投入产出模型
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基于DEA的投入产出分析页数:10
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投入产出数学模型页数:44
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基于投入产出模型的港口经济贡献度研究页数:5
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投入产出数学模型页数:44
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投入产出模型的推广及其应用
投入产出模型的推广及其应用投入产出模型是一种经济分析工具，用于评估一个经济体中不同部门之间的相互依赖关系和资源流动。
它可以帮助政府、企业和研究机构了解各个部门的贡献和影响，从而制定合理的政策和决策。
本文将介绍投入产出模型的基本原理、推广方式以及其在实际应用中的一些案例。
一、投入产出模型的基本原理投入产出模型是由经济学家沃森·勒奇（Wassily Leontief）在20世纪30年代提出的。
它基于一个简化假设，即一个经济体可以被划分为若干个部门，每个部门都需要一定数量的投入才能生产出相应的产出。
这些投入和产出之间存在着复杂的相互依赖关系，通过建立一个输入输出矩阵来描述这种关系。
输入输出矩阵是一个n行n列的方阵，其中n表示经济体中部门的数量。
矩阵中第i行第j列的元素表示第i个部门向第j个部门提供了多少单位的投入。
通过对输入输出矩阵进行数学运算，可以计算出每个部门的产出、就业和价值创造等指标。
二、投入产出模型的推广方式1. 数据收集：投入产出模型需要大量的数据支持，因此在推广应用之前，需要进行全面而准确的数据收集。
这包括各个部门的生产数据、投入数据以及经济体整体的经济指标等。
2. 模型构建：根据收集到的数据，可以构建输入输出矩阵，并计算各个部门的产出和就业情况。
这一步需要借助计量经济学方法和软件工具进行分析和计算。
3. 效果评估：通过比较不同部门之间的相互依赖关系和资源流动情况，可以评估不同政策或决策对整体经济效果的影响。
这有助于政府和企业制定更合理的发展战略和政策。
4. 推广应用：投入产出模型可以应用于各个领域，包括宏观经济政策制定、区域发展规划、环境影响评估等。
通过将模型推广到不同领域中，可以更好地理解各个部门之间的相互作用，并为决策者提供科学依据。
三、投入产出模型的应用案例1. 宏观经济政策制定：投入产出模型可以帮助政府评估不同政策对经济的影响。
政府可以通过模型计算出增加某个部门的投入会对整体就业和产出造成怎样的影响，从而制定合理的产业政策。
投入产出模型在全球价值链中的应用
投入产出模型在全球价值链中的应用一、投入产出模型的概念投入产出模型是一种经济分析工具，用于描述一个经济系统中各个部门之间的相互依赖关系。
它通过考虑各个部门之间的投入和产出关系，来分析经济系统中的产出变化对各个部门的影响。
二、全球价值链的特点全球价值链是指在全球范围内，不同国家和地区的企业和机构通过分工合作，共同参与产品或服务的生产和供应过程。
全球价值链的特点包括以下几个方面：1. 分工合作：不同国家和地区的企业和机构通过分工合作，各自承担特定环节的生产任务。
2. 跨国流动：生产要素和产品在全球范围内的流动，包括劳动力、资本、技术和原材料等。
3. 附加值分配：不同环节的附加值分配不均，不同国家和地区的企业和机构在全球价值链中承担不同的经济利益。
4. 知识密集型：全球价值链中的高附加值环节往往是知识密集型的，涉及到创新、研发和设计等。
投入产出模型可以用于分析全球价值链中各个环节之间的相互依赖关系、生产要素的流动以及附加值的分配等问题，具体应用包括以下几个方面：1. 产业结构调整：通过投入产出模型，可以分析全球价值链中各个产业的相互关系，帮助国家和地区优化产业结构，提高产业附加值水平。
例如，通过分析某个国家在全球价值链中的地位，可以确定该国应该加强哪些产业的发展，以提高经济效益。
2. 贸易政策分析：投入产出模型可以帮助分析贸易政策对全球价值链的影响。
例如，通过模拟不同贸易政策下的产出变化，可以评估贸易政策对各个产业和国家的影响，从而指导制定更有效的贸易政策。
3. 供应链风险管理：全球价值链中的供应链风险是一个重要问题。
