投入产出数学模型

§6.1投入产出模型在对某地区作经济分析时，先把该地区分为若干个部门投入----各个经济部门在进行经济活动时的消耗。

例如：原材料，设备，能源等。

产出——各经济部门在进行经济活动时的成果。

如，产品投入产出模型——反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型。

投入产出模型是由美国经济学家列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖。

投入产出模型由平衡表与平衡方程构成，分为价值型和实物型。

价值型投入产出平衡表。

1.概念投入产出表通常是以年度为单位编制的。

规模可以是全国，也可以是某地区或某企业。

最终产品——本年内不再加工，可直接提供给人们消费或积累或出口的产品。

纯收入——利税净产值——劳动报酬与纯收入之和。

也即总产值减去中间消耗。

价值型——以货币单位为计量单位的表。

总产品=总产值2.表的构成：投入产出平衡表主要由三大部分组成(1)部门间流量x ij把国民经济分解为n 个部门，每个部门都有双重身分。

一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品。

另方面，它的产品也要分配给各部门使用。

用ij x 表示部门j 在本年度生产过程中对部门i 的产品的消耗量。

也即是本年内部门i 分配给部门j 的产品量。

称为部门间流量。

(2)最终产品i yi y 表示部门i 的总产值扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量。

(3)净产值Z j设部门j 的劳动报酬为j v ，纯收入为j m ，则j j jm v z +=(4)部门j 的总产值为x j ，j=1，2，……，n 3.平衡方程（1） 分配平衡方程i i nj ijx y x=+∑=1i=1，2，……，n,(6.1)反映部门i 的分配情况 （2） 消耗平衡方程j j ni ijx z x=+∑=1j=1，2，……，n , (6.2)反映部门ｊ的消耗情况 （3） 综合平衡方程 ∑∑===nj jmi i zy 11(6.3) 这可由上两方程而得直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念。

系统控制——投入产出模型国民经济投入产出模型1．基本概念国民经济投入产出模型：从数量方面考察分析国民经济各部门之间生产与分配的关系，反映国民经济综合比例的一种经济数学模型。

投入—生产性消费；产出—产品的生产及其分配使用；各部门在投入产出上、在生产与分配上存在着生产技术性与经济性的密切联系，这种联系可以用一个图表简明扼要地表示出来，这个表称为投入产出表。

这个表有着特定的结构、经济内容与运算形式，故又称为投入产出模型。

Dj：第j部门一年中所提供折旧基金；Wj：第j部门一年中支付的劳动报酬（工资）；Mj：第j部门劳动者一年内为社会创造的新的价值（税金、利润、其它）；Nj：第j部门劳动者一年内所创造的净国民收入；Yi：第i一年中所提供的最终产品总量；Xj：第j部门的总投入及新创价值（简称总投入或总产值）。

Vj、Cj、Ej、等见表上的对应项说明；I 交易象限—各部门生产消耗的联系；II 最终产品象限—生产部门的年终产品中可供社会最终消费使用的产品量；III 新创价值象限，国民收入分配与再分配的过程；IV 最终需求象限—基本投入与最终需求之间的关系。

3． 投入产出综合平衡模型的基本公式1）行关系：中间产品 + 最终产品 = 总产品∑Xij + Yi = Xi （1）2）列关系：生产资料转移价值 + 新创价值 = 总产值（总投入） ∑Xij + Dj + Nj = Xj （2）3）同一部门总投入总产出相等关系（i ） ∑Xij + Dj + Nj = （j ）∑Xij + Yi （3）4）行列总和关系：国民收入与折旧之和（国民生产总值） = 最终产品之和 ∑Dj + ∑Nj = ∑ Yi （4）4．投入产出模型（基本量间的关系式）1）直接消耗系数aij （部门j 生产单位产品所消耗部门i 产品的数量） aij = xij / xj （xij = aij 。

