有关数列中不等式问题的几种常见处理方法

数列型不等式的证明数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。

因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。

1、重要不等式法若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。

（1）),(222R b a ab b a ∈≥+; （2） ),(2+∈≥+R b a ab ba（3）),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n2、比较法比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。

3、放缩法常用的放缩结论： ①、,111)1(11)1(11112kk k k k k k k k --=-<<+=+-其中（2≥k ） ②、;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n )22(21)12(12+<+n n n③、12112-+<<++k k kk k用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。

（1）、先求和再放缩一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。

数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。

例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ⋅=+，且31)1(=f ，（1）当+∈N n 时，求)(n f 的表达式；（2）设))((+∈=N n n nf a n ，n T 是其前n 项和，试证明43<n T .分析：不难求得n n f )31()(=，于是n n n a )31(=.对于n T ，这是一个“差比”数列的和，可以用错位相减法求出n T ，然后再与43比较大小.于是有：n n n T )31()31(3)31(2)31(132⋅++⋅+⋅+⋅= ①，1432)31()31(3)31(2)31(1031+⋅++⋅+⋅+⋅+=⋅n n n T ②， 两式相减得：1432)31()31()31()31()31(3132+⋅-+++++=⋅n n n n T ，化简得n n n T )31(42343⋅+-=，显然有43<n T . （2）、先放缩再求和高考数列不等式证明一般用此法的较多，对此法往往又有以下几个具体情况。

数列绝对值不等式数列是数学中一个重要的概念，它是由一串有顺序的数字组成的序列。

在数列的研究中，绝对值不等式是一种常见的数学问题。

本文将介绍数列绝对值不等式及其性质，并通过例题来解释其应用。

一、数列绝对值不等式的定义和性质数列绝对值不等式是指在一个数列中由绝对值组成的不等式。

数列绝对值不等式常见的形式有以下几种：1. |an|≤a，其中a为实数。

2. |an|≥a，其中a为正实数。

3. |an±bn|≤a，其中a为实数。

4. |an±bn|≥a，其中a为正实数。

在数列绝对值不等式中，|an|表示数列中的第n个数的绝对值，a和b为实数。

根据不等式的性质，我们可以得出以下结论：1. 若|an| ≤ a，则 -a ≤ an ≤ a。

2. 若|an| ≥ a，则an ≤ -a 或an ≥ a。

二、解决数列绝对值不等式的方法解决数列绝对值不等式的关键是确定数列中每个数的取值范围。

以下是一些常用的解题方法：1. 分情况讨论法当数列中的每个数的取值范围不同时，可以采用分情况讨论的方法。

具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，给出每个数的取值范围。

（2）将取值范围代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。

（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。

2. 取最大值和最小值法当数列中每个数的取值范围相同时，可以通过取最大值和最小值的方法求解。

具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，确定每个数的取值范围。

（2）将取最大值和最小值代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。

（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。

三、例题解析为了更好地理解数列绝对值不等式的求解过程，我们来看几个例题。

例题1：已知数列an=3n-2，试求满足绝对值不等式|an+2|≤5的n的取值范围。

解析：首先，我们根据数列an=3n-2，求得数列中每个数的取值。

当 n = 1 时，a1 = 3(1) - 2 = 1；当 n = 2 时，a2 = 3(2) - 2 = 4；当 n = 3 时，a3 = 3(3) - 2 = 7；...根据数列中每个数的取值，我们可以判断出：an+2 = 3(n + 2) - 2 = 3n + 4接下来，我们将an+2代入绝对值不等式中，得到：|3n + 4| ≤ 5根据绝对值不等式的性质，我们可以得到以下两种情况：1. 3n + 4 ≤ 5，即3n ≤ 1，解得n ≤ 1/3；2. -(3n + 4) ≤ 5，即 -3n ≤ 9，解得n ≥ -3。

不等式解题方法一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。

此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。

如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。

二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。

这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。

当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。

如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。

解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。

数列中的不等式数列中的不等式是高考中的一个重要内容。

本文介绍用“放缩法”证明数列中的不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

1. 裂项放缩（即先放缩后裂项或先裂项再放缩）若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例1已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。

证明：因为122121nn nn n n n =++-=--＜（），则11213+++…＜（）（）…（）＜++-+-++--=-1122123221212nn n n n 所以原不等式成立。

例2 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。

证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2)1n (n n 21a n +=+++> ， 又2)1()1(+<+n n n n ， 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ， 综合知结论成立。

