重难点突破：不等式中最值问题全梳理

基本不等式教学重难点分析对于本节课教学中出现的教学重难点，我认为教学重点有两点：一是应用数形结合的思想理解基本不等式，二是从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

而难点也有两个1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称“一正、二定、三相等”）；2、利用基本不等式求解简单的最值问题。

在解决本节课重难点之前，我做了如下设计：一、教学目标知识与能力：1、理解并掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题。

2、理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式。

过程与方法：1、通过探究问题引入课题，剖析公式过程中，引导学生从数形两方面探索基本不等式的证明过程，突破本节课的难点。

2、变式练习和应用举例的设计，加深学生对基本不等式的理解。

在对基本不等式的应用过程中，培养学生证明过程的严密性和良好的思维能力。

情感、态度与价值观：1、通过问题情境的设置，使学生认识到数学来源于生活，培养学生举一反三的逻辑推理能力。

2、通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的能力。

二、对教学内容及模块整体分析本节课选自人教版A版必修5第三章第四节《基本不等式：》的第一课时，是在系统学习了不等关系、不等式性质和线性规划的基础上对不等式的进一步研究。

教材在探索基本不等式的证明过程时，用到了多种数学方法：作差法、分析法和综合法，同时也渗透了数形结合、化归等重要思想，而且基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，作为重要的基本不等式之一，为后续学习(选修4-5)《不等式选讲》奠定了基础。

因此，本节课在高中数学课中有着重要的地位。

三、学情分析学生在初中已经学过一元一次不等式的解法和不等式的基本性质，同时在本章前三节又学习了比较大小、一元二次不等式的解法和简单的线性规划，这样学生对不等式有了初步的了解，学会运用不等式。

但学生接触的不等式形式较为单一，灵活度不够，在练习时运用困难，而基本不等式对于学生更为灵活，无疑为学生掌握设置了障碍。

，是每年高考，既是热点又是难点，要求掌握定理，并会简单应用。

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，是不等式变形的一个重要依据，是解决最值问题的有力武器。

高考中可单独命题，也经常结合数列、函数、不等式等知识综合考查，难度一般较大，也常结合实际问题，以解答题形式出现。

二、学生的困惑学生应用困难表现在：1）不能在具体情景中识别或应用基本不等式 2）运用基本不等式常常出错 3）在比较隐蔽的条件中无法建构基本不等式。

三、基本不等式应用难点的突破策略如何才能正确地灵活地使用基本不等式，我们应该掌握它的使用规律，本文尝试通过几道例题揭示基本不等式应用难点的突破策略。

难点一：多变量条件下求最值——突破策略：消元或换元，创造基本不等式应用环境。

例1.设正实数满足，值时（A ）0 （B ）1 （C （D ）3【解题指南】此题可先利用已知条件用来表示，形，转化为基本不等式的问题，，【当且仅当【难点二：以相等关系隐藏不等关系——突破策略：利用基本不等式消元构造新的不等式。

例2.（2011浙江高考题理16）设为实数，若，则的最大值是__________.【解题指南】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式，再求的最大值.本题的解法过程体现了“消元”的思想，所求目标函数是和的形式，那我们就设法消去条件等式中的乘积，方法就是利用基本不等式，这里它的作用，一个是消元，【解析可解得的最大值为难点三，转化成最值问题再求解。

例3.已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为________【解题指南】首先对恒成立不等式可进行参变分离，将视为一个，然后解出在时取得------突破策略：基本不等式使用条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件。

尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件相等例4（2010.四川）设，小值是（A ）2（B ）4 （C （D ）5【解题指南】.使用两次时应保证两次等号成立的条件相等。

高考数学不等式中最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题例题1 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B．)+∞C ．()2,+∞ D ．()0,1【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-=故可得()120In x x =，解得211x x =，则2212x x +=212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2 2291sin cos αα+的最小值为（ ） A ．2B ．16C ．8D ．12【分析】利用22sin cos 1αα+=将2291sin cos αα+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.【解析】∵22sin cos 1αα+=，∵()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，21cos 4α=时“=”成立，故2291sin cos αα+的最小值为16.【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∵1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∵m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∵m ＋n 的最小值为1.题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题例题4 已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3B ．1C ．2D ．32【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得112m n+最小值.【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32.故选：D【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题例题5 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ） A ．最大值为4- B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值.【解析】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-，变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+ ()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()31144a a a ⎛⎫=-+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。

2.2 基本不等式第2课时 利用基本不等式解决最值问题（一）教学内容：基本不等式的应用（简单的数学情境和实际情境）（二）教学目标1.通过数学情境中的应用，能够利用基本不等式求简单的最值问题，发展数学运算、数据分析等核心素养.2.通过实际情境中的应用，能求解一些简单最优化问题，解决实际问题中的最值，发展学生的数学建模、逻辑推理等核心素养。

（三）教学重点及难点1. 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题.2. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察。

.（四）教学过程设计1.复习回顾，铺垫引入师：根据上一节课的知识，回顾一下基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？生：已知x ，y 都是正数，则①如果积xy 等于定值P(积为定值)，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P. ②如果和x ＋y 等于定值S(和为定值)，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 利用基本不等式可以求最值，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.【设计意图】回顾上节课所学知识，对基本不等式的形式加强记忆以及熟悉其使用条件.例1：;24,21的最小值求）设（++->x x x（2）已知10<<x ，求()x x 31-的最大值及相应的x 值。

（1）师：大家观察结构，我们应该如何求这个和的最小值？生：可以式子先变形，2242-+++x x ，变成两个正数的和，再通过两个正数的积是定值来求解。

学生板演. （2）师：我们再来看这题，应该如何求它的最大值？生：式子乘以3再来变形，31)31(3⨯-x x ，变成两个正数的和是定值从而得到解决。

师追问：还有别的解法吗？生：这个式子其实是二次函数，可以利用配方法求解。

【设计意图】培养学生转化化归的数学思想，把不熟悉的问题向熟悉的问题转化.2.合作学习，建模探究例2：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？师：第（1）题已知什么条件，我们求什么？生：已知矩形的面积，求周长的最小值（教师在黑板上画图）师：如果设矩形菜园相邻两条边的长分别为x m, y m （在图上标出），则周长为2(x+y) m,那如何求周长的最小值？生：用基本不等式求最值。