通过投入产出模型，可以分析不同环节的供应链关系，评估供应链中的风险和脆弱性，并提出相应的风险管理策略。
4. 环境影响评估：投入产出模型可以用于评估全球价值链中的环境影响。
通过分析不同环节的能源消耗和排放情况，可以评估全球价值链对环境的影响，并为环境政策的制定提供科学依据。
投入产出模型在全球价值链中具有广泛的应用前景。
投入产出模型资料
§6.1投入产出模型在对某地区作经济分析时，先把该地区分为若干个部门投入----各个经济部门在进行经济活动时的消耗。
例如：原材料，设备，能源等。
产出——各经济部门在进行经济活动时的成果。
如，产品投入产出模型——反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型。
投入产出模型是由美国经济学家列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖。
投入产出模型由平衡表与平衡方程构成，分为价值型和实物型。
价值型投入产出平衡表。
1.概念投入产出表通常是以年度为单位编制的。
规模可以是全国，也可以是某地区或某企业。
最终产品——本年内不再加工，可直接提供给人们消费或积累或出口的产品。
纯收入——利税净产值——劳动报酬与纯收入之和。
也即总产值减去中间消耗。
价值型——以货币单位为计量单位的表。
总产品=总产值2.表的构成：投入产出平衡表主要由三大部分组成(1)部门间流量x ij把国民经济分解为n 个部门，每个部门都有双重身分。
一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品。
另方面，它的产品也要分配给各部门使用。
用ij x 表示部门j 在本年度生产过程中对部门i 的产品的消耗量。
也即是本年内部门i 分配给部门j 的产品量。
称为部门间流量。
(2)最终产品i yi y 表示部门i 的总产值扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量。
(3)净产值Z j设部门j 的劳动报酬为j v ，纯收入为j m ，则j j jm v z +=(4)部门j 的总产值为x j ，j=1，2，……，n 3.平衡方程（1） 分配平衡方程i i nj ijx y x=+∑=1i=1，2，……，n,(6.1)反映部门i 的分配情况 （2） 消耗平衡方程j j ni ijx z x=+∑=1j=1，2，……，n , (6.2)反映部门ｊ的消耗情况 （3） 综合平衡方程 ∑∑===nj jmi i zy 11(6.3) 这可由上两方程而得直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念。
《投入产出模型》课件
《投入产出模型》ppt课件
目录
CONTENTS
• 投入产出模型概述 • 投入产出模型的构建 • 投入产出模型的分析方法 • 投入产出模型的应用案例 • 投入产出模型的未来发展
01
CHAPTER
投入产出模型概述
定义与特点
定义
投入产出模型是一种经济数量分析方法，通过建立数学模型来描述和分析各部 门之间的经济技术联系和投入产出关系。
02
Excel是一款常用的办公软件， 可以通过添加插件或使用自定 义函数来处理投入产出模型的 数据。
03
SAS和Stata则是专业的统计分 析软件，具有强大的数据处理 和模型分析功能，适用于复杂 的投入产出模型分析。
04
CHAPTER
投入产出模型的应用案例
地区经济分析
总结词
投入产出模型在地区经济分析中，能够全面反映各产业间的经济联系，为地区经济发展战略制定提供决策依据。
数据来源
通过调查、统计和会计资料等途径获取各部门之间的 经济联系数据。
编制方法
采用会计和经济统计方法，按照生产活动的流程和特 点，将各部门之间的经济联系进行分类和整理。
直接消耗系数的计算
直接消耗系数
表示某部门生产单位产品所需直接消耗的另一 部门产品的数量。
计算方法
通过投入产出表中的投入数据计算，反映部门 之间的直接经济联系。
特点
投入产出模型具有系统性、动态性、预测性和政策模拟性，能够全面反映经济 系统的结构、功能和运行机制，为政策制定和经济发展提供科学依据。
投入产出模型的应用领域
产业结构分析
投入产出模型可以用于分析产业 间的关联关系和依存度，揭示产 业发展的内在规律和趋势，为产 业结构调整和优化提供决策支持 。
