常熟市中学高一数学3月份月考试卷

一、单选题1．（ ） sin17cos 43cos17sin 43︒︒+︒︒=A ．BCD 12【答案】C【分析】利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可．【详解】， sin17cos 43cos17sin 43sin(1743)sin 60︒︒︒︒︒︒︒+=+==故选：C ．2．在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两个端点坐标分别是，，则OABC OB ()0,0O ()1,1B （ ） AB CA ⋅=A ．1B ．C ．0D ．以上都可能1-【答案】B【分析】利用向量的数量积的坐标运算求解即可．【详解】根据题意，不妨设，则，所以，， ()1,0A ()0,1C ()0,1AB =()1,1CA =- 所以，011(1)1AB CA ⋅=⨯+⨯-=-故选：B ．3．已知为锐角，且，则=（ ） α3cos(65πα+=sin αA B C D 【答案】B【分析】由同角三角函数可得in （α），再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α）6π+4=56π+]即可.6π-【详解】∵cos （α）（α为锐角），6π+3=5∴α为锐角，6π+∴sin （α），6π+4=5∴sinα＝sin[（α）]＝sin （α）coscos （α）sin6π+6π-6π+6π6π+6π， 431552=⋅=故选:B ．【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.4．在中，点满足，则（ ）ABC A P 2AP AB AC =-A ．点在延长线上B ．不在直线上 P CB P BC C ．点在延长线上D ．点在线段上P BC P BC 【答案】A【分析】由题意可得到，根据加法的平行四边形法则即可求解()12AB AC AP =+【详解】由，知，2AP AB AC =-()111222AB AC AP AC AP =+=+ 可知，，三点共线且是中点，所以在延长线上． B C P B CP P CB 故选：A 5．函数的最小正周期为（ ）()22tan 1tan xf x x=+A ．B ．C ．D ．π2π2ππ4【答案】B【分析】利用“切转弦”，把化简变形成，即可求出周期.()f x ()sin2f x x =【详解】， ()22sin 22tan cos 2sin cos sin2sin 1tan 1cos xx x f x x x x x x x====++ （）又由函数的周期，得到函数的最小正周期为.sin()y A x ωϕ=+2πT ω=()f x π故选：B6．已知中，） ABC A ()0BA BC AC +⋅= A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据向量的数量积及模的运算即可得出结果.【详解】设为中点,则可知,即为等腰三角形,M AC ()20BA BC AC BM AC +⋅==⋅BM AC ⊥ ABC A 所以 22232AB AC AB AB AC AC AB ACAB ABAC AC⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+==++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故可分析出．22cos ,AB AC =+ 1cos ,2AB AC = 60A =︒综上可知三角形为等边三角形． 故选：B7．求值：（ ） sin 20sin 40sin 60sin 80︒+︒+︒-︒=A ．BCD ．112【答案】C【分析】由为特殊角， 204060︒+︒=︒根据和差化积代入原式即可求解． 20402040sin 20sin 402sin cos 22︒+︒︒-︒︒+︒=⋅【详解】1sin 20sin 40sin 60sin 802sin 30cos10sin 60sin 802sin 80sin 802︒+︒+︒-︒=︒︒+︒-︒=⨯⨯︒︒=故选C【点睛】本题考查了三角函数化简求值，要掌握住和差化积公式．8．已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为a b c 4a = a b()3c c a ⋅-=- ||b c - （ ）A BC ．D ．1-1+2-2【答案】A【分析】设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，a b θ2cos aθ= θ(2,a OA ==，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆()(),00b OB m m ==>(),c OC x y == ()3c c a ⋅-=- C (心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.1r =||b c BC -==BC 【详解】设，向量的夹角为，则，则， a b θcos 2a θ= 221cos 42a θ=== 因为，所以. []0,πθ∈π3θ=不妨设，，设， (2,a OA == ()(),00b OB m m ==> (),c OC x y ==则，整理得，()()(,2,3c c a x y x y ⋅-=⋅--=- ()(2211x y -+=所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，C (1r =D又，即，(),b c m x y -=-- ||b c BC -==当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.BC D x BC min 1BC r ==故选：A.【点睛】本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．单位向量都相等a b =b c = a c = C ．零向量的方向是任意的 D ．任一向量都与它自身是平行向量【答案】ACD【分析】依据向量相等的概念判断选项A ；依据单位向量的定义判断选项B ；依据零向量的定义判断选项C ；依据平行向量定义判断选项D. 【详解】选项A ：，，由相等向量定义可得，.判断正确；a b =b c = a c =选项B ：任意两个单位向量模长相等，但方向不一定相同，因此不能说单位向量都相等.判断错误； 选项C ：由零向量定义可知，零向量的方向是任意的.判断正确；选项D ：任一非零向量都与它自身是方向相同的向量，因而任一非零向量都与它自身是平行向量；而零向量与它自身也是平行向量.因而任一向量都与它自身是平行向量.判断正确. 故选：ACD10 ） A ． B ． cos150 cos12cos42sin12sin42+ C ． D ．2sin15cos15 22cos 15sin 15- 【答案】BD【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．【详解】A 错误； c 3os150cos(180co 00)s3=-=-=，故B 正确； ()()cos12cos42sin12sin42cos 12cos cos304230︒︒︒︒+====-- ，故C 错误； 12sin15cos15sin 302︒︒︒==D 正确． 22cos 15sin 1cos305︒-==故选：BD.11．已知，，，则可能等于（ ） 9OA = 6OB = 2AC CB =OC A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】ABC【分析】由，即，从而得到：22()33OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-1233OC OA OB =+ ，其中为向量的夹角，利用条件和的取值范222144cos 999OC OA OA OB OB θ=+⋅+θ,OA OB cos θ围，可求出的取值范围，从而得出结果.OC【详解】22()33OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-即，所以，其中为向量的夹1233OC OA OB =+ 222144cos 999OC OA OA OB OB θ=+⋅+θ,OA OB 角，又，，所以 9OA = 6OB = 22524cos OC θ=+ 又，所以,[]0,πθ∈[]cos 1,1∈-θ得到： []1,7OC ∈ 故选：ABC12．已知函数在区间上的最大值为，最小()44ππcos sin 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ,88t t t ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦R ()M t 值为，令，则下列结论中正确的是（ ） ()m t ()()()h t M t m t =-A ． ()πh =B ．当时， ()1h t =()ππ212k t k =+∈Z C ．的最大值为()h t 1D ．的最小值为()h t 1【答案】AD【分析】利用二倍角公式化简可得，当时，根据余弦型函数值域求法可()2πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πt =求得，由此可得，知A 正确；通过反例可知B 错误；根据区间()()π,πM m ()πh 长度为可知：当在上单调时，最大；当()ππ,88t t t ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦R π44T =()f x ()ππ,88t t t ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦R ()h t 与关于对称轴对称时，最小，根据余弦函数单调区间和对称轴的求法可确定π8t -π8t +()f x ()h t t的范围和取值，由此确定的最值，知CD 正误.