1/45热点题型：基本不等式及其应用【题型1】基本不等式的直接使用...............................................................................................................2【题型2】常规凑配法求最值......................................................................................................................3【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法.........................................................................................................5【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换.......................................................................................................6【题型5】二次比一次型................................................................................................................................8【题型6】分离常数型..................................................................................................................................10【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题.........................................................................................11【题型8】利用对勾函数..............................................................................................................................13【题型9】判断不等式是否能成立...........................................................................................................16【题型10】换元法（整体思想）...............................................................................................................19【题型11】基本不等式的实际应用问题....................................................................................................22【题型12】与a +b 、平方和、ab 有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）...........................26【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题...........................................................................................28【题型14】消元法........................................................................................................................................31【题型15】因式分解型................................................................................................................................33【题型16】同除型（构造齐次式）...........................................................................................................35【题型17】万能“k ”法..................................................................................................................................36【题型18】三角换元法（利用三角函数）...............................................................................................38【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题...............................................................................40【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）...........................................................................42【题型21】多次运用基本不等式 (43)2/45【题型1】基本不等式的直接使用如果00a b >>，2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，的算a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用不等式：若a b ∈，R，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式：若a b ∈，R +，则2a b+≥（或a b +≥），当且仅当a b =时取等号．1．若0a >，0b >，且41a b +=，则2216a b +的最小值是________【答案】12【详解】221624a b ab ≥+⨯，则()()2222221616244a b a b ab a b +≥++⨯=+，所以()222411622a b a b +≥+=，当且仅当142a b ==时，等号成立，所以2216a b +有最小值122．若00>>y x ，，10=xy ，则yx 52+的最小值为______．【答案】2【简析】252x y +≥=【巩固练习1】若00>>y x ，，1410x y+=，则xy 的最小值为______．【答案】425【简析】14441052525xy x y xy +=≥⇒≥⇒≥⇒≥【巩固练习2】已知0x >，0y >，且21x y +=，则24x y +的最小值是________3/45【答案】当且仅当【题型2】常规凑配法求最值配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．常见的配凑法求最值模型(1)模型一：)0,02>>≥+n m mn x n mx ，当且仅当mn x =时等号成立；(2)模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma a x n a x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立3．若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.4．已知>2，则2+8K2的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.【解答过程】因为>2，所以−2>0所以2+8K2=2−2+8K2+4≥216+4=12，当且仅当2−2=8K2，即=4时，等号成立．所以2+8K2的最小值为12.4/45【巩固练习1】函数()4321x x f x =+++（0x >）的最小值为．【答案】1【解析】因为0x >，所以11x +>，所以()44323311111x x x x x f =++=++-≥-=++，当且仅当()4311x x +=+时，即13x =-时，等号成立，故()f x 的最小值为1.【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可．【详解】因为正数a ，b 满足34a b +=，所以()()1318a b +++=，所以()()()()31311311311311011811811b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+⋅+++=++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦()1110106288⎡⎢≥+=+=⎢⎣，当且仅当()()313111b a a b ++=++即1a b ==时，等号成立，所以1311a b +++的最小值为2．【巩固练习3】已知0t >，则3321t t t +++的最小值为.1【解析】因为0t >，所以()()()33212133221212221231t t t tt t t t +++++=+=+++++11≥+=，当且仅当()()2321221t t +=+，即t =.所以3321t t t +++1.5/45【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x +y =t (t 为常数),求的最值”的问题，先将再用基本不等式求最值注意：验证取得条件．5．（2023·广东广雅中学校考）若正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值是________【答案】9【详解】121222()(2)5529b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当2213b a a b a b =⇒==时等号成立6．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112y x+=，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y xxy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭313332222222xy xy =++≥+=+⨯=+当且仅当12112xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等.6/45【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号．