目录
CONTENTS
• 投入产出模型概述 • 投入产出模型的构建 • 投入产出模型的分析方法 • 投入产出模型的应用案例 • 投入产出模型的未来发展
01
CHAPTER
投入产出模型概述
定义与特点
定义
投入产出模型是一种经济数量分析方法，通过建立数学模型来描述和分析各部 门之间的经济技术联系和投入产出关系。
02
Excel是一款常用的办公软件， 可以通过添加插件或使用自定 义函数来处理投入产出模型的 数据。
03
SAS和Stata则是专业的统计分 析软件，具有强大的数据处理 和模型分析功能，适用于复杂 的投入产出模型分析。
04
CHAPTER
投入产出模型的应用案例
地区经济分析
总结词
投入产出模型在地区经济分析中，能够全面反映各产业间的经济联系，为地区经济发展战略制定提供决策依据。
数据来源
通过调查、统计和会计资料等途径获取各部门之间的 经济联系数据。
编制方法
采用会计和经济统计方法，按照生产活动的流程和特 点，将各部门之间的经济联系进行分类和整理。
直接消耗系数的计算
直接消耗系数
表示某部门生产单位产品所需直接消耗的另一 部门产品的数量。
计算方法
通过投入产出表中的投入数据计算，反映部门 之间的直接经济联系。
特点
投入产出模型具有系统性、动态性、预测性和政策模拟性，能够全面反映经济 系统的结构、功能和运行机制，为政策制定和经济发展提供科学依据。
投入产出模型的应用领域
产业结构分析
投入产出模型可以用于分析产业 间的关联关系和依存度，揭示产 业发展的内在规律和趋势，为产 业结构调整和优化提供决策支持 。
投入产出模型
投入产出模型
线性代数 在经济管理中的应用
经济与管理学院 黄丽娟
西安电子科技大学 Xi Dian
University
目录
1 模型简介 投入产出模型是什么？ 2 模型思路 投入产出模型如何建？ 3 应用举例 投入产出模型怎么用？
西安电子科技大学 Xi Dian
University
1 投入产出模型简介
0.15 1
0.35
0.1 2
0.15
0.3 3
西安电子科技大学 Xi Dian
University
经济与管理学院 黄丽娟 - 8 -
3 投入产出模型应用举例
【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业
和服务业三部门组成。各部门的单位消耗列向量如
下表所示。
向下列部门 购买
制造业
每单位输出的输入消耗
向下列部门
每单位输出的输入消耗
购买 制造业 农业 服务业
制造业
农 业0.5 服 5务0业
v 0.5
1000v.12
100 00..3405 .2
002..1205
0.15 1 0.01 .15 10.35
西安电子科技大学 Xi Dian
University
经济与管理学院 黄丽娟 - 10 -
University
2 投入产出模型思路
基本假设：
对于每个部门，存在一个在 n 维单位消耗列向
量 vi ，它表示第 i 个部门每产出一个单位（比如
100万美金）产品，需消耗其他部门产出的数量。
把这 n 个 vi 并列起来，就可以构成一个 n n
的系数矩阵，成为内部需求矩阵V。由于要向外 部提供产品，V 矩阵各列向量元素之和必小于1。
线性代数 在经济管理中的应用
经济与管理学院 黄丽娟
西安电子科技大学 Xi Dian
University
目录
1 模型简介 投入产出模型是什么？ 2 模型思路 投入产出模型如何建？ 3 应用举例 投入产出模型怎么用？
西安电子科技大学 Xi Dian
University
1 投入产出模型简介
0.15 1
0.35
0.1 2
0.15
0.3 3
西安电子科技大学 Xi Dian
University
经济与管理学院 黄丽娟 - 8 -
3 投入产出模型应用举例
【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业
和服务业三部门组成。各部门的单位消耗列向量如
下表所示。
向下列部门 购买
制造业
每单位输出的输入消耗
向下列部门
每单位输出的输入消耗
购买 制造业 农业 服务业
制造业
农 业0.5 服 5务0业
v 0.5
1000v.12
100 00..3405 .2
002..1205
0.15 1 0.01 .15 10.35
西安电子科技大学 Xi Dian
University
经济与管理学院 黄丽娟 - 10 -
