人教A版高一数学必修一综合提高测试题(1)

高中数学培优讲义练习（人教A 版2019必修一）综合测试卷：必修一全册（提高篇）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知全集U =R ，集合A ={x |x >1 }，B ={x |−2≤x <2 }，则如图中阴影部分表示的集合为（）A ．{x |x ≥−2 }B ．{x |x <−2 }C ．{x |1<x <2 }D ．{x |x ≤1 }【解题思路】用集合表示出韦恩图中的阴影部分，再利用并集、补集运算求解作答。

【解答过程】由韦恩图知，图中阴影部分的集合表示为∁U (A ∪B)。

因集合A ={x |x >1 }，B ={x |−2≤x <2 }，则A ∪B ={x|x ≥−2}，又全集U =R 。

所以∁U (A ∪B)={x|x <−2}。

故选：B 。

2．（5分）（2022·辽宁·高一期中）已知p:|1−2x |≤5，q:x 2−4x +4−9m 2≤0(m >0)若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．(0，13)B ．(0，13]C ．(13，43)D ．[13，43]【解题思路】解不等式，求出俩命题的解，然后根据充分不必要条件，得出不等关系，从而求出实数m 的范围。

【解答过程】解：由题意在p:|1−2x |≤5中。

解得：−2≤x ≤3。

在q:x 2−4x +4−9m 2≤0(m >0)中。

解得：−3m +2≤x ≤3m +2。

∵q 是p 的充分不必要条件∴{−3m +2≥−23m +2≤3m >0 ，等号不同时成立。

∴0<m ≤13。

故选：B 。

3．（5分）（2022·山东·高一期中）已知x >0，y >0，且x +y +xy =3，若不等式x +y ≥m 2−m 恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．−2≤m ≤1 B ．−1≤m ≤2 C ．m ≤−2或m ≥1D ．m ≤−1或m ≥2【解题思路】首先根据基本不等式得到(x +y )min =2，结合题意得到m 2−m ≤(x +y )min ，即m 2−m ≤2，再解不等式即可。

高一数学必修1综合测试题3套(附答案)高一数学综合检测题（1）一、选择题：（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知集合M ⊂≠{4,7,8},且M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有 ( )(A)3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 6个2．已知S={x|x=2n,n ∈Z}, T={x|x=4k ±1,k ∈Z},则 （ ） (A)S ⊂≠T (B) T ⊂≠S (C)S ≠T (D)S=T 3．已知集合P={}2|2,y y x x R =-+∈， Q={}|2,y y x x R =-+∈，那么P Q 等（ ）(A)（0，2），（1，1） (B){（0，2 ），（1，1）} (C){1，2}(D){}|2y y ≤4．不等式042<-+ax ax 的解集为R ，则a 的取值范围是 （ ）(A)016<≤-a (B)16->a (C)016≤<-a (D)0<a5. 已知()f x =5(6)(4)(6)x x f x x -≥⎧⎨+<⎩，则(3)f 的值为 （ ）(A)2 (B)5 (C)4 ( D)3 6.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ）(A)[0,3] (B)[-1,0] (C)[-1,3] (D)[0,2] 7．函数y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数，则 （ ）(A)k>12 (B)k<12 (C)k>12- (D).k<12-8.若函数f(x)=2x +2(a-1)x+2在区间(,4]-∞内递减，那么实数a 的取值范围为（ ）(A)a ≤-3 (B)a ≥-3 (C)a ≤5 (D)a ≥3 9．函数2(232)x y a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是（ ）(A) 0,1a a >≠ (B) 1a = (C) 12a = ( D)121a a ==或10．已知函数f(x)14x a -=+的图象恒过定点p ，则点p 的坐标是 （ ）（A ）（ 1，5 ） （B ）（ 1, 4） （C ）（ 0，4） （D ）（ 4，0）11.函数y =（ ）（A ）[1,+∞] (B) (23,)+∞ (C) [23,1] (D)(23,1]12.设a,b,c 都是正数，且346a b c ==，则下列正确的是（ ）(A) 111c a b =+ (B) 221C a b =+ (C) 122C a b =+ (D)212ca b =+二、填空题：（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．已知（x,y ）在映射 f 下的象是(x-y,x+y)，则(3,5)在f 下的象是 ，原象是 。

第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜ ，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞ ，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞ 或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（） ，∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（） ，即U U U U A C A B ⊇ （）（） ，∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分） （2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分） （3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）18.【答案】（1）{=|1U A x x - ＜ 或1x ≥，{=|12U A B x x ∴（）≤≤ .（6分） （2）{}=|01A B x x ＜＜，{=|0U A Bx x ∴ （）≤ 或}1x ≥.（12分） 19.【答案】①若=A ∅，则2=240p ∆+-（）＜，解得40p -＜＜.（4分）②若方程的两个根均为非正实数，则12120=200.10.=x x p p x x ∆⎧⎪+-+⎨⎪⎩≥，（）≤，解得≥＞（10分） 综上所述，p 的取值范围是{}|4p p -＞.（12分） 20.【答案】证明：①充分性：若存在0x ∈R ，使00ay ＜，则2220004=4b ab b a y ax bx ----（） 222000=444b abx a x ay ++-200=240b ax ay +-（）＞，∴方程=0y 有两个不等实数根.（6分）②必要性：若方程=0y 有两个不等实数根. 则240b ab -＞，设0=2bx a-， 则20=22b b ay a a b c a a ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（）（） 2224==0424b b ac b ac --+＜（10分） 由①②知，“方程=0y 有两个不等实根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.（12分） 21.【答案】（1）当=2a 时，{}=|17A x x ≤≤，{}=|27AUB x x -≤≤，（3分）{R =|1A x x ＜ 或}7x ＞，{}R =|21A B x x - （）≤＜ .（6分）（2）=A B A ，A B ∴⊆.①若=A ∅，则123a a -+＞，解得4a -＜；（8分）②若A ∅≠，则12311212234.a a a a a -+⎧⎪⎪---⎨⎪+⎪⎩≤，≥，解得≤≤≤，（10分）综上可知，a 的取值范围是1|412a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＜或≤≤.（12分）22.【答案】设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示.（2分）选甲、乙而不选丙的有2924=5-（人）， 选甲、丙而不选乙的有2824=4-（人）， 选乙、丙而不选甲的有2624=2-（人），（6分） 仅选甲的有382454=5---（人）， 仅选乙的有352452=4---（人）， 仅选丙的有312442=1---（人），（8分）所以至少选一门的人数为24542541=45++++++，（10分） 所以三门均未选的人数为5045=5-.（12分）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（ ） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（ ）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（ ） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（ ） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（ ） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（ ）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（） 等于（ ）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（ ）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（ ）①U U A C A B ⊆ （）（） ； ②U U U U A C A B ⊇ （）（） ；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （） ；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （） ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？。

