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数列不等式放缩技巧何谓放缩？就是当要证明不等式A<B 成立时，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，这种证法便称为放缩法，简称放缩。
在高考数列不等式中，常常伴随着类似1()ni i a f n =∑＜形式的不等式证明，这类式子无法通过求和化简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。
【知识技巧】1、放缩的几种形式：①构造特殊数列求和进行放缩； 技巧积累： (1)21111=(2(1)1n n n n n n ---＜≥）；22211411==214121214n n n n n ---+-＜（）(2)n n n -+<+221（3）)1(21)1(2--<<-+n n nn n(4) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (5)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (6))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rr n r (7)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn②应用基本不等式或函数单调性放缩；③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。
2、放缩的注意事项1111)2(1)(1)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦，n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式1()ni i a f n =∑＜时，大可不必放缩；②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。
数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设求证.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n .2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=，，2121)1(+=++<+<k k k k k k )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放2b a ab +≤1)1(+<+k k k 2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n 过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
3,2=n例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为bxa x f 211)(⋅+=54)1(=f )(x f ，求证：（02年全国联赛山东预赛题）21.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠∙->+-=+=n f f x x f xx x x.2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n例3 已知为正数，且，试证：对每一个，b a ,111=+ba *∈N n .（88年全国联赛题）1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 简析 由得，又，故111=+b a b a ab +=42)11)((≥++=++abb a b a b a ，而，4≥+=b a ab nn nr r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(令，则nnnb a b a n f --+=)()(=，因为，倒序相加得)(n f 1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C in ni n C C -==，)(2n f )()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ 而，则1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r rrn n n b a b a ab b a b a ab b a=)(2n f ))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++，所以，即对每一个，⋅-≥)22(n 12+n )(n f ⋅-≥)22(n n 2*∈N n .1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 例4 求证.),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- 简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C 32112222112-++++=-n n =，原结论成立.nn n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> 212-⋅n n 2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得)0,0(>>>++>m a b ma mb ab>-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn 即⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n .12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n法2 利用贝努利不等式的一个)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 特例(此处)得12121)1211(2-⋅+>-+k k 121,2-==k x n =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
2010高考数学备考之放缩技巧放缩法精选大全证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。
对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。
二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。
对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。
三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。
对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。
四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。
用放缩法证明数列中的不等式放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力。
