精选——分析力学拉格朗日方程课件

大学物理优质课件精选——分析力学拉格朗日方程课件
在其名著分析力学中把数学分析应用于质点和刚体力学提出了运用于静力学和动力学的普遍方程引进广义坐标的概念建立了拉格朗日方程把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式改变为以能量为基本概念的分析力学形式奠定了分析力学的基础为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路哈密顿hamiltonwilliamrowan18051865爱尔兰人他的研究工作涉及不少领域成果最大的是光学力学和四元数
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。

分析力学基础第一章(4-6节)

分析力学基础第一章(4-6节)

T q
m1
m2 x m2 Lcos
px
循环积分——系统的水平动量守恒
T V C
能量积分——机械能守恒
x
F t
vA
m1 g
CvCA
m2 g
§1-6 第一类拉格朗日方程
§1-6 第一类拉格朗日方程
设描述系统的位形坐标：q1 , q2 , , qn
系统的约束方程为： fk r1, r2 , , rn , t 0 k 1,2, , s
i 1
k 1
代入动力学普遍方程：
n
Fi FIi
ri
n
Fi
miri ri
0
i 1
i 1
有：
n i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
ri qk
qk
§ 1-4 第二类拉格朗日方程
n
i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
解：1、系统的自由度为k=1
2、系统的广义坐标：
3、系统的动能： T 1 1 m l22 1 m l22
23
6
4、系统的势能：
V
mg
l
1
cos
5、拉格朗日函数： 2
L T V 1 ml22 mg l 1 cos
OB
6
2
d dt
L qk
L qk
0
1 m l2 l m gsin
3
2
mg A
i 1
Fi
miri
s
k
k 1
fk ri
ri

分析力学基础PPT课件

分析力学基础PPT课件

f
k(r1 ,
r2
,
rn
)

0
k 1,2,,s
用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标： N 3n s
对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。
ri

ri
(q1
,
q2
,,
q
N
)
进行变分计算：

ri


ri q1
q1

ri q2
q2

描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标； 完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。
×
若质点限定在半球面上运动，球半 径为R，是具有1个质点的空间质点 系，自由度数为3，有1个约束方程：
z l2 (x2 y2)
n 1, s 1
z
M
y 自由度数为： N 3n s 3 1 2

F1
y A
2

(F2
y B
2
F xA )
2
F1l2 sin 2 F2l2 sin 2 Fl2 cos2
0
×
F1l1 sin1 F2l1 sin1 Fl1 cos1 0 F1l2 sin2 F2l2 sin2 Fl2 cos2 0 ri q N来自q NN
ri
k 1 qk
qk
×
xi xi (q1, q2 ,, qN ) yi yi (q1, q2 ,, qN ) zi zi (q1, q2 ,, qN )
ri xii yi j zik
ri

xii yi
1
l1

第五章 分析力学ppt课件

第五章 分析力学ppt课件

或
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
5.1
约束与广义坐标
第5章 分析力
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可 表示为
f r , r , r , , t 0 1 2 3
§5.0
引言
第5章 分析力
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
牛顿力学 矢量力学 力学第一原理 拉格朗日方程 拉格朗日力学 （相当于“几何公理” ） 哈密顿力学 哈密顿原理
三者本质上相同，可以相互证明 利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
5.1
约束与广义坐标