2021年高中数学 综合测试题 新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设A ∪{－1,1}＝{－1,0,1}，则满足条件的集合A 共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．8个解析 可用列举法写出A ＝{0}，{－1,0}，{0,1}，{－1，0,1}共4个． 答案 B2．设集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{x |y ＝log a (x ＋1)，a >0，a ≠1}，则M 与N 的关系是( )A ．MN B ．M NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析 M ＝{y |y >0，y ∈R }，N ＝{x |x >－1，x ∈R }， ∴MN .答案 A3．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析 ∵f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |.∴f (－2)＝22＝4，f (－1)＝2. ∴f (－2)>f (－1)． 答案 A4．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．不存在解析 由f (0)＝0，得a ＝－1. 答案 C5．函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x )＝12f (x ＋1)，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则f (－1.5)的值是( )A.14 B ．－54C.18D.116解析 由题意知，f (－1.5)＝12f (－1.5＋1)＝12f (－0.5)＝14f (－0.5＋1)＝14f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝14×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝116. 答案 D6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24－xx ≤0，f x －1－fx －2x >0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析 ∵3>0，∴f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.答案 B7．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一坐标系下的图象大致是( )解析f(x)＝1＋log2x过点(1,1)，g(x)＝2－x＋1也过点(1,1)．答案 C8．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )A．0.76<log0.76<60.7B．0.76<60.7<log0.76C．log0.76<0.76<60.7D．log0.76<60.7<0.76解析∵60.7>1,0<0.76<1，log0.76<0，∴60.7>0.76>log0.76，故选C.答案 C9．下列给出的四个函数f(x)的图象中能表示函数y＝f(x)－1没有零点的是( )答案 C10．已知函数f (x )＝log 12x ，则方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝|f (x )|的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．2 006解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．又∵－2<－32<－1，且f (x )在(－∞，－1)上是增函数，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．在同一平面直线坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |及y ＝|log 12x |的图象如图，易得B.答案 B11．某新品牌电视投放市场后，第一个月销售100台，第二个月销售200台，第3个月销售400台，第四个月销售810台，则下列函数模型中能较好反映销售量y 与投放市场的月数x 之间的关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50·2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析 把x ＝1,2,3,4分别代入A 、B 、C 、D 知，C 正确． 答案 C12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析 令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．函数y ＝(log 3a )x在R 上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 由题意知log 3a >1.∴a >3 答案 (3，＋∞)14．已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上有定义，且对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，则f (1)＝________.解析 令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0. 答案 015．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内实根有________个．解析 依题意知，f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12内有一个实根，又知f (x )在[－1,1]内是增函数，所以在[－1,1]内f (x )＝0只有一个实根．答案 116．已知函数f (x )＝lg(2x－b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析 ∵要使f (x )＝lg(2x－b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴2x－b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1. 答案 (－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |0<x －a <3}，B ＝{x |x ≤0或x ≥3}，分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)A ∩B ＝∅； (2)A ∪B ＝B .解 ∵A ＝{x |0<x －a <3}， ∴A ＝{x |a <x <a ＋3}．(1)当A ∩B ＝∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋3≤3，解得a ＝0.(2)当A ∪B ＝B 时，有A ⊆B ，所以a ≥3或a ＋3≤0，解得a ≥3或a ≤－3.18．(本小题满分12分)(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫279 12 ＋(lg5)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2764－ 13 ； (2)解方程：log 3(6x－9)＝3.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫259 12 ＋(lg5)0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫343－ 13 ＝53＋1＋43＝4. (2)由方程log 3(6x－9)＝3得 6x－9＝33＝27，∴6x ＝36＝62， ∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，求证：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明 令g (x )＝f (x )－x ＝x 3－x 2－x 2＋14，∵g (0)＝14>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－⎝ ⎛⎭⎪⎫122－14＋14＝－18<0，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是连续的， ∴存在x 0∈(0，12)，使得g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.20．(本小题满分12分)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,0)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．解 (1)设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，由x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1知f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1，又f (x )为奇函数知，－f (x )＝2x4x ＋1，即f (x )＝－2x4x ＋1.故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1.(2)证明：设0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 24x 2＋1－2x 14x 1＋1＝2x 1＋x 2－12x 1－2x 24x 1＋14x 2＋1.由0<x 1<x 2<1知，2x 1<2x 2， ∴2x 1－2x 2<0.又4x 1＋1>0,4x 2＋1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．因此，f (x )在(0,1)上是减函数．21．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围． 解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.(2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2. ∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解之得x <－23.故x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23.22．(本小题满分12分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品．已知该单位每月处理二氧化碳最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)若该单位每月成本支出不超过105000元，求月处理量x 的取值范围；(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)设月处理量为x 吨，则每月处理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为100x 元，则每月成本支出f (x )为f (x )＝12x 2－200x ＋80000－100x ，x ∈[400,600]．若f (x )≤105000，即12x 2－300x －25000≤0，即(x －300)2≤140000，∴300－10014≤x ≤10014＋300.∵10014＋300≈674>600，且x ∈[400,600]，∴该单位每月成本支出不超过105000元时，月处理量x 的取值范围是{x |400≤x ≤600}．(2)f (x )＝12x 2－300x ＋80000＝12(x 2－600x ＋90000)＋35000 ＝12(x －300)2＋35000，x ∈[400,600]， ∵12(x －300)2＋35000>0， ∴该单位不获利．由二次函数性质得当x ＝400时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝12(400－300)2＋35000＝40000.∴国家至少需要补贴40000元．y26913 6921 椡32355 7E63 繣vT25127 6227 戧37182 913E 鄾31378 7A92 窒E|21108 5274 剴3]E20385 4FA1価。