()h t 【详解】，()2222ππππ2πcos sin cos sin cos 233333f x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦当时，； ()ππ,88x t t t ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦R ()2π5π11π22,231212x t t t ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦R 对于A ，当时，，πt =2π5π11π22π,2π31212x ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦此时，， ()5π5ππcos 2πcos 1212M ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()11π11ππcos 2πcos1212m ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭A 正确； ()5π11π5π5π5ππ2ππcoscos cos sin 121212121243h ⎛⎫∴=-=+=+== ⎪⎝⎭对于B ，若，则； ()ππ212k t k =+∈Z ()2π7π13π2π,π31212x k k k ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦Z 当时，，0k =2π7π13π2,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()7πππππππcos cos cos cos sin sin 12343434M t ⎛⎫∴==+=-= ⎪⎝⎭()cos π1m t ==-，B 错误； ()11h t ∴=≠对于C ，最小正周期，，()f x πT =πππ8844Tt t ⎛⎫⎛⎫+--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若取得最大值，则在上单调；∴()h t ()f x ()ππ,88t t t ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦R 令，解得：， ()2ππ2π22π3k x k k -+≤+≤∈Z ()5ππππ63k x k k -+≤≤-+∈Z 的单调递增区间为；()f x \()5πππ,π63k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z 当，即时， ()5ππππππ6883k t t k k -+≤-<+≤-+∈Z ()17π11πππ2424k t k k -+≤≤-+∈Z ()ππ11π5πcos 2cos 2881212h t f t f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5π5π5ππ2πsin 2cos 22212121243t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π26t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，，()17π11πππ2424k t k k -+≤≤-+∈Z ()5ππ3π2π22π464k t k k ∴-+≤+≤-+∈Z ，；πcos 21,6t ⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣()h t ⎡∴∈⎣令，解得：，()2π2π2π2π3k x k k ≤+≤+∈Z ()ππππ36k x k k -+≤≤+∈Z 的单调递减区间为，()f x \()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 当，即时， ()ππππππ3886k t t k k -+≤-<+≤+∈Z ()5ππππ2424k t k k -+≤≤+∈Z ()()()ππ5π11πcos 2cos 2881212h t M t m t f x f x t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5π5π5ππ2πcos 2sin 22212121243t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，()5ππππ2424k t k k -+≤≤+∈Z ()π2π3π2π22π434k t k k ∴+≤+≤+∈Z ，；2πsin 23t ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦()h t ⎡∴∈⎣综上所述：C 错误； ()max h t =对于D ，若取得最小值，则与关于的对称轴对称； ()h t π8x t =-π8x t =+()f x 令，解得：， ()2π22π3x k k +=∈Z ()ππ3x k k =-+∈Z 当时，， ()πππ88π23t t k k ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+∈Z()ππ3t k k =-+∈Z()()()π2ππ11cos 2834h t M t m t f t t ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1cos 2π14k ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭令，解得：， ()2π2π2π3x k k +=+∈Z ()ππ6x k k =+∈Z 当时，， ()πππ88π26t t k k ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+∈Z()ππ6t k k =+∈Z()()()()π2ππ1cos 21834h t M t m t f t t ⎛⎫⎛⎫∴=-=+--=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5πcos 2π114k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭综上所述：D 正确. ()min 1h t =故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值域和最值的求解问题，解题关键是能够根据余弦函数的性质，确定何种情况下能够取得最值，从而结合余弦型函数单调性和对称轴的求法得到的范()h t t围，进而确定的最值.()h t三、填空题13．，，．设，，，则______（用坐标表()2,4A -()3,1B -()3,4C --AB a =BC b=CA c = 32a b c +-= 示）．【答案】()7,34-【分析】先求出的坐标，再利用向量坐标的加法、减法运算即可求出结果,,a b c【详解】因为，，，()2,4A -()3,1B -()3,4C --所以，，， ()5,5a =- ()6,3b =-- ()1,8c =所以 ()327,34a b c +-=-故答案为：（7，-34） 14．若，则______． 5sin cos 4αα+=sin 2α=【答案】916【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系运算求解即可． 【详解】∵， 5sin cos 4αα+=∴， ()225sin cos 12sin cos 1sin 216ααααα+=+=+=∴， 9sin 216α=故答案为：． 91615．已知向量，，若，则______． ()1,3a =()3,4b = ()a b a λ-⊥ λ=【答案】## 321.5【分析】利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的条件即可求解．【详解】∵，∴，()a b a λ-⊥ ()()20a b a a a b λλ-⋅=-⋅= 又因为，，所以，，()1,3a = ()3,4b = ()2210a a == 133415a b ⋅=⨯+⨯=∴，∴， 10150λ-=32λ=故答案为：． 3216．如图，在平面四边形中，，，，若点为ABCD 90CDA CBA ︒∠=∠=120BAD ︒∠=1AB AD ==E 边上的动点，则的最小值为______．CD AE BE ⋅【答案】2116【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积运算得出(1,)AE t =-uu u r 3,2BE t ⎛=- ⎝u u r，，根据二次函数性质即可求的最小值．232AE BE t ⋅=+uu u r u u r t ∈AE BE ⋅ 【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，D DA x DC y则，，，()1,0A 32B ⎛⎝(C 设点坐标为，则，，，E (0,)E t t ∈(1,)AE t =-u u u r 3,2BE t ⎛=- ⎝u u r∴， ()2233211,,2216AB BE t t t t ⎛⎛⋅=-⋅-=+=+⎝⎝ ∴当时，， t =()min2116AB BE⋅=故答案为：．2116四、解答题17．已知向量，．()1,3a =- ()1,2b =(1)求；a b ⋅(2)求及在上的投影向量的坐标．2a b - a b 【答案】(1)5(2)，在上的投影向量的坐标为. 25a b -= a b()1,2【分析】（1）由向量数量积的坐标运算公式求解即可；（2）首先根据投影的计算公式求出在上的投影，进而求出在上的投影向量．a b a b【详解】（1）因为，，所以； ()1,3a =- ()1,2b = 11325a b ⋅=-⨯+⨯=（2）因为，，()1,3a =- ()1,2b =所以，所以，2(3,4)ab -=-25a=r，=所以在上的投影向量的坐标为．a b()()25cos ,1,21,25b a b a a b b b b ⋅⋅=⋅=⨯=18．（1）锐角三角形中，．，求的值． ABC 3sin 5A =5cos 13B =cosC （2）已知，，其中，.求证：． ()1sin 2αβ+=()1sin 3αβ-=απ0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 5tan αβ=【答案】（1）；（2）证明见解析. 