清华大学物理课件------力学.第8章.狭义相对论基础

清华大学物理课件------力学.第8章.狭义相对论基础
10
―光行差”现象：
恒星
c

u
地球公转
观测地球正上方的恒星时， 望远镜须向地球公转方向 倾斜一个小角度 ：
uΔt u tg 20.47 cΔt c
ct
地面
ut
按“以太”拖曳说，光到地球 附近要附加速度 u ，望远镜 不用倾斜，显然与“光行差” 现象矛盾。
11
历史上大量实验事实说明很难有两全之策， 而是提出了更深刻尖锐的问题： 究竟是伽利略变换（或绝对时空）更基本， 还是物理规律的不变性更基本？ 爱因斯坦对迈克耳孙－莫雷实验的评价：
z
O
x
x
描述闪光波前的方程：
S : x y z c t
2 2 2 2 2
: x2 y2 z2 c 2 t 2 S
— 体现光速不变原理
24
§8.3 同时性的相对性
一. 同时性的相对性 — 源于光速不变
S S P1、P2 同时发生 P1
u
P1：光到达 A P2：光到达 B
(9)
把 (1)(4) 代入 (9) 并利用 (7) 得：
2 x 2 2 xt 2 t 2 y 2 z 2
c ( x 2xt t )
2 2 2 2 2
(10)
34
(8)(10) 同时成立要求系数对应相等，可得：
2 c 2 2 1
(11) (12)
13
事件和时空变换
任意一个具有确定的发生时间和发生地点的 物理现象称为事件，发生的时间和地点称为 该事件的时空坐标。
例如，“一个粒子在某个时刻出现在某位置” 就是一个事件，粒子出现的时刻和位置就构 成该事件的时空坐标。
讨论时空的性质时，总是用事件的时空坐标， 或事件的时空点来代表事件，而不关心事件 的具体物理内容。 14

清华大学物理课件力学2

清华大学物理课件力学2
Dt Dt
a = Dr = v 切向
Dt
a = r 2 内法向
ar = 2vtˆ r 2nˆ
在 S 科氏加速度 2v
向心加速度 r 2
在 S`系有两个惯性力，科氏力
和离心力 mr 2
2mv
桌面匀角速转动， 一质点在桌面上的 同心圆环凹槽内， 作无摩擦匀速运动
v
r
在惯性系
f
=
(v r )2
大潮
日 地
月
日
地 月
小潮
固体潮：引潮力对固体作用使之形变，但应变稍有延迟
延迟角
月
地
月球在地球上引起的固体潮形成阻止地球自转的反力矩， 减慢地球自转速度，3亿年前地球400天/每年， 现只有365.25天/每年.
地对月：月球自转和公转周期相同
月球撞击地球前，引潮力将撕碎它 彗星撞击木星
地震与潮汐的关系：引潮力触发地震
在太阳参考系地球受力
r
r
r
FM,E FS,E = M E a0
FM ,E 0.0055 FS , E
r
r
FS,E M E a0
r FS , M
r Finertia
MM ME
r FS , E
r MM a0
0
r
r
FE,M M M a
§2.8 科氏加速度和科氏力
桌面匀角速转动，一质点 在桌面上的径向凹槽内， 作无摩擦匀速运动
dt
dt dt
dt
dt
v = gt v2
l y= 2g
y = l 1 gt 2 2
d( yv) = yg v 2 dt
= yg 2(l y)g
N = 3rg(l y)

分析力学教学ppt课件

分析力学教学ppt课件

精选ppt课件
37
5. 虚位移的几何意义
f (x, y, z) 0 ——约束方程
f (x x, y y, z z) 0
f (x x, y y, z z) f (x, y, z) f x f y f z 0
M
dre
在dt内，斜面位移为dre，物块的实 位移为dr 。根据合成运动理论，有
v0
drr
dr M'
dr = dre + drr = MM‘ dre = v0dt ---牵连位移 drr ---物块相对斜面的位移
dre
δr2
M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面向下的 δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为 δr1，δr2都是约束所容许的。
y
o
x
φl
A
ωr
l
o
B x
y
M
x2 y2 l2
x
2 A
y
2 A
r2
(xA xB )2 ( yA yB )2 l2
y 0 精选ppt课B 件
23
运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束(非完整约束)。
• 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制， 而且有速度或角速度方面的限制。
• 如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线
运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）
y
r
C Mφ
M
o xC
ω
C
轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
vC
yC = r
或 yC = r
P
x
vC－rω=0
xC r 0
瞬心 精选ppt课件