高中数学人教A版（2019）必修一综合测试卷一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|x2<1}，集合B={x|log2x<0}，则A∩B=（）A．(0,1)B．(−1,0)C．(−1,1)D．(−∞,1) 2．（2分）已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则sin2α=（）A．√32B．−√32C．−12D．−√343．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．−14B．14C．−2D．24．（2分）由y=2sin(6x−16π)的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．y=2sin(3x−16π)B．y=2sin(3x+16π)C．y=2sin(3x−112π)D．y=2sin(12x−16π)5．（2分）若sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=（）．A．−78B．−14C．14D．786．（2分）已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m 的取值范围（）A．(0, 12)B．(12,1]C．(0,1]D．（0,1）7．（2分）对于函数f（x）=x3cos3（x+ π6），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递增B．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递减C．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递增D．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递减8．（2分）若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则f(x)+f(−x)2x<0的解集为（）A．(－3,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)．9．（2分）已知函数f(x)={x2,x≤0lg(x+1),x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．(−∞,9)D．(−∞,−1)∪(9,+∞)10．（2分）已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意正实数x1,x2(x1≠x2)，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2﹥0 ，则一定有（）A．f(3)>f(−5)B．f(−3)<f(−5)C．f(−5)>f(3)D．f(−3)>f(−5)11．（2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞，0)上单调递减，若a=f(log215)，b=f(log24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a12．（2分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上,则φ的取值范围是()A．(π6,π4]B．(π12,π4]C．(π6,π2)D．(π12,π2)二、填空题(共4题；共4分)13．（1分）若a>0，b>0，a+2b=1，则1a+a+1b的最小值为.14．（1分）若函数f(x)={log2x,x>0−2x−a,x≤0有且只有一个零点，则a的取值范围是．15．（1分）设f(x)是定义在[−2b，3+b]上的偶函数，且在[−2b，0]上为增函数，则f(x−1)≥f(3)的解集为.16．（1分）下列命题中：①已知函数y=f(2x+1)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x)的定义域为[1,3]；②若集合A={x|x2+kx+4=0}中只有一个元素，则k=±4；③函数y=11−2x在(−∞,0)上是增函数；④方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是1.所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.三、解答题(共6题；共65分)17．（10分）若集合A＝{x ∈R| x2−x−12≤0}和B＝{ x ∈R|2m－1≤x≤m＋1}．（1）（5分）当m=−3时，求集合A∪B.（2）（5分）当B∩A=B时，求实数m的取值范围．18．（10分）（1）（5分）计算(lg14−lg25)÷10012的值；（2）（5分）已知tanα=2，求2sinα−3cosα4sinα−9cosα和sinαcosα的值．19．（10分）已知函数f(x)=a(sin2x−π6)−a+b(a，b∈R，且a<0).（1）（5分）若当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[−5，1]，求实数a，b的值；（2）（5分）在（1）条件下，求函数f(x)图像的对称中心.20．（15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,3)，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）若g(x)=f(x)−(2t−4)x在区间[−1,2]上有最小值2，求实数t的值；（3）（5分）设ℎ(x)=mx2−4x+m，若当x∈[−1,2]时，函数y=ℎ(x)的图象恒在y= f(x)图象的上方，求实数m的取值范围.21．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0 ， 8]，不等式log13(x+1)≥m2−3m恒成立，命题q：存在x∈(0 ， 2π3)，使不等式2sin2x+2sinxcosx≤√2m(sinx+cosx)成立．（1）（5分）若p为真命题，求m的取值范围；（2）（5分）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．22．（10分）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数，并满足f(x)+g(x)=2x （1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f(x)+x①判断ℎ(x)的单调性，并用定义证明；②若f(log2m)+f(2log2m−1)≤1−3log2m，求实数m的取值范围答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】根据题意：集合 A ={x|−1<x <1} ，集合 B ={x|0<x <1} ， ∴A ∩B =(0,1)故答案为： A ．【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.2．【答案】B【解析】【解答】角 α 的终边经过点p （﹣1， √3 ），其到原点的距离r =√1+3= 2Cos α=−12 ，sin α=√32∴sin2α=2 sin α cos α=2×（−12）×√32=−√32.故答案为：B ．【分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．3．【答案】B【解析】【解答】设幂函数的表达式为 f(x)=xn，则 (12)n =√22，解得 n =12 ，所以 f(x)=x 12 ，则 log 4f(2)=log 4212=12log 2212=12×12=14.故答案为：B.【分析】利用幂函数图象过点 (12,√22) 可以求出函数解析式，然后求出 log 4f(2) 即可。