2. 公式放缩（利用基本不等式、二项式定理放缩）利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例3已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n nn f 。

证明：由题意知)12)(1()12(212211)111()1221(112121)(+++-=+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f 又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n，又因为，1n 21n 2)1n (n n 1C C C C C )11(2nn 1n n2n 1n 0n n n +>+++-++=+++++=+=- 所以1)(+>n nn f 。

数列不等式知识点归纳总结数列不等式是数学中重要的一个分支，它与数列和不等式的结合使我们可以更深入地理解和解决实际问题。

在这篇文章中，我将对数列不等式的相关知识点进行归纳总结，希望能帮助读者更好地理解和应用数列不等式。

1. 数列的概念首先，我们需要了解数列的基本概念。

数列是按照一定的顺序排列的一组数，可以用常数项或通项公式来表示。

数列常用的表示方法有：通项公式、递推式和列表法。

通项公式表示第n项与n的关系，递推式表示后一项与前一项的关系，而列表法则将所有项罗列出来。

2. 数列不等式的性质数列不等式有一些基本的性质，对于求解不等式问题非常有用。

（1）同号性质：对于给定的数列，如果数列中相邻两项的差值同号，即大于零或小于零，那么这个数列就是同号数列。

（2）双边性质：对于同号数列，如果将数列中的每一项都乘以一个正数或负数，不等号的方向保持不变。

（3）单调性：对于数列a1, a2, a3, ...，如果对于任意的n，有an≤an+1或an≥an+1，则这个数列是递增数列或递减数列。

3. 数列不等式的解法接下来，我们将介绍一些常见的数列不等式的解法。

（1）柯西不等式：柯西不等式是指对于任意的实数ai和bi，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²) × (b₁² + b₂² + ... + bn²)。