xj ） （5）式（1）： Ax + y = x （6） （I – A ）x = y （7）2）依存系数：由 （I – A ）x = y 得： x = （I – A ）-1 y （8）3）折旧系数a Dj ： 部门j 生产单位产品所提取的折旧基金 a Dj = Dj / xj4）劳动报酬系数：部门j 生产单位产品需付出的劳动报酬 a Wj = Wj / xj5）社会纯收入系数：部门j 生产单位产品为社会创造的纯收入 a Mj = Mj / xj⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=yn y y y xn x x x ann an an n a a a n a a a A 21,21,212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-ann an an n a a a n a a a A I 121222*********)(6）国民收入（净产值）系数：部门j 生产单位产品创造的国民收入 a Nj = Nj / xj7）物耗系数：社会总产出与国民收入之间的关系 （列关系）（∑aij + a Dj ）xj + Nj = xjC x + N = x （9） N = （I – C ）x （10） x = （I – C ）-1N （11）8）完全消耗系数B ： 部门j 生产单位产品对各部门产品的直接与间接消耗生产 x 和 y 的消耗应相同： By = Ax （12） 因为： y = （I – A ）x 所以： B （I —A ） = A从而： B = A + BA （13） 或： B = A （I – A ）-1 （14） 或： B = （I – A ）-1 – I （15）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=∑∑∑Nn N N N a ain aai a ai C Dn D D21,2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=bnn bn bn n b b b n b b b B 212222111211。

