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目录0. 前言 (2)0.1倒立摆 (2)0.2LQR (7)0.3.最优控制（optimal control） (7)0.3.1数学角度 (8)0.3.2研究方法 (8)1. 线性二次最优控制LQR基本理论 (8)1.1一级倒立摆建模 (8)1.2微分方程模型 (12)1.3传递函数模型 (12)1.4状态空间数学模型 (13)1.5LQR控制器的二次最优控制原理 (14)2. 方案设计 (15)3. 软件编程 (16)3.1求K值程序 (16)3.2系统的开环阶跃响应程序 (17)3.3小车的状态程序 (17)4. 系统调试和结果分析 (18)4.1得出K值 (18)4.2系统的开环阶跃响应结果 (19)4.3实际连接 (19)一级倒立摆LQR控制器的设计摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。
从理论和实践上对线性一级倒立摆作了深入的研究。
首先,用拉格朗日方法建立了倒立摆的数学模型。
在此基础上采用线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。
最后通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。
通过试验验证了设计结果并给出了控制器的性能评价。
建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。
关键词：倒立摆；建模，LQR控制器0.前言0.1倒立摆倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。
倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：航天学院控制科学与工程系班级：设计者：学号：指导教师：罗晶周乃馨设计时间：2011年8月21日至2011年9月9日哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书姓名：王院（系）：专业：班号：任务起至日期：2011年8月21 日至2011年9月9 日课程设计题目：一阶倒立摆控制器设计已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的一阶倒立摆系统GIP-100-L。
系统内部各相关参数为：M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005秒。
设计要求：1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。
用Matlab进行脉冲输入仿真，验证系统的稳定性。
2．设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度工作量：1. 建立一阶倒立摆的线性化数学模型；2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物仿真调试。
工作计划安排：第17周：建模研究和确定控制系统方案；第18周：控制系统设计和试验调试；第17周：撰写论文、答辩。
同组设计者及分工：独立完成。
指导教师签字___________________年月日教研室主任意见：教研室主任签字___________________年月日一、一阶倒立摆动力学建模倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。
在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。
PID控制的一级倒立摆优化控制问题摘要:直线一级倒立摆，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车的匀质长杆组成的非线性的、不稳定的系统。
本文主要介绍了将一阶倒立摆的数学模型加入PID调节来控制它，从而使其成为稳定的系统，并对整个过程进行了matlab仿真和分析。
关键字：一级倒立摆、PID调节控制器、matlab仿真Abstract：First-order linear inverted pendulum is composed of a trolley, moved along the linear guides, and a homogeneous pole, one end of which is fixed at the car. However, this system is non-linear and unstable.This paper describes the first-order mathematical model of inverted pendulum by adding PID regulator to control it, making it a stable system, and the whole process a matlab simulation and analysis.Keywords: Linear inverted pendulum、PID controller 、MATLAB simulation引言:倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一阶倒立摆是一种常见的控制系统，它由一个旋转臂和一个悬挂在旋转臂末端的摆杆组成。
控制目标是使摆杆保持垂直位置并保持在指定的角度范围内。
本文将基于双闭环PID控制设计一阶倒立摆控制系统，并对其进行详细的分析和讨论。
首先，我们需要明确控制系统的结构。
一阶倒立摆控制系统可以分为两个闭环：内环和外环。
内环用于控制旋转臂的角度，并将输出作为外环的输入。
外环用于控制摆杆的角度，并根据测量的摆杆角度和设定的目标角度来调整内环的输入。
在进行控制系统设计之前，我们需要先建立一阶倒立摆的数学模型。
假设倒立摆的质量集中在摆杆的一端，摆杆的长度为L，质量为m，摩擦系数为b，重力加速度为g。
通过应用牛顿第二定律，可以得到如下动力学方程：mL²θ¨ + bLθ˙ + mgLsinθ = u其中，θ是旋转臂的角度，u是旋转臂的扭矩。
为了简化方程，我们进行恒定参数修正和线性化处理，得到线性方程：θ¨ + 2ξωnθ˙ + ωn²θ = kru其中，ξ是阻尼比，ωn是无阻尼自然频率，kr是旋转臂的增益。
