竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略

数学奥林匹克竞赛中的递推技巧如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。

用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1)f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定；（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程； （3）解函数方程。

例1.整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。

试问有多少个这样的排列？解：通过建立递推关系来计算。

设所求的个数为n a ，则11a =（1） 对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i ---…,2，1。

而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。

1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+=…… （2） 由（1），（2）得12n n a -=例2.设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且024*********12321, 2,21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C ==证明：由,n n A B 的定义，容易得到 1112,1,2n n n A A A A A +-=+== 1112,1,2n n n B B B B B +-=+==又因为121,2C C ==，且当2n m =时，0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+…… 5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。

数学竞赛中的问题解决技巧与策略数学竞赛一直以来都是学生们展示数学才能的舞台，也是培养学生逻辑思维和问题解决能力的重要途径。

然而，参加数学竞赛并不仅仅是靠记忆公式和机械运算，更需要一些技巧和策略来解决问题。

本文将介绍一些数学竞赛中常用的问题解决技巧与策略，希望能对广大数学竞赛爱好者有所帮助。

一、问题分析与转化在数学竞赛中，问题往往呈现出复杂的形式，需要我们有清晰的思路和灵活的思维方式来解决。

首先，我们应该仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。

然后，对问题进行分析，找出问题的关键信息和隐含条件。

有时候，问题的表面看起来很复杂，但实际上可以通过转化简化为一个更简单的问题。

这就需要我们具备一定的数学思维和观察力，善于从不同的角度出发解决问题。

例如，有一道题目给出了一个复杂的几何图形，要求计算某个角的度数。

我们可以先尝试将图形进行简化，去掉一些多余的线段或角度，然后再进行计算。

这样一来，问题的难度就大大降低了。

又例如，在解决一些概率问题时，我们可以通过转化为计数问题来求解。

通过将问题转化为我们熟悉的数学概念和方法，我们可以更加轻松地解决问题。

二、建立数学模型在解决数学竞赛中的问题时，建立数学模型是非常重要的一步。

通过将问题抽象成数学符号和公式，我们可以更加清晰地理解问题，并且可以利用数学工具来解决问题。

建立数学模型的关键在于找到问题的数学规律和关系，然后将其转化为数学符号和方程。

例如，有一道题目给出了一个等差数列的前几项和，要求计算这个数列的通项公式。

我们可以先假设这个数列的首项为a，公差为d，然后根据等差数列的求和公式建立方程，解得a和d的值，从而得到通项公式。

通过建立数学模型，我们可以将问题转化为一个更加具体和明确的数学问题，从而更容易解决。

三、灵活运用数学定理和方法在数学竞赛中，我们需要熟练掌握各种数学定理和方法，并且能够灵活运用到解决问题中。

通过深入理解和掌握数学定理，我们可以在解决问题时更加得心应手。

高中奥林匹克物理竞赛解题方法六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式. 塞题精析例1 质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；…；在nt 时刻，加速度变为〔n +1〕a ，求： 〔1〕nt 时刻质点的速度； 〔2〕nt 时间内通过的总路程.解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. 〔1〕物质在某时刻t 末的速度为at v t =2t 末的速度为at at v at v v t t t 2,222+=+=所以 3t 末的速度为at at at at v v t t 32322++=+= ……那么nt 末的速度为nat v v t n nt +=-)1()321()1(32n at nat at n at at at ++++=+-++++=at n n n n at )1(21)1(21+=+⋅=〔2〕同理：可推得nt 内通过的总路程.)12)(1(1212at n n n s ++=例2 小球从高m h 1800=处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小)2(1=n n，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.〔g 取10m/s 2〕 解析 小球从h 0高处落地时，速率s m gh v /60200==第一次跳起时和又落地时的速率2/01v v = 第二次跳起时和又落地时的速率2022/v v = 第m 次跳起时和又落地时的速率m m v v 2/0=每次跳起的高度依次4222202112,2nh g v h n h g v h ====，通过的总路程 +++++=∑m h h h h s 222210mh n n h n h h nn n n h h m 300351112)1111(2022020********==-+⋅=-+=++++++=- 经过的总时间为 +++++=∑m t t t t t 210……s gvn n g v nn g v g v g v g v m m 183)11(])1(2121[2200010==-+=+⋅++⋅+=++++=例3 A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正 三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调 整方向，速度方向始终“盯〞住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间，那么需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间t 可捕捉猎物，再把t 分为n 个微小时间间隔△t ，在每一个△t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t ，正三角形的边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n ，显然当a n →0时三只猎犬相遇.tv n a a t v a t v a a t v a t v a a t v a BB AA a a n ∆⋅-=∆⨯-=∆-=∆⨯-=∆-=∆-=︒--=23,23323,23223,2360cos 2312111因为,023=∆⋅-t v n a 即va t tt n 32==∆所以 此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m ，假设一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析 假设一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，假设利用倒退起动，那么车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能那么不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s 的宽松距离，设火车的牵引力为F ，那么有：车头起动时，有2121)(mv s mg F =∆-μ 拉第一节车厢时：11)(mv v m m ='+故有s g mFv v ∆-==)(21412121μ 2122221221)2(v m mv s mg F '⨯-⨯=∆-μ 拉第二节车厢时：222)2(mv v m m ='+ 故同样可得：s g m F v v ∆-==')35(32942222μ ……推理可得 s g n m F n n v n∆+-+=')312(12μ 由mg n F v nμ312:02+>>'可得 另由题意知46,31<=n mg F 得μ因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.例5 有n 块质量均为m ，厚度为d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重 力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为mgd W =2 将第3、4、…、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功 分别为dn m g W d m g W d m g W d m g W n )1(432543-====所以将n 块砖叠放起来，至少做的总功为W =W 1+W 2+W 3+…+W n2)1()1(32-⋅=-++++=n nm gd d n m g d m g d m g m gd 例6 如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片1(=i B A i i 、 2、…、6〕依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一 薄片的正中位置〔不计薄片的质量〕. 将质量为m 的质点置于A 1A 6 的中点处，试求：A 1B 1薄片对A 6B 6的压力.解析 此题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B 1、A 2B 2、…、 A 5B 5的受力情况完全相同，因此将A 1B 1、A 2B 2、…A 5B 5作为一类， 对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i 个薄片AB 为研究对象，受力情况如图6—3甲所示，第i 个 薄片受到前一个薄片向上的支持力N i 、碗边向上的支持力和后一个薄片 向下的压力N i +1. 选碗边B 点为轴，根据力矩平衡有2,211++=⋅=⋅i i i i N N LN L N 得 所以65321)21(212121N N N N ==⨯==① 再以A 6B 6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A 6B 6受到薄片 A 5B 5向上的支持力N 6、碗向上的支持力和后一个薄片A 1B 1向下的压力 N 1、质点向下的压力mg. 选B 6点为轴，根据力矩平衡有L N L mg L N ⋅=⋅+⋅61432 由①、②联立，解得 421mgN =所以，A 1B 1薄片对A 6B 6的压力为.42mg 例7 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，每一积木块长度为L ，横截面是边长为)4/(L h h =的正方形，要求此桥具有最大的跨度〔即桥孔底宽〕，计算跨度与桥孔高度的比值.解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，那么单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n ，显然第1块相对第2块的最大伸出量为21Lx =∆ 第2块相对第3块的最大伸出量为2x ∆〔如图6—4所示〕，那么224)2(222⨯==∆⋅∆-=∆⋅L L x G x Lx G同理可得第3块的最大伸出量323⨯=∆L x ……最后归纳得出nL x n ⨯=∆2 所以总跨度h x k n n 32.11291=∆=∑=跨度与桥孔高的比值为258.1932.11==hh H k 例8 如图6—5所示，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁，原点O 两侧的人的序号都记为3,2,1(=n n …〕. 每人只有一个沙袋，0>x 一侧的每个沙袋质量为m =14kg ，0<x 一侧的每个沙袋质量kg m 10='. 一质量为M =48kg 的小车以某初速度v 0从原点出发向正x 轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n 倍.〔n 是此人的序号数〕〔1〕空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ 〔2〕车上最终有大小沙袋共多少个？解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，那么另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，那么不能再扔，否那么还能扔.