不等式的综合应用初二练习题

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

不等式练习题初二含答案1. 解下列不等式：a) 2x + 5 ≥ 9b) 3 - x < 10c) 4(x - 2) > 8d) 2(x + 3) ≤ 10解析：a) 2x + 5 ≥ 9首先，我们需要将不等式转化为x的形式。

移项得到2x ≥ 4，接着将系数2除到右侧得到x ≥ 2，即解为x大于等于2。

b) 3 - x < 10将式子转化为x的形式，得到-x < 7。

由于x的系数为-1，需要将不等号取反，即x > -7，解为x大于-7。

c) 4(x - 2) > 8进行分配律，得到4x - 8 > 8。

将常数项8移到右侧，得到4x > 16。

除以系数4以求解，得到x > 4，解为x大于4。

d) 2(x + 3) ≤ 10将分配律应用于左侧，得到2x + 6 ≤ 10。

将常数项6移到右侧，得到2x ≤ 4。

除以系数2以求解，得到x ≤ 2，解为x小于等于2。

2. 根据不等式绘制数轴，并确定不等式的解集。

a) x > -3b) -2 ≤ x < 5c) x ≥ -1d) x < 2 or x ≥ 7解析：a) x > -3在数轴上标记-3，并在-3的右侧表示不等式。

解集为开区间(-3, +∞)，即-3之后的所有实数。

b) -2 ≤ x < 5在数轴上标记-2和5，并在两个标记之间表示不等式。

解集为闭区间[-2, 5)，即从-2开始到5结束，包括-2但不包括5的所有实数。

c) x ≥ -1在数轴上标记-1，并在-1的右侧表示不等式。

解集为闭区间[-1, +∞)，即-1之后的所有实数。

d) x < 2 or x ≥ 7在数轴上标记2和7，并在这两个标记之外的区域表示不等式。

解集为两个开区间(-∞, 2)和[7, +∞)，即小于2或大于等于7的所有实数。

3. 根据给定的不等式，找到解集。

a) x + 3 > 6 and 2x - 4 < 8解析：首先，我们将两个不等式分析并解出x的范围，然后找到它们的交集。

初二数学上册不等式练习题一、基础练习1. 解下列不等式，并将解表示在数轴上：a) 3x + 7 < 10b) 2 - 5x ≥ 12. 计算下列不等式组成的区间的并集，并用数轴表示出来：a) 1 < x ≤ 3b) -4 ≤ x < -13. 如果 x + 2 < x - 3，问该不等式是否有解，为什么？4. 解下列不等式，并将解表示在数轴上：a) |x - 4| < 2b) -3x + 5 > 2x + 15. 解下列关于 x 的不等式，并将解表示在数轴上：a) x(x - 2) > 0b) (x - 3)(x - 5) ≤ 0二、综合练习1. 解下列关于 x 的不等式组，并将解表示在数轴上：a) (x - 3)(x - 4) > 0b) (2x - 3)(x + 1) ≥ 0c) x(x - 2)(x + 1) ≤ 02. 某校初二年级共有 180 名学生，已知男生人数超过女生人数的40%，求男生人数的范围。

3. 某公司的年收入是 300 万元以上，假设每年收入增长不少于 10% ，求 n 年后的最小年收入。

4. 已知两个不等式：2x - 3 < y ≤ 5x + 1 和 3y + 2 > 4x + 5，解该不等式组。

三、应用题1. 小明买了一辆自行车，已知原价为 2000 元，商场正在搞促销活动，每天降价 10%，问过了多少天后，自行车价格降到 1000 元以下？2. 某公交车站至某大厦，全程约 20 公里。

已知 7:00 时公交车从车站发车，每分钟行驶速度为 3 公里，而 7:30 时某早班车从大厦出发，每分钟行驶速度为 4 公里。

问早班车何时追上公交车？3. 某航班 8:00 从 A 市起飞，前往 B 市，航程 800 公里。

同时，一列动车列车 8:05 从 B 市开往 A 市，时速为 180 公里/小时。

问几点钟两车相遇？4. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，假设出现的点数加起来是 x，已知甲的点数不能小于 3 ，乙的点数不能大于 9 。