投入产出分析投入产出分析：在一定的经济理论指导下，利用投入产出表和相应的投入产出模型，对各种经济活动的投入产出关系所进行的经济分析和预测。

投入：是指生产（包括货物生产与服务生产）过程中对各种生产要素的消耗与使用，包括对原材料等物质产品的使用、对劳动力的消耗与使用、对各种生产资源的消耗与使用。

投入分为中间投入和最初投入，两者之和为总投入。

中间投入：又叫中间消耗，是指生产过程中作为投入所消耗的各种非耐用性货物和服务。

最初投入：是指增加值的要素投入，包括劳动者报酬、固定资本消耗、生产税净额和营业盈余。

产出：是指生产出来的产品及其分配使用的去向。

产出可分为中间产品和最终产品。

或叫做中间使用和最终使用。

中间使用：是指经济体系中各部门所生产出来的产品用于其它部门做中间消耗的部分。

最终使用：是指经济体系中各部门所生产出来的产品被用于最终消费、投资和出口的部分。

投入产出表是指把经济体系中的各部门各种产品生产投入来源和产出使用去向的相互联系概括地表现出来的一种棋盘式表格。

投入产出模型：反映投入和产出关系的数学模型。

投入产出分析的基本特点1.投入产出分析是一种系统分析方法。

它从国民经济是一个有机整体的观点出发，综合研究各个具体部门之间的数量关系（技术经济联系）。

整体性是投入产出法最重要的特点。

2.以投入产出表为基础，利用现代数学建立模型进行分析求解。

各部门间的数量依存关系，在投入产出分析中通过一系列的线性方程组进行表现。

3.主要是通过参数反映国民经济各个产业部门的经济技术联系。

4.数学方法和电子计算技术的结合。

基本假定1、同质性假定：假定每个产业部门只生产一种特定的同质产品，同一部门内的产品在各种用途上是可以相互替代的。

2、比例性假定：规模收益不变假定，即每个部门产品的产出量与它的投入量是成正比例的。

3、相加性假定：无交互作用假定，n个部门的产出合计等于这n个部门的投入合计。

相加性假定的实质就是假定个生产部门的生产活动中，不存在本身生产活动之外的“外部经济”。

关于农业投入产出的线性回归模型
农业投入产出的线性回归模型是一种用于分析农业产出与投入之间关系的统计方法。

该模型是建立在线性关系的基础上，通过拟合数据来估计产出与投入之间的数学关系。

农业投入通常包括土地、劳动力、资本、肥料、农药和灌溉等因素，而农业产出则是指农作物或畜牧产品的产量。

线性回归模型的目标是通过找到最佳拟合直线来描述投入与产出之间的关系。

最常用的线性回归模型是一元线性回归模型，该模型可以表示为:
Y = a + bX + e
Y表示农业产出，X表示农业投入，a和b是待估计的参数，e是误差项。

在建立线性回归模型之前，需要收集相关的农业投入和产出数据。

这些数据可以来自农业调查、统计年鉴或农业生产资料企业等。

收集到的数据包括投入和产出的量，可以是数量、重量或货币单位。

接下来，使用统计软件或编程语言，通过最小二乘法来拟合数据，估计出模型中的未知参数a和b。

最小二乘法是一种常用的回归分析方法，它通过找到使得误差平方和最小的参数估计。

估计出参数后，可以使用模型来预测农业产出。

将农业投入的值带入模型中，即可得到对应的预测产出值。

还可以通过模型中的参数来解释农业投入对产出的影响。

如果b的值为正，则表示增加投入会使产出增加；如果b的值为负，则表示增加投入会使产出减少。

需要注意的是，线性回归模型假设了投入与产出之间是线性关系。

在现实情况中，农业产出往往受到众多因素的影响，线性模型可能无法完全解释这种复杂关系。

应该对模型的合理性进行验证，如检验模型的拟合优度和统计显著性。

环境拓展投入产出模型（Extended Input-Output model）是一种考虑环境因素的投入产出模型，旨在更全面地评估经济活动对环境的影响。

随着全球环境问题日益严重，环境拓展投入产出模型在研究和制定中扮演着重要的角色。

本文将对环境拓展投入产出模型的相关理论、方法和应用进行深入探讨，并结合实际案例进行分析。

环境问题是当前全球面临的重大挑战之一，空气污染、水污染、土地退化等问题严重影响着人类的生存和发展。

传统的投入产出模型主要关注经济活动之间的相互关系，但忽视了经济活动对环境的影响。

因此，迫切需要一种能够综合考虑经济和环境之间相互作用的模型，以更好地指导制定和实践。

环境拓展投入产出模型正是应运而生的一种评估经济活动对环境影响的工具。

该模型在传统投入产出模型的基础上，增加了环境影响因素，通过对经济部门之间的投入和产出关系进行扩展，揭示了经济活动对环境的直接和间接影响。

通过环境拓展投入产出模型，研究人员可以更准确地评估不同产业对环境的影响程度，为制定环境保护提供科学依据。

环境拓展投入产出模型的基本理论是建立在传统投入产出模型的基础上的。

传统投入产出模型是一种描述经济系统内部各个部门之间投入和产出关系的数学模型，以矩阵形式呈现。

在传统投入产出模型中，每个经济部门都有产出和投入两个方面的数据，通过对不同部门之间的交互关系进行多次迭代计算，最终得出各个部门的最终产出和最终需求。

传统投入产出模型主要用于评估不同产业之间的联系和影响，为产业和经济规划提供参考依据。

环境拓展投入产出模型在传统投入产出模型的基础上增加了环境数据，从而能够更全面地评估经济活动对环境的影响。

环境拓展投入产出模型将经济活动分为能源、土地、水资源等环境部门和其他一般经济部门，通过引入环境因素的投入和产出系数，揭示了环境部门之间的相互影响。

通过对环境拓展投入产出模型的计算和分析，可以更准确地评估经济活动对环境的直接和间接影响，并为环境的制定提供科学依据。

§ 1・5投入产出模型的基本假设和求解条件任何经济数学模型都是都实际经济活动的抽象，都是在若干基本假设下建立的，或者只有在若干基本假设下才能成立。

关键在于所舍弃的是事物的本质方面还是非本质方面。

一、投入产出模型的基本假设投入产出模型是在如下重要假设下建立的。

1.不可替代假设投入产出模型假设一个部门只生产一种产品，而且只采用一种技术生产；同时，一种产品只由一个部门生产。

为什么要作出该假设？实际经济活动是否满足这一假设？2.线性假设投入产出模型假设投入量与产出量是成正比的，比例系数就是直接消耗系数。

为什么要作出该假设？实际经济活动是否满足这一假设？3.系数不变假设投入产出模型假设直接消耗系数在一个周期内是不变的。

为什么要作出该假设？实际经济活动是否满足这一假设？4.关于生产周期的假设投入产出模型假设每个部门的生产经营活动，从生产要素的投入到产出的分配与使用，都在一个周期内完成。

为什么要作出该假设？实际经济活动是否满足这一假设？如何处理？二、投入产出模型的求解条件所谓“投入产出模型的求解条件”，是指投入产出模型能够求解的条件。

1.投入产出模型能够求解的条件投入产出模型X (I A) 1Y能够求解的条件是矩阵(I A )有逆，且逆矩阵的元素不为负。

是从数学和经济意义两方面提出的。

2.价值型投入产出模型求解条件的证明对于价值型投入产出模型，其直接消耗系数满足：n aij 1 j 1,2, ,ni 1即满足：n a 1 a j 1,2, ,ni 1而在矩阵(I A)中，主对角线元素为1 a jj,其它元素为a ij0所以该矩阵是主对角线元素占优势的矩阵。

由线性代数知识可知，I A 0。

所以矩阵(I A)有逆。

又因为对于矩阵(I A),不仅存在ai 1, 而且存在nai 1. 所以有|I A|。

对于矩阵(I A )的逆矩阵：E 由 其分子为矩阵(I A )对应元素的代数余子式作为元素构成的伴随矩阵，而这些代数余子式 都是大于0,所以(I A )的逆矩阵的元素的都大于0。