分析力学-清华大学基科班课件

分析力学-清华大学基科班课件
分析力学讲义
2010－2011 学年秋季学期 基科 91－98 使用
2011－09
目
录
1 1
目录 绪论 §0．1．经典力学发展简史 §0．2． 理论力学和本课程的内容简介 §0．3．分析力学的特点 §0．4．经典力学的基本概念 §0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议
第一部分
第一章
矢量力学
由于各专业的不同要求，同样名为理论力学的课程有不同的类型；同样名为理论力学 的教材或专著也有不同的侧重面。除了力学专业的理论力学课程有其自身的专业要求以外， 工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分； 对于物理专业而言， 阐述经典力学普遍规 律的理论力学课程， 是物理专业的专业基础课四大力学之一， 是普通物理课程力学部分的继 续和加深， 也是许多后续课程的必备基础。 目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析力学 两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数 学工具，后者采用更多数学分析的方法。 由于矢量力学大部分内容已在普通物理课程中讲授，本课程内容以分析力学为主，主 要讲授分析力学的基本概念和基本原理、 拉格朗日力学和哈密顿力学等内容， 课程名称也改 称分析力学。但也要讲一些矢量力学的内容，既为梳理矢量力学的基础知识，又作内容上的 必要补充，但更着重于方法上的更新，为学习分析力学作好准备。 根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的一个特例，不作为教学的重 点。因此本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的一个特例。 由于课时的关系，在本课程里不涉及相对论力学和非线性力学。 §0．3．分析力学的特点 数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。 分析力学的理论概括性比较强，能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，也 能对多样化的力学问题作统一的程式化的处理； 因而便于阐述力学的普遍原理， 也便于处理 更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。正因为如此，分析力学也 比较抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自 己能构造一些实例以加深理解当然更好。 分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力） ，因此分析力学的方法便于推广，对于物 理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。 分析力学着眼于整个力学体系 （而矢量力学中往往采用隔离体图， 着眼于各个组成部分 的受力和运动情况） ，因而界定一个力学体系的范围，分清体系的内和外显得格外重要。 分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法， 所得结果当然应该一致。 在矢量 力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解， 但是两者不可能得到相互矛盾 的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表 示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。 §0．4．经典力学的基本概念 1．经典力学的时空观 参考系 经典力学的任务是研究机械运动的规律。 机械运动是物体在空间的位置和取向随时间发 生变化，是物理学所研究的各种运动形式中最简单，也是最基本的一种。为此我们先对经典 力学的时空观作一简单的说明。(参阅[3]32 页) 空间和时间不仅是一个物理概念， 而且具有深刻的哲学意义。 空间和时间是物质存在的

清华大学物理课件-------力学.第7章.波动

清华大学物理课件-------力学.第7章.波动
29
―质元”的形变势能 Wp

S F y
切变模量 G
F/S

横波波速 u G
F x
Δy
F u S
2
dy Δx d ,

2
ΔV SΔx ,
Δy Δx
1 2 2 ΔWp F d y u S Δx d u ΔV 2 0 0
G F S
G

F
S F
切变
26

— 切变模量
F/S — 切应力
— 切应变
固体中的纵波 ul
E

F S E — 杨氏模量 l l
F/S — 应力 l/l — 线应变
F l 线变 l
F
震中
因为 G < E，所以固体中 u横波 u纵波 举例：地震波传播（P 波颠，S 波晃） 沙漠蝎子捕食
1 球面波 Ar const .，A r
.
r
1 r
柱面波 A r const .，A
* 波源
36
*三. 波的吸收
由于内摩擦、热传导、分子碰撞不可逆因素， 波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。
d A 定义吸收系数 Ad x
设 = const. ， 对平面波：
A A0 e
传播时媒质质元的运动函数。
x ( x , t ) f ( t ) 是行波波函数。 u
11
二. 简谐波 如果波传播的扰动是简谐振动，这样的波称 为简谐波（余弦波，单色波）。 1. 一维平面简谐波的波函数 以在均匀、无限大、无吸收的（振幅不变）
媒质中的机械横波为例，设： 波沿 +x 方向传播 波速为 u