综合检测试题选题明细表一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|2x-1≥1}，B={y|y=log3x，x∈A}，则∁B A等于( B )A.(0，1)B.[0，1)C.(0，1]D.[0，1]解析:由题得A={x|2x-1≥20}={x|x≥1}，B={y|y≥0}，所以∁B A={x|0≤x<1}.故选B.2.若a=0.60.7，b=0.70.6，c=lg 3，则下列结论正确的是( D )A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c解析:因为y=x0.6为增函数，y=0.6x为减函数，所以0.70.6>0.60.6>0.60.7>0.61，c=lg 3<lg √10=0.5， 所以b>a>c.故选D.3.已知正实数x ，y 满足x+2y=2xy ，则x+y 的最小值为( D ) A.4 B.√2 C.√3 D.√2+32解析:因为正实数x ，y 满足x+2y=2xy ， 所以x+2y xy=2，即1y +2x =2，所以x+y=(x+y 2)·(1y +2x )=x 2y +1+12+y x ≥32+2√x 2y ·y x =32+√2，当且仅当x 2=2y 2时，等号成立. 故选D.4.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=a ，则f(7)等于( B ) A.12B.-12C.log 23D.2解析:因为函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=-f(3)=a ，所以f(3)=-a ，即2+3a=-a ，所以a=-12，则f(7)=log 28+7a=3-72=-12.故选B.5.已知2sin 2α=1+cos 2α，则tan 2α等于( D ) A.-43 B.43C.-43或0 D.43或0解析:因为{2sin2α=1+cos2α,sin 22α+cos 22α=1,所以{sin2α=0,cos2α=-1或{sin2α=45,cos2α=35.所以tan 2α=0或tan 2α=43.故选D.6.将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象分别向左、向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则ϕ的最小值分别为( A ) A.π6，π3B.π3，π6C.2π3，5π6D.π6，π12解析:函数f(x)的图象向左平移ϕ个单位长度得到函数g(x)= sin(2x+2ϕ+π6)的图象，因为g(x)图象关于y 轴对称，则2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=π6+kπ2，k∈Z ，而ϕ>0， 则ϕmin =π6;函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度得函数h(x)=sin(2x-2ϕ+π6)的图象，因为函数h(x)关于y 轴对称，则有-2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=-π6-kπ2，k ∈Z ，而ϕ>0，则ϕmin =π3，所以ϕ的最小值分别为π6，π3.故选A.7.如图所示，其对应的函数解析式可能是( B )A.f(x)=1|x -1|B.f(x)=1||x |-1|C.f(x)=11-x2D.f(x)=11+x 2解析:函数的定义域为{x|x ≠±1}，排除选项A 和D ，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0，可排除选项C.故选B. 8.已知函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( D ) A.[1，3] B.(0，13)C.(0，3]D.[13，3]解析:函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)为偶函数，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，即f(log 3a)+f(-log 3a)≤2f(1)，f(log 3a)≤f(1)，所以|log 3a|≤1，即-1≤log 3a ≤1，故13≤a ≤3.故选D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知f(x)={log 3x ,x >0,2x ,x ≤0,角α的终边经过点(1，2√2)，则下列结论正确的是( AC )A.f(cos α)=-1B.f(sin α)=1C.f(f(cos α))=12D.f(f(sin α))=2解析:因为角α的终边经过点(1，2√2)， 所以sin α=2√23，cos α=13， 所以f(cos α)=f(13)=log 313=-1， f(sin α)=f(2√23)=log 32√23<0， 所以f(f(cos α))=f(-1)=2-1=12， f(f(sin α))=2log 32√23.故选AC.10.下列命题正确的是( ABD ) A.函数f(x)=x+1x (x>0)的最小值为2B.函数y=2-x-4x(x>0)的最大值为-2C.函数f(x)=2x+1x的最小值为2√2D.函数f(x)=2√x 2+1的最小值为3解析:因为x>0，所以f(x)=x+1x≥2√1=2，当且仅当x=1x，即x=1时，取等号，所以函数的最小值为2，所以A 正确;因为x>0，所以f(x)=x+4x≥2√4=4，当且仅当x=4x，即x=2时，取等号，所以函数f(x)的最小值为4，所以函数y 的最大值为-2，所以B 正确;当x=-1时，f(-1)=-3，所以C 错误; 设√x 2+1=t(t ≥1)，则x 2=t 2-1，则f(t)=2t 2+1t=2t+1t，在[1，+∞)上任取t 1，t 2.令t 1<t 2，则f(t 1)-f(t 2)=2(t 1-t 2)+(1t 1-1t 2)=(t 1-t 2)·(2-1t 1t 2).因为1≤t 1<t 2，所以t 1-t 2<0，2-1t 1t 2>0，所以f(t 1)<f(t 2).则f(t)=2t+1t在[1，+∞)上为增函数，所以当t=1时，f(t)的最小值为f(1)=3， 所以D 正确.故选ABD.11.已知直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，则( ACD ) A.f(x+π8)是偶函数B.x=3π8是f(x)的一条对称轴C.f(x)在[π8，π2]上单调递减D.y=f(x)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称解析:直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，所以2×π8+ϕ=k π+π2，k ∈Z ，所以ϕ=π4，所以f(x+π8)=sin(2x+π2)=cos 2x ，是偶函数，故A 正确;由2x+π4=k π+π2(k ∈Z)，解得x=kπ2+π8(k ∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k ∈Z)，而x=3π8不能满足上式，故B 错误;当x ∈[π8，π2]，2x+π4∈[π2，5π4]，此时函数f(x)单调递减，故C 正确;显然，f(x)=sin(2x+π4)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称，故D 正确.故选ACD.12.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设 x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如:[-1.5]=-2，[2.1]=2.已知函数f(x)=2x -11+2x，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述正确的是( BCD ) A.g(x)是奇函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R 上是增函数 D.g(x)的值域是{-1，0}解析:因为函数g(x)=[f(x)]，且f(x)=2x -11+2x ，所以g(1)=[f(1)]=0， g(-1)=[f(-1)]=-1， 所以g(-1)≠-g(1)，则g(x)不是奇函数，故选项A 错误; 因为f(x)=2x -11+2x，则f(-x)=2-x -11+2-x =1-2x2x +1=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项B 正确; 因为f(x)=2x -11+2x=1+-22x +1，又y=2x +1在R 上为单调递增函数， 则y=-22x +1在R 上为单调递增函数，所以f(x)在R 上为单调递增函数，故选项C 正确; 因为2x >0，则-1<1+-22x +1<1，所以-1<f(x)<1，当-1<f(x)<0时，则g(x)=[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时，则g(x)=[f(x)]=0，所以g(x)∈{-1，0}，则g(x)的值域为{-1，0}，故选项D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m的值是.解析:由函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，则m2+m-1=1，解得m=-2或m=1;当m=-2时，f(x)=x-1在第一象限内不是增函数，不符合题意;当m=1时，f(x)=x2在第一象限内是增函数，满足题意.所以m的值是1.答案:114.已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A，函数y=x k，在x∈A时，函数值的取值范围构成集合B，则A∩B=∅的充要条件是.解析:已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A=(1，+∞)，当x∈(1，+∞)时，函数y=x k∈(0，+∞)，由于A∩B=∅，故x k≤1=x0，故k≤0.故A ∩B= 的充要条件是k ≤0. 答案:k ≤015.已知函数y=f(x)满足f(2)>5，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数y= . 解析:因为函数的对称中心为(1，1)， 所以不妨设为分式函数f(x)=a x -1+1，因为f(2)>5，所以f(2)=a+1>5，解得a>4， 不妨取a=5，即y=5x -1+1.答案:y=5x -1+1(答案不唯一)16.已知f(x)=2sin(2x+π3)，若∃x 1，x 2，x 3∈[0，3π2]，且x 1<x 2<x 3，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的最小值为 ，最大值为 .解析:作出f(x)图象如图所示，当f(x)图象与y=√3图象相交时，前三个交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最小;x 1+x 2=π12×2=π6，f(π)=2sin(2π+π3)=√3，x 3=π，所以最小值为π6+π=7π6;当f(x)图象与y=-√3图象相交时，交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最大，x 1+x 2=7π12×2=7π6，f(3π2)=2sin(3π+π3)=-√3，x 3=3π2，最大值为7π6+3π2=8π3.答案:7π68π3四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)若函数y=lg(√3-2sin x)+√1-x 2的定义域为A. (1)求集合A;(2)当x ∈A 时，求函数y=cos 2x+sin x 的最大值. 解:(1)由题意可得{√3-2sinx >0,1-x 2≥0, 解得-1≤x ≤1， 即集合A=[-1，1].(2)y=cos 2x+sin x=-sin 2x+sin x+1，x ∈[-1，1]， 令t=sin x ∈[-sin 1，sin 1]， 则y=-t 2+t+1=-(t -12)2+54，故当t=12时，函数取得最大值为54.18.(本小题满分12分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA=10，OB= x(0<x<10)，线段BA ，CD 与BC ⏜，AD ⏜的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式;(2)记铭牌的截面面积为y ，试问:x 取何值时，y 的值最大?并求出最 大值.解:根据题意，可得BC ⏜=x ·θ，AD ⏜=10θ. 又BA+CD+BC⏜+AD ⏜=30， 所以10-x+10-x+x ·θ+10θ=30， 所以θ=2x+10x+10(0<x<10).(2)y=S 扇形OAD -S 扇形OBC =12θ×102-12θx 2=12θ×(102-x 2)=12θ×(10+x) (10-x)，化简得y=-x 2+5x+50=-(x -52)2+2254.于是，当x=52(满足条件0<x<10)时，y max =2254.所以当x=52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log 3(3x+1)-12x.若不等式f(x)-12x-a ≥0对x ∈(-∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围.解:因为不等式f(x)-12x-a ≥0在区间(-∞，0]上恒成立，即a ≤log 3(3x +1)-x 在区间(-∞，0]上恒成立， 令g(x)=log 3(3x +1)-x=log 3(1+13x )，因为x ∈(-∞，0]，所以1+13x ≥2，所以g(x)=log 3(1+13x )≥log 32，所以a ≤log 32，所以a 的取值范围是(-∞，log 32]. 20.(本小题满分12分)已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β=-13，sin(α+β)=79.(1)求tan β2的值;(2)求sin α的值.解:(1)因为cos β=cos 2β2-sin 2β2=cos 2β2-sin 2β2cos 2β2+sin 2β2=1-tan 2β21+tan 2β2，且cos β=-13，所以1-tan 2β21+tan 2β2=-13，解得tan 2β2=2，因为β∈(π2，π)，所以β2∈(π4，π2)，所以tan β2>0，所以tan β2=√2.(2)因为β∈(π2，π)，cos β=-13，所以sin β=√1-cos 2β=√1-(-13) 2=2√23， 又α∈(0，π2)， 故α+β∈(π2，3π2)，又sin(α+β)=79，所以cos(α+β)=-√1-sin 2(α+β)=-√1-(79)2=-4√29.所以sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =79×(-13)-(-4√29)×2√23=13.21.(本小题满分12分)在①f(x)的图象关于直线x=5π6对称，②f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，③f(x)在[-π4，π4]上单调递增，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值;若a 不存在，说明理由.已知函数f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N *)的最小正周期不小于π3，且 ，是否存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3?解:由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N *，若选择①，即f(x)的图象关于直线x=5π6对称，有5π6ω+π6=k π+π2(k ∈Z)，解得ω=65k+25(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=3，ω=4， 此时，f(x)=4sin(4x+π6)+a ，由x ∈[0，π12]，得4x+π6∈[π6，π2]，因此当4x+π6=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值4+a ，令4+a=3，解得a=-1<0，不符合题意.故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择②，即f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，则有5π18ω+π6=k π(k ∈Z)，解得ω=185k-35(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=1，ω=3. 此时，f(x)=4sin(3x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得3x+π6∈[π6，5π12]，因此当3x+π6=5π12，即x=π12时，f(x)取得最大值4sin 5π12+a=√6+√2+a ，令√6+√2+a=3，解得a=3-√6-√2<0，不符合题意. 故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择③，即f(x)在[-π4，π4]上单调递增，则有{-ωπ4+π6≥2kπ-π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得{ω≤-8k +83,ω≤8k +43(k ∈Z)， 由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=0，ω=1. 此时，f(x)=4sin(x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得x+π6∈[π6，π4]，因此，当x+π6=π4，即x=π12时，f(x)取得最大值2√2+a ，令2√2+a=3，解得a=3-2√2，符合题意.故存在正实数a=3-2√2，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ka x -a -x (a>0，且a ≠1)是定义域为R 上的奇函数. (1)求k 的值;(2)若f(1)>0，试求不等式f(x 2+2x)+f(x-4)>0的解集;(3)若f(1)=32，且g(x)=a 2x +a -2x -2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m 的值.解:(1)因为f(x)是定义域为R 上的奇函数，所以f(0)=0，所以k-1=0，所以k=1，经检验k=1符合题意. (2)因为f(1)>0，所以a-1a >0，又a>0，且a ≠1，所以a>1， 易知f(x)在R 上单调递增， 原不等式化为f(x 2+2x)>f(4-x)， 所以x 2+2x>4-x ，即x 2+3x-4>0， 所以x>1或x<-4，所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}. (3)因为f(1)=32，所以a-1a =32，即2a 2-3a-2=0，解得a=2或a=-12(舍去)，所以g(x)=22x +2-2x -2m(2x -2-x )=(2x -2-x )2-2m(2x -2-x )+2.令t=f(x)=2x -2-x ，因为x ≥1，所以t ≥f(1)=32，所以g(t)=t 2-2mt+2=(t-m)2+2-m 2， 当m ≥32时，当t=m 时，g(t)min =2-m 2=-2，所以m=2，符合题意; 当m<32时，当t=32时，g(t)min =174-3m=-2，解得m=2512>32，舍去.综上可知，m=2.。

