2020高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程2参数方程课件文

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. 选修4－4

坐标系与参数方程

第一节

坐 标 系

突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例] 求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换 x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．

[解] 由 x′＝12x，y′＝y得到 x＝2x′，y＝y′.①

将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.

因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.

[方法技巧]

应用伸缩变换公式时的两个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式本节主要包括2个知识点：

1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；

2.极坐标系. .

.  X＝axa>0，Y＝byb>0建立联系．

(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： x′＝3x，2y′＝y.求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标．

2．求直线l：y＝6x经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得到的直线l′的方程．

3．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．

第二课时 参数方程

考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

1.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数x＝f（t），y＝g（t），并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹 普通方程 参数方程

直线 y－y0＝tan α(x－x0) x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)

圆 x2＋y2＝r2 x＝rcos θ，y＝rsin θ(θ为参数)

椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) x＝acos φ，y＝bsin φ(φ为参数)

1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.

2.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)参数方程x＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t的函数.( )

(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量.( )

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第1讲 选修4-4坐标系与参数方程

解答题

1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是{𝑥=𝑡,𝑦=2𝑡(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.

(1)求直线l的极坐标方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.

解析 (1)由{𝑥=𝑡,𝑦=2𝑡消去t得y=2x,

把{𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ,

∴直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.

(2)∵ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,

∴曲线C的方程可化为x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,

则曲线C是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆.

又圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=√55,

∴|AB|=2√4-𝑑2=2√955.

2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{𝑥=2cos𝜑,𝑦=√3sin𝜑(φ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin

θ-kρcos θ+k=0(k∈R).

(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程;

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且点M(1,0)为线段AB上的一个三等分点,求|AB|.

解析 (1)由已知得,曲线C的普通方程为𝑥24+𝑦23=1.

易知直线l的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为{𝑥=1+𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数).

(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程,并化简得(3+sin2α)t2+6tcos α-9=0,

设点A,B对应的参数分别为t1,t2,

∴{𝑡1+𝑡2=-6cos𝛼3+sin2α,𝑡1·𝑡2=-93+sin2α<0.①

1 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系练习 理 选修4.4

1.[2016·天津模拟]已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos2θ2－2，则其直角坐标方程为( )

A．x2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋1)2＋y2＝1

C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1

答案 C

解析 由ρ＝4cos2θ2－2得ρ＝2(cosθ＋1)－2＝2cosθ，即x2＋y2＝2x，得(x－1)2＋y2＝1.

2．[2016·抚州质检]在极坐标系中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点4，π6作曲线C的切线，则切线长为( )

A．4 B.7

C．22 D．23

答案 C

解析 ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点4，π6的直角坐标是A(23，2)，圆心到定点的距离、切线长及半径构成直角三角形．由勾股定理得，切线长为23－02＋2－22－22＝22.

3．[2015·合肥模拟]在极坐标系中，直线ρ(3cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为( )

A.2，π6 B.2，π3

C.4，π6 D.4，π3

答案 A

解析 直线ρ(3cosθ－sinθ)＝2化为直角坐标方程为3x－y－2＝0，圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，半径等于2的圆．联立 3x－y－2＝0x2＋y－22＝4，解得 x＝3y＝1，故直线和圆的交点坐标为(3，1)，化成极坐标为2，π6.

4．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x2＋y2＝16变换为椭圆x′2＋y′216＝1，此伸缩变换公式是( )

A. x＝14x′y＝y′ B. x＝4x′y＝y′ 2 C. x＝2x′y＝y′ D. x＝4x′y＝8y′