《分析力学基础》课件

《分析力学基础》课件
容
哈密顿-雅可比 方程可以描述 系统的运动状 态和能量变化
哈密顿-雅可比 方程在分析力 学中具有重要
地位
正则方程的定义和性 质
正则方程的求解方法
正则方程在分析力学 中的应用
正则方程与拉格朗日 方程的关系
正则方程在工程中的 应用实例
课件结构
● 引言：介绍分析力学的基本概念和重要性 ● 第一部分：牛顿力学 ● 牛顿三定律 ● 动量守恒定律 ● 角动量守恒定律 第二部分：拉格朗日力学
弹性模量：描述固体材料弹 性性质的物理量
胡克定律：描述固体材料在弹 性范围内的应力与应变关系
泊松比：描述固体材料在弹性 范围内的横向应变与纵向应变
的关系
弹性力学基本方程：描述固体 材料在弹性范围内的应力、应
变和位移之间的关系
哈密顿原理：描述系统演化的普遍 规律，适用于经典力学和量子力学
哈密顿原理的应用：求解力学问题， 如求解运动方程、求解哈密顿量等
分析力学基础PPT课 件大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
课件简介
课件内容
课件结构
课件效果
课件使用说明
添加章节标题研究物体在力作用下的运动规律
课件旨在帮助学生理解分析力学的基本概念、原理和方法
课件适用于物理专业学生、教师和相关研究人员
课件内容涵盖了分析力学的主要内容，包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力 学等
页脚：包括作者、日期、版权等信息
背景：选择与主题相关的背景图片或颜 色
课件效果
课件内容：包括基 本概念、原理、公 式、应用等
教学方法：采用案 例分析、实验演示、 互动讨论等方式
学习效果：提高分 析力学知识水平， 增强解决问题的能 力
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第二章
质点系力学
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§2．1．质点系运动学 §2．2．约束和广义坐标（§1．3．之续） §2．3．质点系的牛顿动力学方程组 §2．4．两体问题 §2．5．碰撞与散射
第三章
刚体力学
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§3．1．刚体运动学 §3．2．描述刚体运动的坐标系 §3．3．刚体的角速度 §3．4．刚体任一点的线速度和线加速度 §3．5．不同参照系的速度加速度间的关系 §3．6．刚体动力学的基本概念 §3．7．欧拉动力学方程 §3．8．刚体定点转动的几种特殊情况
哈密顿力学
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哈密顿正则方程
第八章
正则变换
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§8．1．正则变换 §8．2．正则变换的条件 §8．3．无穷小正则变换 §8．4．哈密顿—雅可比方程 §8．5．作用变量和角变量 §8．6．泊松（Poisson）括号
附154
A2．矢量分析和场论简介 A3．角速度是轴矢量 A4．Cayley-Klein 参量 A5．作平面平行运动的刚体对瞬时转动中心的角动量定理 A6．Noether (Nöther)定理 A7．关于变分原理 A8．Legendre 变换
A9．Routh 函数 A10．关于相空间中的积分不变量
A11. 正则变换的补充知识
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分析力学
绪 论
2010，9－2011，1
§0．1．经典力学发展简史 经典力学（力学）的研究对象是宏观物体机械运动的规律；而牛顿力学，即以牛顿建 立的理论框架表述的经典力学， 研究宏观物体的低速机械运动的规律。 宏观物体系指和人体 大小可比拟或比人体大得多的物体；低速系指远小于光速的运动速度。至于高速（宏观）物 体的运动规律则为爱因斯坦（1879－1955）建立的相对论（经典）力学所表述；微观物体的 运动规律则为（非相对论的和相对论的）量子力学所表述。 伽利略（1564-1642）继承了古代原子论和数理哲学的优秀遗产，并在实验实践的基础 上发扬光大，使物理学成为一门精密的实验科学。伽利略也因而被誉为实验物理学之父。
为核心，创 牛顿（1643－1727）集前人之大成，在总结前人成果的基础上，以 F=mr
