深圳实验学校高二下学期期中考试数学试卷含答案

2020-2021深圳实验学校高中必修二数学下期中试卷带答案一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ） A ．1 B ．221- C ．22 D ．22．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+ 3．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα4．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π 5．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 6．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．40π C ．80π D ．160π7．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．309．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 10．若方程21424x kx k -=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124纟çúçú棼 11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AF FA 的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题13．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .14．已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.16．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．17．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.18．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 截得弦长为2.（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.22．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=o 分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．23．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.24．已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22（1）求M 的标准方程；（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33l 的方程．25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．26．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=.（1）求B 点坐标；（2）求ABC ∆面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222d == 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 3．C解析：C【解析】【分析】【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误； 若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 4．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.5．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．6．C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =.ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A ==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．B解析：B【解析】【分析】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．9．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 10．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=…与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=…，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <„，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．12．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题13．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r =1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.考点：圆柱的体积14．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：163,32⎡⎤⎣⎦【解析】 【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围. 【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦;故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.15．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】 【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC V 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径R ===所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．16．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】 【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=Q ，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-= ()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.17．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π【解析】 【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解. 【详解】 如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ， 由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==⨯⨯=， 解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123CO =， 所以22223133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π【解析】 【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60o ，得到母线长为2k 3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60o ，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803， 所以()46332k k k+=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线 5【解析】 【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠2321252=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.20．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴211k +解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题21．（1）()()22111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r > 圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离：2d ==，则22211122r d =+=+=⎝⎭∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切. ②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+ 则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离：1d ==解得： 43k =，即34k =则切线方程为： 3460x y -+=综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+=22．(1)见证明；(2) 23 【解析】 【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明 (2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）PA ⊥Q 面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥； 又Q 底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥QAE ∴⊥面PAD ；（2）AE ^Q 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AEAHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=o ，在Rt PAD ∆中，233PA =PA ⊥Q 面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ， 正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CMMNC MN∠==【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 23．（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求，证明EN∥AH，MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可（2）因为点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，求三棱锥E－ABC的体积可转化为求三棱锥N－ABC的体积，根据体积公式计算即可.【详解】(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，3易知DH3，∴NG又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×， ∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG＝3. 【点睛】本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.24．（1）224x y +=；（2）1y =. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得圆M 的方程为()2224x a y a -+=+，求出圆心到直线20x y +-=的距离，结合M 截直线20x y +-=所得弦长为利用勾股定理列方程可得a 的值，代入圆M 的方程即可得结果；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，结合直线与圆的位置关系可得AB 的值，求出点P 到直线AB的距离，由三角形面积公式可得132d AB ⨯⨯=='k 的值，代入直线l 的方程即可得结果． 【详解】（1）根据题意，圆M 的圆心(),0a 且经过点()0,2-，则圆M 的方程为()2224x a y a -+=+，圆心M 到直线20x y +-=的距离d =，若圆M 截直线20x y +-=所得弦长为则有22242a ⎛+=+ ⎝⎭， 解可得：0a =， 则2244r a =+=，则圆M 的方程为224x y +=；（2）根据题意，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=， 圆M 的方程为224x y +=，则圆心M 到直线l的距离d =，则2AB == 又由()0,2P -，则P 到直线l的距离'd ==，若PAB △的面积为132d AB ⨯⨯==' 解可得：0k =，则直线l 的方程为1y =．【点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系，以及点到直线的距离公式与三角形面积公式的应用，涉及直线与圆相交弦长的计算，属于基础题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.25．（1）见解析（2）23 【解析】【分析】（1）连接BF ，证明四边形1BMD F 是平行四边形即可得出1//D M BF ，故1//MD 平面BEFD ；（2）根据M BDE E BDM V V --=求出M 到平面BEFD 的距离．【详解】解：（1）证明：连接BF ， ∵111111111111////22D F A B D F A B BM A B BM A B ==，，，， ∴11//D F BM D F BM =，，∴四边形1BMD F 是平行四边形，∴1//D M BF ，又1D M ⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ，∴1//MD 平面BEFD ．（2）解：连接ED EM DM ，，， 则112122323E BDM V -=⨯⨯⨯⨯=，又3BD BE DE ======，∴222cos 210BD BE DE DBE BD BE +-∠==⋅，∴sin 10DBE ∠=．∴132BDE S =⨯=V ， 设M 到平面BEFD 的距离为d ，则12333M BDE V d -=⨯⨯=， ∴23d =．即M 到平面BEFD 的距离为23．【点睛】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．26．(1) ()5,0B ; (2)6【解析】【分析】(1)根据AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=求得AB 的斜率,再设B 点坐标利用斜率求解即可.(2)求得直线AC 的方程,再计算B 点到直线AC 的距离与线段AC 的长度即可.【详解】(1)由AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=,其斜率为2,故直线AB 的斜率为1122k -==-.设()0,0B x 则00201512x x -=-⇒=-.故()5,0B (2)因为()1,2A ,()3,4C ,故42:131AC k -=-,故:2110AC l y x x y -=-⇒-+=. 又()()22314222AC =-+-=又B 点到直线AC 的距离()225013211d -+==+- . 故112232622ABC S AC d ∆=⋅=⨯=. 【点睛】 本题主要考查了直线方程的表达式与解析几何中的距离公式等,需要根据题意选取公式求解即可.属于中等题型.。