所以2x y +的最小值为8【巩固练习2】若0,0x y >>，且25x y +=，则92x y+的最小值为．【答案】5【解析】因为0,0x y >>，且25x y +=，则2155x y+=，可得9292218213135555555x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当18255y xx y=，即33x y ==时，等号成立，所以92x y+的最小值为5．故答案为：5．【巩固练习3】已知0x >，0y >，且122x y +=，则21x y +的最小值为．【答案】16【解析】()212182228816,y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当82y x x y =时等号成立.即当11,48x y ==时，21x y +取得最小值为16.【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．7/45【分析】利用基本不等式求得1aa b+的最小值．【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=．当且仅当12a b ==时等号成立．【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．【详解】由条件1x y +=可得2212()()232244x y x y y x y y x x xy x xy x y x xy+++=+=++++=++≥+．当且仅当+=13=x y y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时等号成立【巩固练习2】正实数x ，y 满足1x y +=，则11y x y++的最小值是（）A ．3+B ．2+C ．5D ．112【答案】B 【分析】11y x y++中的“1”用“x y +”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．8/45【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1122y x y y x y y x x y x y x y +++++=+=++22≥+=+当且仅当1x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即21==x y 时等号成立．故11y x y ++的最小值是2+．【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．4B．C．1D．1【答案】D【分析】由21x y +=，可得221y x y xxy x y +=++，再利用基本不等式计算即可得.【详解】2122111y x y y x y y x xy x y x y x y ++=+=+=++≥+=，当且仅当2y x x y =，即1,12y x =-=-时，等号成立.【题型5】二次比一次型基本模型：)0,0(2112>>+≤++=++c a b ac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立9．已知>0，则2−r4的最小值为（）A ．5B ．3C ．−5D ．−5或3【解题思路】由已知可得2−r4=+4−1.【解答过程】由>0，得2−r4=+4−1≥2−1=3，当且仅当=4，即=2时等号成立，所以2−r4的最小值为3．9/4510．函数()2322x x y x x ++=>-的最小值为．【答案】11【分析】将函数化为9252y x x =-++-，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.【详解】由2(2)5(2)992522x x y x x x -+-+==-++--，又20x ->，所以511y ≥+=，当且仅当922x x -=-，即5x =时等号成立，所以原函数的最小值为11.【巩固练习1】已知1x >-，则函数241x x y x ++=+的最小值是．【答案】3【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.【详解】因为1x >-，()()221(1)44411111x x x x y x x x x +-++++===++-+++13≥-=当且仅当()411x x +=+，即1x =时，等号成立.所以函数241x x y x ++=+的最小值是【巩固练习2】已知正数x ，y 满足23x y +=，则8xyx y+的最大值为．【答案】16【解析】∵正数x ，y 满足23x y +=，∴()()181181161121010210863333x y x y y x y xy x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+=⨯+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当16y xx y=，即42x y ==时取等号，则111886xy x y y x=≤++，其最大值为16．10/45【巩固练习3】已知x ，y 为正实数，且+=1，则r6r3B的最小值为（）A ．24B ．25C ．6+42D ．62−3【解题思路】把r6r3B变为9+4，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.【解答过程】因为x ，y 为正实数，且+=1，所以r6r3B==4r9B=9+4=+=13+9+4≥13+=25，当且仅当9=4+=1即=35=25时，等号成立，所以r6r3B的最小值为25.【题型6】分离常数型方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数例1：2121124x x y x x x xxxx+=+=++=++≥（x >0）例2：()()222222212121111x x y x x x x x x x -=+=-++=+++----11．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C D ．9【答案】C【解析】因为1x >，所以10x ->，所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()4421323711x x x x =++=-++≥=--，当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号，所以函数221x y x x +=+-的最小值为7；故选：C【巩固练习1】已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】将已知条件等式化为()227x y ++=，整体代入结合基本不等式即可得解．11/45【详解】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，所以()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++26≥+=，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y ++++的最小值为6，故选：B ．【答案】[,]35【分析】将函数变形为2()24xf x x x =+++，当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，11()24f x x x=+++，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解．【详解】函数()222224238()24442x x x x f x x x x x x x x x ++++===++++++++，当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，11()24f x x x=+++，根据对勾函数的性质可知：当0x >时，44x x +≥，则110451x x<≤++，所以112()5f x <£，当0x <时，44x x +≤-，则110431x x -≤<++，所以5()23f x £<，综上所述，函数22238()4x x f x x x ++=++在x ∈R 上的值域是511[,]35．【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解12．（多选）已知2102105ab ==，则下列结论正确的是（）12/45【分析】由题意可知lg 2a =，b =，根据对数函数的单调性可知D错误；2101010a b ⋅=，可知A 正确；利用基本不等式可知2a b +B 正确；在根据lg 2b =>，利用不等式的性质，即可判断C 正确．【详解】由题可知lg 2a =，1lg52b ==2>，所以a b <，D 错误；因为2210101010a b a b +⋅==，有21a b +=．所以A 正确；由基本不等式得2a b +≥18ab ≤，当且仅当2a b =时，取等号；又因为lg 2a =，2lg5b =，所以2a b ≠，故18ab <，B 正确；由于lg 20a =>，lg 2b =>，所以2lg 2ab >，C 正确13．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2ab +≥-D≤【答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D，因为2112a b =+≤++=，，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确【详解】22422a b a b +=+≥=222,a b =即11,24a b ==时等号成立13/45【巩固练习2】已知实数x y ，满足32x y +=，则3271x y z =++的最小值是________．【答案】7【解析】33271331117x y x y z =++=++≥==，当且仅当333x y =，即1x =，13y =时取等号．所以3271x y z =++的最小值为7【分析】对于A ，根据对数函数的性质分析判断，对于C ，由已知可得34log 12,log 12x y ==，从而可得111x y +=，对于D ，利用基本不等式判断，对于B ，由111x y+=，得x y xy +=分析判断．【详解】对于A ，因为3412x y ==，所以34121211log 120,log 120log 3log 4x y ==>==>，因为1212log 4log 30>>，所以121211log 3log 4>，所以x y >，所以A 正确；对于C ，由3412x y ==，得34log 12,log 12x y ==，所以121212341111log 3log4log 121log 12log 12x y +=+=+==，所以C 错误；对于D ，因为0x y >>，所以111x y=+>，得4xy >，所以D 正确；对于B ，因为111x y+=，所以4x y xy +=>，所以B 错误．