小车以初速0v 沿正x 轴方向运动，经过第1个〔n =1〕人的身旁时，此人将沙袋以0022v nv u ==的水平速度扔到车上，由动量守恒得,)(2100v m M v m Mv +=⋅-当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度1142v nv u =='的水平速度扔到车上，同理有211)2(2)(v m M nv m v m M +=⋅-+，所以，当第n 个沙袋抛上车后的车速为n v ，根据动量守恒有111)1(,)(2])1([---++-=+=⋅--+n n n n n v nmM mn M v v nm M mv n v m n M 即.同理有n n v m n M m n M v )1()2(1+++-=+，假设抛上〔n+1〕包沙袋后车反向运动，那么应有.0,01<>+n n v v即.0)2(,0)1(<+->+-m n M m n M 由此两式解得：n n n ,1420,1438><为整数取3. 当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n 个人身旁，抛上第n 包沙袋后由动量守恒定律有：''++='-''-++--n n nv m n m M nv m v m n m M )3(2])1(3[11 解得：''+++'+-+='''++'+-+='+-n n n n v m n m M m n m M v v m n m M m n m M v )1(3)2(33)1(311同理 设抛上n+1个沙袋后车速反向，要求0,01≤>'+n n v v即⎩⎨⎧=>⎩⎨⎧≤'+-+>'+-+870)2(30)1(3n n m n m M m n m M 解得 即抛上第8个 沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋.例9 如图6—6所示，一固定的斜面，倾角︒=45θ，斜面 长L=2.00米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m 的 质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 质点与斜面间的动摩擦因数20.0=μ，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为s那么由功能关系：θθμsin )()(cos 2121s s mg s s mg -=+ θθμsin )()(cos 3232s s mg s s mg -=+ 即有32cos sin cos sin 2312=+-===θμθθμθ s s s s 由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为.32∴在发生第11次碰撞过程中的路程11321222s s s s s ++++=1111111321321])32(1[2)(2s s s s s s s ---⨯=-++++= )(86.9)()32(121011m m =⨯-=例10 如图6—7所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌 面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m 1、m 2 和m 3，m 2=m 3=2m 1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽 略不计. 开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，m 2和m 3静止，m 1以初速2/0R v π=沿槽运动，R 为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T.解析 当m 1与m 2发生弹性碰撞时，由于m 2=2m 1，所以m 1碰后弹回，m 2向前与m 3发生碰撞. 而又由于m 2=m 3，所以m 2与m 3碰后，m 3能静止在m 1的位置，m 1又以v 速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当m 1回到初始位置，那么系统为一个周期.以m 1、m 2为研究对象，当m 1与m 2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：221101v m v m v m += ①222211201212121v m v m v m += ② 由①、②式得：002112002121132231)(v v m m m v v v m m m m v =+=-=+-=以m 2、m 3为研究对象，当m 2与m 3发生弹性碰撞后，得032203='=v v v以m 3、m 1为研究对象，当m 3与m 1发生弹性碰撞后，得0130v v v ='='由此可见，当m 1运动到m 2处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使m 1、m 2、m 3交换位置，当m 1再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期T ，由此可得周期).(2021010)32232(3)(30000321s R Rv R v R v R v R t t t T ===++⨯=++=ππππππ例11 有许多质量为m 的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为L 的柔绳连接着. 现用大小为F 的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n 个木块被牵动时的速度.解析 每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离L 后，把绳拉紧，再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能. 因此，如果列出221)1(n nmv FL n =-这样的关系式是错误的. 设第)1(-n 个木块刚被拉动时的速度为1-n v ，它即将拉动下一个木块时速度增至1-'nv ， 第n 个木块刚被拉动时速度为n v . 对第)1(-n 个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有：2121)1(21)1(21----'-=n n mv n v m n FL ①对绳子把第n 个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有n nnmv v m n ='--1)1( 得：n n v n nv 11-='- ② 把②式代入①式得：212)1(21)1()1(21-----=n n mv n v n n m n FL整理后得：21222)1(2)1(---=-n n v n v n m FL n ③ ③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由③式可知当n =2时有：2122222v v m FL -= 当n =3时有：2222322322v v m FL -=⋅ 当n =4时有：2322423423v v m FL -=⋅ … 一般地有21222)1(2)1(---=-n n v n v n mFL n 将以上)1(-n 个等式相加，得：21222)1321(v v n mFL n n -=-++++ 所以有212222)1(v v n mFL n n n -=⋅- 在此题中01=v ，所以.)1(nmn FL v n -=例12 如图6—8所示，质量m =2kg 的平板小车，后端放 有质量M =3kg 的铁块，它和车之间动摩擦因数.50.0=μ开始 时，车和铁块共同以s m v /30=的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程.解析 小车与墙撞后，应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去. 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和.设每次与墙碰后的速度分别为v 1、v 2、v 3、…、v n 、…车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s 1、s 2、s 3、…、s n 、…. 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第)1(-n 次碰后到发生第n 次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有n n v m M v m M )()(1+=-- 所以 511--=+-=n n n v v m M mM v由这一关系可得： ,5,521312v v v v ==一般地，有 ,511-=n n v v 由运动学公式可求出车与墙发生第n 次碰撞后向左运动的最远距离为2221215122-⋅==n n a v a v s类似地，由这一关系可递推到：222142132212211512,,512,512,2-⋅=⋅=⋅==n n a v s a v s a v s a v s 所以车运动的总路程)(2321 +++++=n s s s s s 总24255111)5151511(2221221224221⋅=-⋅=+++++⋅=-a v a v a v n 因此201/215/3s m m Mg a s m v v ====μ 所以)(45m s =总例13 10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平 地面上，如图6—9所示，每个木块的质量,40.0kg m =长度 m l 45.0=，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 .10.02=μ原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端上方放一个质量为M=1.0kg 的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为.20.01=μ现突然给铅块一向右的初速度s m v /3.40=，使其在大木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处〔落在地上还是停在哪块木块上〕. 重力加速度g 取2)/(10s m ，设铅块的长度与木块相比可以忽略.解析 当铅块向右运动时，铅块与10个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，假设此摩擦力大于10个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，那么10个扁长木块开始运动，假设此摩擦力小于10个扁长木块与地面间的最大摩擦力，那么10个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止.铅块M 在木块上滑行所受到的滑动摩擦力N Mg f 0.211==μ设M 可以带动木块的数目为n ，那么n 满足：0)1()(221≥--+-mg n g m M f μμ 即0)1(4.04.10.2≥---n上式中的n 只能取整数，所以n 只能取2，也就是当M 滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8个木块时速度为v ，那么l Mg Mv Mv 821211202⋅-=μ 得：0)/(49.222>=s m v由此可见木块还可以滑到第9个木块上. M 在第9个木块 上运动如图6—9甲所示，那么对M 而言有：M Ma Mg =-1μ得：2/0.2s m a M -=第9及第10个木块的动力学方程为：m ma mg g m M Mg 2)(221=-+-μμμ， 得：./25.02s m a m =设M 刚离开第9个木块上时速度为v '，而第10个木块运动的速度为V '，并设木块运动的距离为s ，那么M 运动的距离为l s +，有：s a V l s a v v m M 2)(2222='++='ta V ta v v m M ='+='消去s 及t 求出：⎩⎨⎧='-='⎩⎨⎧='='s m V s m v s m V s m v /23.0/26.0/212.0/611.0或，显然后一解不合理应舍去. 因V v '>'，故M 将运动到第10个木块上.再设M 运动到第10个木块的边缘时速度为v ''，这时木块的速度为V ''，那么：)(222l s a v v M +'+'=''解得：0463.12<'--=''s v ，故M 不能滑离第10个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上.例14 如图6—10所示，质量为m 的长方形箱子，放在光滑 的水平地面上. 箱内有一质量也为m 的小滑块，滑块与箱底间无摩 擦. 开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v 0从箱子的A 壁处向 B 处运动，后与B 壁碰撞. 假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对 速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e 倍，.214=e 〔1〕要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？〔2〕从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. 〔1〕滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为v ，箱子对地速度为u . 