广东省深圳市2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1z 1i=+所对应的的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 3．下列各式中值为1的是 ( )A ．1xdx ⎰B ．()101x dx +⎰ C ． 101dx ⎰ D ．120x dx ⎰4．在以下的类比推理中结论正确的是( )A ．若33a b ⋅=⋅,则a b =类比推出 若00a b ⋅=⋅,则a b =B ．若()a b c ac bc +=+ 类比推出a b a bc c c+=+ （c≠0） C ．若()a b c ac bc +=+ 类比推出 ()a b c ac bc ⋅=⋅D ．若n n a a b =n （b ） 类比推出 n na ab +=+n （b ） 5．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6．用0，1, 2，3, 4，5 组成没有重复的三位数，其中偶数共有（ ）A ．24个B ．30个C ．52个D ．60个 7．设函数1()21(0),f x x x x=+-> 则()f x ( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是增函数D ．是减函数8．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( ) A ．三角形的三个内角都不大于60° B ．三角形的三个内角都大于60° C ．三角形的三个内角至多有一个大于60° D ．三角形的三个内角至少有两个大于60°9．曲线2y x =与直线2y x =所围成图形的面积为( ) A ．43B ．83C ．163D ．2310．设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是( )11．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．99D ．12312．设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为'()f x ,'()f x 在(,)a b 上的导函数为''()f x ,若在(,)a b 上,''()0f x <恒成立,则称函数函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”．已知当2m ≤时,3211()62f x x mx x =-+在(1,2)-上是“凸函数”．则()f x 在(1,2)-上( )A ．既有极大值，也有极小值B ．有极大值，没有极小值C ．没有极大值，有极小值D ．没有极大值，也没有极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．计算：=-⎰21)1(dx xe x14．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色 全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂 相同的颜色，则不同的涂色种数有 种．115．如图，它满足： 2 2 ①第n 行首尾两数均为n ， 3 4 3 ②表中的递推关系类似杨辉三角， 4 7 7 4 则第n 行)2(≥n 第2个数是_________ 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 616．对于定义在区间],[b a 上的函数)(x f ，给出下列命题：①若)(x f 在多处取得极大值，则)(x f 的最大值一定是所有极大值中最大的一个值； ②若函数)(x f 的极大值为m ，极小值为n ，那么n m >；③若),(0b a x ∈，在0x 左侧附近0)('<x f ，且0)(0'=x f ，则0x 是)(x f 的极大值点；④若)('x f 在],[b a 上恒为正，则)(x f 在],[b a 上为增函数， 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本题满分10分）已知x ＋y ＋z ＝m ．求证：x 2＋y 2＋z 2m 23．18．（本题满分12分）已知m ∈R，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时 (1) z 是实数？(2) z 是虚数？(3) z 是纯虚数？19．（本题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋a n ＝2n ＋1，(1) 写出a 1，a 2，a 3并猜想a n 的表达式；(2) 用数学归纳法证明(1)中的猜想．20．（本题满分12分）已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．(1) 求a ；(2) 求函数f (x )的单调区间；(3) 若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．21．（本题满分12分）已知A （-1，2）为抛物线C: y=2x 2上的点，直线1l 过点A ，且与抛物线C 相切，直线2l :x=a(a≠-1)交抛物线C 于B ，交直线1l 于点D. （1）求直线1l 的方程；（2）设BAD ∆的面积为S 1，求BD 及S 1的值；（3）设由抛物线C ，直线12,l l 所围成的图形的面积为S 2， 求证：S 1:S 2的值为与a 无关的常数．22．（本题满分12分）已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； ⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，设函数2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．2015-2016学年度第二学期期中考试高二理科数学答案 1-12 DDCBA CABAC DB13—16 e 2-e-ln2 96 222n n n a -+= ③④17．证明：∵ x ＋y ＋z ＝m ， ∴ (x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝m 2.又∵ x 2＋y 2≥2xy ，y 2＋z 2≥2yz ，z 2＋x 2≥2xz ，∴ 2(x 2＋y 2＋z 2)≥2(xy ＋yz ＋zx )，即x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋yz ＋zx ， ∴ m 2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )≤3(x 2＋y 2＋z 2)． ∴ x 2＋y 2＋z 2≥m 23.18．解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－3，m ≠1.∴当m ＝－3时，z ∈R.(2)⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ≠1.∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数．(3)⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m m ＋2m －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ＝0或m ＝－2，∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数．19．解：(1)由S n ＋a n ＝2n ＋1得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，故猜想a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n (n ∈N *)． (2) 证明①当n ＝1时a 1＝32，结论成立，②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ＝2－12k ，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)＋1－a k ＋1－(2k ＋1－a (2k ＋1－a k )) ∴2a k ＋1＝a k ＋2＝4－12k ，∴a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时结论成立．由①②知对于任何正整数n ，结论成立．20．(1) 因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10 所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0 因此a ＝16 (2) 由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ， x ∈(－1，＋∞) f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )＞0 当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0 所以f (x )的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞) f (x )的单凋减区间是(1,3)(3) 由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调增，在(1,3)内单调减，在(3，＋∞)上单调增，所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21又x→-1时，f （x ）→-∞； x→+∞时，f （x ）→+∞；可据此画出函数y=f （x ）的草图，由图可知要使直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有3个交点，则f (3)＜b ＜f (1) 所以b 的取值范围为(32 ln2－21,16ln2－9)．21．（1）由224,y x y x '==得当x=-1时，y ＇=-4 ………………1分∴1l 的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2 ……………………2分(2)22y x x a⎧=⎨=⎩得B 点坐标为（22,a a ）……3分 由42x a y x =⎧⎨=--⎩得D 点坐标（a ,-4a -2）…4分点A 到直线BD 的距离为1,a +…………………………5分BD = 2a 2+4a +2=2（a +1）2 ∴S 1=31+a ……………6分(3)当a >-1时，S 1=（a +1）3， 2212(42)a S x x dx -⎡⎤=--- ⎣⎦⎰()21242ax x dx -=++ ⎰ 3212223a x x x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()3213a =+…8分 ∴S 1:S 2=32 …………………10分 当a <-1时，S 1= -（a +1）3 2232112[2(42)](242)(1)3S x x dx x x dx a a a --=---=++=-+⎰⎰∴S 1:S 2=32 综上可知S 1:S 2的值为与a 无关的常数，这常数是32………………………12分22．解： ⑴当2p =时，函数2()22ln f x x x x =--，(1)222ln10f =--=．222()2f x x x'=+-， 曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=．从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-．⑵22222()p px x pf x p x x x-+'=+-=．令2()2h x px x p =-+， 要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立． 由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p=∈+∞， ∴min 1()h x p p =-，只需10p p-≥，即1p ≥时，()0,()0h x f x '≥≥ ∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞．∵2()eg x x=在[]1,e 上是减函数，∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈，当1p ≥时，由⑵知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)02f =<，又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max min ()()f x g x >，[]1,x e ∈，而max 1()()2ln f x f e p e e e ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，min ()2g x =，即12ln 2p e e e ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得241e p e >-，而2411e e >-，所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭．。

