2020版高考数学(文科)一轮复习课件：选修4-4 .2

1 / 5

第1讲 选修4-4坐标系与参数方程

解答题

1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是{𝑥=𝑡,𝑦=2𝑡(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.

(1)求直线l的极坐标方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.

解析 (1)由{𝑥=𝑡,𝑦=2𝑡消去t得y=2x,

把{𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ,

∴直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.

(2)∵ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,

∴曲线C的方程可化为x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,

则曲线C是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆.

又圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=√55,

∴|AB|=2√4-𝑑2=2√955.

2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{𝑥=2cos𝜑,𝑦=√3sin𝜑(φ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin

θ-kρcos θ+k=0(k∈R).

(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程;

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且点M(1,0)为线段AB上的一个三等分点,求|AB|.

解析 (1)由已知得,曲线C的普通方程为𝑥24+𝑦23=1.

易知直线l的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为{𝑥=1+𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数).

(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程,并化简得(3+sin2α)t2+6tcos α-9=0,

设点A,B对应的参数分别为t1,t2,

∴{𝑡1+𝑡2=-6cos𝛼3+sin2α,𝑡1·𝑡2=-93+sin2α<0.①

第2讲 参数方程

【2020年高考会这样考】

考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．

【复习指导】

复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.

基础梳理

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数 x＝ft，y＝ft，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．常见曲线的参数方程的一般形式

(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．

(2)圆的参数方程 x＝rcos θ，y＝rsin θ(θ为参数)．

(3)圆锥曲线的参数方程

椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为 x＝acos θ，y＝bsin θ(θ为参数)．

双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为 x＝asec φ，y＝tan φ(φ为参数)．

抛物线y2＝2px的参数方程为 x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．

双基自测

1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程 x＝－1－t，y＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是( )． A．直线、直线 B．直线、圆

C．圆、圆 D．圆、直线

解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝xρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．

又∵ x＝－1－t，y＝2＋t，相加得x＋y＝1，表示直线．

答案 D

第3讲 柯西不等式与排序不等式

, )

1．二维形式的柯西不等式

(1)定理1(二维形式的柯西不等式)

若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．

(3)定理2(柯西不等式的向量形式)

设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

(4)定理3(二维形式的三角不等式)

设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2．

(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2．

2．柯西不等式的一般形式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．

3．排序不等式

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

柯西不等式的证明

若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

【证明】 因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2

2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案

姓名，年级：

时间：

2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案(可编辑) 2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案

选考部分

选修4－4 坐标系与参数方程

第一节错误!

知识点一 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

1．（选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为y＝2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案

3sin2x.

解析：由已知得错误!代入y＝sinx,得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程变为y＝3sin2x。

知识点二 极坐标系

1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O点引一条射线Ox，叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系．

如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ。有序数对（ρ,θ）叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）．

2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y)，极坐标为（ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝错误!. 2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案