1665【分析】（1）首先求出，，再利用诱导公式和两角和与差的余弦公式即可； 4cos 5A =12sin 13B =（2）利用两角和与差的公式展开得到方程组，解出，两式相除即可证明.5sin cos 121cos sin 12αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【详解】（1）因为，，且，为锐角， 3sin 5A =5cos 13B =A B 所以，4cos 5A ==12sin 13B ==因为，所以πA B C ++=()()cos cos cos cos cos sin sin π=--=-+=-+C A B A B A B A B. 453121651351365=-⨯+⨯=（2）因为， ()1sin 2αβ+=()1sin 3αβ-=所以所以，， 1sin cos cos sin 21sin cos cos sin 3αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩5sin cos 121cos sin 12αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以两式相除得，故. tan 5tan αβ=tan 5tan αβ=19．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，OBC △A BC D OB B AB a = .AO b =(1)用向量与表示向量，；a b OC CD (2)若，求证：三点共线. 45OE OA = ,,C D E 【答案】(1)， OC a b =--u u u r r r 5133CD a b =+ (2)证明见解析【分析】（1）由平面向量基本定理即可写出答案；（2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明45OE OA = 15CE a b =+ 5133CD a b =+ 35CE CD = 三点共线.,,C D E 【详解】（1）∵，，AB a = AO b = ∴，OC OA AC a b =+=-- ； ()()11151233333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+ （2）证明：∵， ()()413555CE OE OC b a b a b CD =-=----=+= ∴与平行，CE CD 又∵与有公共点， CE CD C ∴三点共线.,,C D E20．已知 ()πsin sin 3f x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(1)将表示成的形式．()f x ()()sin f x A x b ωϕ=++(2)求在上的最大值． ()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3)求对称中心．()f x 【答案】(1) ()1π1sin 2264f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2) 34(3)， ππ1,1224k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】（1）利用三角函数的二倍角公式及辅助角公式运算求解即可；（2）由得，由正弦函数的图象可求其在上的最大值； π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ52,π666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）根据正弦函数的对称中心为，进而可求的对称sin y x =()π,0k Z k ∈1π1()sin 2264f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中心．【详解】（1） ()111cos 2sin sin 2222x f x x x x x ⎛⎫-==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭； 111π12cos 2sin 244264x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ52,π666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当时，有最大值为 ； π3x =()f x ()max 113244f x =+=（3）由，得 π2π6x k -=ππ122k x =+所以的对称中心为，． ()f x ππ1,1224k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈21．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，，点M 满足(6,0),A C ，点P 在线段BC 上运动（包括端点），如图所示． 12OM OA =(1)求与共线的单位向量的坐标；OC a (2)求∠OCM 的余弦值；(3)是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理()?OA OP CM λ-⊥ 由．【答案】(1)或；12a ⎛= ⎝1,2⎛- ⎝； (3)存在；. (]12,12,7λ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案；（2）根据向量的夹角运算公式可求得答案；（3）设，根据向量垂直的坐标表示可求得．分，讨论可求得的(P t ()2312t λ-=32t =32t≠λ范围.【详解】（1）解：因为点，所以，C OC = 所以或；12a ⎛= ⎝ 1,2⎛-⎝（2）解：由题意可得，()(()((16,0,,3,0,2,,1,2OA OC OM OA CM CO ======-故 cos cos ,CO CM OCM CO CM CM CM ∠⋅===⋅（3）解：设，其中．(P t ()()(15,,6,,2,t OP t OA OP t CM λλλλ=-=-= ……若，则，即，可得． ()-⊥u u r u u u r u u u r OA OP CM λ()0-⋅=u u r u u u r u u u r OA OP CM λ12230t λλ-+=()2312t λ-=若，则不存在， 32t =λ若，则， 32t ≠1233,1,,52322t t λ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥-⎣⎭⎝⎦故． (]12,12,7λ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭22．在锐角中，为的外心． ABC A cos A =O ABC A (1)若，求的最大值；AO x AB y AC =+ x y +(2) ①求证：；sin 2cos 20OA B OB B OC +⋅-⋅= ②求的取值范围．32OA OB OC ++【答案】(1)2(2)①证明见解析；②.3⎡⎣【分析】（1）推导出，，由以及平面向量数量积212AO AC AC ⋅= 212AO AB AB ⋅= AO x AB y AC =+的运算性质可得出，求出、的表达式，再利2y AC AC = x y 用基本不等式可求得的最大值；x y +（2）①证明出，设与的夹角为，且sin 2cos 2B OB B OC AO ⋅-⋅= OA ()sin 2cos 2B OB B OC ⋅-⋅ θ，计算得出，可得出，即可证得结论成立；[]0,πθ∈cos 1θ=-πθ=②计算出的外接圆半径为，可得，求出角的取值ABC A 1()232142OA OB OC C θ++=++ C 范围，结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.32OA OB OC ++ 【详解】（1）解：如下图所示：取的中点，连接，则，AB D OD OD AB ⊥所以，， ()212AO AB AD DO AB AD AB DO AB AB ⋅=+⋅=⋅+⋅= 同理可得， 212AO AC AC ⋅= 由平面向量数量积的定义可得cos AB AC AB AC A ⋅=⋅= 因为，所以，， AO x AB y AC =+ 2AO AB xAB y AB AC ⋅=+⋅ 即① 2212AB x AB =+，即 2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ 212AC =，②2y AC AC = 联立①②可得 1x =1y=所以， 222x y +=当且仅当时，等号成立，故的最大值为AB AC = x y +2（2）解：①因为，则， cos A π02A <<π4A =由圆的几何性质可得，所以，. π22BOC A ∠=∠=0OB OC ⋅= 设的外接圆半径为， ABC A R 所以，()222222222sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2B OB B OC B OB B OC R B B R ⋅-⋅=⋅+⋅=+= 所以， sin 2cos 2B OB B OC R AO ⋅-⋅== 又 ()()()sin 2cos 2sin 2cos 2OA B OB B OC B OA OB B OA OC ⋅⋅-⋅=⋅-⋅ 而，则， 2AOC ABC =∠∠3π2π22AOB BOC AOC ABC ∠=-∠-∠=-∠所以，， 3πcos cos 2sin 22AOB ABC B ⎛⎫∠=-∠=- ⎪⎝⎭所以 ()()22sin 2cos 2sin 2cos cos 2cos B OA OB B OA OC B R AOB B R AOC ⋅-⋅=⋅∠-⋅∠ ．()()22222sin 2cos 2B R B R R =-⋅-⋅=-设与的夹角为，且， OA ()sin 2cos 2B OB B OC ⋅-⋅ θ[]0,πθ∈则， ()2sin 2cos 2cos 1sin 2cos 2OA B OB B OC R R R OA B OB B OC θ⋅⋅-⋅-===-⋅⋅⋅-⋅所以，即.