广东省深圳市数学高二(1班)下学期期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·深州月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知条件p：x2﹣2x﹣3＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（）A . a＞3B . a≥3C . a＜﹣1D . a≤﹣13. （2分） (2017高三下·西安开学考) 函数y= ，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数的导函数存在，则函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围为（）A . （﹣∞，2）B . （0，）C . （，2）D . （0，2）6. （2分） (2016高二下·海南期末) 已知离散型随机变量X的分布列如表：X﹣1012P a b c若E（X）=0，D（X）=1，则a，b的值分别为（）A . ，B . ，C . ，D . ，7. （2分）(2019·湖州模拟) 已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字的数学期望是2，则的方差是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·玉溪期中) 已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·湖北月考) 已知偶函数满足且当时，则函数在上的零点个为（）A . 4B . 5C . 6D . 810. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共5分)11. （1分） (2016高一上·如皋期末) （log23+log227）×（log44+log4 ）的值为________．12. （1分）已知Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），B（1，2），C（0，3），则实数t的值为________13. （1分）(2017高二下·河北期末) 用表示，中的最小值，已知函数，，设函数（），若有个零点，则实数的取值范围是________．14. （2分）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2016高一上·苏州期中) 已知函数f（x）= 满足f（0）=1且f（0）+2f （﹣1）=0，那么函数g（x）=f（x）+x有________个零点．16. （1分） (2016高一上·平阳期中) 若f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0，则f（﹣1）=________．17. （1分）(2019高三上·西湖期中) 已知的外接圆圆心为O ，，，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是________.四、解答题 (共5题；共55分)18. （10分）(2018·河北模拟) 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.19. （10分）(2020·南昌模拟) 某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求图中m的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值.（保留3位小数）（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过的概率为多少？（Ⅲ）若按月均用水量和分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会.并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间的人数为X，求X的分布列和数学期望.20. （15分）(2018·山东模拟) 为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）（指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？21. （10分） (2019高三上·西湖期中) 已知函数， .（1）当时，试讨论的单调性；（2）若对任意的，方程恒有个不等的实根，求的取值范围.22. （10分） (2017·安徽模拟) 已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）设函数g（x）= ，求g（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）=t有两个不相等的实数根x1 ， x2 ，求证：x1+x2 ．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共55分) 18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。

2017－2018学年第二学期期中考试高二年级实验班(理科数学)试题卷本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。

2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．已知复数1iz i=＋，则复数z 的模为（A （B （C ）12 （D ）12+12i3．复数31iz i+=-的共轭复数z =（A ）12i + （B ）12i -（C ）2i +（D ）2i - 4．设a 是实数，且211i i a +++是实数，则a 等于 （A ）1 （B ）21 （C ）51（D ）51-5．已知R a ∈，且iia -+-1为纯虚数，则a 等于（A ）2（B ）2-（C ）1（D ）1-6．若(12)1ai i bi +=-，其中a ，R b ∈， i 是虚数单位，则||a bi +=（A ）12i + （B （C ）2（D ）547．函数xxy ln =的最大值为 （A ）1-e （B ）e （C ）2e （D ）3108．函数2cos y x x =的导数为（A ）22cos sin y x x x x '=-（B ）22cos sin y x x x x '=+（C ）2cos 2sin y x x x x '=-（D ）2cos sin y x x x x '=-9．已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 10．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =（A ） 0 （B ）1 （C ） 2 （D ）311．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 （A ）3（B ）2（C ）1（D ）1212．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1(2)2，内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,2]-∞- （B ）1(,)8-+∞ （C ）1(2,)8-- （D ）(2,)-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．10(2)x e x dx -=⎰_____________.14．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径CSr 2=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R =_____________.15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为__________．16．观察下列等式： ,104321,6321,321233332333233=+++=++=+，根据上述规律，第．1．0．个等式．．．为_____________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17.（本题满分10分）（Ⅰ）计算：1031i (1i)(2i)1+i i --++⎛⎫- ⎪⎝⎭； （Ⅱ）设复数z 满足1z =,且(34i)z +⋅是纯虚数,求z .18．（本小题满分12分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点．用分析法证明：||()a b a b >-≠20．(本小题满分12分)已知函数221()()2f x ax a b x =-+()ln ,a x a b R +?. （Ⅰ）当1b =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =-，0b =时，证明：21()12xf x e x x +>--+（其中e 为自然对数的底数）．21．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，11429(*)n n n n a a a a n N ++-+=∈. （Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.设()21x f x e ax =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0x ≥时，2e 1x ax x ≥++，求a 的取值范围．2017—2018学年第二学期期中考试高二年级实验班(理科数学)试题参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．12.由题意得1()2f x ax x'=+，若()f x 在区间1(2)2，内存在单调递增区间，在()0f x '>在1(2)2，有解，故21()2a x >-的最小值， 又21()2g x x =-在1(2)2，上是单调递增函数，所以1()()22g x g >=-，所以实数a 的取值范围是2a >-，故选D ．二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．13．2e -. 14．3VS. 15．A ．16．3333321234966+++++=．三、解答题： 17.（本题满分10分）（Ⅰ）计算：1031i (1i)(2i)1+i i --++⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅱ）设复数z 满足1z =,且(34i)z +⋅是纯虚数,求z. 解：（Ⅰ）计算：1031i (1i)(2i)1+i i --++⎛⎫- ⎪⎝⎭=(1)(13i)3i ----=.……………………………5分 （Ⅱ）设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；(34)(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=1340a b =-=⎪⎩，，解之，得4535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，4535a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 43i 55z -=-或4355z i -=-+. ……………………………………………………10分18．（本小题满分12分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点． 解：（Ⅰ）()'233fx x a =-，∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ ……………………………4分 （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠,当0a <时，()'0fx >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点． ……………………………8分 当0a >时，由()'0f x x =⇒=，当(,x ∈-∞时，()'0fx >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =是()f x 的极大值点，x =是()f x 的极小值点．………………………………12分 19．（本小题满分12分）用分析法证明：||()a b a b >-≠证明：要证||()a b a b >-≠，只需证2222112a b a b ab +++-<+-,……………………………4分只需证1ab +<若10ab +<,①式显然成立，……………………………6分 若10ab +≥，只需证222222121ab a b a b a b ++<+++， 只需证222a b ab +>， 因a b ≠，所以此式成立.故||()a b a b >-≠成立．……………………………12分 20．(本小题满分12分)已知函数221()()2f x ax a b x =-+()ln ,a x a b R +?. （Ⅰ）当1b =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =-，0b =时，证明：21()12xf x e x x +>--+（其中e 为自然对数的底数）．解：（Ⅰ）当1b =时，()()2211ln 2f x ax a x a x =-++ ()()2'1a f x ax a x =-++()()1ax x a x--=，…………………………………………2分（1）当0a £时，0x a ->，10x>，10ax -<()'0f x ? 此时函数()f x 的单调递减区间为()0,+?，无单调递增区间. (3)分（2）当0a >时，令()'0f x =1xa?或a ①当()10a a a =>，即1a =时，此时()()21'0x f x x-=?()0x >此时函数()f x 单调递增区间为()0,+?，无单调递减区间. ………………………………4分②当10a a <<，即1a >时，此时在10,a骣÷ç÷ç÷ç桫和(),a +?上函数()'0f x >， 在1,a a 骣÷ç÷ç÷ç桫上函数()'0f x <，此时函数()f x 单调递增区间为10,a 骣÷ç÷ç÷ç桫和(),a +?； 单调递减区间为1,a a骣÷ç÷ç÷ç桫. …………………………………………5分 （3）当10a a <<，即01a <<时，此时函数()f x 单调递增区间为()0,a 和1,a 骣÷ç+?÷ç÷ç桫； 单调递减区间为1,a a 骣÷ç÷ç÷ç桫.…………………………………………6分 （Ⅱ）证明：当1a =时()21x f x e x x +>++只需证明：ln 10xe x -->设()ln 1xg x e x =--()0x >问题转化为证明0x ">，()0g x >，令()1'xg x e x =-，()21''0xg x e x=+>， ()1'xg x e x\=-为()0,+?上的增函数，且1'202g 骣÷ç=<÷ç÷ç桫，()'110g e =->，\存在唯一的01,12x 骣÷çÎ÷ç÷ç桫，使得()0'0g x =，01x e x =， ()g x 在()00,x 上递减，在()0,x +?上递增， ()()000min ln 1x g x g x e x \==--0011211x x =+-?=， ()min 0g x \>，\不等式得证. ……………………………………………………12分21．