接下来，我们将按照以下步骤设计基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统：1.内环设计：-选择合适的内环闭环控制器类型。
对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。
-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。
可以使用试错法、经验法、系统辨识等方法进行参数调整。
-将PID控制器的输入设置为旋转臂角度误差，输出为旋转臂的扭矩。
2.外环设计：-选择合适的外环闭环控制器类型。
对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。
-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。
-将PID控制器的输入设置为摆杆角度误差，输出为旋转臂的角度设定值。
3.进行系统仿真和调试：-使用MATLAB等仿真工具建立一阶倒立摆的数学模型，并将设计的控制器与模型进行集成。
-调整控制器的参数，以满足性能指标和系统稳定性的要求。
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统, 使倒立摆这样一个不稳定的被控对象经过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置,而且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后, 系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定, 但要合理符合实际情况, 控制方式为双PID控制, 并利用 MATLAB进行仿真, 并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是: 由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度, 作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法, 计算出空置量, 并转化为相应的电压信号提供给驱动电路, 以驱动直流力矩电机的运动, 从而经过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示:分析工作原理, 能够得出一阶倒立摆系统原理方框图:一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图, 分析和解决各个环节的传递函数!1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力,以及各种摩擦之后, 可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统, 如下图所示,其中:M: 小车质量m: 为摆杆质量J: 为摆杆惯量F: 加在小车上的力x: 小车位置θ: 摆杆与垂直向上方向的夹角l : 摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律,可知:（1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得 ( 3) 小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t -=联列上述4个方程, 能够得出一阶倒立精确气模型: sin cos (1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x yd F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量: 32ml J = 若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近( ︒︒≤≤-1010θ) 的细微变化, 则能够近似认为:⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则能够得一阶倒立摆简化模型:....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 即 G1(s)= ; G2(s)=一阶倒立摆环节问题解决!2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机, 其有关参数如下:驱动电压: U=0~100V 额定功率: PN=200W222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩额定转速: n=3000r/min 转动惯量: J=3×10-6kg.m2 额定转矩: TN=0.64Nm 最大转矩: TM=1.91Nm电磁时间常数: Tl=0.001s 电机时间常数: TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为: F=0~16N; 与其配套的驱动器为: MSDA021A1A, 控制电压: UDA=0~±10V 。
摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。
本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。
本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。
关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章MATLAB仿真软件的应用 (9)1.1 MA TLAB的基本介绍 (9)1.2 MA TLAB的仿真 (9)1.3 控制系统的动态仿真 (10)1.4 小结 (12)第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)2.1 系统组成 (13)2.1.1 倒立摆的组成 (14)2.1.2 电控箱 (14)2.1.3 其它部件图 (14)2.1.4 倒立摆特性 (15)2.2 模型的建立 (15)2.2.1 微分方程的推导 (16)2.2.2 传递函数 (17)2.2.3 状态空间结构方程 (18)2.2.4 实际系统模型 (20)2.2.5 采用MA TLAB语句形式进行仿真 (21)第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34)3.1 PID控制器的设计 (34)3.2 PID控制器设计MA TLAB仿真 (36)结论 (41)致谢 (42)参考文献 (43)第1章 MATLAB仿真软件的应用1.1 MATLAB的基本介绍MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。