πθ=sin 2cos 2OA B OB B OC =-⋅+⋅ 故，得证；sin 2cos 20OA B OB B OC +⋅-⋅= ②，，所以，. π2BOC ∠=OB OC R == =1R =222232941264OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC ++=+++⋅+⋅+⋅94112cos 26cos 24cos 2C B A =+++++其中，且()3π1412cos 26cos 21412cos 26sin 21422C C C C C θ⎛⎫=++-=+-=++ ⎪⎝⎭1tan 2θ=θ为锐角，故， π04θ<<由可得，22sin 1tan cos 2sin cos 1π04θθθθθθ⎧==⎪⎪+=⎨⎪⎪<<⎩sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为，可得，则， π023ππ042C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ,42C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，且， π2π2C θθθ+<+<+ππ3π224θ<+<因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， cos y x =π,π2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()π,πθ+又因为 πcos sin 2θθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭()cos πcos θθ+=-=所以， ()1cos 2C θ-≤+<所以，，(()23141428C θ=-≤++<所以，. 323OA OB OC ⎡++∈⎣【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；22a a = （2），此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转2a a a ⋅= 化；（3）一些常见的等式应熟记：如，等. ()2222a b a a b b ±=±⋅+ ()()22a b a b a b +⋅-=-。

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高一下册3月月考数学试题一、单选题1．已知向量()2,1AB =，点()1,1A -，则点B 的坐标为（）A ．()0,3B ．()3,0C ．()1,2--D ．()2,1--【正确答案】B【分析】设点B 的坐标为(,)x y ，则(1,1)AB x y =-+，再结合()2,1AB = 可求出,x y 的值，从而可求得点B 的坐标【详解】解：设点B 的坐标为(,)x y ，则(1,1)AB x y =-+，因为()2,1AB =，所以1211x y -=⎧⎨+=⎩，得30x y =⎧⎨=⎩，所以点B 的坐标为()3,0，故选：B2．在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 分别所对的边，若::1:2:3A B C =，则::a b c =（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．2【正确答案】C【分析】先求出角,,A B C ，再利用正弦定理求解【详解】由题::1:2:3A B C =且,,632A B C A B C ππππ++=∴===由正弦定理得1::sin :sin :sin ::122a b c A B C ===2故选：C3．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 5α=，则cos 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭πα（）A BC D 【正确答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系可得4sin 5α=，再利用两角差的余弦公式，即可得到答案.【详解】解： 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=，∴4sin 5α===，∴3414cos cos cos sin sin 666525210πππααα⎛⎫-==⨯+⨯= ⎪⎝⎭.故选：D.4．已知向量()2,1a = ，b = 5a b -= ，则a 与b的夹角为（）A ．45B ．60C ．120D ．135【正确答案】D【分析】根据225a b -= ，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得cos ,a b <>，结合向量夹角范围可得结果.【详解】()2,1a = ，a ∴=2222222cos ,1510,a b a a b b a a b a b b a b ∴-=-⋅+=-⋅<>+=-<>25=，解得：cos ,2a b <>=-，又[],0,a b π<>∈ ，43,a b π∴<>=，即a 与b 的夹角为135 .故选：D.5．P 是ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【正确答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质推导出PB AC ⊥，进一步可得出PA BC ⊥，PC AB ⊥，即可得出结论.【详解】因为PA PB PB PC ⋅=⋅，则()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅= ，所以，PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，故P 是ABC 的垂心.故选：D.6．已知将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移6π个单位长度后得到曲线()y g x =，则函数()y g x =的单调递增区间是（）A ．5[,)1212k k k Z ππππ-+∈B ．7[,)1212k k k Z ππππ--∈C ．2[,]()36k k k Z ππππ--∈D ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈【正确答案】C【分析】首先根据三角函数的平移变换求出()y g x =的解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：将函数()cos 2f x x =的曲线向左平移6π个单位长度得到()cos 2cos 263y g x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，故函数()y g x =的单调递增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；故选：C7．已知1sin 33παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【正确答案】D利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得1cos()63πα-=，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．【详解】因为11sin sin sin 322πααααααα⎛⎫-== ⎪⎝⎭1sin sin cos 32663ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2217sin 2sin 2cos 22cos 1216236393πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎝⎪⎭，故选：D8．已知AB AC ⊥ ，1AB t= ，AC t = ，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．21【正确答案】A【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP = （，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以114)PB t=-- （，，14)PC t =-- （，，因此PB PC ⋅ 11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．1、平面向量数量积；2、基本不等式．二、多选题9．下列各式中值为12的是（）．A ．2sin 75cos 75B ．2π12sin 12-C ．cos 45cos15sin 45sin15-D ．()tan 77tan 3221tan 77tan 32-+⋅【正确答案】ACD利用二倍角正弦公式即可判断选项A ；利用二倍角余弦公式即可判断选项B ；利用两角和的余弦公式可判断选项C ；利用两角差的正切公式可判断选项D ；【详解】对于选项A ：由二倍角正弦公式可得12sin 75cos 75sin1502==，故选项A 正确；对于选项B ：由二倍角余弦公式2ππ12sin cos 126-==B 不正确；对于选项C ：由两角和的余弦公式()cos 45cos15sin 45sin15cos 4515-=+1cos 602==；故选项C 正确；对于选项D ：由两角差的正切公式可得：()()tan 77tan 32111tan 7732tan 4522221tan 77tan 32-=-==+⋅故选项D 正确.故选：ACD10．已知函数()()22cos 210f x x x ωωω=+->的最小正周期为π，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =图象可以由函数()2sin 2g x x =的图象向左平移3π得到B ．函数()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心【正确答案】BD【分析】先根据周期求出=1ω，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对四个选项一一验证：对于A ：利用图像的相位变换进行验证；对于B ：直接利用复合函数同增异减可以验证；对于C ：用代入法进行验证；对于D ：用代入法进行验证.【详解】2()2cos sin 2sin 2cos 2=2sin 26f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=-++⎪⎝⎭，因为函数的最小正周期为π，所以2=2ππω，解得.