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，11429(*)n n n n a a a a n N ++-+=∈. （Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解：（Ⅰ）由已知条件，可得nnn a a a --=+4291， ……………………………………………………2分∵11=a ，∴372=a ,5133=a ,7194=a . ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想*)(1256N n n n a n ∈--=.……………………………………………………7分下面用数学归纳法证明： （1）当1=n 时，1=n a ,猜想正确； ……………………………………………………8分 （2）假设当*)(N k k n ∈=时，猜想成立，即1256--=k k a k ， 那么kk k a a a --=+42911256412)56(29------=k k k k 1)1(25)1(6-+-+=k k . 即当1+=k n 时，猜想也正确. ……………………………………………………11分由（1）（2）可知，猜想正确. ……………………………………………………12分22．(本小题满分12分)设()21xf x e ax =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0x ≥时，2e 1x ax x ≥++，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()2xf x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，没有极值．若0a >，令()0f x '=，ln 2x a =，列表所以当ln 2x a =时，()f x 有极小值(2)22ln 21f a a a a =--，没有极大值． （Ⅱ）设2()1x g x e ax x =---，则'()21()x g x e ax f x =--=．从而当21a ≤，即12a ≤时，()0f x '>(0)x ≥， '()(0)0g x g '≥=，()g x 在[0,)+∞单调递增，于是当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=．当12a >时，若(0,ln 2)x a ∈，则()0f x '<，()(0)0g x g ''<=，()g x 在(0,ln 2)a 单调递减，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()(0)0g x g <=．综合得a 的取值范围为1(,]2-∞．。

深圳市高级中学2015－2016学年第二学期期中考试高二文科数学试卷本试卷由两部分组成。

第一部分：本学期前基础知识和能力考查，共 140 分；第二部分：本学期知识考查，共 10 分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上。

2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人员将答题卡收回。

第一部分 基础知识和能力部分(140分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则( ) A ．{}6,4=⋂N M .B M N U = C ．U M N C u = )( D. N N M C u = )(2．若复数是纯虚数，则实数a 的值为( )A.-2B.4 C ．-6 D.6 3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )A.4B.3C.2D.1 4.已知向量a 与b 的夹角为120o ，2=a，1=b则ba+等于( ) A ．7 B.3 C.3 D.7 5.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =( ) A ．64B ．81C ．128D ．2436.如右图为一个几何体的 三视图，其中俯视图为 正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，第7题则该几何体的表面积为( ) A . 6+3 B .24+3 C ．24+23 D ．327．给出计算 201614121++++ 的值的 一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的 条件是( )．A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i8.一个正方体的顶点都在球面上， 此球与正方体的表面积之比是( ) A. 3π B. 4πC. 2π D. π9．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =() A ．1B ．2C ．3D ．410. 已知,-,,22ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且βtan ,tan a 是方程04332=++x x 的两根，则βα+等于 ( ) A ．3π B ．32π- C ．3π或32π- D ．3π-或23π 11. 已知31log a ＞31log b＞0，则a 、b 满足( )A. 0＜b ＜a ＜1B.1＜a ＜bC.0＜a ＜b ＜1D.1＜b ＜a 12 .已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为 ( ) A.{}11x x -<< B.{}1x x <- C.{}11x x x <->或 D.{}1x x >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么被剪得的两段绳长都不小于1m 的概率是 .14．数列{}n a 中，12a =， 1n n a a cn +=+(c 是常数，123n =，，，)， 且123a a a ，，成 公比不为1的等比数列．则实数c 的值为 ． 15. 已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =16.()f x 是定义在R 上的偶函数，()()()13,32,2f x x f x xf x +=--≤≤-=又当时 则)5.11(f =三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分17．(本小题满分12分)在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边， (Ⅰ)若0cos 3)sin =-+A C B （ ， 求角A 的大小；(Ⅱ)若2b 3a ,3===，πA ，求三角形ABC 的面积。

深圳市高级中学2023-2024学年第二学期期中考试高二数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 432×× B. 34C. 43D. 32×【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析可得4名学生，每人有3种可选方案，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项， 则每人有3种可选方案，则4人共有433333×××=种分式， 故选：C ．2. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(02)P X <<=（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5D. 0.9【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布对称性计算可得. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(4)0.1P X ≥=，()102(24)(4)0.42P X P X P X <<=<<=−≥=.故选：B3.二项式62x展开式的常数项为（ ）A. 160−B. 60C. 120D. 240【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】62x展开式的通项为：()()32666166C 2C 21kk k k k k k k T x x −−−+ ==⋅⋅−⋅ ， 令3602k −=得4k =， 所以展开式的常数项为()2644C 2160××−=， 故选：B ．4. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A.35B.115C.715D.815【答案】D 【解析】【分析】记抽取黄球的个数为X ，则由题意可得X 服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.【详解】记抽取黄球的个数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为()237210C C C k k P X k −==，0k =，1，2． 所以，()()()11203737221010C C C C 8112C C 15P X P X P X ≥==+==+=． 或()()0237210C C 81101C 15P X P X ≥=−==−=． 故选：D ．5. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A 、B 、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种 A. 25 B. 60 C. 90 D. 150【答案】D 【解析】【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有35C 种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有12254222C C C A 种分法，再将三组人员分配到A 、B 、C 三个乡村学校去，共有33A 种，所以不同的选派方法共有122335425322C C C C A 150A +=种. 故选：D6. 已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC⊥平面ABC ，3BC =，PB =PC =，则三棱锥−P ABC 外接球的体积为（ ）A 10πB.C.53πD.【答案】D 【解析】【分析】由ABC 为直角三角形，可知BC 中点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC ，所以球心在过M 与平面ABC 垂直的直线上，且球心为PBC 的外心.利用正余弦定理求出PBC 外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC 中点M ，过点M 做直线l 垂直BC ，因为ABC 为直角三角形，所以点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC ⊥平面ABC ，所以l ⊂平面ABC ，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，且球心为PBC 的外心.在△PBC中，222cos 2PB BC PC PBC PB BC+−∠==⋅所以sin PBC ∠△PBC 外接圆半径为12.的△△△△△△△，所以体积为V =. 故选：D7. 过点(),P a b 可作3条直线与函数()32f x x =−的图象相切，则（ ）A. 312a b <−B. 312a b >−C. 32a b<−D. 32a b>−【答案】A 【解析】【分析】设切点坐标，利用导数求出切线，由切线过点(),P a b ，整理得32460t at b −−=有3组解，转化为三次函数有三个零点问题，利用导数解决.【详解】设过点(),P a b 的直线与函数()32f x x =−的图象切于点()3,2Q t t−，()26f x x ′=−，则函数()f x 在点Q 处的切线斜率()26k f t t ′==−， 切线方程为()3226y t t x t +=−−，由切线过点(),P a b ，所以有()3226b t t a t +=−−，整理得32460t at b −−=，设()3246g t t at b =−−，则问题转化为()g t 有3个零点， 因为()21212g t t at =−′，由()0g t ′=得0=t 或t a =，若0a =，()0g t ′≥恒成立，()g t 在R 上单调递增，不合题意. 当0a >时，()0g t ′>解得0t <或t a >，()0g t ′<解得0t a <<，此时()g t 在(),0∞−和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，()0g 为函数极大值，()g a 为函数极小值；当0a <时，()0g t ′>解得t a <或0t >，()0g t ′<解得0a t <<，此时()g t 在(),a −∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，()g a 为函数极大值，()0g 为函数极小值；()g t 有3个零点，则()0g 与()g a 异号，即()()()3020g g a b a b =−−−<，所以()320b a b +<， 得332210a b a b b +=+<，所以312a b <−.故选：A8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，右焦点2F 到渐近线的距离为31F 作圆222:C x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若121cos 2F MF ∠=，则圆C 的面积为（ ） A. 9π B. 8πC. 6πD. 4π【答案】A 【解析】b ，可得b ，结合双曲线定义与121cos 2F MF ∠=可得a ，即可得圆C 的面积.【详解】如图，因为右焦点2F 到渐近线的距离为3，故3b = 作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，因为1F M 与圆222:C x y a +=相切，所以21,22,2OA a F B OA a F B b ====， 因为121cos 2F MF ∠=，即1260F MF ∠=，在直角2F MB 中，2tan 60F B MB M === ， 又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：121222F M F M F B MB F M b a −=+−==，整理得b =，因为3b =3a =，圆C 的面积22ππ9πS r a ===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得a ，即可得圆C 的面积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和24nS n n =−，则（ ） A. {}n a 不是等差数列 B. 25na n =− C. 数列n S n是等差数列 D. 121067a a a +++=【答案】BC 【解析】【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 即可求出数列{}n a 的通项，再根据等差数列的定义和前n 项和公式逐一判断即可.