新课标高一数学综合检测题（必修一）说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷60分，共120分,答题时间90分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数2134y x x =++-的定义域为（ ）A )43,21(- B ]43,21[- C ),43[]21,(+∞⋃-∞ D ),0()0,21(+∞⋃- 2. 二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定 3. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ）A 3-≤aB 3-≥aC 5≤aD 5≥a4. 设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ） A.（1,1.25） B.（1.25,1.5） C.（1.5,2） D.不能确定 5. 方程05log 2=-+x x 在下列哪个区间必有实数解（ ） A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5） 6. 设a >1，则xa y -=图像大致为（ ）y y y yA B C Dx x x7．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为( ) A ．4B ．－3C ．54D ．53-8．向量(,2),(2,2)a k b ==-且//a b ，则k 的值为( )A ．2B ．2C ．－2D ．－29．oooosin71cos26-sin19sin26的值为( )A ．12B ．1C ．－22D ．2210．若函数()b ax x x f --=2的两个零点是2和3,则函数()12--=ax bx x g 的零点是（）A ．1- 和2-B ．1 和2C ．21和31 D ．21-和31- 11．下述函数中，在]0,(-∞内为增函数的是（ ）A y ＝x 2－2B y ＝x3 C y ＝12x - D 2)2(+-=x y 12．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是()f x ＝0（x ∈R ），其中正确命题的个数是（ ）A 4B 3C 2D 1第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数()53lo g 221+-=ax x y 在[)+∞-,1上是减函数,则实数a 的取值范围是____________________.14．幂函数()x f y =的图象经过点()81,2--，则满足()27=x f 的x 的值为15. 已知集合}023|{2=+-=x ax x A .若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 16. 函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则a 的取值范围是______________。