=1ω所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ：函数()2sin 2g x x =的图象向左平移3π得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ：当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，因为26t x π=+为增函数和sin y t =在,62t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为增函数，所以函数()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，故B 正确；对于C ：当3x π=时，5(2sin1236f ππ==≠±，所以直线3x π=不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C 错误；对于D ：当512x π=时，5()2sin 012f ππ==，所以点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确.故选：BD.11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（）A ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos AB >B ．若4a =，5b =，6c =，则ABC 为钝角三角形C ．若5a =，10b =，π4A =，则符合条件的三角形不存在D ．若cos cos sin b C cB a A +=，则ABC 为直角三角形【正确答案】ACD【分析】利用正弦函数单调性结合诱导公式判断A ；利用余弦定理、正弦定理计算判断B ，C ；利用射影定理计算判断D 作答.【详解】对于A ，锐角ABC 中，2A B π+>，即022B A ππ<-<<，而正弦函数sin y x =在(0,)2π上单调递增，则有sin()sin 2B A π-<，整理得sin cos A B >，A 正确；对于B ，ABC 的最大角为C ，由余弦定理得222222456cos 02245a b c C ab +-+-==>⨯⨯，则C 是锐角，B 不正确；对于C，由正弦定理得：10sinsin 4sin 15b AB aπ⨯===，无解，即符合条件的三角形不存在，C 正确；对于D ，在ABC 中，由射影定理cos cos a b C c B =+及cos cos sin b C c B a A +=得：sin a a A =，则sin 1A =，而0A π<<，解得2A π=，即ABC 为直角三角形，D 正确.故选：ACD12．如图，在平行四边形ABCD 中对角线AC 与BD 交于点O ，则以下说法正确的有（）A ．恒有22222()AC BD AB AD +=+成立B ．恒有22AB AD AO BO ⋅=-成立C ．若3DO =，10AC =，则16AB BC ⋅=-D ．若()4,0DC = ，()1,2CB =--，则29AC 【正确答案】ABD【分析】根据,AC AB AD BD AD AB =+=-即可得出选项A 正确；可得出22||||BO AO AD BA -=⋅ ，从而判断选项B 正确；可得出22AB BC OC OB ⋅=- ，从而判断出C错误；可得出(5,2)DC CB AC -==，从而得出D 正确．【详解】解： ,AC AB AD BD AD AB =+=- ，∴2222AC AB AD AB AD =++⋅ ，2222BD AD AB AB AD =+-⋅，∴22222()AC BD AB AD +=+，即22222()AC BD AB AD +=+，故A 正确；22||||()()BO AO BO AO BO AO AD BA -=+⋅-=⋅，故B 正确；3DO OB == ，5AO OC ==，∴22()()25916AB BC OB OC OC OB OC OB ⋅=+⋅-=-=-=，故C 错误；(5,2)DC CB DC BC AC -=+==，∴||29AC = D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．化简：AB CB CA →→→-+=__________.【正确答案】0→【分析】根据向量的加减法运算化简即可.【详解】由向量的加减法运算知，0AB CB CA AB BC CA AC CA →→→→→→→→→-+=++=+=，故0→14．已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x =____________________．【正确答案】49【详解】试题分析：12tan 1133tan 22tan tan 2141tan 3419x x x x x π⨯+⎛⎫+=∴=∴=∴== ⎪-⎝⎭-1tan 433tan 294x x ∴==两角和的正切公式与正切的二倍角公式15．求值：cos 40cos80cos160︒+︒+︒=__________.【正确答案】0【分析】由cos 40cos80cos160︒+︒+︒，得cos(6020)cos(6020)cos(18020)︒-︒+︒+︒+︒-︒，然后利用两角和与差的余弦公式化简计算即可【详解】解：cos 40cos80cos160︒+︒+︒=cos(6020)cos(6020)cos(18020)=︒-︒+︒+︒+︒-︒cos60cos 20sin 60sin 20cos60cos 20sin 60sin 20cos 20=︒︒+︒︒+︒︒-︒︒-︒2cos60cos 20cos 20=︒︒-︒cos 20cos 200=︒-︒=，故0四、双空题16．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4b =，6c =，且sin a B =，则角A =_______；若角A 的平分线为AD ，则线段AD 的长为________.【正确答案】3π5【分析】（1）根据正弦定理，求得3A π=；（2）利用内角平分线定理得到32BD DC =，利用向量知识得到2355AD AB AC →→→=+，利用向量的平方和向量模的平方相等，结合向量数量积公式求得结果.【详解】根据正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin a B b A ==，因为4b =，所以sin A =，且三角形为锐角三角形，所以3A π=；由三角形内角平分线定理可得6342BD AB DC AC ===，所以3332355555AD AB BD AB AB AC AB AB AC→→→→→→→→→→=+=+=+-=+所以22222234129()55252525AD AD AB AC AB AB AC AC →→→→→→→→==+=+⋅+41294323664cos 16252532525π=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以5AD =.故①3π；②5.五、解答题17．已知k ∈R 向量()1,1a k =+ ，(),2b k =r.（1）若向量2a b - 与b平行，求k 的值；（2）若向量2a b - 与b的夹角为锐角，求k 的取值范围.【正确答案】(1)2-或1；(2)()()0,11,6 .【分析】(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)两向量夹角为锐角可转化数量积为大于零，但需排除向量共线的情况.【详解】由题知，(),2b k =r ，()()()221,1,22,2a b k k k k -=+-=-.(1)若向量2a b - 与b平行，则()222k k k ⨯=-，220k k +-=.解得2k =-或1k =.(2)若向量2a b - 与b的夹角为锐角，由()20a b b -⋅> 得，()240k k k -+>，260k k -<.解得06k <<.又由(1)知，当1k =时，向量2a b - 与b平行.所以若向量2a b - 与b的夹角为锐角，则k 的取值范围为()()0,11,6 .18．如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，H 为线段BE 上靠近点E 的四等分点，记AB a = ，AD b =.（1）用a ，b 表示A E，AH ；（2）求线段AH 的长.【正确答案】（1）12+A a b E = ，53+84H a b A = ；（2）72.【分析】（1）由1++2AE AD DE AD DC == ，()33++++44AH AB BH AB BE AB BC CE === 可得答案；（2）根据222225953++2cos 60641683+4458AH a a b b a b ⎛⎫=⨯⨯⋅⨯ =⎪⎝⎭，可得答案.【详解】（1）由已知得11++++2122AE AD DE AD AD AB a b ==== ，()33++++443153++4284AH AB BH AB a b a a b E AB BC CE ⎛⎫-= =⎪⎝⎭=== ，所以12+A a b E = ，53+84H a b A = ；（2）由（1）得53+84H a b A =，所以22222595349+5+2cos 606416843+844a b b a A b H a ⎛⎫=⨯⨯⋅⨯= =⎪⎝⎭，所以线段AH 的长为72.本题考查向量的线性表示，以及向量的数量积运算之求向量的模的应用，关键在于将向量置于一个三角形中，运用向量的加法表示向量；求向量的模时，常采用先求向量的平方，运用向量的数量积的运算律，属于中档题.19．已知310,2,tan ,sin 223ππαβπαβ<<<<==（1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.【正确答案】（1）10；（2）74π.【分析】（1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算；（2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522ππαβ<+<可得αβ+【详解】因为1tan 3α=，所以sin 1cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以sin α=cos α=sin β=322πβπ<<，所以cos β（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=⨯ ⎝⎭10=.（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛=⨯ ⎝⎭2=.因为02πα<<，322πβπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74αβπ+=．方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．