课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号课程设计（论文）任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字：2013年3月5日目录一、建立一阶倒立摆数学模型 (4)1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (4)2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (6)3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (7)二、一阶倒立摆matlab仿真 (9)三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (13)四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (23)五、总结 (28)六、参考文献 (29)一、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型。
在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。
系统内部各相关参数定义如下：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号。
合并这两个方程，约去 P 和 N ，得到第二个运动方程：（1-8）设，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ <<1弧度， 则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dtd θφθθ。
*注：此任务书由课程设计指导教师填写。
一、系统建模1) 直线一级倒立摆数学模型的推导直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。
用牛顿力学方法建模：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：图1直线一级倒立摆模型系统受力分析如图2：图2及摆杆受力分析本系统参数定义如下：M——小车质量；m——摆杆质量。
b——小车摩擦系数；l——摆杆转动轴心到杆质心的长度；I——摆杆惯量；F——加在小车上的力；x ——小车位置；φ——摆杆与垂直向上方向的夹角。
θ——摆杆与垂直向下方向的夹角根据牛顿第二定律分析小车水平方向受力方程为：Mx F bx N=--因此主动控制力可近似线性化地表示为：()22sin d N m x l dtθ=+即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-代入上式：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=垂直方向上：()22cos d P mg m l dt θ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+ 力矩平衡方程：sin cos Pl Nl I θθθ--=注意等式前面的负号，由于,cos cos ,sin sin θπφφθφθ=+=-=-()22sin cos I ml mgl mlxθθθ++=-1.微分方程模型设θπφ=+，近似处理:2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-= 设u=F ，则线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式如下：()()2M m x bx ml u I ml mgl mlx φφφ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩2.传递函数模型对上式拉氏变换处理，设初始条件为0，则：()()22222()()()()()()()M m X s s bX s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s ⎧++-Φ=⎪⎨+Φ-Φ=⎪⎩输出为角度为φ，由第二式得到()22()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+⎢⎥=-Φ⎢⎥⎣⎦或者()222()()s mls X s I ml s mglΦ=+-如果令x ν=，则有()22()()s mlV s I ml s mglΦ=+-把上式代入10式，则有：()()()22222()()()()I ml I ml g g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥+-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦整理：()()212432()()()ml s s q G s U s b I ml M m mgl bmgl s s s sqqqΦ==+++--其中()()()22q Mm I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦从而，有()()()()()222222432222432()()()()()X s s G s s U s ml s I ml s mglq mlsb I ml M m mgl bmgl s ss sqqqI ml mgls q q b I ml M m mgl bmgl s ss sqqqΦ=⨯Φ+-=⨯+++--+-=+++--3.