【题型8】利用对勾函数当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值14/4514．当2x ≥时，42x x ++的最小值为.【答案】3【分析】根据对勾函数的单调性求最值.【详解】设2x t +=，则4422x t x t+=+-+，又由2x ≥得4t ≥，而函数42y t t=+-在[)4,+∞上是增函数，因此4t =时，y 取得最小值44234+-=15．已知函数()|lg |f x x =．若0a b <<，且()()f a f b =，则4a b +的取值范围是（）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】C【分析】根据函数图象得lg lg a b -=，则1b a=，令1()44g b a b b b =+=+，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围．【详解】由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =．根据函数|lg |y x =的图象及0a b <<，则lg lg a b -=，即lg 1ab =，可得01a b <<<，1b a=，令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数可得()g b 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)5g b g >=．所以4a b +的取值范围是(5,)+∞【巩固练习1】函数y ＝x ＋51x +（x ≥2）取得最小值时的x 值为．【答案】2【分析】令x ＋1＝t (t ≥3)，则有()f t ＝t ＋5t－1在[3,＋∞)上单调递增，当t ＝3时，即可求解.【详解】依题意，y ＝x ＋51x +＝x ＋1＋51x +－1(x ≥2)，15/45设x ＋1＝t (t ≥3)．因为f (t )＝t ＋5t－1在[3,＋∞)上单调递增，所以当t ＝3，即x ＝2时，y ＝x ＋51x +(x ≥2)取得最小值．【巩固练习2】已知函数()lg 2f x x =+，若实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =，则2a b+的取值范围是_______．【答案】(3,+∞）【分析】易知()lg 2lg 2lg lg 11a b a b ab a +=+⇒=⇒=，＜22a b a a+=+≥()22=a b a a ++∈+∞3，【巩固练习3】若对任意[]1,2x ∈，()2110mx m x -+-≤恒成立，求实数m 的取值范围法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质当1x =时，20-<，成立；当(]1,2x ∈时，由题可得21x m x x+≤-对任意(]1,2x ∈恒成立，令21x y x x+=-，则有min m y ≤，(]1,2x ∈，()()21121312131x y x x x x +==+-++++-+，令211t x x =+++，(]12,3x +∈，根据对勾函数的性质可得113,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以13,32y t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢-⎣⎭，所以当2x =时，min 32y =，故实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；法二：分类讨论令()()211f x mx m x =-+-，①当0m =时，()1f x x =--，对任意[]1,2x ∈，()()120f x f ≤=-<恒成立；16/45②当0m >时，函数()f x 图象开口向上，若对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立，只需()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得32m ≤，故当302m <≤时，对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立；③当0m <时，对任意[]1,2x ∈，10x -≥，10mx -<，()()()11220f x mx x =---≤-<恒成立；综上可知，实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【题型9】判断不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC ，根据复合函数最值求法求解判断D ．【详解】对于A ，114x y x =++，当4x =-时，104y =-<，不符合要求，错误；对于B，2y ==时取等号，=得241x +=显然不成立，所以等号取不到，即y 的最小值不是2，错误；对于C ，因为01x <<，所以10x ->，211111112212(1)212y x x x x ⎛⎫=+=⋅≥⋅= ⎪--⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，17/45当且仅当12x =时取等号，最小值是2，正确；对于D，y =22x -≤≤，0y ≥，则2224y x x =-+++=+，当240x -=即2x =或2-时，2y 有最小值4，即y 有最小值2，故D 正确．【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是（）A ．若,R a b ∈，则2b a a b +≥=B ．若x ＞0，y ＞0，则lg lg x y +≥C ．若x ＜0，则4x x+4≥-=-D ．若x ＜0，则222x x -+>=【答案】D【解析】∵,b a a b 可能为负数，如1b aa b ==-时，2b a a b+=-，∴A 错误；∵lg ,lg x y 可能为负数，如lg lg 1x y ==-时，lg lg 2,2x y +=-=，∴B 错误；∵40,0x x <<，如441,x x =-=-时，544x x+=-<-，∴C 错误；∵0x <，2(0,1)x ∈，21x ->，∴222x x -+>=，当且仅当22-=x x ，即0x =等号成立，∴D 正确．【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题．【详解】解：对于A ，()22212110x x x x x x -≥-⇒-+=-≥ 恒成立，则x ∀∈R ，都有21x x x -≥-，A 选项正确；对于B ，当(1,)x ∈+∞时，1(0,)x -∈+∞，18/4544111511x x x x ∴+=-++≥=--（当且仅当3x =时取等号），4[5,)1x x ∴+∈+∞-，(1,)x ∴∃∈+∞，使得461x x +=-，B 选项正确；对于C ，当0a b <<时，0b aa b+<，C 选项错误；对于D ，当(2,)x ∈+∞)+∞，令)t =+∞，4y t t=+在)+∞上单调递增，44t t ∴+>，4，D 选项错误【分析】利用基本不等式求最值判断ABD ，结合二次函数的性质判断C ．【详解】12x <时，120x ->．112212xx -+≥=-，当且仅当11212x x -=-，即=0x 时等号成立，所以11212x x -+-的最小值是2，即1212x x-+-的最小值是1，从而1221x x +-的最大值是1-，A 正确；2y ==+≥1=1=无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B 错；1[,2]2x ∈时，11[,2]2x ∈，y ===，因为1122x ≤≤，所以112x =时，y =，12x=时，y =，19/45154x =时，4y ==．所以值域是4，C 正确；0x >，0y >且2x y +=，13x y ++=，31x y x ++23333311111y y x y x y x-=+=-+=+-+++，则33111(1)()224111x y x y y x y x y x ++=+++=++≥+=+++，当且仅当11x y y x +=+，即1x y =+时等号成立，所以31x y x++的最小值是4－1＝3，D 正确．【题型10】换元法（整体思想）对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元17．（单分母换元）已知20<<a ，则aa 21421-+的最小值是________A ．6B ．8C ．4D ．9【解题思路】可以设12b a =-，则有21a b +=，求142a b+的最小值，用乘“1”法即可【答案】9【解答过程】解：设12b a =-，则有21a b +=，()91414252122a b a a a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当1−22=81−2，即a =16时取等号，所以12+41−2的最小值是9．18．（双分母换元）已知正数b a ，满足2=+b a ，则141+++b ba a 的最大值是（）A ．29B ．411C ．1D ．3720/45【解题思路】设1,1x a y b =+=+，则有4x y +=，求144145x y x y x y ⎛⎫--+=-+ ⎪⎝⎭最小值，结合乘1法即可【解答过程】解：+1+4+1=1−1+1+4−4+1=5﹣（1+1+4+1），∵a +b ＝2，∴a +1+b +1＝4，1+1+4+1=14（1+1+4+1）（a +1+b +1）=14（1+4++1+1+4(+1)+1），+1+1+4(+1)+1≥24=4（当且仅当+1+1=4(+1)+1，即a =13，b =53时，等号成立），故14（1+4++1+1+4(+1)+1）≥14×9，即1+1+4+1≥94，故+1+4+1=5﹣（1+1+4+1）≤11419．已知x ，y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】x ，y 为正实数，利用基本不等式求162y x x x y++的最小值．【详解】x ，y 为正实数，则2161622622yx y xx x x yx x y ++=+-≥=++，当且仅当2162x y xx x y+=+，即2y x =时等号成立．最小值为6【巩固练习1】已知1a b c ++=，其中a ，b ，0c >，则19a b c++的最小值为．【答案】16【解析】因为1a b c ++=，,,0a b c >，则19199[()]()10b c a a b c a b c a b c a b c ++=+++=+++++1016≥+=，当且仅当9b c a a b c +=+，即13,44a b c =+=时取等号，所以19a b c++的最小值为16【巩固练习2】已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是．【答案】24【解析】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+⎡⎤⎡⎤+=++-+=+++⎣⎦⎢⎥+-+-⎣⎦1224≥+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。