【详解】由24nS n n =−， 当1n =时，11143a S ==−=−， 当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n − =−=−−−−−=−， 当1n =时，上式也成立，所以25na n =−，故B 正确； 因为()()1215252n na a n n +−=+−−−=，所以{}n a 是等差数列，故A 错误； 对于C ，244n S n nn n n−==−，因为()114411n n S S n n n n +−=+−−−=+，所以数列n S n是等差数列，故C 正确； 对于D ，令250n a n −≥，则52n ≥， 所以当3n ≥时，0n a >，当2n ≤时，0n a <，故312101211200260868a a a a a a a S S +++−+++=−=+=−= ，故D 错误. 故选：BC.10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件1A 和2A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. 13()5P A =B. 11()50P B =C. ()1950P B A = D. 22()11P A B =【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.【详解】依题意可得13()5P A =，22()5P A =，()23125C 3C 10P B A ==，()22225C 1C 10P B A ==， 所以()()()()()112233211151051050P B P A P B A P A P B A =+=×+×=，故A 正确、B 正确、C 错误； ()()()()()222212|2105()111150P A B P B A P A P A B P B P B ×====，故D 正确.故选：ABD11. 已知函数()2ln 11f x x x =−−−，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,+∞ B. ()f x 的值域为RC ()()20232024log 2024log 20231f f +=.D. 若()e 1e 1b b f a b +=−−，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则e 1b a =【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出定义域，求导得到函数单调性，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到函数的值域；C 选项，计算出()10f f x x +=，结合202320241log 2024log 2023=得到C 正确；D 选项，利用同构变换得到()1e bf a f=，结合()0,1a ∈，()0,b ∞∈+得到1e ba =，D 正确. 【详解】A 选项，()2ln 11f x x x =−−−的定义域为()()0,11,∞∪+， ()()21201f x x x =−′+>在定义域上恒成立， 故()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,∞+，A 正确；B 选项，当x 趋向于0时，()f x 趋向于−∞，当x 趋向于+∞时，()f x 趋向于+∞， 故()f x 的值域为R ，B 正确；C 选项，0x >，()1221ln 122011x f f x x x x x x+−−++−−=−+=−−， 又202320241log 2024log 2023=，所以()()20232024log 2024log 20230f f +=，C 错误； D 选项，()e 1e 122121ln e ln 12e 1e 1e 1e e 1b b b b b b b b f a b b +−+=−=−=+−=−++ −−−−12e 121211111e e 1e e 11ln ln l e n e b b b b b b b=−+=−+=−−−−−， 又()2ln 11f x x x =−−−，故121ln 11e e 1eb bbf −−=−， 故()1e b f a f=，因为()0,b ∞∈+，所以()10,1e b∈， 又()0,1a ∈，故1eb a =，即e 1b a =，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是D 选项变形得到()12ln11e 1ebb f a =−−−，得到()1e bf a f=，从而进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 由样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)得到的回归方程为y ＝56x ＋a ，已知5112ii x==∑，5122i i y ==∑，则实数a 的值为________．【答案】2.4 【解析】【详解】由题表得x ＝2.4，y ＝4.4，代入回归方程，解得a ＝2.4. 13. 已知随机变量的ξ分布列为则x y +=________；若(2)1E ξ=，则()D ξ=_______． 【答案】 ①. 12②.2312【解析】【分析】由概率和等于1，可求出x y +的值，然后根据(2)1E ξ=，可求出()E ξ，进而由数学期望的计算公式可求出,x y 的值，然后计算()D ξ即可. 【详解】由题意得，11136x y +++=，则12x y +=. 因为(2)1E ξ=，所以1()2E ξ=，则112262x y −++=，即16x y −+=，又12x y +=，解得11,63x y ==， 所以22221111111123()20122623262312D ξ =−−×+−×+−×+−×=． 故答案为：12；2312. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算等，考查数学运算核心素养，属于中档题.14. 若函数()ln e ln e xxa xf x x x a x=+−−（R a ∈）有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()()0,11,+∞ 【解析】【分析】化简函数()()ln e xa f x x x x=+−，得到()ln g x x x =+和()e x h x x =在()0,∞+上单增，结合存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=，且存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，结合12x x =，进而得到实数a 的取值范围． 【详解】由函数()()()ln e ln 1ln e ,(0)xxx a f x x x a x x x x x=+−+=+−>， 设()ln g x x x =+，可得()110g x x+′=>，()g x 单调递增， 且11ln 2022g=−+<，()1010g =+>， 所以存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=， 令e 0xax−=，即e x a x =， 设()e xh x x =，可得()(1)e 0xh x x =+>′，则()h x 在()0,∞+上单增， 又由()00h =且x →+∞时，()h x ∞→+，所以当()0,a ∞∈+时，存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，即22e xa x =，若12x x =时，可得1111ln 0ex x x a x += = ，则11ln x x =−，可得11e x x −=，所以11e 1xx =， 所以1a =，综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,∞∪+． 故答案为：()()0,11,∞∪+．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e xg x x =；②e e ln ln e ln a a a b b a b b<⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x g x x =； ③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e xg x x =±.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4是13,a a 的等比中项，且63312S S −=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列1n S n+的前n 项和为n T ． 【答案】（1）31na n =− （2）()231n n T n =+【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可； （2）由（1）求出n S ，从而得到121131n S n n n =− ++，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】设正项等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，因为4是13,a a 的等比中项，所以2134a a =，即()11216a a d +=， 又63312S S −=，即()1161533312a d a d +−+=，即124d a =+，解得123a d = = 或140a d =− =（舍去），所以()23131n a n n =+−=−； 【小问2详解】 由（1）可得()2131213222n S n n n n n =+−×=+， 所以()312n S n n n +=+， 所以()1212113131n S n n n n n=×=− +++，所以()21111121211322313131n nT n n n n =−+−++−=−=+++ ． 16. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）727（2）分布列见解析，()53E ξ= 【解析】【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】记至少两次试验成功为事件A ，则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率()2323331117C 1C 33327P A ××−+== . 【小问2详解】由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，所以()022002212110C C 3329P ξ ==⋅=， ()112021110012222121121111C C C C 33233223P ξ==⋅+⋅=⋅⋅⋅，()20211222201102222222121121121132C C C C C C 33233233236P ξ ==⋅⋅+⋅= +， ()2021122112222212112113C C C C 3323326P ξ ==⋅+⋅= ， ()22222212114C C 33236P ξ ==⋅= ， 故ξ的分布列为所以()11131150123493366363E ξ=×+×+×+×+×=. 17. 如图，在三棱锥−P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面PAB ⊥平面,,ABC M O 分别为,PA AB 的中点，且,PO BM G N = 在棱BC 上，且满足2BN NC =，连接GN ．（1）求证：GN ∥平面PAC ；（2）设2AB =，求直线PN 与平面BGN 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值. 【小问1详解】证明：连接MC ，如图所示．在PAB 中，因为,M O 分别为,PA AB 的中点，PO BM G ∩=，所以G 为PAB 的重心，所以2BGGM=， 又2NBCN=，所以GN MC ∥， 又GN 平面,PAC MC ⊂平面PAC ，所以GN ∥平面PAC ．【小问2详解】连接OC ，因为△PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面,ABC AB PO =⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面CAB ，又,OC AB ⊂平面CAB ，所以,PO OC PO AB ⊥⊥． 因为△ABC 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以CO AB ⊥．以O 为坐标原点，,,OC OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．的则)()(,0,1,0,,CB P G ，所以(),0,CB BG − ． 设平面BGN 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n CB y n BG y z ⋅+=⋅=−+=令1x =，解得3y z =，所以平面BGN的一个法向量()n =，(()111333NP CP CN CP CB =−=−=−=−． 设直线PN 与平面BGN 所成角的大小为θ，则sin cos ,n NP n NPn NPθ⋅===⋅，即直线PN 与平面BGN． 18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m −为C 上一点，且32MF . （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；（ii ）求△OAQ 与△OAB 面积之和的最小值.【答案】（1）23y x = （2）（i ）(4,0)Q −；（ii） 【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,p m ，由此可得抛物线方程；的（2）（i ）设l 的方程为4x my =+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y −，应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得； （ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【小问1详解】由题意可得322924p m pm+==，解得32p =， 所以C 的方程为：23y x =； 【小问2详解】（i ）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+， 代入抛物线23y x =的方程， 可得23120y my −−=，方程23120y my −−=的判别式2Δ9480m =+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y −不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==−, 所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +−=−−，即121112()()y y y y x x m y y +−=−− 即()11123y y x x y y −=−−，令0y =，可得()()212113y y y x y −⋅−=−，所以()()2121112312x y y y y y y =−⋅−+==−，所以4x =− 所以(4,0)Q −； （ii ）如图所示，可得111114222OAQSOQ y y y =⋅⋅=××=， 121211442222OAB S y y y y =××+××=+， 所以△OAQ 与△OAB 的面积之和△△1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y −=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立， 所以△OAQ 与△OAB的面积之和的最小值为 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，若，则实数的取值集合为（ ） {}{}22,1,A x x x B a =+≤=∣B A ⊆a A ． B ． {}2,1,0--{}21x x -≤≤C ． D ．