University
2 投入产出模型思路
基本假设：
对于每个部门，存在一个在 n 维单位消耗列向
量 vi ，它表示第 i 个部门每产出一个单位（比如
100万美金）产品，需消耗其他部门产出的数量。
把这 n 个 vi 并列起来，就可以构成一个 n n
的系数矩阵，成为内部需求矩阵V。由于要向外 部提供产品，V 矩阵各列向量元素之和必小于1。
投入产出模型
99 . 56
2
0.00 0.00 72.09 0.00 0.00 11.06 83 . 15
3
33.07 21.66 11.39 11.06 16.67 11.06 193 . 91
4
11.11 10.09 27.77 5.57 5.59 5.49
66 . 46
5
11.11 16.29 27.77 5.57 5.59 5.49
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中 各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1 A0 0.2 0.11100 2 1
0.1 0.5 0.6 1 5 6 4 0 1
EA110 0 8 1 1 5 4
27 5 8
EA1 1101 15 4
8 20 32
EA10.4145 0.517 0.59 0.095
0.1 0.0850.58
XEA1Y
0.63 0.09 0.09235 400 0.414505.17 0.59 0.095125300
0.1 0.0850.58210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
三、完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗， 不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出 如下定义。 定义7.2.2 第j部门生产单位价值量直接和间
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。
表7.2
产出 中间消耗
投入
123
中 1 100 25 30
间 投
2
80 50 30
入 3 40 25 60
净产值
投入产出模型
投入产出模型
投入产出模型是一种经济分析工具，用于衡量一个产业或
经济体所产出的产品或服务与输入的资源之间的关系。
它
旨在测量和评估经济发展、资源利用和产业结构的效率和
影响。
投入产出模型的核心假设是经济体中各个产业之间存在着
相互依赖的关系。
模型以一个输入输出表的形式展现，其
中列出了各个产业的生产量和使用量。
这个矩阵描述了每
个产业之间的原始输入和最终产品流动的关系。
在投入产出模型中，产出是指一个经济体或产业所生产的
最终产品或服务的总量。
这些产出可以是消费品、投资品、政府服务等。
投入是指用于生产这些产出所需要的各种资源，如劳动力、资本、原材料等。
通过分析投入产出表，可以计算出不同产业之间的直接效
应和间接效应。
直接效应是指一个产业的产出对其他产业
的需求所产生的影响。
间接效应则是指这些产业间的相互依赖关系所带来的效应。
投入产出模型还可以计算出各个产业的乘数效应，即每一单位的最终需求对总产出的影响程度。
投入产出模型可以很好地衡量不同产业之间的相互关系，并为政府制定政策、企业进行决策提供指导。
它可以帮助分析经济体的结构和变化趋势，评估政策的影响和效果，以及预测经济增长和资源利用的潜在影响。
《投入产出模型》课件
环境和பைடு நூலகம்源利用的评估
基于投入产出模型的框架， 分析环境和资源利用的效率， 并寻找提高效率的途径。
投入产出模型的不足
1 地区生产过程的异质 2 产业相关性假设不充 3 模型结果敏感度大
性未考虑
分
对数值精度要求较高，因
不同地区的投入产出过程
投入产出模型基于产业相
为误差的扩散会导致模型
和产业结构存在较大差异，
参考文献
• 刘世伟, 王兴, & 赵刚. (2017). 投入产出模型在城市系统环境影响评价 中的应用. 中国人口•资源•环境, 27(06), 52-59.
• Leontief, W. (2019). Input-output econom ics. Spring er. • 王志坚. (2018). 投入产出模型的应用综述. 俄罗斯特区经济, (24), 110-118.