状态空间数学模型控制系统的状态空间方程可写成如下形式：X AX Bu Y CX Du=+=+，可得状态方程()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=⎧⎪-++⎪=++⎪++++++⎪⎨=⎪⎪+-⎪=++⎪++++++⎩()()()()()()()()()22222222220100000000100010000010x x I ml b I ml m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mmlx y φφφφφ-++++++++=+-+++++++==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦00x x uφφ+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎡⎤⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎩⎣⎦2) 系统阶跃响应分析通过对上面得到的系统的状态方程进行阶跃响应分析得图3： %实际系统参数M=0.5; m=0.2; b=0.1; l=0.3; I=0.006; g=9.8; T=0.005;%求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置)q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; num=[m*l/q 0];den=[1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q]; gs=tf(num,den);numpo=[(I+m*l^2)/q 0 -m*g*l/q];denpo=[1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0];gspo=tf(numpo,denpo);%求状态空间sys(A,B,C,D)p=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0 1 0 0;0 -(I+m*l^2)*b/p m^2*g*l^2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0];B=[0;(I+m*l^2)/p;0;m*l/p];C=[1 0 0 0;0 0 1 0];D=0;sys=ss(A,B,C,D);%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应t=0:T:5;y1=step(gs,t);y2=step(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([0 2.5 0 80]);legend('Car Position','Pendulum Angle');图3 摆杆和小车位置的开环阶跃响应注：左边红色代表小车位置，右边蓝色代表摆杆角度响应。
一阶倒立摆控制系统设计首先，设计一阶倒立摆控制系统需要明确系统的参数和模型。
一阶倒立摆通常由一个平衡杆和一个摆组成。
平衡杆的长度、摆的质量和位置等都是系统的参数。
根据平衡杆的转动原理和摆的运动方程，可以得到一阶倒立摆的数学模型。
接下来，根据系统的数学模型，进行系统的稳定性分析。
稳定性分析是判断一阶倒立摆控制系统是否能够保持平衡的重要步骤。
常用的稳定性分析方法有判据法和根轨迹法。
判据法通过计算特征方程的根来判断系统的稳定性，根轨迹法则通过特征方程的根随一些参数变化的路径来分析系统的稳定性。
在进行稳定性分析的基础上，选择合适的控制策略。
常见的控制策略有比例控制、积分控制和微分控制等。
比例控制通过将系统的输出与期望值之间的差异放大一定倍数来控制系统；积分控制通过积分系统误差来进行控制；微分控制通过对系统误差的微分来进行控制。
在选择控制策略时，需要考虑系统的动态响应、稳态误差和鲁棒性等指标。
在选定控制策略后，进行控制器的设计和参数调节。
控制器是实现控制策略的核心部分。
控制器可以是传统的PID控制器，也可以是现代控制理论中的模糊控制器、神经网络控制器等。
控制器的参数需要通过试探法、经验法或者系统辨识等方法进行调节，以使系统达到最佳的控制效果。
最后，进行实验验证和性能评估。
在实验中，需要将控制器与倒立摆系统进行连接，并输入一定的控制信号。
通过测量系统的输出响应和误差，可以评估控制系统的性能，并进行调整和改进。
综上所述，一阶倒立摆控制系统设计的步骤包括系统参数和模型确定、稳定性分析、控制策略选择、控制器设计和参数调节、实验验证和性能评估等。
在设计过程中，需要综合考虑系统的稳定性、动态响应和鲁棒性等因素，以实现一个稳定可靠、性能优良的一阶倒立摆控制系统。
一阶倒立摆控制设计与实现一阶倒立摆是一种常见的控制系统模型，它由一个垂直的支柱和一个质量为m 的物体组成，物体通过支柱与地面相连。
在控制系统中，我们需要设计一个控制器来控制物体的位置和速度，使其保持在垂直位置上。
本文将介绍一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容。
一、一阶倒立摆模型一阶倒立摆模型可以用以下方程描述：m*d^2y/dt^2 = -mg*sin(y) + u其中，y是物体的位置，u是控制器的输出，m是物体的质量，g是重力加速度，t是时间。
该方程可以通过拉普拉斯变换转换为传递函数：G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(ms^2 + mg)二、控制器设计为了控制一阶倒立摆，我们需要设计一个控制器来产生控制信号u。
常见的控制器包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们可以组合成PID控制器。
在本文中，我们将使用比例控制器来控制一阶倒立摆。
比例控制器的输出与误差成正比，误差越大，输出越大。
比例控制器的传递函数为：Gc(s) = Kp其中，Kp是比例增益。
三、闭环控制系统将控制器和一阶倒立摆模型组合起来，得到闭环控制系统的传递函数：G(s) = Y(s)/R(s) = Kp/(ms^2 + mg + Kp)其中，R(s)是参考信号，表示我们期望物体保持的位置。
四、控制系统实现在实现控制系统之前，我们需要对一阶倒立摆进行建模和仿真。
我们可以使用MATLAB等工具进行建模和仿真。
在MATLAB中，我们可以使用Simulink模块来建立一阶倒立摆模型和控制器模型。
在建立模型之后，我们可以进行仿真，观察系统的响应和稳定性。
在实现控制系统时，我们需要选择合适的硬件平台和控制器。
常见的硬件平台包括Arduino和Raspberry Pi等，常见的控制器包括PID控制器和模糊控制器等。
在实现控制系统之后，我们需要进行调试和优化，以达到最佳控制效果。