立了公理化的经典力学理论体系。牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的理论基 础， （参阅[1]§ 1.1 ） （这个理论体系特点为：以直观的几何的图像为基础，以三维空间的矢 量代数和矢量分析为基本数学工具； 因而被称为矢量力学） 为整个物理学的发展提供了一个 坚实的起点平台。 牛顿建立了万有引力定律， 是使得人类彻底摆脱了神界的一次思想大解放。 牛顿的贡献当然也有其局限性，这也体现了科学发展过程中人类认识的历史局限性。 特别是，牛顿的初衷，是希望把他的理论框架发展成为“自然哲学”——广义的物理学的基 础，随着时间的推移，日益显出其局限性来。经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学 家实验和理论的研究，拉格朗日，哈密顿等人发展了牛顿力学，广泛地运用数学分析微分几
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质点力学
§1．1．质点运动学 位矢，速度和加速度 §1．2．直角坐标系 §1．3．约束和广义坐标 §1．4．曲线坐标系 §1．5． “自然坐标系” §1．6．质点动力学 质量和力 §1．7．质点的三个动力学定理 动量 角动量 机械能（动能和势能） §1．8．中心力场 §1．9．与距离平方成反比的有势中心力场 §1．10．散射截面
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客观形式， 不存在脱离物质的绝对空间和绝对时间。 牛顿力学中的现实空间是三维欧几里得 空间，时间是一维的。空间和时间的变化都是连续的。 既然不存在脱离物质的绝对空间， 为了描述物体在空间的机械运动， 必须选定一个物体 或一些物体的集合作参考标准， 称为参考系， 由参考物体的刚性延伸得到的三维空间称为参 考空间； 为了描述时间的变化， 必须选定一些事件或变化着的物体的状态作为时间零点和时 间进程的参考标准。 参考系有无限多种可能的选取方式，在相互作任意相对运动的不同参考系中,在给定的 时刻给定空间间隔的大小是相同的（空间两点间的距离不因参考系的不同而变化） ；某一给 定的时间间隔的持续时间是相同的。 （时间的绝对性）因此在不同的参考系中可以选取同样 的时间零点和时间进程。时间的这种“绝对性”是牛顿力学的一个基本假定。随着物理学的 发展， 空间和时间的观念是在不断变化和发展的。 牛顿力学的时空观反映了人类在一定历史 阶段对空间和时间的认识。按照爱因斯坦的相对论，这样的时空观只是在运动速度不大，引 力场不强的情况下近似正确。 从运动学的观点来看，各个参考系是相互平等的。但是，适当选择参考系能使运动状态 的描述变得简单，因而问题变得容易解决。从动力学的观点来看，有一类参考系具有特殊的 地位，那就是惯性参考系。参考系没有静止与运动之分，只存在参考系之间的相对运动，当 然也就不存在绝对静止的参考系。有时为了叙述的方便, 说惯性系是静止的，其实相对于一 个惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。最常用的参考系是以地球为参考物的参考 系，这是一个近似的惯性系。 当两个参考系以恒定速度作相对运动时， 有伽利略变换。 从一个惯性系到另一个惯性系 的变换是伽利略变换。质点的加速度是伽利略变换下的不变量。 2．力学体系 我们把经典力学的研究对象称为力学体系。 一般的力学体系都可以视作质点系， 质量连 续分布的力学体系也可离散化而处理成质点系，因此质点系是经典力学最一般的研究对象。 质点是组成力学体系的最小单元， 也是最简单的力学体系。 刚体是一类特殊的质点系。 质点、 刚体、 若干个质点组成的质点系以及若干质点和刚体组成的力学体系是我们这门课程的研究 对象。 大量质点组成的质点系是统计力学的研究对象。 一般的质量连续分布的可以产生形变 的质点系是流体力学或弹性力学的研究对象。 质点和刚体都是实际的宏观物体的抽象； 不存在绝对的质点或刚体。 一个宏观物体能否 视作质点或刚体，不仅取决于物体本身的特点，而且取决于所研究问题的特点。 分析力学中，我们一般着眼于整个力学体系；因此界定力学体系的范围，分清力学体系 的“内”和“外”尤为重要。为什么要把力学体系作为整体来进行研究？组成力学体系的各 部分之间往往存在着约束，存在着相互作用力（包括约束力） ；从而使单个质点或刚体的运 动情况的描述变得复杂起来，而对力学体系整体地进行研究却提供了简化问题的可能性。 3．坐标系 为了对机械运动进行定量的精确的描述， 不仅要选用确定的参考系， 而且需要在参考系 上选择一个适当的计算系统（在参考空间建立合适的坐标系，再配以记载时间的方法。 ） 坐标系和参考系是不同的。参考系是物理概念，是讨论机械运动的一个参考标准；而 坐标系则是数学工具，以某个数组和质点位置间的一一对应关系来描述质点位置及其变化。 在确定的参考系中，坐标系仍有无限多种可能的方式，可以任意选取（适当选取坐标系也 能使问题变得简单） ；特别是，坐标系可以不固定于参考系。坐标系不存在惯性和非惯性的 问题；但是固定于参考系的坐标系就可以代表这个参考系，因而有时也有惯性坐标系和非 惯性坐标系这样的说法。 4．质量和力