由于题中每次碰撞的e 是一样的，故有：1111220011----==--=--=n n n nu v v u u v v u u v v u e 或1111220110----==--=--=-n n n nu v u v u v u v v u v e 111122011)(----⨯⨯--⨯-=-n n n nn u v u v u v u v v u v e 即碰撞n 次后0)(v e u v n n n -=- ①碰撞第n 次的动量守恒式是0mv mu mv n n =+ ② ①、②联立得00])(1[21])(1[21v e u v e v n n n n --=-+=第n 次碰撞后，系统损失的动能)(21212220n n kn k kn u v m mv E E E +-=-=∆ kn n n E e m v e e m v m v 212121)1(4121220222020-=⨯-=+-=下面分别讨论：当146.0221121,12=-=-=∆=e E E n k kl 时25.0221121,242=-=-=∆=e E E n k k 时323.022121121,363=-=-=∆=e E E n k k 时 375.0241121,484=-=-=∆=eE E n k k 时412.022141121,5105=-=-=∆=e E E n k k 时 因为要求的动能损失不超过40%，故n=4.〔2〕设A 、B 两侧壁的距离为L ，那么滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间00v L t =. 在下一次发生碰撞的时间0111||ev L v u L t =-=，共碰撞四次，另两次碰撞的时间分别为022v e L t =、033v e L t =，所以总时间).1(32033210e e e v e Lt t t t t +++=+++= 在这段时间中，箱子运动的距离是：3322110t u t u t u s +++=)1(2222222)1(21)1(21)1(21323320303020200e e e eLL e L L e L L e L v e L v e v e L v e ev L v e +++=+++-+=⨯++⨯-+⨯+=所以平均速度为：2)1()1(203203323v e e e v e L e e e eLt sv =++++++== 例15 一容积为1/4升的抽气机，每分钟可完成8次抽气动作. 一容积为1升的容器与此抽气筒相连通. 求抽气机工作多长时间才能使容器内的气体的压强由76mmmHg 降为1.9mmHg.〔在抽气过程中容器内的温度保持不变〕解析 根据玻一马定律，找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系，然后归纳递推出抽n 次的压强表达式.设气体原压强为p 0，抽气机的容积为V 0，容器的容积为V . 每抽一次压强分别为p 1、p 2、…，那么由玻一马定律得：第一次抽气后：)(010V V p V p += ① 第二次抽气后：)(021V V p V p += ② 依次递推有：)(032V V p V p += ③)(01V V p V p n n +=- ○n由以上○n 式得：)lg(lg)(000vV V p p n p V V Vp nn n +=+=所以…代入得：2725.1lg 400lg ==n 〔次〕工作时间为：38.3827==t 分钟 例16 使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q 的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q. 今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q. 求小球可能获得的最大电量.解析 两个孤立导体相互接触，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电Q 1、Q 2，由于两个导体球对地电压相等，故有k C C C Q Q Q C C Q Q C Q C Q =+=+==21121121212211,,亦即即， 所以k Q Q k Q ),(21+=为常量，此式说明：带电〔或不带电〕的小球跟带电大球接触后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值k 等于第一次带电量q 与总电量Q 的比值，即.Qqk =根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量. 设第1、2、…、n 次接触后小球所带的电量分别为q 1、q 2、…，有：qk q k kq q q Q k q q k kq q kq kQ q Q k q kqq q Q k q qkQ q n n n 1212223121)()()(--++++=+=++=+=+=+=+===由于1<k ，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：qQ qQQq q kq q n -=-=-=11 即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为.qQ qQ-例17 在如图6—11所示的电路中，S 是一单刀双掷开关，A 1和A 2为两个平行板电容器，S 掷向a 时，A 1获电荷电量为Q ，当S 再掷向b 时，A 2获电荷电量为q. 问经过很多次S 掷向a ，再掷向b 后，A 2将获得多少电量？解析 S 掷向a 时，电源给A 1充电，S 再掷向b ，A 1给A 2充电，在经过很多次重复的过程中，A 2的带电量越来越多，两板间电压越来越大. 当A 2的电压等于电源电压时，A 2的带电量将不再增加. 由此可知A 2最终将获得电量q 2=C 2E.因为E C Q 1= 所以EQC =1 当S 由a 第一次掷向b 时，有：21C qC q Q =- 所以Eq Q QqC )(2-=解得A 2最终获得的电量 qQ Qqq -=2 例18 电路如图6—12所示，求当R '为何值时， R AB 的阻值与“网络〞的“格〞数无关？此时R AB 的阻 值等于什么？解析 要使R AB 的阻值与“网络〞的“格〞数无关，那么图中CD 间的阻值必须等于R '才行.所以有R RR R RR R '=+'+'+222)2( 解得R R )15(-='此时AB 间总电阻R R AB )15(+=例19 如图6—13所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里 的匀强磁场，磁感应强度为B ，在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀 强电场，场强为E. 一质量为m ，电量为－q 的粒子从坐标原点O沿着y 轴方向射出. 射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的 距离为L. 求此粒子射出时的速度v 和每次到达x 轴时运动的总 路程s.〔重力不计〕解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过x 轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加 速通过x 轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性. 它第3次到达x 轴时距O 点的距离L 等于圆半径的4倍〔如图 6—13甲所示〕粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 4LBq m v R ==所以粒子射出时的速度 mBqLv 4=粒子做圆周运动的半周长为 41Ls π=粒子以速度v 进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为y ， 因为y mEq ay v 222== 所以粒子在电场中进入一次通过的路程为 m EqL B y s 162222==粒子第1次到达x 轴时通过的路程为 41LR s ππ=⋅=粒子第2次到达x 轴时，已通过的路程为 mEqL B Ls s s 16422212+=+=π 粒子第3次到达x 轴时，已通过的路程为 mEqL B Ls s s s 162221213+=++=π 粒子第4次到达x 轴时，已通过的路程为 mEqL B Ls s s 822222214+=+=π粒子第)12(-n 次到达x 轴时，已通过的路程为 mE qL B n L n s n ns s n 16)1(4)1(2221)12(-+=-+=-π 粒子第2n 次到达x 轴时，已通过的路程为 )164()(22212mE qL B Ln s s n s n+=+=π 上面n 都取正整数.针对训练1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F ，历时1秒钟，随即把此力改为向西，大小不变，历时1秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时1秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时1分钟. 在此1分钟内〔 〕 A ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东B ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置C ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末继续向东运动D ．物体一直向东运动，从不向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东2．一小球从距地面为H 的高度处由静止开始落下. 小球在空中运动时所受空气阻力为球所受重力的k 倍)1(<k ，球每次与地面相碰前后的速率相等，试求小球从开始运动到停止运动，〔1〕总共通过的路程；〔2〕所经历的时间.3．如图6—14所示，小球从长L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，假设每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端物体共通过的路程.4．如图6—15所示，有一固定的斜面，倾角为45°，斜面长为2米，在斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为1米/秒. 质点沿斜面下滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞. 质点与斜面间的滑动摩擦因数为0.20.〔1〕试求此质点从开始运动到与挡板发生第10次碰撞的过程中通过的总路程； 〔2〕求此质点从开始运动到最后停下来的过程中通过的总路程.5．有5个质量相同、其大小可不计的小木块1、2、3、4、5等距离地依次放在倾角︒=30θ的斜面上〔如图6—16所示〕.斜面在木块2以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的，5个木块与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数都是μ，开始时用手扶着木块1，其余各木块都静止在斜面上. 现在放手，使木块1自然下滑，并与木块2发生碰撞，接着陆续发生其他碰撞. 假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的. 求μ取何值时木块4能被撞而木块5不能被撞.6．在一光滑水平的长直轨道上，等距离地放着足够多的完全相同的质量为m 的长方形木块，依次编号为木块1，木块2，…，如图6—17所示.在木块1之前放一质量为M=4m 的大木块，大木块与木块1之间的距离与相邻各木块间的距离相同，均为L. 现在，在所有木块都静止的情况下，以一沿轨道方向的恒力F 一直作用在大木块上，使其先与木块1发生碰撞，设碰后与木块1结为一体再与木块2发生碰撞，碰后又结为一体，再与木块3发生碰撞，碰后又结为一体，如此继续下去. 今问大木块〔以及与之结为一体的各小木块〕与第几个小木块碰撞之前的一瞬间，会达到它在整个过程中的最大速度？此速度等于多少？7．有电量为Q 1的电荷均匀分布在一个半球面上，另有无数个电量均为Q 2的点电荷位于通过球心的轴线上，且在半球面的下部. 第k 个电荷与球心的距离为12-⋅k R ，且k =1，2，3，4，…，设球心处的电势为零，周围空间均为自由空间. 假设Q 1，求Q 2.8．一个半径为1米的金属球，充电后的电势为U ，把10个半径为1/9米的均不带电的小金属球顺次分别与这个大金属球相碰后拿走，然后把这10个充了电了小金属球彼此分隔摆在半径为10米的圆周上，并拿走大金属球. 求圆心处的电势. 〔设整个过程中系统的总电量无泄漏〕9．真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R ，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于P 点〔如图6—18〕.球心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，求O 1与O 5间的电势差.10．在图6—19所示的电路中，三个电容器C Ⅰ、C Ⅱ、C Ⅲ的电容值均等于C ，电源的电动势为ε，R Ⅰ、R Ⅱ为电阻，S 为双掷开关. 开始时，三个电容器都不带电.先接通O a ，再接通Ob ，再接通O a ，再接通Ob ……如此反复换向，设每次接通前都已达到静电平衡，试求：〔1〕当S 第n 次接通Ob 并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少？〔2〕当反复换向的次数无限增多时，在所有电阻上消耗的总电能是多少？11．一系列相同的电阻R ，如图6—20所示连接，求AB 间的等效电阻R AB .。