五、总结本文介绍了一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容，包括一阶倒立摆模型、控制器设计、闭环控制系统和控制系统实现。
摘要倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里能引起人们极大兴趣的问题。
它是检验各种新的控制理论和方法的有效性的著名实验装置。
作为一个高阶、非线性不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。
首先，本文阐述倒立摆系统控制的研究发展过程，介绍了倒立摆系统的结构，并详细推导了一级倒立摆的数学模型，为更高层次的控制规律的研究提供了一个途径。
其次，研究倒立摆系统的各种控制方法。
其中包括有经典控制理论中的PID控制方法和最优控制理论中的极点配置法、LQR法。
在MATLAB/SIMULINK的环境下，作了大量的系统仿真研究工作，比较了各种控制方法。
最后，发现经过最优控制方法校正后的系统的性能优于经典控制方法校正后的系统的性能，而且最优控制较易实现。
关键词：倒立摆系统；经典控制理论；最优控制理论；系统仿真AbstractThe control of inverted pendulum system has long been considered an intriguing problem for control theory and its applications. It is well known as a test bed for new control theory and techniques. As a highly nonlinear and unstable system, the stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for researchers in this field because of the difficulty of the problem.Firstly, after introducing the development and current situation of inverted pendulum system research, the mechanism of inverted pendulum are presented. Mathematical model of the higher one level inverted pendulum is particularly educed in this chapter. Secondly, the thesis discusses mainly the control methods of inverted pendulum system based on the PID of classic control theories, the Pole arrangement and the LQR of modern control theories. And many system simulation researches on the stability of inverted pendulum have been done in the environment of MATLAB /SIMLTLINK. Finally, we will find that the performance of system which was adjusted by optimal control theory is better than the performance of system which was adjusted by classic control theory, and the optimal control is easier success than classic control.Keywords: Inverted pendulum system; Classic control theory; Optimal control theory;System simulation目录引言 (2)第一章绪论 (2)1.1 问题的提出及研究意义 (2)1.1.1 问题的提出 (2)1.1.2 研究意义 (2)1.2 本论文主要研究的内容 (2)第二章单级倒立摆数学模型 (4)2.1单级倒立摆数学模型的结构 (4)2.2系统的数学模型推导 (5)2.2.1 不考虑摩擦时的传递函数及状态方程 (5)2.2.2 考虑摩擦时的传递函数及状态方程 (8)第三章单级倒立摆PID控制器设计与仿真 (11)3.1理论分析 (11)3.2PID控制器的设计与仿真 (12)第四章现代控制理论在控制倒立摆系统中的应用 (20)4.1状态空间极点配置法 (20)4.1.1 理论分析 (20)4.1.2 状态空间极点配置法的设计及仿真 (20)4.2基于LQR的倒立摆最优控制系统研究 (24)4.2.1 理论分析 (24)4.2.2 LQR控制器的设计与仿真 (25)结论 (28)参考文献 (30)谢辞 (31)引言杂技顶杆表演之所以为人们熟悉，不仅是其技艺的精湛，更重要的是其物理与控制系统的稳定性密切相关。
它深刻提示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
这一规律已成为当今航空航天器设计的基本思想。
不难看出杂技演员顶杆的物理机制可简化为一个简单的倒立摆。
倒立摆是一个自然不稳定体，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。
倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。
倒立摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度，位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。
理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。
机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。
由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上，支点在下的控制问题的抽象。
因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。