初二不等式练习题及答案1. 解不等式2x - 5 < 7。

解：首先将等号左边的表达式变成0，得到2x - 5 - 7 < 0。

然后合并同类项：2x - 12 < 0。

通过对序号相反的两个数字应用不等式规则，得到x < 6。

2. 解不等式3(4 - x) > 5x + 12。

解：首先将括号内的表达式进行分配，得到12 - 3x > 5x + 12。

然后通过对等式两侧的同类项进行移项，得到-3x - 5x > 12 - 12。

合并同类项，得到-8x > 0。

由于8x为负数，所以需要将不等号翻转，得到x < 0。

3. 解不等式2(3x - 1) ≤ 4(x + 2) - 1 + 5x。

解：首先将括号内的表达式进行分配，得到6x - 2 ≤ 4x + 8 - 1 +5x。

合并同类项，得到6x - 2 ≤ 9x + 7。

然后将未知数移动到等号的一侧，得到6x - 9x ≤ 7 + 2。

合并同类项，得到-3x ≤ 9。

由于系数为负数，所以需要将不等号翻转，得到x ≥ -3。

4. 解不等式-2x + 5 > 4 - 3x。

解：首先将未知数移动到等号的一侧，得到-2x + 3x > 4 - 5。

合并同类项，得到x > -1。

5. 解不等式2x - 8 < x + 3。

解：首先将未知数移动到等号的一侧，得到2x - x < 3 + 8。

合并同类项，得到x < 11。

答案：1. x < 62. x < 03. x ≥ -34. x > -15. x < 11通过对初二不等式练习题的解答，我们可以进一步巩固和加深对不等式的理解和应用。

熟练掌握不等式的求解方法和规则，能够帮助我们在数学问题中更加灵活地运用和处理不等式关系，解决实际问题。

不等式练习题初二下册解答如下：不等式练习题初二下册1. 解不等式a) 2x - 5 < 10解：首先，将不等式转化为等式，得到 2x - 5 = 10；然后，解这个等式，得到 x = 7.5；最后，确定解的范围，由于不等号是小于号，所以解集为(-∞，7.5)。

b) 3(y + 2) ≥ 9解：首先，将不等式进行展开，得到3y + 6 ≥ 9；然后，解这个简化后的方程，得到y ≥ 1；最后，确定解的范围，由于不等号是大于等于号，所以解集为[1, +∞)。

2. 求不等式的并集和交集a) 2x - 7 > 5 与 3 - x > 2解：首先，分别解这两个不等式得到 2x > 12 和 x < 1；然后，确定并集，取两个不等式解集的并集，得到 x > 12 或 x < 1；最后，确定交集，取两个不等式解集的交集，得到 x < 1。

b) 4 - x ≥ 2 或 x + 3 < 6解：首先，分别解这两个不等式得到 -x ≥ -2 和 x < 3；然后，确定并集，取两个不等式解集的并集，得到 -x ≥ -2 或 x < 3；最后，确定交集，取两个不等式解集的交集，得到 x < 3。

3. 图形表示不等式解集a) 绘制不等式x + y ≤ 5 的图形解：首先，绘制直线 x + y = 5；然后，确定不等式解集的位置，由于不等号是小于等于号，所以解集在直线以下与包括直线；最后，用阴影表示不等式解集。

b) 绘制不等式 2x - y > 3 的图形解：首先，绘制直线 2x - y = 3；然后，确定不等式解集的位置，由于不等号是大于号，所以解集在直线上方；最后，用阴影表示不等式解集。

4. 不等式的应用a) 解决实际问题：小明每小时可以跑步6公里以上。

如果小明跑步不少于4小时，他能跑多远？解：首先，设小明跑步的小时数为 x；然后，确定不等式表达式，得到6x ≥ 4；最后，解这个不等式，得到x ≥ 2/3；故小明跑步不少于4小时时，他能跑的距离至少为 4 * 6 = 24公里。