“不动点法”解决递推型数列不等式问题数列不等式历来是高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。

尤其是浙江省的高考，最近几年压轴题中连续考到递推型数列不等式，解决递推型数列不等式的一般方法是利用“不动点”来解决问题，要计算变比()n q a 在不动点处的函数值来进一步判定数列的类型是“裂项相消型”还是“等比型”，从而进行进一步地放缩。

一、 知识方法 1、不动点的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为D ,若存在实数0x D ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点。

对定义的理解： 代数角度：0x 为方程()f x x =的实数根； 几何角度：0x 为函数()y f x =与y x =图像交点的横坐标。

2、简单迭代数列任取初始值1a ，并且()()*1n n a f a n N +=∈，则得到数列{}n a 。

二次递推：()2f x ax bx c =++一次分式递推：()ax bf x cx d+=+根式递推：()f x d =双勾递推：()()0,0bf x ax c a b x=++>> 等等。

3、“五步法”求解递推型问题模型：已知数列{}n a 满足1a a =，()()*1n n a f a n N +=∈。

第1步：找出迭代函数()f x ；第2步：求出迭代函数的不动点：由()f x x =，得0x x =；通过猜想式画图或特殊值法得到n a 的初始范围。

第3步：“中心化”再作商得到“变比”()n q a ，研究数列在不动点附近的性质：求出()100n n n a x q a a x +-=-，分析()n q a （由变比的同号法则先证n a 的初始范围中和不动点有关的这边，然后再利用作差法或作商法或数学归纳法证明n a 的单调性，即得n a 的初始范围中和首项有关的这边）。

第4步：计算“变比”()n q a 在不动点处的函数值，判定数列类型：（1） 若()01q x =，则数列为“裂项相消型”。

“不动点法”解决递推型数列不等式问题数列不等式历来是高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。

尤其是浙江省的高考，最近几年压轴题中连续考到递推型数列不等式，解决递推型数列不等式的一般方法是利用“不动点”来解决问题，要计算变比()n q a 在不动点处的函数值来进一步判定数列的类型是“裂项相消型”还是“等比型”，从而进行进一步地放缩。

一、知识方法1、不动点的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为D ,若存在实数0x D ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点。

对定义的理解：代数角度：0x 为方程()f x x =的实数根；几何角度：0x 为函数()y f x =与y x =图像交点的横坐标。

2、简单迭代数列任取初始值1a ，并且()()*1n n a f a n N +=∈，则得到数列{}n a 。

二次递推：()2f x ax bx c=++一次分式递推：()ax b f x cx d+=+根式递推：()f x d =+双勾递推：()()0,0bf x ax c a b x=++>>等等。