重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。

题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。

在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。

在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。

利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

【题型1 直接法求最值】【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49 【答案】C【解析】因为0,0x y >>，122x y xy +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（ ）A 2B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则22218333323x y x y x y+=+≥⨯+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故选：B ．【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（ ）A ．13B C D ．19【答案】C【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13≤,当且仅当a b ==2ab :C ．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（ ） A ．2 B ．12 C ． 14D ．4 【答案】D【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4 【答案】D【解析】因为()()()()252522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦，所以29(2)364a b +≥. 又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,3382a b ==时，等号成立.故选：D【题型2 配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =________． 【答案】92-【解析】因为30x -<<，所以()229922x x f x -+=≥-=-，当且仅当229x x -=，即x = 所以()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______. 【答案】[)7,+∞【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9()11171f x x x =-++≥=-， 当且仅当911x x -=-，即4x =时取等号， 所以函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（ ） A ．36 B ．25 C ．16 D ．9 【答案】B【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()21212252x y x y ⎡⎤+++++≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（ ） A ．15 B ．110 C ．115D ．120【答案】A【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>， 故113223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭123321122203223205a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥⨯+= ⎪ ++⎝⎭⎝， 当且仅当23323223a b a ba b a b++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.【题型3 消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（ ）A．1 B C D【答案】C【解析】因为2212y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，故222322x x +-===≤，当且仅当22232x x =-，即x故.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4ab -的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．【答案】B【解析】,0a b >,2240a ab -+=，则有22a b a=+，222242444a a a a a b a a a∴-=+-=+⋅=当且仅当24a a =，即a =b =B.【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．94D ．1 【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432xy xy x y zx xy y x y y x===-++-⋅， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2b c a+=， 所以2211818282222a a a a b c a b ca a a a a+++=++=++++++，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++， 当且仅当222822a a a a +=+，即2a =.故选：ABC【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【答案】2 【解析】()()()()222222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭，由212y x -=，所以211222y x x -==≤，所以112x ≤≤， 所以()222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭⋅，当且仅当1||x =等号成立，所以21xy ⋅2≤，当且仅当21x y =21x y ==所以21x y ⋅的最大值为2．【题型4 代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____． 【答案】25【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以()1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭+≥， 当且仅当36x y y x =，即13,105x y ==时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以4422222bba bbaa b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时取等号 故4ba b +的最小值为2【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______． 【答案】9【解析】由2x y xy +=得211y x+=，又因为0x >，0y >，所以()212222559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当3x y ==时等号成立，故2x y +的最小值为9．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】B【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>， 所以()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++()2222226y x yx ⋅+≥+=+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立， 即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．4 【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC =+又2AG GM =，所以32AM AG =，又(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>） 所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ =+ 因为,,G P Q 三点共线，则133xy +=，化得()14x y ++=由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B【题型5 双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________. 【答案】167【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b --+=+=+-++-++14724()a b =--++1141()()7a b a b =+++141(14)7b a a b =++++1161(577≥+⨯+=当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号， 则,x y 分别等于48,33时，2212x y x y +++的最小值是167.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（ ）A ．54 B ．83 C ．43 D ．52【答案】D【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m ny -=，38367752322222x y n m xy x y x y m n =+=+-≥=++，当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =成立，所以52xy ≥，故xy 有最小值52.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．16 C． D．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+>所以()()2222114121a b x y y x b a +++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y+++的最小值是___________. 【答案】85【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩ ，得1319k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以()()1113213939x y x y y ++=+++ 整理得()()31132131010x y y =+++即()()()11961310x y y =+++所以()()()3113196133213103213x y y x y y x y y ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()313196811032135y x y x y y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭. 经验证当12x y == 时，等号可取到.【题型6 齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________ . 【答案】2【解析】222222232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1123a b b a=-++，因为,a b都是负实数，所以20,0a bb a>>， 所以2abb a +≥=2a b b a =时等号成立）.所以233a b b a++≥，所以123a b b a≤++所以1323a b b a-≥=++，所以1113223a b b a-≥+=++. 即2a ba b a b+++的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y+-+≤，即2222x y a x xy y +-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y+≤-+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____． 【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设xy ＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +﹣﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ， 故2223x y xy y ++的最小值为2.【题型7 构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________. 【答案】9【解析】由212ab a b=++得，212ab ≥，化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【解析】∵2241x y xy ++=，∴2222325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭ ， 当且仅当2x y =时，等号成立，此时28(2)5x y +≤，所以2x y +≤2x y +.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________. 【答案】8【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>由1425y x x y +++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2229x y x y xy +++=，因为()2222224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()2229999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+， 故()()()2292228x y x y x y +++≤+，整理得()()22820x y x y +-+≥，即()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去）， 故2x y +的最小值为8.【题型8 多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba b a ++的最小值为（ ） A． B． C．1 D．1 【答案】B【解析】因为0,0a b >>，所以244222b a a a ba a ++≥=+≥= 当且仅当24b ba =且42a a=，即a b == 即242ba ba ++的最小值为故选：B.【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B．(0 C ．(]0,2 D ．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 02,20x a a x <<∴->，又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in 1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 212a ∴≥，解得a ≤≤且0a ≠，又0a >， 实数a的取值范围是(0.故选：B.【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++⎪-⎝⎭的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．6 D ．212【答案】D【解析】()()121121221925542222ba ab a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以()12292911212c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝⎭92122=， 当且仅当()91221c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,,,,22a b c ππθ+⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，所以()222max2cos 4b a c a b c θ⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦， 因为,,a b c+∈R，所以)))2222222ab a a a b ⎤=≤+=+⎥⎦，当且仅当2a b =时等号成立；()()()222211122222222bc c b c b c b ⎡⎤=⨯≤+=+⎢⎥⎣⎦， 当且仅当2c b =时等号成立.所以()()()222222222222211222222222444b a c ab bc a b c b a b c a b c a b c ++=≤++++++++=+， 当且仅当2a b c ==时等号成立， 所以()22224b a c a b c +++的最大值为22，所以2cos 2θ≥，又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．22 D ．32【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a ca c abc a c a c b bb b ++++=≤=++++++⨯ ()222222*********22222222a ac c ac ac a c a c a c ++==+≤+=++⨯，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12．故选：A ．（建议用时：60分钟）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当22y xx y =时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】C【解析】因为2x >，所以120,02x x ->>-，由基本不等式得11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立，则y 的最小值为4.故选：C 3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ）A ．9lg 2B ．212 C ．252D ．12 【答案】C 【解析】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >， ()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立． 所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．12 【答案】A【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤，当且仅当49a b =，即12,29a b ==时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a 与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（ ）A．9+ B C ．7 D【答案】B【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14544⎛≥++== ⎝（当且仅当6b aa b =，即8a =，(433b =时取等号），即22231a b a b +++.故选：B. 6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（ ） A ．43 B ．103C ．3D ．2 【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+1()3AB AC =+，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >） 所以1AB AM x=，1AC AN y =，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅.因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y +=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+（当且仅当433yxx y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C ．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x R ，则22a b a+的最小值是（ ） A．4 B ．6 C ． D ．2 【答案】A【解析】∵()f x =R ，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤ ∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b += 又∵0,0a b >> ∴2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥= 当且仅当22a b b a =，即21,33a b ==时取等号.故选：A. 8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫≤-+ ⎪--⎝⎭恒成立.因为()()x z x y y z -=-+-≥，11x y y z +≥--，所以11()4x z x y y z ⎛⎫-⋅+≥ ⎪--⎝⎭（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使11()n x z x y y z ⎛⎫≤-⋅+ ⎪--⎝⎭恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C9．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（ ）A ．a ≤B ．1a b +<C ．2244453a b ≤+≤D ．2a b -≤【答案】ACD【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，所以()()224410a a ∆=---≥，所以2415a ≤，即a ≤A 正确； 取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；由2241a ab b -+=，可得22141122a b ab ab +=+=+⋅，又222244222a b a b ab ++-≤≤，令224t a b =+，则()2122t t t -≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244453a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2231a b ab -+=，所以()()23213122a b ab a b -=-=+⋅⋅-，令2u a b =-，由()2222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭，可得22318u u ≤+，所以285u ≤，即2a b -≤D 正确.故选：ACD.10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（ ）A ．2168a a +>B ．219a b +≥ C D ．35422a b a +-<<- 【答案】ACD【解析】对于A 选项，()2216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-=，12ba ∴+=.又0,0ab >>212115922222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当b aa b =，即23a b ==时等号成立；故B 选项不正确； 对于C 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()2222224422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，2245a b ∴+≥，当且仅当45a =时等号成立，C 选项正确；对于D 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()()2552253510122222a ab a a a a a a a a a ---+-+----∴====--<<-----， 当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<<--，得351422a <--<-，即35422a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+----()()414171b a b a b b --=++--17≥+25= 当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥． 当且仅当()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤， 故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD . 12．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y xx =+ B ．0)y x > C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144xx y -=+ 【答案】BD【解析】对于A ，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，44[()]4y x x xx=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞，A 错误；对于B ，y ===，因为0x >1>，4≥=3x =时取等号，所以0)y x =>的最小值为4，B 正确； 对于C ，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D ，40x >，1444444x x x x y -=++=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取等号， 所以144xx y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【答案】94【解析】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， 所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦， 因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y yyx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+， 当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立， 所以2132x y x y +++的最小值为94.14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.【解析】由题知，,a b ∈R ，且221b a -=，即221b a =+，所以221a b a a b b+-+=， 当0a =时，21b =，即1b =±，此时11a b+=±，所以22a b a b +-的最大值为1，当0a ≠时，22221212211212a a a a ab b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭，当且仅当1=a 时取等号，此时1a b+≤22a a b b +-.综上，22a a bb+-.15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++， 即322223221)(6914384384y x xy x x y xy y x xy y y x ++=+++=+所以222222221691416914383844y y y x xy x x y y y x xyx xxy ++=+=+++++； 又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++= 所以， 22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+ 令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()92718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+ 所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====x y ==. 16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______. 【答案】916【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()()2222231224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即4a b c +≤， 当且仅当a b =时，等号成立， 所以当a b c+取得最大值时，a b =，42a b ac +==，所以2223392416a b c a a a ⎛⎫-+=-=--+ ⎪⎝⎭，故当333,,448a b c ===时，2a b c -+取最大值916.。