倒立摆系统最终的控制目标是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制方法使之成为一个稳定的系统。
对倒立摆系统建立数学模型是实现倒立摆控制的基础。
常见的倒立摆的控制方法有以下几种:1.经典控制理论中的PID控制。
通过对倒立摆系统的机理分析，建立倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导其非线性模型，并在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，从而设计出PID控制器实现其控制。
2.最优控制理论中的极点配置法以及LQR法。
该系统是一个单输入多输出的系统，且可证明此系统是能控的，因此可以通过全状态反馈极点配置的方法以及LQR 方法使系统保持稳定。
第一章绪论1.1问题的提出及研究意义1.1.1问题的提出作为控制领域的一个典型装置，倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出了单级倒立摆这一实验设备，物理特性与控制系统的稳定性密切相关，可以说它揭示了自然界的一种基本规律，就是一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使其具有良好的稳定性。
到目前为止，以单级平面倒立摆为雏形，倒立摆装置已经演绎出了许多种形式，包括悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆。
倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、乃至多级。
倒立摆的运动轨道也由最初的水平轨道扩展到了倾斜轨道，而控制电机可以是单电机，也可以是多电机控制。
1.1.2研究意义课题的意义主要包括:1．倒立摆系统作为实验平台，具有直观性和趣味性的特点。
倒立摆系统结构简单，构件组成参数和形状易于改变，控制效果形象直观，一目了然。
开发倒立摆系统实验装置对控制理论的深入了解具有重要意义。
2.倒立摆系统是从控制理论到实际应用的桥梁。
通过对倒立摆系统的稳定控制进行设计，可以对控制理论和控制方法的正确性以及实用性加以物理验证，对各种方法进行快捷、有效、生动的比较，是一种有效的物理证明方法。
从倒立摆实验中可以总结有效的控制经验，具有实践的意义。
3.倒立摆系统的研究，具有重要的工程背景。
无论空间飞行器控制，机器人直立行走控制还是各类伺服系统的稳定控制，都可以应用对倒立摆系统的研究成果，具有实际应用的意义。
1.2本论文主要研究的内容论文核心包括“倒立摆系统”和“控制”两个方面，围绕这一核心，将论文中控制方案的完成分成3个阶段：建模阶段、设计阶段和仿真阶段。
1.建模阶段：初步了解倒立摆的工作原理，建立倒立摆系统的近似线性模型。
给定一套参数，建立系统的数学模型，包括传递函数模型和状态空间模型。
2.设计阶段：提出闭环系统的响应指标。
根据实际系统的参数，完成3种控制器的设计：PID控制器、极点配置控制器和LQR控制器。
3.仿真阶段：此阶段在上一阶段研究的基础上，利用理论模型和理论参数对系统进行仿真测试，检验系统响应是否满足要求。
第二章 单级倒立摆数学模型2.1 单级倒立摆数学模型的结构倒立摆小车系统如图2.1所示。
在忽略了空气流动，各种摩擦之后，一阶倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统，假设:M 为小车质量;m 为摆杆质量;b 为小车摩擦系数;l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度;I 为摆杆惯量;F 为加在小车上的力;x 为小车位置; θ为摆杆与垂直向上方向的夹角。
假定各项参数为21,0.1,1,9.81,0.1M kg m kg l m g m s b =====。
假定系统的期望性能指标为s t s 5≤，%40≤δ。
图2.1 倒立摆系统受力分析图2.2 系统的数学模型推导2.2.1 不考虑摩擦时的传递函数及状态方程在外力F 的作用下，小车及摆杆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动的惯性力应该与F 平衡，于是有：F l x dtd m dt x d M =++)sin (2222θ 即：F ml ml xm M =-++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对倒立摆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=-- 力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ-= 其中22(sin )d N m x l dtθ==+2sin sin N mxml ml θθθθ∴=+- 由sin cos Pl Nl I θθθ-= 可知： 有cos sin I Nl P l θθθ+=(cos sin )sin I mx ml ml lcon l θθθθθθθ++-=2222cos cos sin cos sin I mxl ml ml l θθθθθθθθ++-=(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)(2.7)代入θθθθcos sin 2 ml ml mg P --=-中可得： 0sin cos )(2=-++θθθmgl l xm ml I 所以经过整理后的方程组为：F ml ml xm M =-++θθθθsin cos )(20sin cos )(2=-++θθθmgl l xm ml I 考虑到摆杆在设定点0=θ附近做微小的振动，对上式进行局部线性化，即用0sin ,1cos ≈≈θθ做近似处理后可得：F xml x m M =++ )( 0)(2=-++θθmgl x ml ml I 由F ml xm M =++θ )(可知： mM ml F x +-=θ0)(2=-+-++∴θθθmgl mM ml F ml ml I 0)(222=-+-+++θθθmgl mM l m m M mlF ml ImM mlFmgl m M l m ml I +-=+-+θθ )(222231ml I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-=∴m M ml ml m M mlFm M ml ml mgl 2222)(34)()(34θθmlm M Fml m