3、“五步法”求解递推型问题模型：已知数列{}n a 满足1a a =，()()*1n n a f a n N +=∈。

第1步：找出迭代函数()f x ；第2步：求出迭代函数的不动点：由()f x x =，得0x x =；通过猜想式画图或特殊值法得到n a 的初始范围。

第3步：“中心化”再作商得到“变比”()n q a ，研究数列在不动点附近的性质：求出()10n n n a x q a a x +-=-，分析()n q a （由变比的同号法则先证n a 的初始范围中和不动点有关的这边，然后再利用作差法或作商法或数学归纳法证明n a 的单调性，即得n a 的初始范围中和首项有关的这边）。

第4步：计算“变比”()n q a 在不动点处的函数值，判定数列类型：（1）若()01q x =，则数列为“裂项相消型”。

竞赛数学解题技巧分析竞赛数学是一门考察学生综合素质的学科，它不仅考察学生的数学知识，还考察学生的逻辑思维、解决问题的能力以及心理素质。

在竞赛数学中，掌握一些解题技巧可以让我们事半功倍，取得更好的成绩。

下面我们就来分析一下常用的竞赛数学解题技巧。

一、抓住本质竞赛数学的题目往往有很多附加条件，很多学生一看就被吓倒，这时我们就需要学会抓住本质。

抓住本质就是从题目中找到最基本、最核心的要素，然后根据这些要素去解决问题。

比如，一些二次方程的题目看似十分复杂，但是只要我们化简出方程的根之和和根之积，就能够轻松地解决问题。

二、分类讨论在解决数学问题时，分类讨论是一种非常重要的解题技巧。

这种方法就是将问题分成几个不同的情况，然后逐一讨论。

分类讨论的优点是可以将大问题化为小问题，解决起来更加简单。

但是分类讨论需要较强的逻辑思维，需要考虑到所有可能的情况，不能遗漏。

三、变化题意有些时候，题目给出的条件并不能很好地揭示问题的本质，这时我们可以考虑将题目的条件进行变化，来揭示问题的本质。

比如，一道题目中要求我们求解两个整数的和，但是给出的条件不足以直接求解，这时我们可以将问题转化为求解两个整数的差，再利用观察两个整数差的性质，求出两个整数的和。

四、递推关系递推是数学中非常重要的概念，也是解题的一个重要手段。

递推就是利用已知的某些值，根据某种规律推导出其他值的过程。

常见的递推关系包括斐波那契数列、杨辉三角等。

在竞赛数学中，掌握递推技巧可以解决很多看似困难的问题。

五、化归为递推有些问题看似很难，但是如果利用递推的思想，将问题化归为递推式，就能够轻松地解决问题。

比如，一些概率问题往往看似十分复杂，但是如果将问题看做是一个递推式，其中每一步都是概率的乘积，那么我们就能够很容易地求出最终的概率。

总结竞赛数学不仅考察学生的数学知识，还考察学生的解决问题能力。

掌握一些解题技巧可以提高我们的解题效率，让我们在有限的时间内完成更多的题目。

数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的数列题数学竞赛的秘诀：如何应对高中数学中的数列题数学竞赛一直以来都是学生们展示自己数学能力的舞台，而数列题则是数学竞赛中的常见题型之一。

对于许多高中生来说，数列题是一道难以逾越的难题。

然而，只要我们掌握了一些秘诀，就能在数学竞赛中轻松应对数列题。

本文将介绍一些应对高中数学中的数列题的技巧和方法。

一、了解数列的基本概念首先，我们需要了解数列的基本概念。

数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数都有特定的序号。

数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。

等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

而等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

在解题过程中，我们要熟悉数列的通项公式、前n项和以及公差（等差数列）和公比（等比数列）的概念。

二、掌握数列的常用性质其次，我们需要掌握数列的一些常用性质。

这些性质常常成为解决数列题的关键。

以下是一些常用的性质：1. 等差数列的前n项和公式：对于等差数列$a_1,a_2,...,a_n$，其前n项和$S_n=n\frac{a_1+a_n}{2}$，其中$a_1$和$a_n$分别表示数列的首项和末项。

2. 等比数列的前n项和公式：对于等比数列$a_1,a_2,...,a_n$，其前n项和$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$，其中$a_1$表示数列的首项，$q$表示公比。

3. 数列的递推关系：数列的递推关系是指数列中的每一项都可以通过前一项得到。

我们可以利用递推关系解决数列题中的一些复杂问题。

三、技巧和方法除了掌握基本概念和常用性质外，我们还可以采用一些技巧和方法来解决高中数学中的数列题。

以下是一些实用的技巧和方法：1. 找出数列的规律：在解决数列题时，我们首先需要找出数列的规律。

通过观察数列中的数值变化，我们可以发现数列的特点，从而运用相应的性质来解题。

2. 实际运算：有时候，我们可以通过具体的数值代入运算来验证数列的规律。

自招竞赛数学“竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略”递推公式背景下的数列型不等式一直是高中数学竞赛和高考考查的重点。

由于此类问题融函数、三角和不等式等知识模块于一体，自然渗透着重要的数学思想和方法，因此，一直备受命题者的青睐。

讲义以试题为例，就竞赛中的递推型数列不等式问题的求解策略作一探究。

1.（2013华约）答案：回忆数列中不动点法的知识点。

1 以数列的通项公式为切入点数列的通项公式可以分析数列的基本性质（单调性，有界性等），为解决数列型不等式问题提供了科学的决策依据。

因此，求解通项公式就成为解决递推型数列不等式问题首选的突破口。

例1设数列{}(0)na n≥满足12212,(),2m n m n m na a a m n a a+-=+-+=+其中，,m n N m n∈≥、。

证明：（1）对一切n N∈，有2122;n n na a a++=-+（2）122009111... 1.a a a+++<（2009，全国高中数学联赛湖北省预赛）小结：通过求数列的通项公式并借助精确求和方法(错位相减，裂项相消，倒叙相加，分组求和等)来求证数列不等式，在思维上并不存在困难．利用此方法求解问题关键在于求解数列的通项公式．在竞赛中求解数列的通项公式的常见方法有：迭代(累加或累乘)，构造(借助恒等变换转化为特殊数列，如等差、等比数列，常数数列等)，换元 (包括代数换元和 角换元)，函数不动点(借助函数不动点构造特殊数列)和特征根 (求解关于线性递推关系下的数列通项公式)等．例2 设数列{}n a 定义为1+11,=2).n n a a a n N +=∈ 证明：（1）当1n >时，114n n n a a a +-+=； （2）12111...n a a a +++<（2011，全国高中数学联赛天津赛区预赛）小结：在求得数列通项公式后，若无法实现精确求和以达到简化表达式的目的时，可对通项公式进行合理放缩，用能精确求和的数列来近似替代原数列完成对数列不等式的证明。