一. 放缩目标模型——可求和1(n ii a k k =<∑为常数）形（一）如2311111()2222n n *++++<∈N 求证：例1231232()2222n n n *++++<∈N 求证：变式12311111()21212121n n *++++<∈++++N 求证：变式2231232()2122232n n n n *++++<∈++++N 求证：变式3201319)11111()133557(21)(21)2n n n *++++<∈⨯⨯⨯-+N (广东文第(3)问求证：例222211112()23n n *++++<∈N 求证：变式12221117(201319(3))1()234n n *++++<∈N 广东理第：问求证变式222211151()233n n *++++<∈N 求证：变式3*22211151()35(21)4n n ++++<∈-N 求证：nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 111)1(111)1(11111211212)12)(12(4144441111121)1)(1(1111222222--=-<⋅=<+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<)3()111(2)1(21212)1(1)(1)11(12n 21210≥+-⋅=+<-∴+=+>-⋅⋅⋅+++=-+=-n n n n n n n C C C C C n n n n n n n )1(212n 22112)1(2--=-+<=<++=-+n n n n n n n n n )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n 常见的裂项放缩技巧：1111231(2009200)0S =++++珠海二求模理第(2)的整.问例数部分322331(2011113()3232322193(3))22n n n *++++<∈----N 求广东理第：问证例423111117()3214323232n n *++++<∈----N 求证：例4变式(1)(2)1223(1)()22n n n n n n n *++<⋅+⋅+++<∈N 例求证：5二. 放缩目标模型——可求积 135211()24(2060922121(2))n n n n *-⨯⨯⨯⨯<∈+N 求证东理：例广第问6（变式练习2）(1998全国理25第(2)问)*3111(11)(1)(1)(1)31()4732n n n ++++>+∈-N 求证：我们可以这样总结本节课学到的放缩方法：。
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
不等式常用放缩技巧：模型一、等比数例倒求放缩目标。
小于常值题是重点，因为它涉及一个考点，例如：证明不等式：11112112123123n++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯首先这个2不是随便的一个数，为什么不是5/3，不是3？ 我们首先代入一下：q-11=5/3，3，2分别解得： q=52，32，21那么通项公式：an=(52)1-n,(32)1-n ,( 21)1-n <1+2)25(1+3)25(1+…+n )25(1<5211-=5/3(n 取多少开始才有可能后式大于前式，就很难求出。
)<1+2)23(1+3)23(1+…+n)23(1<5211-=5/3(n>2)<1+2)2(1+3)2(1+…+n)2(1<2111-=2(n>1)后两种很容易发现不超三项就开始成立。
所以一般出题出n>1时就开始成立 再见青海高考2014年高考题：解：（1）a n+1=3an +1,根据模型求解：是一次函数斜截式肯定可以用点斜式表示 （a n+1-Y0）=3（an –X0），为构成等比式，直接X0=Y0 解得Y0=X0=-1/2所以（a n+1+1/2）=3（a n +1/2） 所以a n +1/2为等比数列所a n +1/2=（a1+1/2）31-n =23n所以a n =213-n（2）小于3/2，不妨用等比数列极限=q-11=3/2，解得q=1/3 所以通项Bn=(31)1-n ,只需n a 1=132-n <(31)1-n =131-n ,也即2.13-n <13-n ,也即 1<n 3-2.13-n = .13-n (只要N>1显然成立)则<1+31+(31)2+…+(31)n<3111-=3/2当然考试时不用那么啰嗦。
这只是思路建立目标与已知的关系。
上述放缩是等比数列为模板倒求放缩比，此方法用在指数型，首先考虑，等比数列模型放缩。
十大不等式放缩式
十大不等式放缩式包括以下几种：
1、均值不等式：这是最基础的不等式放缩式，用于处理一系列数值之间的关系。
2、琴生不等式：这是一个关于凸函数的不等式，用于在函数图像上寻找一些重要的性质。
3、柯西不等式：这是一个在数学分析中非常有用的不等式，可以用来处理一些复杂的不等式问题。
4、Cauchy-Schwarz不等式：这是线性代数中的一个重要不等式，可以用来处理向量之间的夹角问题。
5、切比雪夫不等式：这是一个关于随机变量的不等式，可以用来估计随机变量的范围。
6、哈代-温伯格不等式：这是一个关于概率分布的不等式，可以用来估计概率分布的性质。
7、博尔扎诺-瓦尔登不等式：这是一个关于可微函数的积分不等式，可以用来估计函数的积分范围。
8、詹森不等式：这是一个关于正态分布的不等式，可以用来估计正态分布的参数范围。
9、施瓦茨不等式：这是一个关于向量内积的不等式，可以用来估计向量内积的范围。
10、赫尔德不等式：这是一个关于函数范数的不等式，可以用来估计
函数范数的范围。
这些不等式在数学分析和应用数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数值关系和函数性质。
数列型不等式放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n ++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 131211)11(2++++<-+ ,再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(,∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n na a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+, 所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅nn 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n nn n n n >-+=-+++ 六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则nn n n n a na a n a n n a +=+⇒++=++2)1(2)1(21211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到1221)22(1321)1(22)1(21121-+⋅+<-+⋅+<-+=++++n n n n a a n a a a n n ,所以1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则111)12(]1)1(2[)1(212+++++=++⇒++=n n n n n a a n a n a n n a ,从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到11223121)12(3)12(1121-+<-+⋅+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n解析:nn n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21112112所以就有2122111121121121-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