专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义【典例解析】题型一、不等式及其性质【例1】（2020·嵊州市期中）式子：①35；②450x +>；③3x =；④2x x +；⑤4x ≠-；⑥21x x +≥+．其中是不等式的有（ ）． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C.【解析】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠-4；⑥x+2≥x+1是不等式， ∴共4个不等式． 故答案为：C ．【例2-1】（2021·浙江杭州模拟）若x y >，则（ ） A ．22x y < B ．1x y >+C ．2222x y --<--D ．11x y -<-【答案】C.【解析】解：A ．∵x>y ，∴2x>2y ， A 不正确；B ．∵x>y ，∴x+1>y+1， B 不正确；C ．∵x>y ，∴-2x-2<-2y-2， C 正确；D ．∵x>y ，∴x-1>y-1， D 不正确； 故答案为：C ．【例2-2】（2019·云南玉溪期末）已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．20182018a b< B ．﹣2a ＜﹣2b C ．a ﹣2018＞b ﹣2018 D ．a+2018＞b+2018【答案】A.【解析】解：A 、∵a<b ，2018>0， ∴20182018a b<，正确； B 、∵a<b ，-2<0，∴ -2a>-2b ，错误； C 、∵a<b ，∴a-2018<b-2018，错误； D 、∵a<b ，∴a+2018<b+2018，错误； 故答案为：A ．【例3】若不等式(2)2a x a ->-的解是1x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．2a >C ．2a <D ．2a <-【答案】C.【解析】解：不等式（a -2）x ＞a -2的解集为x ＜1， ∴a -2＜0， 解得：a ＜2， 故答案为：C ．【例4】（2020·山西期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为x m ，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是 （ ）A ．2x ≥B ．2x >C ．2x ≤D ．2x <【答案】C.【例5】（2020·成武县期中）关于x 的不等式2x-a≤-1的解集为x≤1，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B.【解析】解：2x−a≤−1，2x≤a−1，x≤12a -， ∵x≤1， ∴12a -＝1， 解得：a ＝3， 故答案为：B ．【例6】（2020·哈尔滨月考）若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >，则m 的取值范围是（ ） A ．1m B ．1m <C ．1m ≠D ．1m =【答案】B.【解析】解：∵不等式（m-1）x ＜m-1的解集为x ＞1， ∴m-1＜0，即m ＜1， 故答案为：B ． 题型二、含参数类【例7-1】（2020·湖南株洲市）关于x 的不等式30x a -≤只有两个正整数解，则a 的取值范围是_______ 【答案】6≤a ＜9．【解析】解：原不等式解得x≤3a， 解集中只有两个正整数解，这两个正整数解是1，2， ∴2≤3a＜3， 解得：6≤a ＜9． 故答案为：6≤a ＜9．【例7-2】（2020·广西南宁市期末）若关于x 的不等式2x +a ≤0只有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣6≤a ≤﹣4 B ．﹣6＜a ≤﹣4C ．﹣6≤a ＜﹣4D ．﹣6＜a ＜﹣4【答案】B.【解析】解：解不等式2x +a ≤0，得：x ≤﹣2a，不等式只有两个正整数解，这两个正整数解为1、2， 则2≤﹣2a＜3， 解得：﹣6＜a ≤﹣4， 故答案为：B ．【变式7-1】（2021·北京专题练习）已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是（ ） A ．34m < B ．34m <C ．811m <D ．811m <【答案】C.【解析】解原不等式得：13m x +<不等式的正整数解为1，2，3，∴1343m +<解得：8<m≤11 故答案为：C.【变式7-2】（2021·中山大学附属中学）若关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是_____． 【答案】13.【解析】解：解不等式3x ＋1＜m ，得13m x -<． ∵关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3， ∴1343m -<≤， ∴1013m <≤，∴整数m 的最大值是13． 故答案为：13．【变式7-3】（2020·海淀区期中）已知关于x 的不等式2x ﹣k ＞3x 只有两个正整数解，则k的取值范围为_____． 【答案】-3≤k ＜-2. 【解析】解：∵2x -k ＞3x ， ∴2x -3x ＞k ， ∴x ＜-k ，因为只有两个正整数解，则2＜-k ≤3， ∴-3≤k ＜-2， 故答案为：-3≤k ＜-2．【变式7-4】若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为( ) A ．74a -<<- B ．74a -≤≤-C ．74a -≤<-D ．74a -<≤-【答案】D.【例8-1】（2021·陕西西安市月考）不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A ．2m B ．1mC ．1mD ．1m <【答案】C.【解析】解：解不等式①得x>2，解不等式②得：x>m+1， ∵不等式组的解集是x>2， ∴m+1≤2 解得：m≤1， 故答案为：C ．【例8-2】（2020·浙江期末）若关于x 的不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是（ ）A ．2m <B ．2m >C ．2m ≥D ．2m ≤【答案】C.【解析】解：∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，∴m -1≥1， 解得：m ≥2， 故答案为：C ．【例8-3】若不等式组5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩有实数解．则实数m 的取值范围是 ( )A ．53m ≤B ．5＜3m C ．53m ＞D ．53m ≥【答案】A.【解析】解：5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩①②由①，得x 53≤；由②，得x ≥m ， ∵不等式组有实数解， ∴m 53≤． 故答案为：A ．【例8-4】（2020·宁波市期末）若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ） A ．68m << B ．67≤<mC ．67m ≤≤D ．67m <≤【答案】D. 【解析】解：解不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②，由①式得，x<m ，由②式得x≥3，故m 的取值范围是：6<m≤7， 故答案为：D ．【变式8-1】若关于x 的一元一次不等式组2132x x x m ->+⎧⎨<⎩的解集是3x <-，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≥- B ．3m >-C ．3m ≤-D ．3m <-【答案】A.【解析】解：解不等式2x -1＞3x +2，得：x ＜-3， ∵不等式组2132x x x m->+⎧⎨<⎩的解集为x ＜-3，∴m ≥-3． 故答案为：A ．【变式8-2】若关于x 的一元一次不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A ．2m <B ．2m ≤C ．1m <D ．12m ≤<【答案】A.【解析】解：∵不等式组12x x m <≤⎧⎨>⎩有解，∴m ＜2， 故答案为：A ．【变式8-3】已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________． 【答案】2≤m ＜3.【解析】解：由题意得：符合题意的整数解为5，4，3 ∴m 不能取值3，可以取值2 ∴2≤m ＜3故答案为：2≤m ＜3． 题型三、不等式组及其解法【例9】（2020·成都市锦江区月考）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x my m =⎧⎨=+⎩（m 为常数），方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>，则m 的取值范围为______．【答案】m ＞2.【解析】解：方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩，可转换为1112221(2)21(2)2a x y b x y c a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩，∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集为3x my m =⎧⎨=+⎩，∴方程组1112221(2)21(2)2a x yb x yc a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩的解为：1223x y m x y m ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩①②，由②-①得：x=2把x=2代入①得：y=m －1， ∴x+y=m+1>3， ∴m>2， 故答案为：m>2．【例10】（2021·武城县四女寺镇明智中学九年级一模）不等式组1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A.【解析】解：1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩①②，由①得：x ＞-3，由②得：x ≤1， ∴不等式组的解为：-3＜x ≤1，在数轴上表示如下：故答案为：A ．【例11】（2020·山东枣庄月考）若关于,x y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足 3x y +>-，求出满足条件的m 的所有正整数数值．【答案】1、2、3、4.【解析】解：由23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩①② ①+②得：3x+3y=-3m+6即x+y=-m+2>-3 ∴m<5满足条件的m 的所有正整数数值是1、2、3、4. 【例12】（2021·天津河西区）解不等式组321251x x x ≤+⎧⎨+≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为______．【答案】（1）1x ≤；（2）3x ≥-；（3）见解析；（4）31x -≤≤【例13】（2021·江西模拟）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥-⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．