最新人教A版高中数学必修第一册综合测试题及答案模块综合测评(满分：150分，时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即q p.故p是q的充分不必要条件．]3．若cos α＝－1010，sin 2α＞0，则tan(π－α)等于()A．－3B．3 C．－34 D.34A[∵sin 2α＝2sin αcos α＞0，cos α＝－10 10，∴sin α＝－31010，∴tan α＝sin αcos α＝3，∴tan(π－α)＝－tan α＝－3，故选A.]4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3 C．4D．8C[根据题意，满足条件的集合B可以为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}中的任意一个．] 5．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是()A.1a－b＞1a B.1a＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2 A [取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b＞1a 不成立．] 6．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]D [当a ＝0时，满足条件；当a ≠0时，由题意知a ＞0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.]7．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12C [因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12， 当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立． 所以xy 有最大值，且最大值为12.] 8．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是方程x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的解的个数，即方程x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的解的个数，也就是函数y ＝x 12与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.]9．若函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，则函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )C [由题图可得a ＞1，且y ＝a ＋sin bx 的最小正周期T ＝2πb ＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]10．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞aB [a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226， 因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c .]11．已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称图形B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形 C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同C [①y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π；②y ＝2sin 2x 图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋12k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，最小正周期为π.故选C.]12．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在[－2π，2π]上的交点个数为( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 B [由⎩⎨⎧y ＝sin x ，y ＝tan x ，得sin x ＝tan x ，即sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1cos x ＝0.∴sin x ＝0或1－1cos x ＝0， 即x ＝k π(k ∈Z )，又－2π≤x ≤2π，∴x ＝－2π，－π，0，π，2π， 从而图象的交点个数为5.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．命题p ：“∀x ∈{x |x 是三角形}，x 的内角和是180°”的﹁p 是________． ∃x 0∈{x |x 是三角形}，x 0的内角和不是180° [因为p 是全称量词命题，则﹁p 为存在量词命题．]14．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，∁U B ∩A ＝{9}，则A ＝________.{3,9} [由题意画出Venn 图，如图所示．由图可知，A ＝{3,9}．]15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．1 024 [当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e k 2， 所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.] 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋3，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13 [∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2， ∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k (k ≠0)．① ② ③(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示， 由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示， 由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解， 即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示， 由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f ((x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1k 有2个实根， ∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13. 综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13.]三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝3. (1)求m 的值；(2)判断函数f (x )的奇偶性．[解] (1)∵f (1)＝3，即1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x ，其定义域是{x |x ≠0}，关于坐标原点对称，又f (－x )＝－x ＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．18．(本小题满分12分)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若﹁q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }， ∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4. (2)∵﹁q 是p 的必要条件 ∴p 是﹁q 的充分条件， ∴A ⊆∁R B ，∴m ＞6或m ＜－4.19．(本小题满分12分)设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3. [证明] 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，知0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－1114， 故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17， ∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32，∴β＝π3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ∈N *，c ∈N *)满足： ①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[1,2]，都有f (x )≥2mx ＋1成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵f (1)＝5，∴5＝a ＋c ＋2，∴c ＝3－a .又6＜f (2)＜11，∴6＜4a ＋c ＋4＜11，∴－13＜a ＜43. 又a ∈N *，∴a ＝1，c ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋2.(2)设g (x )＝f (x )－2mx －1＝x 2－2(m －1)x ＋1，x ∈[1,2]，则由已知得 当m －1≤1，即m ≤2时，g (x )min ＝g (1)＝4－2m ≥0，此时m ≤2.当1＜m －1＜2，即2＜m ＜3时，g (x )min ＝g (m －1)＝1－(m －1)2≥0，此时无解． 当m －1≥2，即m ≥3时，g (x )min ＝g (2)＝9－4m ≥0，此时无解． 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，2]．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．[解] (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6. 由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1＜x 0＜2， 故7π6＜πx 0＋π6＜13π6.由f (x 0)＝32，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cosπx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－3222．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，化简得log 44－x ＋14x ＋1＝2kx ，log 44－x ＝－x ＝2kx ，则有(2k ＋1)x ＝0.对任意的x ∈R 恒成立，于是有2k ＋1＝0，k ＝－12.(2)∵f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ，f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根， ∴log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )， 即(1－a )(2x )2＋a ·2x ＋1＝0有唯一实根．令t ＝2x ，则关于t 的方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有唯一的正根．①当1－a ＝0即a ＝1时，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0，则t ＋1＝0，即t ＝－1，不符合题意．②当1－a ≠0即a ≠1时，Δ＝a 2－4(1－a )＝a 2＋4a －4＝(a ＋2)2－8. 若Δ＝0，则a ＝－2±22， 此时，t ＝a2(a －1).当a ＝－2＋22时，则有t ＝a2(a －1)＜0，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，不符合题意；当a ＝－2－22时，则有t ＝a 2(a －1)＞0，且a ·2x－a ＝a (t －1)＝a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2(a －1)－1＝a (2－a )2(a －1)＞0，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有两个相等的正根，符合题意．若Δ＞0，则方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意．于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，11－a ＜0，由此解得a ＞1.综上所述，a ＞1或a ＝－2－2 2.。