柯西不等式在计算机科学、金融等领域有很广泛的应用。

（2）排序不等式：对于给定的数列，在求解不等式问题时，可以将数列按照大小顺序排序，然后根据排序后的数列性质来进行分析和推导。

（3）图形法：对于一些复杂的数列不等式问题，可以利用图形来进行辅助推导和分析。

例如，通过作图可以更直观地观察数列的趋势和规律，从而找到解决问题的方法。

4. 数列不等式的应用数列不等式的应用非常广泛，可以涉及到各个领域。

高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。

在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。

下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。

一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。

2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。

学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。

二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。

2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。

3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。

4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。

5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。

三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。

2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。

例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。

3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。

综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。

学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。

递推数列中不等式问题的解法蒋明斌(四川省蓬安中学,637800)递推数列与不等式相结合是近几年高考数列命题的一个新特点,本文介绍这类问题的解法.一、利用递推不等式证明递推数列中的不等式问题的有效方法是利用递推公式通过放缩构造一个递推不等式,再应用递推不等式使问题获证.例1(2002年全国高考题)设数列a n满足a n+1=a2n-na n+1,n=1,2,3,,,(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;(2)当a1\3时,证明对所有的n\1,有(i)a n\n+2;(ii)11+a1+11+a2+,+11+a n[12.解(1)略.(2)(i)令b k=a k-(k+2),即a k=b k+ k+2,代入递推式,有b k+1+k+3=(b k+k+2)(b k+k+2-k)+1,即b k+1=b2k+(k+4)b k+k+2,_bk+1>b k,k=1,2,,,而b1=a1-3\0,_bn \b1\0,n=1,2,,,即an-(n+2)\0,_an\n+2.(ii)由递推式及(i)的结论知,当k\2时,有a k=a k-1(a k-1-k+1)+1\ak-1(k-1+2-k+1)+1=2a k-1+1,即ak\2ak-1+1._ak+1\2(a k-1+1)\22(a k-2+1)\,\2k-1(a1+1),11+a k[11+a1#12k-1,k=1,2,3,,._11+a1+11+a2+,+11+a n[11+a11+12+122+,+12n-1[21+a1[21+3=12.注本例解法的关键是构造递推不等式.例2(2003年江苏高考题)设a>0,如图1,已知直线l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a).从C上的点Q n(n\1)作直线平行于x轴,交直线l于点P n+1,再从点P n+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1,Q n(n=1,2,3,,)的横坐标构成数列a n.(1)试求a n+1与a n的关系,并求a n的通项公式;(2)当a=1,a1[12时,证明E nk=1(a k-a k+1)a k+2<132;(3)当a=1时,证明E n k-1(a k-a k+1)a k+2<13.解(1)^Q n在C上,_Q n(a n,a2n),_Pn+11aa2n,a2n,Q n+11a a2n,1a2a4n._a n+1=1a a 2 n ,_a n=1a a 2n-1=1a1a a2n-22=1a 1+2a22n-2=1a 1+21aa2n-322=1a1+2+22a23n-3=,=1a1+2+,+2n-2a2n-11=1a2n-1-1a2n-11=a a1a2n-1.(2)由a=1,知a n+1=a2n,^0<a1[12,_a2[14,a3[116,0<a k+1<a k(k=1,2,,),_当k\1时,ak+2[a3[116._E n k=1(a k-a k+1)a k+2[116E nk=1(a k-a k+1)=116(a1-a n+1)<1 32.(3)^a=1,_0<a1<1, 0<a k+1<a k(k=1,2,,),_ak+2=13(a2k+1+a2k+1+a2k+1)<13(a2k+1+a k+1a k+a2k)(k=1,2,,), _E nk=1(a k-a k+1)a k+2<13E nk=1[(a k-a k+1)(a2k+1+a k+1a k+a2k)]=13E nk=1(a3k-a3k+1)=13(a31-a3n+1)<13.注本例中已求出了通项公式,若用通项公式证明反而更麻烦,而通过构造递推不等式,应用放缩法可达到简化证明的目的.例3(2001年中国西部数学奥林匹克竞赛题)设数列x n满足:x1=12,x n+1=x n+1n2x2n,求证:a2001<1001.证明递推式变形为1x n+1=n2x n(x n+n2)=1x n-1x n+n2,即1x n-1x n+1=1x n+n2.又由递推式易得xn>0,x2=34,于是1x n-1x n+1=1x n+n2<1n2<1n(n-1)=1n-1-1n,即1x n-1x n+1<1n-1-1n,n=2,3,,._E n i=2(1xi-1x i+1)<E ni=2(1i-1-1i),即1x2-1x n+1<11-1n,_xn+1<3nn+3.当n=2000时,x2001<60002003<1001.例4(1984年全国高考题)设A>2,给定数列{xn}满足x1=A,x n+1=x2n2(x n-1)(n=1,2,,)求证:(1)x n>2,且x n+1x n<1(n=1,2,,);(2)如果A[3,那么x n<2+(12)n-1(n=1,2,,);证明(1)由xn+1-2=(x n-2)22(x n-1),及x1>2递推可得x n>2.^xn+1-x n=x n(2-x n)2(x n-1)<0,_0<x n+1<x n,_x n+1x n<1.(2)^x k+1-2=(x k-2)2 2(x k-1),_x k+1-2x k-2=12#x k-2x k-1<12,_xk+1-2<12(x k-2),k=1,2,,._xn -2<12(x n-1-2)<(12)2(x n-2-2)<,<(12)n-1(x1-2)<(12)n-1,_xn <2+(12)n-1.二、运用数学归纳法例5(1986年全国高考题)已知x1>0,x1X1且x n+1=x n(x2n+3)3x n+1,n I N*.证明:数列x n或者对任意正整数n都满足xn< x n+1;或者对任意正整数n都满足x n>x n+1.证明xn+1-x n=x3n+3x n3x2n+1-x n=2x n(1-x 2 n )3x2n+1.由于x1>0,由数列x n的定义可知x n >0(n=1,2,,),所以x n+1-x n与1-x2n的符号相同.(i)若0<x1<1,下面用数学归纳法证明1-x2n>0,n I N*.当n=1时,1-x21>0,假设n=k时,1-x2k>0,那么当n=k +1时,1-x2k+1=1-x3k+3x k3x2k+12=1-x2k3x2k+12(1-x2k)>0.因此对一切自然数n,都有1-x2n>0.而对一切自然数n都有xn+1>x n.(ii)若x1>1,同理可证对一切自然数n 都有xn+1<x n.三、利用证明不等式的一般方法证明递推数列中的不等式常用到证明不等式的一般方法,如比较法、基本不等式法、放缩法等等.例6(2002年北京市高考题)数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,且x n+1=12x n+ax n,n I N*.(1)证明:对n\2,总有x n\a;(2)证明:对n\2,总有x n\x n+1.证明(1)由x1>0及数列x n的递推关系可知xn>0,n=1,2,,._当n\2时,有x n=12x n-1+ax n-1\xn-1#ax n-1= a.(2)^当n\2时,由(1)得a[x2n,_x n+1=12x n+ax n[12x n+x2nx n=x n,即xn\xn+1,n=2,3,,.注也可以用比较法证明(2):^当n\2时,由(1)得x2n\a,_x n-x n+1=x n-12x n+ax n=12x n(x2n-a)\0,_xn>x n+1,n=2,3,,.四、先求通项,再利用通项求解例7(2003年高考题)设a为常数,且a n=3n-1-2a n-1(n I N*).(1)证明对任意n\1,a n=15[3n+ (-1)n-1#2n]+(-1)n#2n a0;(2)假设对任意n\1有a n>a n-1,求a0的取值范围.证明(1)可以用数学归纳法证明,也可以用换元法直接求通项:由递推公式,当n\ 1时,有a n3n-1=1-23#a n-13n-2,令b n=a n3n-1,则b n=1-23b n-1,_bn -35=-23b n-1-35.上式表明bn -35是公比为-23,首项为b0-35=3a0-35的等比数列,于是b n-35=3a0-35-23n,即a n3n-1=3a0-35-23n+35,_a n=3a0-35-23n+353n-1,_an=15[3n+(-1)n-1#2n]+(-1)n#2n a0.(2)由a n通项公式,得a n-a n-1=2@3n-1+(-1)n-1@3@2n-15+(-1)n@2n-1#3a._an>a n-1(n I N*)等价于(-1)n-1(5a0-1)<(32)n-2(n I N*).¹对任意正奇数n,¹式成立的充要条件为5a0-1<(32)1-2=23,即a0<13;而对任意正偶数n,¹式成立的充要条件为5a0-1>-(32)2-2=-1,即a0>0.故对任意n\1,a n>a n-1时a0的取值范围为0,13.例8(2002年高考题)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?解设2001年末汽车保有量为b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,,,每年新增汽车x万辆,则b1=30,b2= b1@0.94+x.对于n>1,有b n+1=b n@0.94+x,_b n+1-x0.06=0.94b n-x0.06,_bn+1-x0.06=b1-x0.06@0.94n,即b n+1=x0.06+(30-x0.06)@0.94n.当30-x0.06\0,即x[1.8时,b n+1[b n[,[b1=30.当30-x0.06<0,即x>1.8时,limn y]b n=limn y]x0.06+30-x0.06@0.94n-1=x0.06,并且数列{b n}逐项增加,可以任意靠近x0.06.因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即bn[60(n=1,2,3,,).则x0.06[60,即x[3.6(万辆).综上所述,每年新增汽车不应超过3.6万辆.#告作者#为适应我国基础教育信息化建设,扩大本刊及作者知识信息交流渠道,本刊已被/中国基础教育知识仓库(CFED)0收录,其作者著作权使用费与本刊稿酬一次性给付。