【答案】x ≤1．【解析】解：3(2)4?121?3x x x x --≥-⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，∵解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ＜4， ∴不等式组的解集为：x ≤1， 在数轴上表示不等式组的解集为：．【例14】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联方程．如一元一次方程213x -=的解是2x =，一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的解集是132x <<，我们就说一元一次方程213x -=是一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的一个关联方程． （1）在方程①310x -=，②240x -=，③(21)7x x +-=-中，不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩的关联方程是 ；（填序号）（2）若不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）（3）若方程92x x -=，132()2x x +=+都是关于x 的不等式组22x x mx m <-⎧⎨-⎩的关联方程，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）②；（2）x-1=0；（3）1≤m ＜2． 【解析】解：（1）解不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩得：712x <<， ∵方程①的解为13x =；方程②的解为x=2；方程③的解为：x=-2，∴不等式组的关联方程是②，故答案为：②；（2）解不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩ 得：1342x <<， 所以不等式组的整数解为：x=1，故答案为：x-1=0；（3）解不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩ 得：2m x m <+．方程9-x=2x 的解为：x=3， 方程132()2x x +=+的解为：x=2， 其是关于x 的不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩的关联方程， ∴m 222m 323m m <⎧⎪+≥⎪⎨<⎪⎪+≥⎩， 解得：1≤m ＜2∴m 的取值范围是1≤m ＜2．题型四、实际应用【例15】（2020·安徽合肥）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（ ）件．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B.【解析】解：设旗旗可以购买x 件商品，∵290＞250，∴旗旗购买的商品超过5件，50×0.8x≤290，解得：x≤714． ∵x 为整数，∴x 的最大值为7.故答案为：B ．【例16】（2021·合肥市期中）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧共购买10盒蛋糕，花费的金额不超过500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）A ．430B ．450C ．460D ．490【答案】D. 【解析】解：设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买（10-x ）盒金枣蛋糕，则()()7040105001261075x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩， 解得：122≤x ≤133， ∵x 是整数，∴x =3，70×3+40×（10-3）=490（元）．故答案为：D ．【例17-1】（2020·河南驻马店期中）阅读以下结论：（1）若|x |＝a （a ≥0），则x ＝±a ． （2）若|x |＞a （a ＞0），则x ＞a 或x ＜﹣a ；若|x |＜a （a ＞0），则﹣a ＜x ＜a ．（3）若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0（0＜a ＜b ），则x ＞b 或x ＜a ；若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＜0（0＜a ＜b ），则a ＜x ＜b ．根据上述结论，解答下面问题：（1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．（2）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＞0．（3）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＜0．（4）解不等式：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0．（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0．【答案】（1）x ＝2或x ＝﹣23；（2）x ＞2或x ＜﹣23；（3）﹣23＜x ＜2；（4）x ＞5或x ＜2；（5）32＜x ＜52． 【解析】（1）解：|3x ﹣2|﹣4＝0，3x ﹣2＝4或3x ﹣2＝﹣4，解得x ＝2或x ＝23-； （2）解：|3x ﹣2|﹣4＞0，3x ﹣2＞4或3x ﹣2＜﹣4，解得x ＞2或x ＜23-； （3）解：|3x ﹣2|﹣4＜0，﹣4＜3x ﹣2＜4， 解得23-＜x ＜2； （4）解：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0，x ﹣5＞0或x ﹣2＜0，解得x ＞5或x ＜2；（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0，3＜2x ＜5， 解得32＜x ＜52． 【例17-2】（2020·北京通州区期末）对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如： (](](]2.62,34,109=-=-=．（1）填空：(]2020___________-=，(]2.4___________-=，(]0.7___________=； （2）如果,a b 都是整数，(]a 和(]b 互为相反数，求代数式224a b b -+的值；（3）如果(]3x =，求x 的取值范围．【答案】（1）-2021，-3，0；（2）4；（3）-3＜x ≤-2或3＜x ≤4.【解析】解：（1）（-2020]=-2021，（-2.4]=-3，（0.7]=0；故答案为：-2021，-3，0．（2）∵a ，b 都是整数，且（a]和（b]互为相反数，∴a-1+b-1=0，∴a+b=2，∴a 2-b 2+4b=（a-b ）（a+b ）+4b=2（a-b ）+4b=2（a+b ）=2×2=4；（3）当x ＜0时，∵|（x]|=3，∴x ＞-3，∴-3＜x≤-2；当x ＞0时，∵|（x]|=3，∴x ＞3，∴3＜x≤4．故x 的范围取值为-3＜x≤-2或3＜x≤4．【例18】（2020·四川南充期末）已知方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩的解中，x 是非负数，y 是正数．（1）求k 的取值范围；（2）化简：21k k --+；（3）当k 为何整数时，不等式221x k kx +<+的解集为1x >．【答案】（1）425k -<≤；（2）-2k+1；（3）1或2.【解析】解：（1）解方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩①②①＋②，得 22x k =-+ ∴12kx =-+①－②，得 254y k =+ ∴522ky =+ 已知102k x =-+，且5202ky =+>∴k 2≤且45k >- ∴425k -<≤（2）∵425k -<≤∴20k -≤且10k +＞． ∴21k k --+(2)(1)k k =---+21k =-+ 即21k k --+21k =-+；（3）∵221x k kx +<+∴221kx x k ->-∴(21)21k x k ->-∵解集为 1x >，∴210k ->． ∴12k > 结合425k -<≤ 得122k <≤．∴整数k=1或k=2．【例19】某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A ，B 两种树苗，共21棵，已知A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买A 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x ≤21；（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意，得：y =90x +70（21﹣x ）=20x +1470，所以函数解析式为：y =20x +1470；（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，∴21﹣x ＜x ，解得：x ＞10.5，又∵y =20x +1470，且x 取整数，∴当x =11时，y 有最小值=1690，∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10棵，A 种树苗11棵，所需费用为1690元．【例20】（2021·河南郑州市期中）某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元． （1）求百乐笔、展光笔的单价；（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？【答案】见解析．【解析】解：（1）设百乐笔的单价为x 元/支、展光笔的单价为y 元/支，根据题意得，15202501025225x y x y +=⎧⎨+=⎩，整理得：34502545x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①×2－②×3得：y=5把y=5代入①得：x=10105x y =⎧∴⎨=⎩答：百乐笔的单价为10元、展光笔的单价为5元．（2）设购买百乐笔m 支，则晨光笔（35-m ）支，由题意得：()10535300m m +-≤，解得：m ≤25，答：至多购买25支百乐笔．【例21】某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案．【答案】见解析．【解析】解：（1）设购买一根跳绳需要x 元，购买一个毽子需要y 元，依题意，得：25324336x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：64x y =⎧⎨=⎩． 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元；（2）设购买m 根跳绳，则购买（54−m ）个毽子，由题意，得：()645426020m m m ⎧+-≤⎨>⎩，解得：20＜m ≤22．∵m 为正整数，∴m 可以为21，22．∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．。