人教A版高中高一数学必修一综合测试卷姓名：班级：学号：时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝﹣1}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．[﹣1，2]C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，2] 2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x﹣e﹣x 3．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，2}D．{2}4．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜0}，B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣6，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，6）5．（5分）若0＜a＜b＜1，则a b，b a，log b a，的大小关系为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝sinωx+cosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期是π，则函数f（x）在区间[0，100]上的零点个数为（）A．31B．32C．63D．647．（5分）已知偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝，关于x的不等式f2（x）﹣af（x）＞0在[﹣40，40]上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是（）A．[，ln2）B．（，ln2）C．[，）D．（，）8．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（f（x））恰有8个零点，则a的值不可能为（）A．8B．9C．10D．129．（5分）已知函数若函数y＝f（x）﹣a至多有2个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，1﹣）D．[1，1+e]10．（5分）已知函数f（x）＝x+（其中0＜a≤1），g（x）＝x﹣lnx，若对任意x1，x2∈[l，e]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1﹣，1]C．（0，e﹣2]D．[e﹣2，1] 11．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣|x|，又，则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）A．2015B．2016C．2017D．201812．（5分）对任意x∈R，不等式2|sin x|+|sin x﹣a|≥a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．﹣1≤a≤1C．﹣1≤a≤2D．﹣2≤a≤2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），且f（x）的图象与g （x）＝lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于．14．（5分）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5（单位：十万只），若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只．15．（5分）已知正实数x，y，z，则A＝max的最小值为；B ＝max{x，}+max{y，}+max{z，}的最小值为．16．（5分）已知函数，且对于任意的x1，，x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|x1﹣x2|恒成立，则λ的取值范围是．三、解答题（每小题14分，共70分）17．（14分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）用单调性定义证明函数f（x）在区间上是增函数．18．（14分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b为正实数，且3a+2b＝2m，求的最小值．19．（14分）已知函数f（x）＝+lg．（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式f（x（3﹣x））﹣1﹣lg3＞0．20．（14分）已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝﹣x2+2|x﹣a|．（1）若a＝，求函数y＝f（x）的单调增区间；（2）当a＞0时，解不等式f（x）＞﹣ax；（3）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≥2f（x）恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题1.B2.D3.A4.D5.B6.C7.C8.A9.B 10.D 11.C 12.B二、填空题13．814．1.6．15．（2，+∞）．三、解答题17．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，由x＞0时，可知，，又f（x）为奇函数，故，∴函数f（x）在R上的解析式为；（2）证明：设，则＝，∵，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间上是增函数，得证．18．解：（1），∴f（x）≥2等价于或或，∴x≤﹣1或﹣1＜x≤0或，∴不等式的解集为；（2）由可知，∴3a+2b＝3，∵a＞0，b＞0，∴，∴当且仅当时取得最小值为8．19．解：（1）f（x）的定义域为（0，4），f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜4，则：＝，∵0＜x1＜x2＜4，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，∴，，，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，4）上单调递减；（2）∵f（1）＝1+lg3，由得，，∵f（x）在（0，4）上单调递减，∴，解得0＜x＜1或2＜x＜3，∴原不等式的解集为（0，1）∪（2，3）．20．解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．21．解：（1）若a＝，则f（x）＝﹣x2+2|x﹣|＝，当x＜时，y＝﹣（x+1）2+2，可得增区间为（﹣∞，﹣1）；当x≥时，y＝﹣（x﹣1）2，可得增区间为（，1），综上可得，函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1）和（，1）；（2）不等式f（x）＞﹣ax即为2|x﹣a|＞x2﹣ax（a＞0），可得2x﹣2a＞x2﹣ax或2x﹣2a＜ax﹣x2，即为（x﹣2）（x﹣a）＜0或（x+2）（x﹣a）＜0，当a＞2时，﹣2＜x＜a；当0＜a＜2时，﹣2＜x＜a或a＜x＜2；当a＝2时，﹣2＜x＜2，综上可得，当a≥2时，不等式的解集为（﹣2，a]；当0＜a＜2时，不等式的解集为（﹣2，a）∪（a，2）；（3）f（x﹣1）≥2f（x）⇒﹣（x﹣1）2+2|x﹣1﹣a|≥﹣2x2+4|x﹣a|⇒4|x﹣a|﹣2|x﹣（a+1）|≤x2+2x﹣1对x≥0恒成立，由a＞0，可分如下几种情况讨论：①0≤x≤a时，﹣4（x﹣a）+2[x﹣（a+1）]≤x2+2x﹣1即x2+4x+1﹣2a≥0对x∈[0，a]恒成立，由g（x）＝x2+4x+1﹣2a在[0，a]上递增，则g（0）取得最小值，所以只需g（0）≥0，可得a≤，又a＞0，则0＜a≤；②a＜x≤a+1时，4（x﹣a）+2[x﹣（a+1]≤x2+2x﹣1，可得x2﹣4x+1+6a≥0对x∈[a，a+1]恒成立，由①可得h（x）＝x2﹣4x＝1+6a在[a，a+1]递减，所以只需h（a+1）≥0即a2+4a﹣2≥0，可得a≥﹣2或a≤﹣2﹣，由﹣2＜，由①可得﹣2≤a≤；③x＞a+1时，4（x﹣a）﹣2[x﹣（a+1）]≤x2+2x﹣1即x2+2a﹣3≥0对x∈（a+1，+∞）恒成立，由函数k（x）＝x2+2a﹣3在（a+1，+∞）递增，所以只需k（a+1）≥0，即a2+4a﹣2≥0，解得a≥﹣2+或a≤﹣2﹣，由②可得﹣2≤a≤；综上可得，a的范围是[﹣2，]．。