{21}x x -≤<{}2,1,0,1--【答案】C【分析】化简集合，根据，求实数的可能取值，由此可得结果. A B A ⊆a 【详解】集合， {}{}2221A xx x x x =+≤=-≤≤∣∣又，，{}1,B a =B A ⊆所以，故实数a 的取值集合为， 21a -≤<{21}x x -≤<故选：C.2．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．B ． ()()()1230f f f >>''>'()()()1230f f f <<''<'C ．D ．()()()0123f f f ''<'<<()()()1203f f f >>>'''【答案】A【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，， ()y f x =[)0,∞+0x ≥()0f x ¢>即，，，()10f '>()20f '>()30'>f 又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜()(),x f x x ()y f x =()(),x f x 率随着的增大而减小， x 故.()()()1230f f f >>''>'故选：A.3．某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少()()24,0N σσ>于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ） A ．0.9 B ．0.7C ．0.3D ．0.1【答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：，故， ()20.9P x ≥=()20.1P x <=因为，所以根据对称性得：. 6242+=()()620.1P x P x ≥=<=故选：D.4．已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为（ ） {}n a 3105,9,n a a S ==-{}n a n n S n A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【分析】根据解得：然后求得：，3105,9,a a ==-2,112;n d a n =-=-()2210525n S n n n =-+=--+当时取最大值，且； 5n =n S ()max 25n S =【详解】因为所以 3105,9,a a ==-()3952,3112;7n d a a n d n --==-=+-=-因为，所以112n a n =-()()229112105252n n n n S n n +-==-+=--+所以当时取最大值，且； 5n =n S ()max 25n S =故选：B5．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）1x =()332f x x ax =-+()f x A ． B ．1 C ．2 D ．41-【答案】D【分析】由是函数的极小值点，可得，进而可得的解析式，即可得函数1x =1a =(),()f x f x '()f x 单调递区间及极大值点为，代入求解即可.=1x -【详解】因为()332,R,f x x ax x =-+∈所以，()233f x x a '=-又因为是函数的极小值点，1x =所以， ()1330f a =-='解得，1a =所以，， ()332f x x x =-+()233f x x ¢=-令，得，()2330f x x '=-=121,1x x =-=所以当时，，单调递增； (,1)x ∈-∞-()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； (1,1)x ∈-()0f x '<()f x 当时，，单调递增； (1,)x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以在处取极大值，在处取极小值， ()f x =1x -1x =所以的极大值为. ()f x ()11324f -=-++=故选：D.6．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂,,A B C 至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A A ．12 B ．14 C ．36 D ．72【答案】B【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方A A ,B C 案，利用分类、分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种情况：①若厂只接受1个女生，有种分派方案，A 12C 2=则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，,B C 1,22,11233C C 6+=由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案； 2612⨯=②若厂接受2个女生，只有1种分派方案，A 则厂分派人数为，则有种分派方案，,B C 1,112C 2=此时共有种不同的分派方案，122⨯=综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案. 12214+=故选：B. 7．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ） ()ex xf x =()0,a aA ．B ．C ．D ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交(0,)a 020e x x a =点个数的关系将问题转化为图象与直线在R 上有3个交点，结合导数求出函数2()ex x g x =y a =()g x 的极值，根据数形结合的思想即可求解. 【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为， 000(,)e x x x 001()e x x k f x -'==所以切线方程为， 000001()e ex x x x y x x -=--又切线过点，则，整理得.(0,)a 000001(0)e e x x x x a x --=-02e x x a =要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，(0,)a 02e x x a =即函数图象与直线在R 上有3个交点，020ex x y =y a =设，则，2()ex x g x =(2)()e x x x g x '-=令，令或，()002g x x '>⇒<<()00g x x '<⇒<2x >所以函数在上单调递增，在和上单调递减， ()g x (0,2)(,0)-∞(2,)+∞且极小值、极大值分别为，如图， ()()2400,2e g g ==由图可知，当时，函数图象与直线在R 上有3个交点，240e a <<02ex x y =y a =即过点的切线有3条. (0,)a 所以实数a 的取值范围为. 240e a <<故选：B.8．已知随机变量的分布列为：ξ ξx yPy x则下列说法正确的是（ ）A ．存在x ，，B ．对任意x ，， (0,1)y ∈1()2E ξ>(0,1)y ∈1()4E ξ≤C ．对任意x ，， D ．存在x ，， (0,1)y ∈()()D E ξξ≤(0,1)y ∈1()4D ξ>【答案】C【分析】对A 、B ：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C ：先求，利用作差法比()D ξ较大小；对D ：换元令，结合二次函数求的取值范围. t xy =()D ξ【详解】由题意可得：，且，即， ()1,,0,1x y x y +=∈11,22x y ≠≠1y x =-对A 、B ：由题意可得：，()2()22122E xy yx xy x x x x ξ=+==-=-∵开口向下，对称轴，， ()222f x x x =-12x =110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，故，()()11010,22f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭10()2f x <<即，()102E ξ<<不存在x ，，，A 错误； (0,1)y ∈1()2E ξ>例如，则，即存在x ，，，B 错误；12,33x y ==()4194E ξ=>(0,1)y ∈1()4E ξ>对C ：， [][]()()222222()()()224D x E y y E x x xy y y xy x xy x y ξξξ=-⨯+-⨯=-+-=-则， 2222()()440D E xy x y xy x y ξξ-=--=-<故对任意x ，，则，C 正确； (0,1)y ∈()()D E ξξ<对D ：令， ()110,24t xy E ξ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭则开口向下，对称轴，且， ()24g t t t =-18t =()11100,4816g g g ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，即， ()1016g t <≤10()16D ξ<≤不存在x ，，，D 错误； (0,1)y ∈1()4D ξ>故选：C.二、多选题9．某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X 即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）A ． 0.008=aB ．120X =C ．70分以下的人数约为6人 D ．本次考试的平均分约为93.6 【答案】AD【分析】根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解.【详解】对于A ，，A 正确； ()0.00220.0040.0140.022010.008a a ⨯++++⨯=⇒=对于B ，因为第六组有40人，第五组有160人， 所以，B 错误；13040125130110160X X -=⇒=-对于C ，70分以下的人数为人，C 错误；()0.0020.004201000120+⨯⨯=对于D ，平均成绩，D 正确， 400.04600.08800.281000.41200.161400.0493.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选:AD.10．已知数列{an }的前n 项和为， ，若，则k 可能为（ ） n S 7213,16(3)1,6n n n n a n --≤≤⎧=⎨-->⎩32k S =-A ．4 B ．8 C ．9 D ．12【答案】AC【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值. k 【详解】， 111a =-当时，由，16k ≤≤21121312322k k S k k k -+-=⨯=-=-解得或（舍去），所以A 选项正确.4k =8k =， ()61116362S -+-=⨯=-，，所以B 选项错误.()()0178310,314a a =--==--=-()8360440S =-++-=-，所以C 选项正确. ()299318,40832a S =--==-+=-，()()()3451011123128,3180,31244a a a =--=-=--==--=-所以，所以D 选项错误. 12322880244224S =--+-=-故选：AC11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A ．事件，为互斥事件 B ．事件B ，C 为独立事件 1A 2A C ． D ． ()25P B =()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得判断C ，根据条件概率的()P B 定义求得判断D ．2(|)P C A 【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确； 由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，B ，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B 错； 2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+B ()1P C =,B C ，C 正确； 223225C C 2()C 5P B +==事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以2A C ，D 正确． 23(|)4P C A =故选：ACD ．12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）1()sin 2cos 2f x x x =A ．的图象关于点对称B ．在区间上单调递增()f x (,0)2π()f x ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．在区间内有7个零点D ．()f x [1,10]()f x 【答案】BD【分析】根据函数对称性的性质、二倍角公式，结合导数的性质、函数零点的定义、换元法逐一判断即可.【详解】， ()()()()11πsin 2πcos πsin 2cos sin 2cos 022f x f x x x x x x x -+=--+=≠⎡⎤⎣⎦所以函数的图象不关于点对称，故错误. ()f x (,0)2πA 因为，所以当时，2()cos (13sin )f x x x '=-ππ(,66x ∈-，2111sin (,)sin [0,)224x x ∈-⇒∈，故B 正确.()0f x '>由， ()π3π5π0,π,,2π,,3π222f x x =⇒=则在内共有6个零点，故C 错误.