《投入产出模型》PPT课 件
本课程将介绍投入产出模型的基本概念和应用，帮助您深入了解这个重要的 经济分析工具。
引言
1 什么是投入产出模型？
是一种经济分析工具，用于评估一个体系中 的不同行业之间的相互影响和依赖关系。
2 为什么要使用投入产出模型？
可以帮助政府和企业分析决策、制定规划和 评估政策对经济的影响。
关的假设，但现实中的关
预测能力的大幅下降。
不能简单地套用模型。
联可能相当复杂，某些因
素难以建立较为准确的联
系。
总结
投入产出模型的优点和缺点
优点包括综合性强、适用范围广、可视化直观等， 缺点包括模型假设条件过于苛刻、经济体系的复杂 性难以表现等。
投入产出模型对社会经济发展的意义和贡 献
提供决策者更加准确和全面的信息，为政策制定和 经济规划提供科学的参考，推动社会发展。
《投入产出模型》课件
投入产出模型的发展趋势与展望
智能化与自动化
跨学科融合
定制化与个性化
随着大数据和人工智能技术的 发展，未来投入产出模型将更 加智能化和自动化。通过数据 挖掘和分析，能够更准确地评 估经济系统的结构和效率，为 政策制定提供科学依据。
未来投入产出模型将进一步融 合其他学科的理论和方法，如 地理信息系统、复杂网络等， 以更全面地揭示经济系统的内 在规律和动态变化。
特点
投入产出模型能够全面反映经济系统 的结构和运行规律，揭示各部门之间 的经济联系，为政策制定者提供决策 依据。
投入产出模型的基本假设
假设一
生产过程中消耗的中间产品与 最终产品之间存在固定的比例
关系。
假设二
生产技术系数在一定时期内保 持稳定。
假设三
生产过程中不存在外部经济和 内部经济的影响。
假设四
投入产出模型的起源
投入产出模型的起源可以追溯到 20世纪30年代，当时美国经济学 家瓦西里·列昂惕夫提出了投入产 出分析方法，用于研究经济系统 中各部门之间的投入与产出关系 。
投入产出模型的发展
随着时间的推移，投入产出模型 的应用范围不断扩大，逐渐成为 宏观经济分析和政策制定的有力 工具。在实践中，投入产出模型 不断得到完善和改进，以适应不 同国家和行业的需要。
动态投入产出模型考虑了时间因素对 经济系统的影响，能够更好地模拟经 济系统的动态变化和趋势。该模型在 政策制定和预测方面具有广阔的应用 前景。
03
全球投入产出模型
随着全球经济一体化的加速，全球投 入产出模型逐渐成为研究前沿之一。 该模型能够全面地反映全球范围内各 国家、各行业之间的经济联系和相互 影响。
02
投入产出模型的建立
投入产出的预测和计算
投入产出的预测和计算1. 什么是投入产出模型投入产出模型（Input-Output Model）是一种经济学模型，用于预测某种经济系统的生产和消费的流程。
它基于以下假设：不同产业之间存在着复杂的交互关系，产业之间的消费和生产能够互相促进，即以一种特定产业的投入物为基础，其他产业的生产和消费会得到良性循环。
它以投入和产出的概念为基础，通过一个复杂的线性系统来描述整个经济流程，是经济学领域的重要研究工具。
2. 投入产出模型的计算方法投入产出模型的计算可以使用Leontief矩阵。
Leontief矩阵是一个N维的矩阵，表示每个产业之间的投入和产出的关系，N表示产业的数量。
在Leontief矩阵中，Mij表示第i个产业对于第j 个产业的投入量。
如果Mij为0，则表示第i个产业不制造第j个产业的产品。
在进行计算之前，需要先收集数据，包括每个产业的投入和产出数据。
3. 投入产出模型的应用投入产出模型的应用非常广泛，在实际的经济中，可以用来预测不同产业之间的关系，同时可以用于政策制定和分析的工具。
以下是投入产出模型的一些具体应用。
（1）经济发展规划投入产出模型可以用来估算不同产业之间的投资和回报，从而为经济发展规划提供支持。
政府可以利用投入产出模型来评估各个产业的发展优先级，以及如何合理地分配资源。
（2）区域经济发展规划投入产出模型可以帮助区域政府评估不同行业之间的联系，并将信息用于区域经济发展计划。
通过投入产出模型，政府可以更好地了解区域经济发展的潜在瓶颈和影响因素，以便更好地制定经济发展规划。
（3）环境影响评估投入产出模型还可以用于评估特定活动的环境影响，例如工业发展、城市化等。
通过使用投入产出模型，可以评估原材料和能源的使用情况，以及排放物和废弃物的处理情况。
这样可以帮助决策者更好地了解环境影响，并采取更加有效的环保措施。
4. 投入产出模型的局限性尽管投入产出模型是一种非常有用的经济学工具，但它仍然存在一些局限性。
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性质2
a
i 1
n
ij
1, j 1,2,, n.