数列中不等式问题的求解策略
曾伟
【期刊名称】《中学生数理化（高二数学、高考数学）》
【年(卷),期】2024()11
【摘要】数列是高考数学的核心考点,由于在新高考的试题中没有了选做题,因此数列解答题成为必考大题,而高考数学中数列解答题一般以两种形式呈现:一是求数列的基本量,包括计算等差(比)数列的公差(比)、通项及前n项和,属于基础题;二是数列的综合问题,特别是数列与不等式的综合,此类问题难度较大,技巧性较强。

在实际的数学复习备考中,同学们对数列中的不等式问题的求解存在较大困难,为了帮助同学们攻克艰难,寻找自信,提升数学复习备考效率。

下面结合最近的一些联考或模考试题,给出破解数列中不等式问题的四类求解策略,供同学们复习时参考。

【总页数】4页(P8-11)
【作者】曾伟
【作者单位】江西省吉安市第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.数列型不等式问题的若干求解策略
2.巧裂项求数列的和妙放缩证明不等式——浅谈一类高考数列不等式问题的求解策略
3.竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略
4.竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略
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数学高考解题技巧如何迅速解决数列题中的递推关系问题数学高考中，数列题是考察学生对数列递推关系的掌握和运用能力的重要题型之一。

其中，解决数列题中的递推关系问题是考生们经常遇到的难点之一。

本文将介绍一些解决数列题中递推关系问题的技巧和方法，以帮助考生迅速应对这类题目。

一、观察找规律法1. 逐项尝试法对于给定的数列，可以逐项进行尝试，观察相邻项之间的关系。

通过观察，可以发现数列中的递推关系，从而准确地找出递推公式。

尝试的过程需要细心和耐心，相邻项之间的变化可能存在一定的规律。

2. 数学归纳法对于规律不明显的数列，可以考虑利用数学归纳法。

首先猜测递推关系的公式，然后利用归纳法证明该公式的正确性。

具体步骤为：先证明公式在某一项成立，然后再证明若前n项成立，则第n+1项也成立。

如果步骤中的条件都能满足，那么递推公式就是正确的。

3. 相邻项之差法对于等差数列，相邻项之间的差值是恒定的。

因此，可以通过计算相邻项之间的差值，找到递推公式。

同理，对于等比数列，相邻项之间的比值也是恒定的。

二、直接拆解法1. 和项拆解法对于给定的递推关系，可以通过拆解和项的方式得到递推公式。

例如，对于等差数列，可以将和项分解成前一项的和与当前项之间的差值。

2. 等式拆解法对于一些特殊的递推关系，可以通过等式拆解的方式解决。

例如，对于斐波那契数列，可以通过将递推关系等式两边同时乘以一个常数，然后再进行拆解得到递推公式。

三、辅助方法法1. 通项公式法对于常见的数列，存在通项公式，利用通项公式可以直接求解任意项的值。

因此，对于一些计算量较大的递推关系题目，可以考虑寻找数列的通项公式，从而迅速解决问题。

2. 制表法对于复杂的递推关系问题，可以通过制表的方式记录数列的项，进而分析数列的规律和递推关系。

通过制表，可以更好地观察和把握数列中的规律，从而解决问题。

通过以上的解题技巧和方法，相信考生们在解决数列题中的递推关系问题时会更加灵活和准确。

然而，使用这些方法并不一定适用于所有的数列题目，因此在解题过程中，考生还应灵活运用不同的方法，并在平时的练习中不断提高自己的解题能力。

2中等数学叙修活动礫程讲踐数学竞赛中数更J不等式的常见解法举例王逸凡1王彬瑶$（1.天津师范大学数学科学学院2020级硕士研究生,300387 2.天津生态城南开小学,300450）中图分类号:0122.3文献标识码：A文章编号：1005-6416（2020）10-0002-09（本讲适合高中）每年的全国高中数学联赛加试共有四道题，分别考查平面几何、代数、数论和组合这四方面的基础知识和解题技巧，其中代数部分主要包括数列、不等式和多项式等内容,数列不等式问题涉及到数列的解题思路和不等式的思想方法,涉及到的知识点相对较多,具有一定的难度•本文旨在介绍高中数学竞赛中数列不等式问题的常见解题思路和技巧.1通过数学实验，探索不等式的证明对于较复杂的与正整数n有关的不等式，可通过对“的几个简单的值进行分析，探索其具有的一般性规律，从而找到解题的突破口.例1已知数列仏”丨满足：°。