初二不等式练习题以及答案1. 求下列不等式的解集并表示在数轴上：a) 3x + 5 > 2x - 1b) 2(x + 3) < 5 - 3x解：a) 将不等式中的x合并，得到：x > -6解集为 (-6, +∞)，在数轴上表示为从-6开始的开区间。

b) 将不等式中的x合并，得到：2x + 6 < 5 - 3x移动同项后得到：5x < -1解集为 x < -1/5，即 (-∞, -1/5)，在数轴上表示为从负无穷到-1/5的开区间。

2. 求下列不等式的解集并表示在数轴上：a) 4 - x > 2x + 1b) 3(x - 2) ≤ 6x + 1解：a) 将不等式中的x合并，得到：4 - x > 2x + 1移动同项后得到：3x < 3解集为 x < 1，即 (-∞, 1)，在数轴上表示为从负无穷到1的开区间。

b) 将不等式中的x合并，得到：3x - 6 ≤ 6x + 1移动同项后得到：-3x ≤ 7注意到不等号左边有一个系数-3，为了使不等号方向不变，我们需要将其乘以-1，但是注意此时不等号方向要颠倒，得到：3x ≥ -7解集为x ≥ -7/3，即 [-7/3, +∞)，在数轴上表示为从-7/3开始的闭区间。

3. 求下列不等式的解集并表示在数轴上：a) 2(x - 1) ≥ 3 - 5xb) 4x + 2 > 2(3 - x)解：a) 将不等式中的x合并，得到：2x - 2 ≥ 3 - 5x移动同项后得到：7x ≥ 5解集为x ≥ 5/7，即[5/7, +∞)，在数轴上表示为从5/7开始的闭区间。

b) 将不等式中的x合并，得到：4x + 2 > 6 - 2x移动同项后得到：6x > 4解集为 x > 2/3，即(2/3, +∞)，在数轴上表示为从2/3开始的开区间。

4. 解不等式 |2x - 1| < 5解：首先将绝对值不等式转化为两个不等式：-5 < 2x - 1 < 5解得 -4 < x < 3综合起来，解集为 -4 < x < 3。

初二不等式练习题附答案初二时代是学习数学的关键时期，不等式作为数学知识的重要一环，需要我们掌握和熟练运用。

为了帮助同学们更好地巩固不等式的知识，以下是一些初二不等式练习题及其答案，供大家参考和练习。

一、填空题1. 若 x + 3 > 7，求 x 的取值范围。

解答：x > 7 - 3，即 x > 4。

2. 若 2y - 5 < 13，求 y 的取值范围。

解答：2y < 13 + 5，即 2y < 18；又因为 2 > 0（正数），所以当 2y < 18 时，y 的取值范围为 y < 9。

3. 若 4x - 7 ≥ 5，求 x 的取值范围。

解答：4x ≥ 5 + 7，即4x ≥ 12；又因为 4 > 0，所以当4x ≥ 12 时，x的取值范围为x ≥ 3。

二、选择题1. 下列不等式中，与 x > 2 等价的不等式是：A) x < 2B) x ≥ 2C) x ≤ 2D) x ≠ 2解答：B) x ≥ 22. 若不等式 3 - 2x > 7 的解集为 S，下列解集中符合不等式的是：A) S = {x | x > 2}B) S = {x | x < -2}C) S = {x | x < 2}D) S = {x | x > -2}解答：B) S = {x | x < -2}三、简答题1. 解不等式 5x - 9 > 6 的过程。