高中数学不等式解题难点及有效解题方法摘要：高中数学学习难度较大，不等式作为重要的数学知识点，也是教师教学与学生学习的重难点所在。

不等式教学时帮助学生掌握解题方法与技巧，合理运用解题方法可以提高解题效率。

本文通过分析不等式解题重难点，阐述常见不等式的解题方法。

关键词：高中数学；不等式；解题方法引言高中数学学科难度大，数学知识具有较强的逻辑性、思维性与抽象性特点，使得教师教学与学生学习都存在较大难度。

高中数学知识体系中不等式起着承上启下的作用，解题时合理运用解题技巧，可以降低解题难度并提高解题效率，做好这部分研究具有现实意义。

1高中数学不等式解题难点分析高中数学课程学习时不等式是重要的知识点，各种题型中都会出现不等式内容，也可以和其他章节知识联系起来，进而以不同的题型展现出来，考察学生知识点掌握及灵活运用的能力。

不等式作为高中数学的重难点知识，很多学生在运用不等式知识点解决问题时都会遇到障碍，如解决不等式等价变形题目时，学生没有掌握或是不能灵活运用不等式基础性解法或同解原理。

或者解决不等式题型时并未形成良好的解题思路，使得数学学习效果不理想。

2高中数学不等式解题方法与技巧高中数学教学中重点与难点就是不等式，考察时不等式会与其他知识点联系起来，要求学生掌握不同题型的解决方法，本部分分析集中常见的不等式题型的解题技巧。

2.1线性规则类不等式的解题方法高中数学中不等式与线性规划相结合的题目较为常见，高考数学中这类题目是常考题与重点题，题目中涉及大量数学知识点，如定义域、值域、面积等。

要求学生必须准确理解不等式的性质并掌握线性规划特点，否则解题时极易出现问题。

如，不等式组式组y≤-x＋2、y≥kx＋1、x≥0，三者区域为三角形且三角形面积＝1，求k取值多少。

这个题目的难点，就是理解三条直线构成的图形并掌握三角形面积计算方法。

学生解题时，通过分析题干将三条直线组成的三角线绘制出来，接着将选项代入其中，可以在最短时间内判断出准确答案。

不等式中最值问题全梳理
不等式中最值问题是一个重要且复杂的话题，涉及多个知识点和技巧。

以下是对不等式中最值问题的全面梳理：
1. 基本不等式：
平方和与平方差的不等式。

例如，对于任意实数a和b，有a^2 + b^2 ≥ 2ab和a^2 - b^2 ≥ 0。

算术平均值与几何平均值的不等式。

对于正数a和b，有a+b≥2√(ab)。

2. 均值不等式：两个正数的均值不等式是a+b≥2√(ab)，其中a和b都是正数。

3. 最值定理：设x和y是正数，且xy=k（常数），则x=y时，取得最值。

同样地，如果x+y=k（常数），则x=y时，取得最值。

运用最值定理求最值的三要素是：一正二定三相等。

4. 解题技巧：
确认对称：最值肯定在等号取得，需要看条件和所求。

取等解方程：确认最值需要取等得到的根可以直接写在答案上。

5. 典型例题：
利用均值不等式求最值。

例如，已知x>0，y>0，且x+y=1，求xy的最大值。

利用均值不等式得到xy≤（x+y）/2^2=1/4，当且仅当x=y=1/2时取等号。

利用基本不等式求最值。

例如，已知x<0，求函数y=x+1/x的最小值。

利用基本不等式得到y=x+1/x≤-2，当且仅当x=-1时取等号。

以上是对不等式中最值问题的全面梳理，包括基本不等式、均值不等式、最值定理和解题技巧等知识点，以及一些典型例题的解析。

掌握这些知识点和技巧有助于解决不等式中最值问题。

高中数学 选修4--5知识点1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c>>⇒> ③（可加性）a ba c b c >⇔+>+ （同向可加性）db c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）db c a d c b a ->-⇒<>, ④（可积性）bcac cb a >⇒>>0,bcac c b a <⇒<>0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d a c b d>>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)nna b ab n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式①()222a b a b a bR +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： 2a b a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33a b c a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b ca b b c c a a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c a b c a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b aa b a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b aa b a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦b an b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a xa x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a axa <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：2211222a b a ba b a b --++≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b a b ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n na a a aa a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d a c b d a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n na a ab b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ 是两个向量，则,αβαβ⋅≤ 当且仅当β 是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n na a ab b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,nc c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....nn a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小）， 如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+ 2212,21k k k k k k =⇒<++- *12(,1)1k Nk k k k >∈>++等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)a xb xc ++><或 2(0,40)a b a c ≠∆=->解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f xg x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x gx gx gx f x gx >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f xf xg x g x f x gx ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()()()0()()f xf xg x g xf xg x≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g xa a fx g x >⇔> ⑵当01a <<时, ()()()()f xg xa a fx g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0l o g ()l o g ()()0()()a af xf xg x g x f x gx >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0l o g ()l o g ()()0.()()a a f x f x gx g x f x gx >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩ 规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().fx g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a xa x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥④()()()()()()(()0)f x g x f xg xf x g xg x ≥⇔≥≤-≥或 规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20a x b x c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题⑴不等式20a x b x c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式2a xb xc ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立m a x ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立m a x ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立m i n ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立m i n ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：由于直线0A x B y C ++=的同一侧的所有点的坐标代入A x B y C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00A x B y C ++的正负即可判断出0A x B y C ++>或0)<表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0A xB yC ++>或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0A xB yC ++>或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域. 即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z A x B y =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法： 如果目标函数z A x B y =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l A x B y += ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数z A x B y =+即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,B为直线的纵截距.①若0,B >则使目标函数z A x B y =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z A x B y =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型：;z A x B y =+②“斜率”型：y z x=或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或22;z x y =+22()()z x a y b =-+-或22()().z x a y b =-+- 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a bc d ><，则a c b d->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则a c b d >（若0,0a b c d>><<，则a bc d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n na b >；4．若0ab >，a b >，则11a b<；若0ab <，a b >，则11a b >。