M m M g 3)(433)(4)(3-+--++=θlm M Fl m M m M g )4(3)4()(3+-++=θ(2.8)(2.9) (2.10)(2.12)(2.11) (2.13)(2.14)代入原式有：m M l m M F l m M m M g ml F x+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-=)4(3)4()(3θ ))(4(343m M m M mFm M mg m M F ++++-+=θmM Fm M mg +++-=4443θ系统的传递函数为：由（2.9）式可知22)()()()(sm M s s ml s F s X +-=θ，代入（2.10）式中有： 0)()()()()(222=-+-++s mgl mM s s ml s F ml s s ml I θθθ)()()()(2222s s ml I m M s ml mgl s F m M ml θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+ 22222))(34()()()(s m M ml s l m mgl m M mls F s +-++=∴θlm M g m M s l m M mgl m M s Mml l m ml)4()()4(3)()3431(22222++-+-=++--=代入假定的参数有：6293.27317.0)()(2--=s s F s θ(2.15)(2.16)(2.17)模型的状态方程为：l m M F l m M m M g mM F m M mg x x x)4(3)4()(34443+-++==+++-==θθθθθ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-=∴08878.700100007171.00000100)4()(3001000043000010lm M m M g m M mg A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=7317.009756.00)4(30440l m M m M B 001000001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C 2.2.2 考虑摩擦时的传递函数及状态方程考虑小车与地面之间的摩擦时有如下的方程组：222sin sin (cos )sin cos MxN bx F N mxml ml d P mg m l dtpl NI I θθθθθθθθ++==+--=-=推导过程同上，可得：F x b ml ml xm M =+-++ θθθθsin cos )(20sin cos )(2=-++θθθmgl l xm ml I 经过局部线性化，近似处理之后有：(2.18) (2.19)0)()(2=-++=+++θθmgl xml ml I F xml x b x m M 由上式可得系统的传递函数为：)()()()()(22s F s s ml s bX s s X m M =+++θ 0)()()()(222=-++s mgl s s mlX s s ml I θθ由（2.22）可知bss m M s s ml s F s X ++-=22)()()()(θ，代入（2.23）式中有： 0)()()()()()(222=-++-++s mgl bs m M s s ml s F mls s s ml I θθθ)()()()()()(2222s s ml I b s m M s ml mgl s F b s m M ml θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=++[][]b s m M s ml s l m mgl b s m M mlss F s ++-+++=∴)(34)()()(22322θ[][]b s m M ls mls g b s m M s++-+++=)(34)(232333343434)(bls mls Mls mls gb s m M g s---+++=232343134)(bls mls Mls gb gs m M s---++=234)4()(333blsls m M gs m M gb s++-++=代入假定的参数有：234.01.4373.32943.23)()(ss s ss F s +-+=θ 7178.08959.70976.07317.023----=s s s s(2.20) (2.21)(2.22) (2.23)(2.24)(2.25)状态方程为：θθθθl g ml ml I mgl x 34)(2-=+-=F ml x b l g m M =++-+∴θθθ )34)(( F x b ml l m M g m M =+++-+ θθθ)(34)( F g m M x b ml ml Ml ++--=+--θθ)()3434( l m M Fl m M g m M l m M x b ml Ml F g m M x b )4(3)4()(3)4(33434)(+-++++=--++--=∴θθθ将上式代回到（2.26）式中有：34)4(3)4()(334)4(334l l m M F l m M g m M l l m M x b l g x ++++-+-=θθm M Fm M g m M g m M x b ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++-=444)(444θ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+-=∴08958.707317.00100007178.00945.0000100)4()(3)4(30100004)(44400010l m M g m M m M b m M g m M g m M b A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=7317.0010)4(30440l m M m M B 001000001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C(2.26)(2.28)第三章 单级倒立摆PID 控制器设计与仿真3.1 理论分析常规PID 控制是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、可靠性高，因而至今仍广泛应用于工业过程控制中。