詰m+寺九5€乙）.17证明：1—命Wa”<#（nCZ+）.【分析】通过计算得1357a°盲,5-/宀=材,即当n=0,1,2时结论成立.显然，数列t a”（是严格单调上升的.下面重点讨论门工3时的情况.设则由a k>a t-i>°收稿日期：2020-07-17__I+5-1+1a k-i a kk2（两边同时除以ag）n」一-丄a k-i a k k对％从3到口求和得y(n^3)1642—>—-—>a n575=>a…<y(n E Z+).接下来，用数学归纳法证明左边的不等式. 5=a°+怎=扌=1-圭，1257,1°2+尹5=前>1-尹•结论成立.当兀二A;时,设n=k-1（心3）时结论成立.2020年第10期3从而,只要证]2i+1 < k 2>P +4.下面利用数学归纳法证明当心3时， 24+1 >k 2 +4. ①显然，当A ： = 3时,式①成立.设k=m 时，式①成立.贝!] A: = m + 1 时，2m+2 =2 x2m + 1 >2(m +4)17综上,1 一尹WQ ” <壬5 W Z+ ).例2对于任意一个实数列,定义数列0”｝如下:=(m 2 +4)+ ( m 2 +3) + 1> (zn 2 +4) +2m + 1=(m + 1 )2 +4.故式①对于任意的心3成立.因此,原结论成立.【注】原结论为1 - —25 <a n <n (n Cn 4- Zz +)，本题将原不等式两边均给予加强，尤其是右边•事实上，利用等式S * =普'不等 式右边可继续加强，空当=g-v«0. 394 934 07.占X 6 4又2>話 £ R 等"394 934 07Q«0. 727 872 94 > 住,---曰 8于是，q “ v 订・X =%1』” + 1+ i 一 (，球)5》1).求最小的正数入,使得对于任意实数列｛ %”｝及一切正整数m,均有丄f x 2 V 宁；r",(2014,中国国家集训队测试) 【分析】首先进行数学实验.当m = l 时，有= 不等式显然 成立.当m =2时，原不等式等价于+£ =疋 + (Xj +%2 ~2X 2 I%! I )o (2A + 1) Xj +%2 一 4第21 衍 I M0(2A — 3) + (21兀1丨—兀2)2 M0.上式对于任意的实数衍、久2均成立，其充分必要条件为心寺・当肌=3时，原不等式等价于X 1+ X q + X^i c a a a丄T —勿2晞+也+必= A 2%1 +A(%2 - \x x I )2 + (%3 - j 殳\ +%； )2o (3A 2 +3A+2)^ + (3A+2)%2 +2^ 一6A%2 1先1 I 一6兀3 J 現 +%2 N°(3”+3入一+6A x 2 I%! I MO36A 3 -30A 2 -60A+25 n12A-10上式对于任意的实数衍、%2、舸均成立, 其充分必要条件为r6A - 5 > 0,136A 3 -30A 2 -60入+25工0・4中等数学此不等式组求解较困难.当时,上述方法的讨论将更复杂,为此考虑极端情况y 2=y 3 = -=O.事实上，取衍=1时，则=1；当 Ji =0 时,％2 = 1 ；当y 3 =0时，乂3 =血；当人=°时,％4 = 2;当歹5 =0 时,％5 =272 ；当 y 6 =0 时,％6 =4;2“-i771总结规律知当心2且y ” =0时，% =2“.故丄2球=丄（1+空旷2）=m \ i?2 /m士 =A m -*,i = 12即心在，对于任意正整数尬工2均成立.引理1若正整数心2,则[ ]m m ~l > 1，且 lim m m ~l = 1・771—>00引理1的证明记a m =m \[rrt - 1.显然，当时,％ >0. 注意到，m = （1 +%）""1 / 1 \ （m -1） （zn -2） 2=1 + （尬-1）九+ ----欣-------«…+•••①2〉l +(m_l)W_2)£,即° <%<2()・由于lim .匚耳=0,结合夹逼原则得m —>8 y 771 — 2lima m =0.m ―oo引理1得证.利用引理1和式①得入m2.下面用数学归纳法证明：当入=2时题目的结论成立，即对满足条件的数列JyJ 及一切正整数m,均有m i = 1 i = i由前面的数学实验，当m = l,2时，式② 显然成立.设当m = k 时，式②成立.贝!]当m=A: + l 时，令/仏+ 1）=工2小乍-占工球，i = l1 1 = 1/（册=£；2计—+丈洛i=l 兀 i=l>2丄 1 3 2 1 2于是，只要证明尤杠+肯球-占虬削 ③ 由条件及柯西不等式得仏+ 1）伍+ £辛球）心+1）必+岁辛训占+占）工（九+1 ++ x 2 + ••• + x k ）=x k+l ,即式③成立.于是,据归纳假设得加 + 1）冷（”0.由数学归纳法，知式②成立.综上，正数入的最小值为2.【注】由极端性原理，为了便于为严工i = 1的计算，可考虑特殊情况y 2=y 3=... =0,因 而构造一个例子说明入M2;再利用数学归纳2020年第10期5法证明2=2时，原不等式成立.不等式的证明既可以用柯西不等式也可以用简单的 代换法.例3证明：存在常数c>0满足下述性质：若正整数a、b、n满足对于任意的,、_/巳0,1，…，川，均有(a+i,b+j)>1,则min\a,b\>c"n"，其中,(a,b)表示a、b的最大公约数.(2014,美国数学奥林匹克)【分析】首先注意以下引理.引理1lim=1.n—8引理1的证明当nM2时，令a“=灰-1,则色>0,且有由此得0<%<注意到，limn—8由夹逼原则，知lima”=0.“一►8故lim^ri=1.n—8引理2若％>0,则x>ln(1+%)>-----・1+%引理2的证明设辅助函数/(%)=%-ln(l+x),g(%)=ln(1•当％>0时，\11X>0.结合/(0)=0,g(0)=0,知当％>0时,/(%)>0,g(%)>0.引理1、2得证.在引理2中令“丄，得对于原题,首先证明两个结论.结论1存在常数C2>0及正整数他，若正整数a、b、n满足n^N2且对于任意的i^j E{0,1,---,/1}，均有(a+i,b+j)>l，则a〉c?“•设Pij为(a+i,b+j)(i>j G(0,1,---,加)的最小素因子.下面首先证明：结论2存在正整数">1000,使得71>"时,(n+l)2个素因子阳(00：、jWn)中超过低的个数大于丛号•2结论2的证明设不超过卅丽的所有素数为Pl,P2,…,记bl表示不小于实数％的最小整数.由于对任意的t=1,2,…，r,连续n+1个正整数a+i(i6)0,1,-,n()中有人个n+1n+1为P的倍数，其中4=Pt Pt；连或续7n+l个正整数6+_/(_/&{0,1,…，川)中有个为R的倍数，其中，H+11n+1B,=或Pt Pt从而，上述(n+1)2个素因子pj (0wi、jWn)中至多有个为"，记S(n)2为上述5+1)2个素因子％中不超过為的个数•则(1+x)26中等数学= £g + £ 纭+ £1・1 = 1 Pt t = 1 Pt t = 1要证明结论2只需要证明S5)<5 + 1)2—呼1=与+2 注意到,》1=「<馬・结合式①，由口>1 000知S -^2n £ 右7^1 Pt 21 £ + 1<2n 斗 ln( 1 + -yj = 2nln(r + 1 )②娶+1.xn2SI"為.2i 兀—n l 000 v 21n % - in 1 000 乂 lim ----------= lim ---------x —►<»Xx —►»9=lim -=0(洛必达法则)，%-*8 %于是，存在正整数他〉1 000，使得n>N x 时,21 /I n ]000 <2 000，从而,下面只需证明£ g<0.49&21 Pt因为n >1 000,所以，r >6,1 1 1 1 1 1 1 1苕 产尹尹尹尹总+西+首产1 1 1 十 1<卫+尹+•••+讶+袒歹1 1 1 & <尹+尹+ “•+面+石11厶7丄21 1 1 2=尹尹…+而+看~0. 496 3 <0. 498.综上，当口>" >1 000时，2 2S(n)<0.498n 2 + n -"1 2—----TJ 1 000 ' 1 000 _ 2 ■结论2得证.由抽屉原理，存在U 6 {0,1,…，川，使得2Pu,j （XjWn ）中超过而胚的个数大于今•2若 Pu,ji=P"=P ” >卅帀（久、丿2 WW ，1,），则由 p * I （6 +>1） ,p*l （6 +）2），知p* I （齐-厶）.而 IJ1 -Ji \^n< 厂祜 <P *,故人=j 2-由此得到大于急的P “j 互不相同，因 为它们均整除a + u 且其个数超过号，所以,a + u >2n 1 000n③(/Tooo)n令c 2=取正整数他 >弘，使2 vTOOO,- I得 n > N2 时，有 n n <2 < c 2n,即 n < (c 2n)n .结合式③得几2a + n^a +u>--, ■— = ( 2c,n) n ,(/Tooo )n即 a > (2c 2n)n -n > (2c 2n)n - (c 2n)n > (c 2n)n .结论1得证.类似于结论1的证明，知存在常数c 3>0及正整数N 3，若正整数a 、b 、n 满足n^N 3且 对于任意的i 、j W {0,1 ,・・・"}，均有(a +6 +j)> 1,则 b > cfn".令 N = max {他,W3} , C] = min { c 2, c 31.则 7iMN 时，min { a 9b \ > c ；n".令 c = min{ci ，召}.当 nMN 时,min{ a 9b \ > c ；n" > c n n n .当 n v/V 时,minja,6| Ml >(命>c n n n .因此，存在常数c >0满足条件.原命题得证.2020年第10期72利用交错数列的基本性质，证明不等式定义若畋=(一1)“&(乞>0),则称｛I为交错数列.例4设正整数a不是完全平方数•证明:对于任意正整数n,S”=｛佝+｛同2+•..+｛佝“的值均为无理数，其中，[幻表示不超过实数X的最大整数，｛%｝=%-[%].(2006,西部数学奥林匹克)【分析】令6=(Ta｝,c=[Ta].因为«是正整数且非完全平方数，所以，b G(0,1),c C Z+，且c?<a<(c+l)2.从而,1Wa-/W2c.利用二项式定理得b k=｛/a-c)k=x k+y k/a,其中,^ez+,[I]..=S C^(-C)k'2j,j=0[宁]S(一c)n.显然、九均为整数・则s”=£於=£叫+心空力.①&=]&=]k=1由于题目只需判定S”为无理数,故只要证明:对于任意正整数n,T n=^,y k M0.k=\注意到，Xk+\+n+i^«=(7a-c)t+1=(Va-c)(%+y&Q=(an-%)+(%-cyjA.故严+i=a Yk~cx k,1力+1=x k-cy k,y k+2=叭+i一c：n+i=«n~cx k-cy i+1=ay k-c(九+i+cy k)-cy k+l=-2c%+[+(a-c2)y k.引理1｛yj为交错数列(正负相间)，即畑-1>°,畑<°・引理1的证明显然=1』2=-2c.从而,k=\时结论成立.假设k=m时，结论成立，则k=m+\时，y2m+i=-2cy2m+(a-c2)y2m_i>0,y2m+2=-2cy2m+i+(a<0-引理2｛ly」|为严格单调上升的正整数列，即可得到T”弄0.引理2的证明注意到，I X I=1<2c=I兀I,I烁+1|汝％|+@>|烁|,W加+21=%I烁+J+(«-C2)1烁1>W加+1L综上，引理1、2得证.由引理1、2,知对于任意正整数仁有/24-1+Jlk<°』2*+丁2*+1>°•则^-1=71+(%+%)+•••+(沧-2+烁-1)>0,^=(/1+/2)+(73+74)+-+(^-1+%)<0.从而,对于所有正整数“,均有瞪M0.再由式①，知S”为无理数.[注】交错数列是一种特殊的数列,2015年全国高中数学联合竞赛加试第一题参考答案的解法2中也涉及了交错数列.交错数列的基本性质:若0”｝为交错数列且I丨为单调递增的非负数列，则比心|£九•I k=\例5已知实数列｛a”｝满足：11记S”=为％证明:(2006,中国数学奥林匹克)【分析】进行简单的计算a,=|,a2=*,«3=||,«4=篙常(数列是上下波动的)•从题目要证的结构可看岀，首先需要证明:对于任意的正整数仁有毁6(0,1).8中等数学引理1W*・引理1的证明构造辅助函数 /（X ）= 2^^（%e [p2]l-当 时，从而，只要证明令"刍M2,则只要证明1 <0,1o u -4u +2W01(2-小2上是严格单调下降的.结合浪）喰诒机扑右知当1 1 iz 〃、厂『1 25] 1 1Tr]时丿&）&【&韵□&，計由数学归纳法，知引理1成立.利用引理1得s ” = £ 毁 W# n 夬Ml ，当且仅当n = l 时，上式等号成立.原不等式等价于= 1-^<=> (u -2)2w 2u >u W2+Q由于5 C 怜，*，于是,设辅助函数g(%) = ln(^_l注意到,2①=ln( 1 -%) - In xlx G于是亡;1£丄当*[需]时’一 1 1/（小石宀+帥（1 一兀丿 X利用琴生不等式知gS ） Mg 住兗 ajn k = \\〃& = i /=賄呛一】）十皿匕7= 加(2 伍)显然,1 + 号- 6“ > -1 - 6“ > 0,即訓計1X2020年第10期9故始世”｝为交错数外且叽+J<16」.结合®=仔1>0,得对于任意的正整数j,均有by_x>0且62y_]+b2j>0.当口为偶数2厶时，n2L£瓦=丫加k-1k=1=(bl+62)+(4+64)+…+(b2L_l+b2L)>0;当n为奇数2厶+1时，n2L+1空加=£加k=1k=1=(6,+62)+(63+fe4)+•••+021,-1+62/)+62/+1>0.综上，对于任意的正整数n,均有式①得证，从而，原命题得证.【注】证法涉及到交错数列的另一条基本性质:若数列为交错数列，且风>0,｛\b n\\为严格单调递减数列,则空区>0.k=\练习题1•给定正整数n>2,正整数®(i=l,2,…,n)满足：5<a2<•••<a”，£丄W1.证i=l5明:对于任意的实数％,均有(S a-+x2)<2X a,(a,-1)+jk2'(2004冲国数学奥林匹克)提示详解见本刊2004年第2期.2.证明：对于任意实数M>2,总存在满 足下列条件的严格递增的正整数列5,如，…:对每个正整数，,均有5> ；当且仅当整数nMO时，存在正整数m及b l,b2,-,b m6 )-1,1｝，使得n=b l a l+b2a2+…+b m a m.(2012,中国数学奥林匹克)提示详解见本刊2012年第3期.3.设整数5,a2,---,a2皿满足1=Q]a?口2019=99.记/=(a：+a；+…+a；oi9)_(a l a3+a2°4+…+如017°2019)•求/的最小值托,并确定使/=齐成立的数组(5,019)的个数.(2019,全国高中数学联合竞赛)提示由条件知20172/=61]+¾+°2018+°2019+(5+2~a i)•①i=l由于a^a2及5+2=%(，=1,2,…，2016)均为非负整数，于是,Ma】，a?M,(5+2~a i)2>a i+2+a,(i=1,2,---,2016).2016故a：+<z；+Y(5+2-a；)2i=i2016M5+a2+工(5+2-o.)i=i=。

