全等三角形常见辅助线的知识作平行线

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点D1.线段倍长（或作平行线）A模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS) C⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点. BB A①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为.CD1⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE= BC.2CA BDEE⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.DAB CME⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.FB CD2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)C模型：如图，OA=OB,BC⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) A⑴.如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点.BO①在图中作出 CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点 M,N; D②⑵求证：DM=DN; ③若 AD=3，求 AM+AN 的值.A DBC⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在 CD,BD 上，且 DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.C EBADFE⑶.如图，BC⊥CE,BC=CE,AC⊥CD,AC=CD,DE 交 AC 的延长线于点 M,M 是 DE 的中点. ①求证：AB⊥AC;②若 AB=8，求 CM 的长.BAC MD⑷.如图，已知 A(-2,1),C(0,2),且 C 为线段 AB 的中点，求点 B 的坐标.y BCAxO3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS或ASA构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D,E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE，∠DBC=∠EBC.求证：D是AC的中点.ADCBE⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE于点H,延长AH交BC于点M.求证：M是BC的中点.ADHCB ME【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D是AB上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE交AC于点F，求证：F是BE的中点.EAFDB C⑷如图，A,B,C三点共线，D,C,E三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC于点F，AE=BD.①求证：C是DE的中点；②求证：AB=2CF. ABFD E二、线段的和差处理1.等线段代换法C⑴如图，CD为△ABC的中线，M,N分别为直线CD上的点，且BM∥AN.①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CDMA BDN⑵如图，△ABC中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN是过点A的一条直线，且BM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N.①求证：AM=CN；②求证：MN=BM-CN.AMCBN⑶如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD平分∠BAC,CE⊥AB于点E，交AD于点F.①求证：BD=CD; A②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.E FB CD⑷.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90︒，D为BC延长线上一点，BF⊥AD于点F，交AC于点E. A①求证：BE=AD；②过C点作CM∥AB交AD于点M，连接EM，求证：BE=AM+EM. FEMB DC2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC 中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点 E 为 BC 的中点，CN ⊥AE 交 AB 于点 N. ①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法） 方法 1：直接截长BN E12CA方法 2：间接载长BN E12CA方法 3：直接补短BN E12C AAB方法 4：间接补短N E12C三、角平分线模型 A1.作垂线1 P模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB. 2O B⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.CBA D⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.CDBA E⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.A C-A B①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出的值C EA是.EFB CD⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的B D-CD A外角；②求的值.D M B 1M2C D2.截长补短 A模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP P ⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB. O BCD12B B⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.AB CD⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BCCED12 43A B⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)D DA A1 12 2B C CB3.角平分线+垂线：延长法 AC 模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC交OB于点B，则△OCA≌△OCB.⑴.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，探究∠ACE，∠B，O B∠ECD之间的数量关系.AEB CD⑵.如图，在△ABC中，AB<BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P点，连接PC，若△ABC的面积为4，求△BPC 的面积.APB C⑶.如图，在△AOB中，AO=OB，∠AOB=90 ，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2AE.AEDBO⑷.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD的面积.DAEBC四、半角与倍角模型⑴如图，已知 AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点 C 作 NC⊥AC 交 AN 于点 N,过点 B 作 BM⊥AB 交 AM 于点 M ，连接 MN.①当∠MAN 在∠BAC 内部时，求证：BM+CN=MN.MBNCA②如图，在①的条件下，当 AM 和 AN 在 AB 同侧时，①的结论是否成立？请说明理由.NCMBA⑵如图，在△ABC 中，CA=CB,∠ACB=120°,E 为 AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证： DE-AD=BE.CABED⑶如图，在△ABC 中，CA=CB,∠ACB=120°,点 E 为 AB 上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.DCBAE1 ⑷.①如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是 BC,CD 上的点，且∠EAF= ∠2 DBAD,求证：EF=BE+DF;AFCBE②如图 2，在①条件下，若将△AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点 E,F 分别 FD运动到 BC,CD 延长线上时，则 EF,BE,DF 之间的数量关系是.A。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点1.线段倍长（或作平行线）模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS)⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点.①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为 .⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE=12BC.⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.CBDBBA C2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)模型：如图，OA=OB,BC ⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) ⑴.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点.①在图中作出CM ⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,N; ②⑵求证：DM=DN; ③若AD=3，求AM+AN 的值.⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在CD,BD 上，且DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.⑶.如图，BC ⊥CE,BC=CE,AC ⊥CD,AC=CD,DE 交AC 的延长线于点M,M 是DE 的中点. ①求证：AB ⊥AC;②若AB=8，求CM 的长.⑷.如图，已知A(-2,1),C(0,2),且C 为线段AB 的中点，求点B 的坐标.DABCABA3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS 或ASA 构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，D,E 分别是AC 和AC 的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE ，∠DBC=∠EBC.求证：D 是AC 的中点.⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE 于点H,延长AH 交BC 于点M.求证：M 是BC 的中点.【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D 是AB 上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE 交AC 于点F ，求证：F 是BE 的中点.⑷如图，A,B,C 三点共线，D,C,E 三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC 于点F ，AE=BD. ①求证：C 是DE 的中点；②求证：AB=2CF.EBEB二、线段的和差处理 1.等线段代换法⑴如图，CD 为△ABC 的中线，M,N 分别为直线CD 上的点，且BM ∥AN. ①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CD⑵如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN 是过点A 的一条直线，且BM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N. ①求证：AM=CN ；②求证：MN=BM-CN.⑶如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD 平分∠BAC,CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F. ①求证：BD=CD;②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.⑷.如图，△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90︒，D 为BC 延长线上一点，BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点E.①求证：BE=AD ；②过C 点作CM ∥AB 交AD 于点M ，连接EM ，求证：BE=AM+EM.ABACBA B2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N.①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法）方法1：直接截长方法2：间接载长方法3：直接补短方法4：间接补短EBCA EBCA EBCA EBC A三、角平分线模型1.作垂线模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出-AC ABCE的值是 .⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的外角；②求-BD CDDM的值.21BAOPA BB CD2.截长补短模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB.⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)C BBBBA3.角平分线+垂线：延长法模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC 交OB 于点B ，则△OCA≌△OCB. ⑴.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点E ，探究∠ACE，∠B，∠ECD 之间的数量关系.⑵.如图，在△ABC 中，AB<BC ，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P 点，连接PC ，若△ABC 的面积为4，求△BPC 的面积.⑶.如图，在△AOB 中，AO=OB ，∠AOB=90 ，BD 平分∠ABO 交AO 于点D ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2AE.⑷.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AE,BE 分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE ；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD 的面积.BBA B四、半角与倍角模型⑴如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB交AM 于点M，连接MN.①当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN.②如图，在①的条件下，当AM和AN在AB⑵如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证：DE-AD=BE.⑶如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.⑷.①如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD,求证：EF=BE+DF;②如图2，在①条件下，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是 .BN MDB A BC。