20．如图，在ABC 中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4B π=，1BC =.（1）若ABC 是锐角三角形，3DC =A 的大小；（2）若BCD △的面积为16，求AB 的长.【正确答案】（1）3A π=.（2）3.【详解】【试题分析】(1)在BCD ∆中,利用正弦定理可求得sin BDC Ð=,得到π3BDC ∠=,利用等腰的性质可知π3A =.(2)利用三角形的面积公式可求得BD ,利用余弦定理可求得CD ,由此求得AB 的长.【试题解析】（1）在BCD 中，4B π=，1BC =，DC =由正弦定理得sin sin BC CD BDC B =∠，解得12sin 3BDC ⨯∠==3BDC π∠=或23π.因为ABC 是锐角三角形，所以23BDC π∠=.又DA DC =，所以3A π=.（2）由题意可得11sin 246BCD S BC BD π=⋅⋅⋅=，解得BD =由余弦定理得2222cos4CD BC BD BC BD π=+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得3CD =，则3AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB21．已知向量2,1,cos ,cos 222x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭ ，记()f x m n =⋅ .(1)若()56f x =，且5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a cos B =b cos C +c cos B ，求角B 及f （A +6π）的取值范围.【正确答案】(1)6(2)3B π=，13,622f A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【分析】（1）结合降幂公式化简可得()1sin 62f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合sin sin 66x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（2）边化角可求出B ，结合正弦函数图象即可求出6f A π⎛⎫+⎪⎝⎭范围.【详解】（1）()21cos 15cos sin 22626x x f x m n x x x π+⎛⎫=⋅=++=++=⎪⎝⎭，则1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,62x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭n sin sin cos sin cos 66666si 6x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132；（2）由2a cos B =b cos C +c cos B 可得2sin cos sin cos sin cos sin A B B C C B A =+=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又因为()0,B π∈，所以3B π=；20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 632f A A ππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,33A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以(]113sin 0,1,sin ,33222A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤+∈++∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以13,622f A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.22．如图，在ABC 中，23ABC π∠=，D 为AC 边上一点且AB BD ⊥，2BD =.（1）若CD =，求BCD △的面积；（2）求21AD CD+的取值范围.【正确答案】（1（2）2⎛⎤ ⎥ ⎦⎝.【分析】（1）在BCD △中，利用正弦定理求得sin C ，进而通过二角和差公式求出sin BDC ∠，再通过面积公式得到答案；（2）由正弦定理求出AD 、CD 的表达式，求出21AD CD+的代数式，在运用角的关系和范围求21AD CD+的取值范围.【详解】（1）23ABC π∠= ，AB BD ⊥，6DBC π∴∠=，在BCD △中，sin sin DC BD DBC C =∠，解得：sin 2C =，4C π∴=44sin sin sin sin cos cos sin 666464BDC πππππππππ∴⎡⎤⎛+⎫⎛⎫∠=-==+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦+⎣111sin 22242BDC S BD DC BDC ∴=⋅⋅∠=⨯⨯=；（2）在BCD △中，sin sin DC BD DBC C=∠得：2sin16sin sin CD C Cπ==，在ABD △中，sin sin AD BD ABD A=∠得：2sin22sin sin AD A Aπ==，sin sin 21sin si 22n 11A C C CA A D D∴++=+=，23ABC π∠=，3A C π∴+=，sin sin sin sin 231A C C AD CD C π⎛⎫+=∴+⎪⎝⎭-+= ，整理得：n 2i 31s C AD CD π⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，30C π<< ，2,333C πππ⎛⎫∴∈ ⎝+⎪⎭，sin ,132C π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎦⎝，故21AD CD +的取值范围为⎤⎥⎦⎝.思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.。

高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ） 2010x x ∀>->，A ． B ． 2010x x ∀≤->，2010x x ∃>->，C ． D ．2010x x ∃≤-≤，2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是, 2010x x ∀>->，2010x x ∃>-≤，故选：D2．求值：（ ） sin105=A B C D 【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式求得结果.【详解】()16045sin 60cos 45cos 60sin 4sin1505sin 2⎫+=+==⎪⎪=⎭故选：B.3．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ） 120 3πA ． B ． C ． D ．π2π3π4π【答案】B【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， l r 2π1203α==3πS =由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），212S r α=212π3π23r =⨯⨯3r =由弧长公式， 2π32π3l r α==⨯=故选：B4．已知角的终边经过点，则的值等于（ ） α()2,4P -sin cos αα-A ．BC ．D ．15【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出、，再代入计算可得. sin αcos α【详解】因为角的终边经过点，所以，α()2,4P -sin α=-，cos α=所以sin cos αα-==故选：A5．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）()f x ()f xA ．B ．C ．D ． ||()e x f x x =()e e x xxf x -=-()e xx f x =||3()e x x f x =【答案】D【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.【详解】对于A ，由函数图像可知，时，，而，当时，x →+∞()0f x →||()e x f x x =x →+∞，故A 错误；()f x →+∞对于B ，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定0x =()f x ()e e x xxf x -=-0x =义，故B 错误；对于C ，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C 错误； ()e xxf x =对于D ，是一个奇函数，时，，符合图象，故D 正确. ||3()ex xf x =x →+∞()0f x →故选：D. 6．已知，，，则（ ） 21log 3a =0.5e b =ln 2c =A ． B ． C ． D ．a b c >>b a c >>b c a >>c b a >>【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，，，33323110log 2log 31log 3log 3log 2a <===<=0ln 2ln e 1c <=<=0.50e e 1b =>=又，所以，即. 3ln 2ln 2ln 3ln 2ln 3ln e 1ln 2log 2ln 2ln 3==⨯=>=3ln 2log 2>b c a >>故选：C7．已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值π()2sin(2)13f x x =+-[]a b ，x b a -是（ ） A ． B ．C ．D ．3035π31011π1012π【答案】A【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可.