()f x [1,10]由题意可得，()()223sin cos sin 1sin =sin sin f x x x x x x x ==--令，则，[]()sin 1,1x t t =∈-3()y g t t t ==-从而，()()()21311g t t '=-=+当， ()0g t t '>⇒<<()01g t t '<⇒>1t -<<故在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减. ()g t (1,-⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭因为，D 正确. (1)0g -=g =()f x 故选：BD【点睛】关键点睛：根据二倍角公式，利用换元法、导数的性质是解题的关键.三、填空题13．若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为_________.nx ⎛+ ⎝n 【答案】3（只要是3正整数倍即可） 【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.【详解】的展开式的通项为， nx ⎛+ ⎝()()321C C kn k n k k kk n n T x x --+=⋅⋅=⋅的展开式中含有常数项需要满足， nx ⎛+ ⎝302n k -=即，所以只要是3正整数倍即可.23n k =n故答案为：3（只要是3正整数倍即可）. 14．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，），已知大气压强随p =压力受力面积21Pa 1N/m =()Pa p 高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处()m h 0e khp p -=0p 10.000126m k -=大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考13数据） ln 3 1.1≈【答案】8730【分析】根据题意解方程即可得解. 001e3khp p -=【详解】由题意可知：，解得， 001e 3khp p p -==ln 3kh -=-所以. ()ln 38730m h k=≈故答案为：.873015．设函数，若函数在上是单调减函数，则k 的取值范围是()1ln f x x k x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x ()0,∞+______． 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可. ()0f x '≤【详解】解：∵定义域为，，在上是单调减函数， ()f x (0,)+∞()2111f x k x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞∴恒成立； ()0f x '≤∴，， max 2(1xk x ≥+0x >∵，， 2111x x x x=++0x >，当且仅当时取等号. 12x x +≥=1x =∴， 21012x x <≤+∴，即：k 的取值范围是． 12k ≥1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，()e e x xf x x x =--1x 2x ()ln lng x x x x x =--3x 4x ，则________12341111x x x x +++=【答案】2【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得. ()()ln g x f x =1234e e x x x x ⎧=⎨=⎩【详解】因为函数的两个零点为，，()e e x xf x x x =--1x 2x 则，即，11221122e e 0,e e 0x x x x x x x x --=--=11221122e e ,e e x x x x x x x x =+=+又，()()ln ln ln ln ln ee ln ln xx g x x x x x x x f x =--=⋅--=则，即， 1324ln ln x x x x =⎧⎨=⎩1234e e x x x x ⎧=⎨=⎩所以. 1212121212341212e e 111111112e e e e x x x x x x x x x x x x x x x x +++++=+++=+=故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件()()ln g x f x =1324ln ln x x x x =⎧⎨=⎩即得.四、解答题17．已知等比数列的各项均为正数，且，. {}n a 23439a a a ++=54323a a a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)数列满足，求的前项和. {}n b n n b n a =⋅{}n b n n T 【答案】(1)；13n n a -=(2). ()21314n n n T -+=【分析】（1）根据等比数列基本量的运算可得，，即可得数列的通项公式； 1a q {}n a （2）由题可得，然后利用错位相减法求解即可. n b 【详解】（1）设数列的公比为，{}n a ()0q q >则，，解得， ()2314321113923a q q q a q a q a q⎧++=⎪⎨=+⎪⎩0q >113a q =⎧⎨=⎩所以，即的通项公式为；13n n a -={}n a 13n n a -=（2）由题可知，13n n b n -=⋅则，()12210132333133n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，()31123132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得：12312133333n nn T n --=+++++-⨯ ， ()1231133132n n nn n ---=-⨯=-. ()21314n n n T -+∴=18．设函数.()()2ln f x ax x a R =--∈(1)若在点处的切线为，求a ，b 的值； ()f x ()()e,e f e 0x y b -+=(2)求的单调区间. ()f x 【答案】(1)，； 2ea =2eb =-(2)答案见解析.【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.【详解】（1）的定义域为，， ()()2ln f x ax x a R =--∈()0+∞，()1f x a x'=-因为在点处的切线为，()f x ()()e,e f e 0x y b -+=所以，所以；所以()11e e e f a =-='2a e =()e 1f =-把点代入得：. ()e,1-e 0x yb -+=2e b =-即a ，b 的值为：，. 2ea =2eb =-（2）由（1）知：. ()()110ax f x a x x x-'=-=>①当时，在上恒成立，所以在单调递减； 0a ≤()0f x '<()0+∞，()f x ()0+∞，②当时，令，解得：， 0a >()0f x '=1x a=列表得：x10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1a1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()f x '-+()y f x =单调递减 极小值 单调递增所以，时，的递减区间为，单增区间为. 0a >()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，综上所述：当时，在单调递减； 0a ≤()f x ()0+∞，当时，的递减区间为，单增区间为. 0a >()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.19．为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求这200名学生体重的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）. x 2s (2)由频率分布直方图可知，该校学生的体重服从正态分布，其中μ近似为平均数，Z ()2,N μσμx 近似为方差.2σ2s ①利用该正态分布，求；50.7369.27P <Z ≤（）②若从该校随机抽取50名学生，记表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利X ](50.73,69.27用①的结果，求..若，则，()E X 9.27≈2(,)Z N μσ:()0.6826P Z μσμσ-<≤+≈，. (22)0.9544P -Z μσμσ<≤+≈(33)0.9974P Z μσμσ-<≤+≈【答案】(1)，6086(2)①；② 0.682634.13【分析】（1）根据频率分布直方图平均数的求法即可求出，利用方差公式计算即可求解； x（2）由（1）可知，，结合题意给的参照数据即可求出60μ=9.27δ==()50.7369.27P Z ≤＜，进而得，利用二项分布求数学期望公式计算即可求解. )50,0.6826X B ～（【详解】（1）由题意得，；400.02500.3600.4700.23800.04900.0160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2222222(4060)0.02(5060)0.3(6060)0.4(7060)0.23(8060)0.04(9060)0.01s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯. 4000.021000.300.41000.234000.049000.0186=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；（2）①由（1）可知，，60μ=9.27δ==则； ()50.7369.27(609.27609.27)0.6826P Z P Z ≤=-≤+≈＜＜②由①可知1名学生的体重位于的概率为0.6826.](50.73,69.27则， )50,0.6826X B ～（所以.()500.682634.13E X =⨯=20．已知正项数列的前n 项和为，且 ，， ． {}n a 11a =2218n n S S n +-=*N n ∈(1)求；n S (2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列{}n a 1k k a a +，12k a a a ⋯，，， ，求的前100项和. {}1121231234n b a a a a a a a a a a ⋯⋯：，，，，，，，，，，{}n b 【答案】(1)， 21n S n =-N n *∈(2)186【分析】（1）根据的关系，即可求解， ,n n S a （2）根据的形成规律，分组即可求解.{}n b 【详解】（1）因为，当时，2218n n S S n +-=2n ≥()()2222221211n n n S S S S S S -=-++-+， ()81811n =-++⨯+ ()812311n =++++-+⎡⎤⎣⎦ (1)812n n -=⨯+()221n =-因为，所以，故． 0n a >0n S >21n S n =-当时，适合上式， 1n =111S a ==所以，.21n S n =-N n *∈（2）（方法1）因为，， 21n S n =-N n *∈所以当时，．2n ≥()()121232n n n a S S n n -=-=---=所以 11,2 2.n n a n =⎧=⎨≥⎩，，所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……， {}n b 设，则， (1)121002n n n ++++=≤22000n n +-≤因为，所以.*n ∈N 13n ≤所以的前100项是由14个1与86个2组成． {}n b 所以. 100141862186T =⨯+⨯=（方法2）设，则， (1)121002n n n ++++=≤22000n n +-≤因为，所以. N n *∈13n ≤根据数列的定义，知{}n b()()()()1001121231213129T a a a a a a a a a a a a =++++++++++++++ .123139S S S S S =++++ ()1352517=++++ 13(125)172⨯+=+186=21．甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．p 01p <<(1)设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值；()f p ()f p (2)记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局()f p p 0p 0p p X 数，求的分布列和数学期望． X ()E X 【答案】(1)81256(2)分布列见解析， 483128【分析】（1）根据题意列出的解析式，通过求导即可得到的最大值.()f p ()f p （2）由（1）得到的值，再根据的可能取值为3,4,5，分别求出其所对应概率即可得出分布0p X 列，再由公式求得期望即可.【详解】（1）甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，所以，，，23343()C (1)33f p p p p p =⋅⋅-=-01p <<232()9123(34)f p p p p p '=-=-令，得；令，得；令，得． ()0f p '=34p =()0f p '>304p <<()0f p '<314p <<所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为．()f p 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭3,14⎛⎫⎪⎝⎭34p =()f p 81256（2）由（1）知，由题意，知X 的所有可能取值为3、4、5，相应的概率为 034p p ==，33312717(3)44646416P X ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 332133313181945(4)C C 4444256256128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 322322443131812727(5)C C 4444512512128P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为 X 345 P716 4512827128X 的数学期望． 74527483()34516128128128E X =⨯+⨯+⨯=22．已知函数.()21ln ,2f x x x x ax a =--∈R (1)当时，证明：： 22e a =()0f x ≤(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.