由于各专业的不同要求，同样名为理论力学的课程有不同的类型；同样名为理论力学 的教材或专著也有不同的侧重面。除了力学专业的理论力学课程有其自身的专业要求以外， 工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分； 对于物理专业而言， 阐述经典力学普遍规 律的理论力学课程， 是物理专业的专业基础课四大力学之一， 是普通物理课程力学部分的继 续和加深， 也是许多后续课程的必备基础。 目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析力学 两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数 学工具，后者采用更多数学分析的方法。 由于矢量力学大部分内容已在普通物理课程中讲授，本课程内容以分析力学为主，主 要讲授分析力学的基本概念和基本原理、 拉格朗日力学和哈密顿力学等内容， 课程名称也改 称分析力学。但也要讲一些矢量力学的内容，既为梳理矢量力学的基础知识，又作内容上的 必要补充，但更着重于方法上的更新，为学习分析力学作好准备。 根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的一个特例，不作为教学的重 点。因此本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的一个特例。 由于课时的关系，在本课程里不涉及相对论力学和非线性力学。 §0．3．分析力学的特点 数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。 分析力学的理论概括性比较强，能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，也 能对多样化的力学问题作统一的程式化的处理； 因而便于阐述力学的普遍原理， 也便于处理 更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。正因为如此，分析力学也 比较抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自 己能构造一些实例以加深理解当然更好。 分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力） ，因此分析力学的方法便于推广，对于物 理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。 分析力学着眼于整个力学体系 （而矢量力学中往往采用隔离体图， 着眼于各个组成部分 的受力和运动情况） ，因而界定一个力学体系的范围，分清体系的内和外显得格外重要。 分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法， 所得结果当然应该一致。 在矢量 力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解， 但是两者不可能得到相互矛盾 的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表 示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。 §0．4．经典力学的基本概念 1．经典力学的时空观 参考系 经典力学的任务是研究机械运动的规律。 机械运动是物体在空间的位置和取向随时间发 生变化，是物理学所研究的各种运动形式中最简单，也是最基本的一种。为此我们先对经典 力学的时空观作一简单的说明。(参阅[3]32 页) 空间和时间不仅是一个物理概念， 而且具有深刻的哲学意义。 空间和时间是物质存在的
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§3．9．非惯性参照系中的动力学方程
惯性力
第二部分
第四章
§4．1． 分析力学的基本概念 §4．2．变分法 §4．3．哈密顿原理
拉格朗日力学
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分析力学的基本概念和基本原理