()0f x =b a -【详解】由得，π()2sin(2)103=+-=f x x π1sin(2)32x +=解得或， ππ22π36+=+x k π5π22π,36x k k +=+∈Z 所以或，ππ12x k =-+ππ,4x k k =+∈Z 令,,,,,1π12=-x 2π4x =3π11ππ1212=-+=x 4π5ππ=44=+x ⋅⋅⋅,,当,时，2023π1011π12=-+x 2024π1011π4=+x 2023π1011π12==-+b x 1π12==-a x 取最小值，最小值为. b a -20241ππ103034π311π412⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭x x 故选：A.8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是()e 1x f x x =-a ()(ln 1)e g x x x =--b （ ） A ． B ． C ． D ．2eba +=2eb a +>2e ab =2e ab >【答案】B【分析】变换得到，，构造，确定函数单调递增得到ln 0a a +=e eln 0b b+=()ln g x x x =+，确定，根据均值不等式计算得到答案.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ab =【详解】，则，，即，即；()e 1a f a a =-1e aa =0a >1ln ln a a a==-ln 0a a +=，，则，即.()()ln 1e 0g b b b =--=0b >e e lnln e b b b==-e eln 0b b +=设，则函数在上单调递增，，()ln g x x x =+()0,∞+()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，即，ea b=e ab =，当时，不成立，故， 12e b a a a +=+≥=1a =ln 0a a +=1a ≠等号不成立，故，ACD 错误B 正确.12e b a a a +=+>故选：B【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，对数运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，变换得到是解题的关键.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知∈R ，则下列结论正确的是（ ） a b c ，，A ．若，则 B ．若，则 22ac bc >a b >0a b <<2a ab >C ．若，则 D ．若，则 0c a b >>>a b c a c b<--1a b >>11a b b a->-【答案】ABD【分析】对于ABC 项：根据不等式的性质逐项判断.对于D 项，使用作差法比大小. 【详解】对于A ：因为，所以，所以，故A 正确；22ac bc >20c >a b >对于B ：因为，所以，两边同乘以得，故B 正确； 0a b <<0a b ->->a -2a ab >对于C ：因为，所以，所以，又，两式相乘0c a b >>>0c a c b <-<-110c a c b>>--0a b >>得，故C 错误； a bc a c b>--对于D ：,()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以,所以，所以，故D 正确. 1a b >>1ab >()10ab a b ab -⎛⎫-> ⎪⎝⎭11a b b a ->-故选：ABD10．将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数π()2sin(2)3f x x =-的图像，则下列结论正确的是（ ）()g x A ．π()2sin()6g x x =-B ．函数在上单调递增()g x (0π2，C ．点是函数图像的一个对称中心 4π(0)3()g x D ．当时，函数的最大值为2π[π]2x ∈-，()g x 【答案】BC【分析】先根据伸缩得出新函数判断A 选项，再根据单调性判断B 选项，代入法验证对称中心判断C 选项，根据值域判断D 选项.【详解】函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，,A 选π()2sin(23f x x =-π()2si 3n()g x x =-项错误;,函数在上单调递增,B 选项正确;(0),ππππ,2336x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝∈⎭，()g x (0π2，当,点是函数图像的一个对称中心,C 选项正确; 4π,3x =4π4ππ(2sin()2sin π0333g =-==4π(0)3，()g x 当,,选项错误.π[π]2x ∈-，π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-max 4π()(π)2sin(3g x g =-=-=故选:BC.11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A ．若，，则1,3)a = （(24)b =-，()a b a +⊥ B ．点，与向量同方向的单位向量为()()1132M N --，，，MN 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．若，则与的夹角为20a b a b a +=-=≠ a b + a b -60 D ．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 (12)a = ，(26)b =- ，a b 14b -【答案】ABD【分析】对于A ，利用向量垂直的坐标表示进行判断；对于B ，与向量同方向的单位向量为MN；对于C ，利用两向量夹角的余弦坐标公式求解即可；对于D ，利用投影向量公式求解即可. MN MN【详解】对于A ，，，，1,3)a = （(24)b =-，()3,1+=- a b 因为，则，故A 正确； ()()=31+13=0a b a +⋅⨯-⨯ ()a b a +⊥对于B ，已知点，，()()1132M N --，，，()4,3MN =- 5=与向量同方向的单位向量为，故B 正确； MN4355MN MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于C ，若，由得. 20a b a b a +=-=≠ 22a b a b +=- 0a b ⋅=由，得，224a b a += 223b a = ，，2a a +== 2a a +==则， ()()222222241cos ,2a b a b a b a b a b a b a b a a a a+⋅-+-===-+---=⋅则与的夹角为，故C 错误；a b + a b -120 对于D ，若向量，，， (12)a = ，(26)b =-，()122610a b ⋅=⨯+⨯-=- ，则向量在向量上的投影向量为，故D 正确.=a b 14a b b b b bb ⋅⋅==-故选：ABD.12．已知函数，则（ ） 2()441x x xf x x =+--A ．是奇函数 B ．的图象关于点对称()f x ()f x ()1,1C ．有唯一一个零点 D ．不等式的解集为()f x ()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 【答案】BCD【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()f x ，则知B 正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递()()112f x f x ++-=1x >()f x ()1,+∞减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在()1f x >()f x (),1-∞定理可说明在有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明时，()f x (),1-∞1x >()1f x >时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的1x <()1f x <23x +2x 情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由得：，即定义域为，不关于原点对称，44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩1x ≠()f x {}1x x ≠为非奇非偶函数，A 错误；()f x \对于B ，，()112121144242x x x xx xf x x x+++++=+=+-⨯- ， ()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x x f x x x x x ----⋅---=-=-=-=---⨯-⨯-，图象关于点对称，B 正确；()()112f x f x ∴++-=()f x \()1,1对于C ，当时，； 1x >()1141212x xf x x=+--在上单调递增，在上单调递增， 2x t = ()1,+∞4y t t=-()2,+∞在上单调递增，在上单调递减；422xx y ∴=-()1,+∞1422x x y ∴=-()1,+∞在上单调递增，在上单调递减；11y x=- ()1,+∞111y x ∴=-()1,+∞在上单调递减；()f x \()1,+∞由B 知：图象关于对称，在上单调递减；()f x ()1,1()f x \(),1-∞当时，，，，在上无零点； 1x >2044xx >-11111x x x =+>--()1f x ∴>()f x \()1,+∞当时，，， 1x <()11000143f =+=-<-()1111210123044f -=+=>-，使得，则在上有唯一零点；()01,0x ∴∃∈-()00f x =()f x (),1-∞0x x =综上所述：有唯一一个零点，C 正确；()f x 对于D ，由C 知：在和上单调递减， ()f x (),1-∞()1,+∞又时，；1x >()1f x >时，；1x ∴<()1f x <①当，即时，由得，解得，即；22311x x +>⎧⎨>⎩1x >()()223f x f x +<223x x +>13x -<<13x <<②当时，不等式组无解，不合题意；22311x x +<⎧⎨<⎩③当，即时，，，不合题意；22311x x +>⎧⎨<⎩11x -<<()231f x +>()21f x <④当，即时，，，符合题意；22311x x +<⎧⎨>⎩1x <-()231f x +<()21f x >综上所述：的解集为：，D 正确.