数学竞赛中的递推数列问题数列是代数部分最重要内容之一，递推数列问题是数列中最常见的之一。

在递推数列处理的方法中，构造新的等比数列和采用裂项的想法应用最多也最广泛，本文主要从这两个角度谈谈递推数列的处理方法。

三角代换虽然不是解决这类问题的常用方法，一旦应用得当，往往可以大幅降低题目难度。

一、构造新的等比数列方法。

其中二阶递归数列是数学竞赛中非常重要的内容.既是高考中递归数列的延伸，又是数学竞赛的基础知识.其形式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）.且已知1a 和.2a 求}{n a 的通项公式.我们通常采用特征方程法.即设βα,为方程q px x +=2的二根.则βα≠时，.n n n B A a βα+=其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定；如果βα=，则.)(1-+=n n n B A a α其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定。

实际上特征方程的方法其实质还是构造新的等比数列。

例1、数列{}n a ，)(32,1211*+∈+-==N n n n a a a n n是否存在常数λ、μ，使得数列{}n n a n μλ++2是等比数列，若存在，求出λ、μ的值，若不存在，说明理由。

解:设 )(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为， 即μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得 ∴2221123(1)(1)2()n n n n a a n n a n n a n n ++=-+-+++=-+可化为又01121≠+-a 故存在}{n n a n μλμλ++=-=21,1使得数列是等比数列例2、数列}{n a 的定义是)0(),7(1,2,1,1213321>+====+++n a a a a a a a n n nn 证明：该数列中的项都是正整数。