人教A版高中数学必修一综合检测试卷（含解析）综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设全集I＝{x|－3<x<3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1,2}，则A∪∁IB等于( ) A．{1}B．{1,2} C．{2} D．{0,1,2} 解析：∵x∈Z，∴I＝{－2，－1,0,1,2} ∴∁IB＝{0,1} ∴A∪∁IB＝{0,1,2}．答案：D 2．函数y＝1x＋log2(x ＋3)的定义域是( ) A．R B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3,0)∪(0，＋∞) 解析：函数定义域x≠0x＋3>0∴－3<x<0或x>0. 答案：D 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A．y＝1x B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x| 解析：偶函数的有C、D两项，当x>0时，y＝lg |x|单调递增，故选C. 答案：C 4．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：设f(x)＝ln x＋x－4，则有f(1)＝ln 1＋1－4＝－3<0.f(2)＝ln 2＋2－4＝ ln 2－2<1－2＝－1<0，f(3)＝ln 3＋3－4＝ln 3－1>1－1＝0. ∴x0∈(2,3)．答案：C 5．3log34－27 －lg 0.01＋ln e3＝( ) A．14 B．0 C．1 D．6 解析：原式＝4－3272－lg 0.01＋3＝7－－lg 10－2＝9－9＝0. 答案：B 6．若y＝log3x的反函数是y＝g(x)，则g(－1)＝( ) A．3 B．－3 C.13 D．－13 解析：由题设可知g(x)＝3x，∴g(－1)＝3－1＝13. 答案：C 7．若实数x，y满足|x|－ln1y＝0，则y关于x的函数的图象大致是( ) 解析：由|x|＝ln1y，则y＝1ex，x≥0ex，x＜0. 答案：B 8．已知f(x)＝log x，g(x)＝2x－1，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．不确定解析：在同一坐标系中作函数f(x)，g(x)的图象(图略)，从而判断两函数交点个数．答案：B 9．函数f(x)＝－－的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数的定义域为{x|x≠1}，当x>1时f(x)<0，当x<1时f(x)>0，所以函数没有零点，故选A. 答案：A 10．某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售700台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场月数x之间的关系的是( ) A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 解析：代入验证即可．答案：B 11．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0. 因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A. 答案：A 12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( ) A．45.666万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元解析：设在甲地销售x辆，在乙地则销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15) ∴当x＝10时，S有最大值45.6万元．答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________. 解析：∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)＝22－3＝1. 答案：1 14．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一个元素，则a的取值范围为________．解析：集合A有为∅和A中只有一个元素两种情况， a＝0时，A＝{23}满足题意，a≠0时，则由Δ＝9－8a≤0得a≥98. 答案：a≥98或a＝0 15．用二分法求方程ln x＝1x在[1,2]上的近似解时，取中点c＝1.5，则下一个有根区间为________．解析：令f(x)＝ln x－1x，则f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e12>0， f(1.5)＝f(32)＝ln32－23＝ln32－ln e23 e23＝3e2>32，∴ln e23>ln32，即f(1.5)<0. ∴下一个有根区间为(1.5,2)．答案：(1.5,2) 16. 给出下列四个命题：①a>0且a≠1时函数y＝logaax与函数y＝alogax表示同一个函数．②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点．③函数y＝3(x－1)2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到．④若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)定义域为[0,4]．其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号) 解析：①两函数定义域不同，y ＝logaax定义域为R，y＝alogax定义域(0，＋∞)．②如果函数在x＝0处没有定义，图象就不过原点，如y＝1x. ③正确．④f(x)定义域[0,2]∴f(2x)定义域0≤2x≤2即0≤x≤1，∴f(2x)定义域为[0,1]．答案：③ 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2＋2x－8＝0}， B＝{x|log2(x2－5x＋8)＝1}， C＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}．若A∩C＝∅，B∩C≠∅，求a的值．解析：A＝{2，－4}，B＝{2,3}，由A∩C＝∅知2∉C，－4∉C，又由B∩C≠∅知3∈C，∴32－3a＋a2－19＝0解得a＝－2或a＝5，当a＝－2时，C＝{3，－5}，满足A∩C＝∅，当a＝5时，C＝{3,2}，A∩C＝{2}≠∅，(舍去)，∴a＝－2. 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R) (1)当函数f(x)的图象过点(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式． (2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解析：(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0 因为方程f(x)＝0有且只有一个根，∴Δ＝b2－4a＝0，∴b2－4(b－1)＝0，即b＝2，a＝1，∴f(x)＝(x＋1)2. (2)∵g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx ＝x2－(k－2)x＋1 ＝(x－k－22)2＋1－－当k－22≥2或k－22≤－2时即k≥6或k≤－2时，g(x)是单调函数． 19．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对任意x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)－f(y)． (1)求f(1)的值； (2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)＋f1x≤2. 解析：(1)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且对任意x，y∈(0，＋∞)，都有f xy＝f(x)－f(y)，∴f(1)＝f(11)＝f(1)－f(1)＝0. (2)若f(6)＝1，则f(x＋3)＋f 1x≤2＝1＋1＝f(6)＋f(6)，∴f(x＋3)－f(6)≤f (6)－f 1x，即f x＋36≤f(6x)，∴0＜x＋36≤6x，解得x≥335. ∴原不等式的解集为{x|x≥335}． 20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝mx＋n1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25. (1)求实数m，n的值； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上为增函数； (3)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)<0. 解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－＋n1＋－＝－mx＋n1＋x2. ∴n＝0. 又∵f12＝12m1＋122＝25，∴m＝1.(2)由(1)得，f(x)＝x1＋x2. 设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2) ＝x11＋x21－x21＋x22＝＋－＋＋＋＝－－＋＋－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1－x1x2>0,1＋x21>0,1＋x22>0，∴f(x1)－f(x2)<0. ∴f(x)在(－1,1)上为增函数．(3)∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，由f(t－1)＋f(t)<0，得f(t)<－f(t－1)＝f(1－t)．又∵f(x)在(－1,1)上为增函数，∴－1<t<1，－1<1－t<1，t<1－t，解得0<t<12. 21．(本小题满分13分)某医疗研究所开发了一种新药，如果成人按规定的剂量服用，则服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后y 与t之间的函数关系式； (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗痢疾有效．假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果更佳？解析：(1)依题意，得y＝6t，0≤t≤1，－23t＋203，1<t≤10. (2)设第二次服药在第一次服药后t1小时，则－23t1＋203＝4. 解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00. 设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即－23t2＋203－23(t2－4)＋203＝4. 解得t2＝9小时，故第三次服药应在16：00. 设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量为第二、三次的和，即－23(t3－4)＋203－23(t3－9)＋203＝4. 解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30. 22．(本小题满分13分)已知函数f(x)定义域为[－1,1]，若对于任意的x，y∈[－1,1]，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，有f(x)>0， (1)证明： f(x)为奇函数； (2)证明：f(x)在[－1,1]上是增加的． (3)设f(1)＝1，若f(x)<m－2am＋2，对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)令x＝y＝0，∴f(0)＝0 令y＝－x，f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，令－1≤x1<x2≤1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x)在[－1,1]上是增加的． (3)f(x)在[－1,1]上是增加的，f(x)max＝f(1)＝1，使f(x)<m－2am＋2对所有x∈[－1,1]恒成立，只要m－2am＋2>1，即m－2am＋1>0，令g(a)＝m－2am＋1＝－2am＋m＋1，要使g(a)>0时，a∈[－1,1]恒成立，则－，，即1＋3m>0，1－m>0，∴－13<m<1. ∴实数m的取值范围是(－13，1)．。