n
证（反证法）假设 k ,1 k n，有 aik 1，则
i 1
xik 1 1 aik xk i 1 i 1 xk
n
n
x
i 1
n
ik
xik xk , 矛盾.▍
i 1
n
推论 0 aij 1, i, j 1,2,, n .▍
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— — 投入产出分析由美国经济学家 W.Leontief于20世纪 30年代首先提出，其基本思想是：利用线性代数的理论 和方法，研究一个经济系统的各部门之间错综复杂的联 系，建立相应的数学模型，用于经济分析和预测.
投入产出模型 设一个经济系统有个部门：部门1，部门2，…，部 门n，且规定：（1）部门i仅生产一种产品i（部门i的产 出）.不同部门的产品不能相互替代，即部门与产出一 一对应；（2）在生产过程中，部门j至少需要消耗另一 部门i的产品（部门i对部门j的投入），且部门i对部门j 的投入与部门i的产出成正比.
i 1,2,, n.
3
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— m j 部门j的纯收入， —
V j 部门j的劳动报酬，
Z j m j V j 部门j的新创造价值
j 1,2,, n
根据上述资料，编制价值型投入产出表：
4
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— —
（6.2）
（投入＝新创造价值＋物质消耗）
6
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— — 引入直接消耗系数 xij aij , i, j 1,2,, n xj 显然， aij 表示生产单位产品 j 所需直接消耗产品 i 的数量.
xij aij x j , i, j 1,2,, n 由直接消耗系数的定义知，
a1n— a2n （直接消耗系数矩阵）， a nn
则（6.3）即为 X AX Y 或 ( E A) X Y
（6.4）
直接消耗系数矩阵的性质：
性质1 aij 0, i, j 1,2,, n.
9
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— xij 0, i, j 1,— 2,, n .▍ 证 aij xj
5
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— 由投入产出表易有 — 产品分配平衡方程组：
xi yi xij , i 1,2,, n
j 1 n
（6.1）
产值构成平衡方程组：
x j z j xij , j 1,2,, n
i 1 n
1
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— —
投入产出模型按计量单位的不同，可分为价值型投 入产出模型和实物型投入产出模型.在价值型投入产出 模型中，各部门的投入，产出均以货币为单位来计量； 在实物型投入产出模型中，各部门的投入，产出均以 实物为单位来计量.
j 1
n
| xj | | xk |
akj 1 akj
10
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— n — Th4.17设矩阵A (a ) ，若 | a | 1, i 1,2,, n或
ij nn
j 1
ij
| a
i 1
n
ij
| 1, j 1,2,, n, 则A的特征值，有 | | 1.
（1）代入（6.1）得
xi yi aij x j , i 1,2,, n
j 1 n
7
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— a1n x n y1 x1 a11 x1 a12 x 2 — x a x a x a x y 2 21 1 22 2 2n n 2 （6.3） x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n y n
2
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— 先来研究价值型投入产出模型 . 根据往年资料可知， — xi 部门i的产出， xij 部门i对各部门j的投入,
பைடு நூலகம்x
j 1
n
ij
部门i的中间产出，
n
yi xi xij 部门i的最终产出，
j 1
n
证 仅需证若 | aij | 1, i 1,2,, n的情况.
j 1
设矩阵A属于特征值 的特征向量为
x1 x2 0 x n
11
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— n A , 则 — 即 aij x j xi , i 1,2,, n
令
y1 x1 x2 y2 X （产出向量）， Y （投入向量）， y x n n
8
§ 4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ————————————————————
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2
j 1
令 | xk | max {| xi |} 0,
1 i n
xk xk 则 | || | 1 | | xk xk
a
j 1
n
kj
xj
xk xj xk
a
j 1
n
xj
kj
xk
akj
j 1
n
xj xk
akj
j 1
n
akj
a
i 1
n
ij
1, j 1,2,, n.