()()()21e x H x f x x ax x =--++()0,∞+a 【答案】(1)证明见解析 (2) 1a ≤【分析】(1)利用导数求函数的最大值，由此证明，再证明()21ln 1,0e g x x x x =-->()0g x ≤；()0f x ≤(2)由条件可得在上恒成立，化简可得在上恒成立，利用导()0H x '≤()0,∞+e ln 1x x x a x--≤()0,∞+数求的最小值可得的取值范围.e ln 1x x x x--a 【详解】（1）当时，， 22e a =()22211ln ln 1e e f x x x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭要证，即证，()0f x ≤21ln 10e x x --≤设， ()21ln 1,0e g x x x x =-->令，解得， ()2110eg x x =-='2e x =当时，，当时，， 20e x <<()0g x '>2e x >()0g x '<所以在上递增，在上递减，()g x ()20,e()2e ,+∞则， ()222max 21()e ln e 1e 0eg x g ==--⨯=所以，即成立， ()0g x ≤21ln 10e x x --≤所以成立.()0f x ≤（2）由已知可得，所以 ()()2ln 1e 2xa H x x x x x =--+()ln 1e x H x x x ax '=+-+因为对任意的在上单调递减，所以在上恒成立， ()0,x H x >()0,∞+()0H x '≤()0,∞+所以在上恒成立，ln 1e 0x x x ax +-+≤()0,∞+即在上恒成立，e ln 1x x x a x--≤()0,∞+令，则， ()e ln 1(0)x x x F x x x --=>()22e ln x x x F x x +='令，则，()2e ln x h x x x =+()()212e 0xh x x x x '=++>所以在上为增函数，()h x ()0,∞+又因为，()11e2e 21e 1e 0,1e 10e eh h -⎛⎫=>=-=-< ⎪⎝⎭所以，使得，即，01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00h x =0200e ln 0xx x +=当时，，可得，所以在上单调递减； 00x x <<()0h x <()0F x '<()F x ()00,x 当时，，可得，所以在上单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x ()0,x +∞所以，()000min00e ln 1()x x x F x F x x --==由，可得， 020e ln 0x x x +=01ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭()()001e ,ln ,x t x x t x t x ⎛⎫== ⎪⎝⎭令则又由，所以在上单调递增，()()1e 0xt x x '=+>()t x ()0,∞+所以，可得，所以，即， 001lnx x =00ln x x =-01e x x =00e 1x x =所以，()0000min 000e ln 111()1x x x x F x F x x x --+-====即得.1a ≤【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B C D 2．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心3．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3) C ．y =2sin(2x −π4) D ．y =2sin(2x −π3) 4．(0分)[ID ：13554]设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12πϕ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，724πϕ=5．(0分)[ID ：13551]下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（ ） A ．7(,0)24πB ．(,0)3πC ．1(,)34π- D ．(,0)12π6．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=7．(0分)[ID ：13597]已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心9．(0分)[ID ：13589]已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）.A ．13B ．15C ．19D ．2110．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 11．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角23π，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．-C ．-2D ．212．(0分)[ID ：13549]将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π 13．(0分)[ID ：13546]将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （ ）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称14．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=15．(0分)[ID ：13537]已知()3,4a =，()2,1b =-且()()a xb a b +⊥-，则x 等于 （ ） A ．23B ．232C ．233D ．234二、填空题16．(0分)[ID ：13723]已知向量a ()2,3=，b ()2,1=-，则a 在b 方向上的投影等于______．17．(0分)[ID ：13716]如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ．18．(0分)[ID ：13713]若向量a 、b 满足a ＝1，b ＝2，且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝_________.19．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.20．(0分)[ID ：13703]已知ΔABC 是边长为√3的正三角形，PQ 为ΔABC 外接圆O 的一条直径，M 为ΔABC 边上的动点，则PM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是______. 21．(0分)[ID ：13702]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为__________．22．(0分)[ID ：13681]在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________24．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．25．(0分)[ID ：13643]如图，在OAB 中,OA a OB b ==，若点M 分AB 所成的比为2:1，若点N 分OA 所成的比为3:1，OM 和BN 交于点P ，则OP 可用,a b 表示为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13820]在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.27．(0分)[ID ：13792]已知(),n n n a x y =，且1131,22y x ==，111331n n n n x x y y ++⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）求向量2a 的坐标，并用,n n x y 表示1,n x +用,n n x y 表示1n y +； （2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n B .28．(0分)[ID ：13768]已知2,1a b ==，且a 与b 的夹角为3π（1）求32a b +；（2）若()()32a b ka b +⊥-，求实数k 的值.29．(0分)[ID ：13752]边长为1的正三角形ABC ，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，若AE mAB =，AF nAC =，其中,(0,1)m n ∈，设EF 的中点为M ，BC 中点为N .（1）若A 、M 、N 三点共线，求证：m n =； （2）若1m n +=，求||MN 的最小值.30．(0分)[ID ：13780]设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．D4．A5．A6．D7．B8．A9．A10．D11．C12．B13．D14．D15．C二、填空题16．【解析】【分析】根据投影的定义得到在方向上的投影为利用公式求解即可得到答案【详解】根据投影的定义可得：在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量在方向上的投影其中熟记向量的投影的定义和向量17．【解析】【分析】根据条件确定PQ位置再分别确定△ABP的面积△ABQ的面积与△ABC 面积之比即得结果【详解】因为所以取AB中点M则P点在线段CM上且CP=4PM因此;因为所以取点N满足中则Q点在线段18．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为19．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别20．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM⋅MQ再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM⋅MQ=PO+OM⋅MO+OQ=PO⋅MO+PO⋅OQ+OM⋅MO+OM⋅OQ=OM⋅OQ+OP+PO⋅O21．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如22．【解析】【分析】由平方得：再由可得进而利用基本不等式可得最小值【详解】由平方得：又所以所以当且仅当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算考查了利用基本不等式求最小值属23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况24．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题25．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM三点共线所以……①又BPN三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．B解析：B 【解析】 【分析】解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】AP OP OA =-=λ（AB AC AB cosBAC cosC+⋅⋅），∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】函数y =2sin(2x +π6)的周期为π，将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π4)+π6)]=2sin(2x −π3)， 故选D.4．A解析：A 【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.5．A解析：A 【解析】 函数()1cos 2264f x x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1122224x sin x sin x ⎤=+-⎥⎣⎦2112cos 22224sin x x sin x =+-11cos 41144422426x x sin x π-⎛⎫=+⋅-=- ⎪⎝⎭，令46x k ππ-=，求得424k x ππ=+，可得函数的对称轴中心为,0,424k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，当1k =时，函数的对称中心为7,024π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB ACOP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．D解析：D【解析】【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值. 故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故222521d ==+故1sin 302r PC ==︒=，解得r = 故选：D .【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 11．C解析：C【解析】【分析】 求得22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233a a b π=+=， 所以22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，()2212a b +=，即为2224444412a a b b b b+⋅+=-+=,解得2(1b =-舍去）， 则2a b ⋅=-，故选C. 【点睛】 本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）22a a =. 12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3y x x x ，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ． 考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论． 13．D解析：D【解析】()cos 2()cos 284g x x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，值域为[]1,1-，为偶函数，选项A 排除；周期22T ππ==，令222,k x k k Z πππ-<<∈，,2k x k k Z πππ-<<∈，故单调增区间为(,)()2k k k Z πππ-∈，令222,k x k k Z πππ<<+∈，,2k x k k Z πππ<<+∈，单调减区间为(,)()2k k k Z πππ+∈，函数()g x 在3(,)88ππ-上无单调性，选项B 排除；令2,2x k k Z ππ=+∈，,24k x k Z =+∈ππ，所以对称中心为(,0)24k ππ+，当31,2484k k πππ+==，不符合，排除C 选项；令2,,2k x k k Z x k Z ππ=∈=∈，，当1,2k x π==是函数()g x 的一条对称轴，选项D 正确。