数列不等式证明的几种方法数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能 考查学生对知识的综合理解与运用的能力。

这类交汇题充分体现了 “以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。

下面就介绍 数列不等式证明的几种方法，供复习参考。

、巧妙构造，利用数列的单调性例1.对任意自然数n ，求证：WX 七八ZE2顶所以Ul=S ,即伍J 为单调递增数列(U l XI4)-√I +Ξ-L T )>√ra点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题， 均可构造数列，通过数列的单调性解决。

二、放缩自然，顺理成章 例2.已知函数f M=^+^，数列二的首项X I =I ，以后每项按如下方 式取定：曲线— 1处的切线与经过（0，0）和：」「「两点 的直线平行。

求证：当毗"时:证明: 构造数列•(I+⅛∙√⅛J ,J ⅛Ξrn - 2 A y(211+ lχ2n ÷3)所以(1)弘+⅞=3⅞+ι÷⅛+ι证明：（1）因为f，W=3Ka+ 2κl,所以曲线y=f^）≡C⅛ι^⅛））处的切线斜率为k =如讯J +血时］O又因为过点（0, 0）和（K-fC两点的斜率为E Y J+為，所以结论成立。

（2）因为函数咱）=，Y当盘九时单调递増则÷ ⅞ = 3κll J + 2⅛l <4 山 + ⅛1 = Q≡⅛J + QnU）所以孤总乩1，即氐 *，因此又因为為★% =知却+ 3⅞u ≥=2%ι = 2(κ讪÷⅞+1)V n=令因此,Y1= 2且所以Y点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。

三、导数引入，更显神威1 1 1 I l L bτ*例3.求证：2 3 4 D 2 3 4 n+1证明：令％」市九書，且当心2时，為旳讥 f〔“），所以畔。