解答：首先将不等式化简为 5x > 6 + 9，即 5x > 15。

然后除以 5（注意 5 > 0），得到 x > 15/5，即 x > 3。

所以解集为 {x | x > 3}。

2. 解不等式 -2y + 4 ≤ 8 的过程。

解答：首先将不等式化简为 -2y ≤ 8 - 4，即 -2y ≤ 4。

然后除以 -2（注意 -2 < 0），得到y ≥ 4 / -2，即y ≥ -2。

初二不等式练习题和答案一、填空题：1. 若x+3>8，则x的取值范围为________。

2. 若5y-2≤7，则y的取值范围为________。

3. 若2a+1<9，则a的取值范围为________。

二、判断题：1. 当x>3时，x-2>1。

2. 若y<4，则y-5<0。

3. 当x≥1时，2x-3≥1。

三、解不等式：1. 解不等式2x+1>9。

2. 解不等式3-4y≥7。

3. 解不等式x+5<8。

四、综合练习：解下列不等式并表示解集：1. 2x+3<9；2. 4y-2≥10；3. x+5>7。

答案解析：一、填空题：1. x的取值范围为 x>5。

2. y的取值范围为y≤3。

3. a的取值范围为 a<4。

二、判断题：1. 正确，当x>3时，x-2>1成立。

2. 错误，当y<4时，y-5不一定小于0。

3. 正确，当x≥1时，2x-3≥1成立。

三、解不等式：1. 2x+1>9，将不等式两边减去1得到2x>8，再除以2得到x>4，即x的解集为{x|x>4}。

2. 3-4y≥7，将不等式两边减去3得到-4y≥4，再除以-4时要注意改变不等号的方向，得到y≤-1，即y的解集为{y|y≤-1}。

3. x+5<8，将不等式两边减去5得到x<3，即x的解集为{x|x<3}。

四、综合练习：1. 2x+3<9，将不等式两边减去3得到2x<6，再除以2得到x<3，即x的解集为{x|x<3}。

2. 4y-2≥10，将不等式两边加上2得到4y≥12，再除以4得到y≥3，即y的解集为{y|y≥3}。

3. x+5>7，将不等式两边减去5得到x>2，即x的解集为{x|x>2}。

综上所述，初二不等式练习题及答案如上所示。

通过解题及判断不等式的正确性，我们可以更好地理解不等式的概念，并掌握解不等式的方法。

初二不等式经典练习题不等式是数学中常见的一种关系表示方式，用于描述数值的大小关系。

在初二阶段，不等式的学习对于建立数学思维和解决实际问题具有重要作用。

下面，我们将介绍几个初二不等式的经典练习题，帮助大家巩固不等式的基本概念和解题技巧。

{{注意：文章仅为示范，题目内容可能不准确，敬请谅解。

}}问题1：解不等式解下列不等式，并将解集用数轴表示出来。

a) 2x - 3 > 7b) 4x + 5 ≤ 9c) 3 - 2x ≥ 1d) -5x + 2 ≤ 7x - 3解析：a) 首先，将不等式中的变量单独放在一边：2x > 7 + 32x > 10x > 5因此，解集为x > 5。

在数轴上，从5开始画一个开口向右的箭头，表示解集。

b) 同理，将不等式变形为：4x ≤ 9 - 54x ≤ 4x ≤ 1因此，解集为x ≤ 1。

在数轴上，从1开始画一个闭口向左的箭头，表示解集。

c) 将不等式变形为：-2x ≥ 1 - 3-2x ≥ -2x ≤ 1因此，解集为x ≤ 1。

在数轴上，从1开始画一个闭口向左的箭头，表示解集。

d) 解不等式得到：-5x ≤ 7x - 3 - 2-5x ≤ 7x - 5-12x ≤ -5x ≥ 5/12因此，解集为x ≥ 5/12。

在数轴上，从5/12开始画一个闭口向右的箭头，表示解集。

问题2：综合解不等式解下列不等式组，并将解集用数轴表示出来。

a) 2x - 3 < 5x + 13x > -4b) 2(x + 1) ≤ 3(x - 2)2x + 2 ≤ 3x - 6解析：a) 首先，将不等式组中的变量单独放在一边：3x > -4x > -4/3因此，解集为x > -4/3。

在数轴上，从-4/3开始画一个开口向右的箭头，表示解集。

b) 将不等式组变形为：2x + 2 ≤ 3x - 6x ≥ 8因此，解集为x ≥ 8。

在数轴上，从8开始画一个闭口向右的箭头，表示解集。