n
证（反证法）假设 k ,1 k n，有 aik 1，则
i 1
xik 1 1 aik xk i 1 i 1 xk
n
n
x
i 1
n
ik
xik xk , 矛盾.▍
i 1
n
推论 0 aij 1, i, j 1,2,, n .▍
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— — 投入产出分析由美国经济学家 W.Leontief于20世纪 30年代首先提出，其基本思想是：利用线性代数的理论 和方法，研究一个经济系统的各部门之间错综复杂的联 系，建立相应的数学模型，用于经济分析和预测.
投入产出模型 设一个经济系统有个部门：部门1，部门2，…，部 门n，且规定：（1）部门i仅生产一种产品i（部门i的产 出）.不同部门的产品不能相互替代，即部门与产出一 一对应；（2）在生产过程中，部门j至少需要消耗另一 部门i的产品（部门i对部门j的投入），且部门i对部门j 的投入与部门i的产出成正比.
i 1,2,, n.
3
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— m j 部门j的纯收入， —
V j 部门j的劳动报酬，
Z j m j V j 部门j的新创造价值
j 1,2,, n
根据上述资料，编制价值型投入产出表：
4
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— —
（6.2）
（投入＝新创造价值＋物质消耗）
6
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— — 引入直接消耗系数 xij aij , i, j 1,2,, n xj 显然， aij 表示生产单位产品 j 所需直接消耗产品 i 的数量.
xij aij x j , i, j 1,2,, n 由直接消耗系数的定义知，
a1n— a2n （直接消耗系数矩阵）， a nn
则（6.3）即为 X AX Y 或 ( E A) X Y
（6.4）
直接消耗系数矩阵的性质：
性质1 aij 0, i, j 1,2,, n.
9
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— xij 0, i, j 1,— 2,, n .▍ 证 aij xj
5
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— 由投入产出表易有 — 产品分配平衡方程组：
xi yi xij , i 1,2,, n
j 1 n
（6.1）
产值构成平衡方程组：
x j z j xij , j 1,2,, n
i 1 n
1
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— —
投入产出模型按计量单位的不同，可分为价值型投 入产出模型和实物型投入产出模型.在价值型投入产出 模型中，各部门的投入，产出均以货币为单位来计量； 在实物型投入产出模型中，各部门的投入，产出均以 实物为单位来计量.
j 1
n
| xj | | xk |
akj 1 akj
10
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— n — Th4.17设矩阵A (a ) ，若 | a | 1, i 1,2,, n或
ij nn
j 1
ij
| a
i 1
n
ij
| 1, j 1,2,, n, 则A的特征值，有 | | 1.
（1）代入（6.1）得
xi yi aij x j , i 1,2,, n
j 1 n
7
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— a1n x n y1 x1 a11 x1 a12 x 2 — x a x a x a x y 2 21 1 22 2 2n n 2 （6.3） x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n y n
2
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— 先来研究价值型投入产出模型 . 根据往年资料可知， — xi 部门i的产出， xij 部门i对各部门j的投入,
பைடு நூலகம்x
j 1
n
ij
部门i的中间产出，
n
yi xi xij 部门i的最终产出，
j 1
n
证 仅需证若 | aij | 1, i 1,2,, n的情况.
j 1
设矩阵A属于特征值 的特征向量为
x1 x2 0 x n
11
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— n A , 则 — 即 aij x j xi , i 1,2,, n
令
y1 x1 x2 y2 X （产出向量）， Y （投入向量）， y x n n
8
§ 4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ————————————————————
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2
j 1
令 | xk | max {| xi |} 0,
1 i n
xk xk 则 | || | 1 | | xk xk
a
j 1
n
kj
xj
xk xj xk
a
j 1
n
xj
kj
xk
akj
j 1
n
xj xk
akj
j 1
n
akj