()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 故选：BCD.三、填空题13．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减()f x ()f x ()f x ()0,∞+函数．则________． ()f x =【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故()f x x α=α()f x ()0,∞+0α< ，故可取， 2()f x x -=故答案为：（答案不唯一）2x -14．已知函数则________．()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩(ln3)f =【答案】3e【分析】由及可得：，即可求得：，ln31>()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()ln3ln31f f =-()3ln31e f -=问题得解.【详解】因为，所以， ln31>()()ln3ln31f f =-因为，所以，所以.ln311-<()ln3ln31e 3l 31ee n ef -=-==()3ln3e f =故答案为：3e15．点P 是正方形外接圆圆O 上的动点，正方形的边长为2，则的取值ABCD 2OP OB OP OC ⋅+⋅范围是________．【答案】 [-【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，xOy )P θθ，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，[]0,2πθ∈2OP OB OP OC ⋅+⋅=)ϕθ-结合三角函数的有界性即可求解.【详解】由题意知，圆O =建立如图平面直角坐标系，，xOy (1,1),(1,1)C B -得，(1,1),(1,1)OC OB ==-设，，则， )P θθ[]0,2πθ∈)OP θθ=所以2)OP OB OP OC θθθθ⋅+⋅=，其中， )θθϕθ==-tan 3ϕ=又，所以，02πϕθ≤-≤1sin()1ϕθ-≤-≤则，2OP OB OP OC ⋅+⋅=)[ϕθ-∈-即的取值范围为.2OP OB OP OC ⋅+⋅[-故答案为：.[-四、双空题16．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,x ，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭y N ()1,P A NM NP ⊥ω=()f x 象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．()g x ()1g =【答案】/ 3π13π【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式ωϕ0x =可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到的解析式，再根据三角函N A ()f x 数的变换规则得到的解析式，从而求出.()g x ()1g 【详解】由图象可知的最小正周期，， ()f x 54162T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ3T ω∴==由五点作图法可知：，解得，()π52ππ32k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()ππsin 36f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()π0sin 62A f A ∴==即，，，0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭5,22A MN ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 1,2A NP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，又，MN NP ⊥ 25024A MN NP ∴⋅=-+= 210A ∴=0A >，A∴=()ππ36f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将的图象向右平移1个单位得到，()f x ()()ππππ13636g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以()πππ3166g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：π3五、解答题17．设，已知集合，集合． a ∈R 32{1}1x A x x +=<-22{210}B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使_______成立．a 从① ② ③中选择一个填入横线处并解答． A B ⋂=∅A B ⊆R ðB A ⊆R ð注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)3(,2)2A B ⋃=-(2)或52a ≤-2a ≥【分析】（1）先解分式不等式求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；（2）①根据集合没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出，,A B B R ð利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出，利用集合间的A R ð包含关系可求出对应条件的参数.【详解】（1）因为 3232231100111x x x A xx x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=<=-<=<⎨⎬⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭⎩⎭所以.3(,1)2A =-因为，{}{}22|21011B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+所以.(1,1)B a a =-+所以 3(,2)2A B ⋃=-（2）①，又， A B =∅ 3(,1)2A =-(1,1)B a a =-+或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥②，，又 A B ⊆R ð(][),11,=-∞-++∞ B a a R ð3(,1)2A =-或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥③，，又 B A ⊆R ð[)3,1,2⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦ A R ð(1,1)B a a =-+或 312a ∴+≤-11a -≥或 52a ∴≤-2a ≥18．已知． 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若为第一象限角，求；αsin α(2)求的值． 221sin cos sin cos αααα+-【答案】(1)sin α(2) 73-【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）由弦切互化以及齐次式即可求解.【详解】（1）得即 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 0αα-+=2sin cos αα=又联立解得22sin cos 1αα+=sin cosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为为第一象限角，所以． αsin α（2）由（1）知得． ． 2sin cos αα=1tan 2α=． 221sin cos sin cos αααα+-2222sin cos sin cos sin cos αααααα++=-． ． 22tan 1tan tan 1ααα++=-73=-19．已知，． π(,π)2α∈π3sin()45α+=(1)求；cos α(2)若，且，求． π(0)2β∈，4cos 5β=αβ+【答案】(1)(2)3π4 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.【详解】（1）由，得． π(,π)2α∈3ππ5π444α<+<， π3sin()45α+=π4cos(45α∴+==- ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 444444αααα∴=+-=+++． 4355=-=（2）由， π(,π)2α∈cos α=sin α==由，得， π(0,2β∈4cos 5β=3sin 5β==． 43sin()sin cos cos sin (55αβαβαβ∴+=+=+⨯=又 ππ(,π),(0,)22αβ∈∈ π3π(,22αβ∴+∈ 3π4αβ∴+=20．如图，在平行四边形中，，，． ABCD 60BAD ∠=︒12BE BC = 2CF FD =(1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求边的长．6AB = 18AC EF ⋅=- AD 【答案】(1)321x y +=-(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解； x y （2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.AD x 【详解】（1）在平行四边形中，，, ABCD 12BE BC = 2CF FD = 所以， 1121()3232EF AF AE AD AB AB AD AB AD =-=+-+=-+ 又，，，. EF xAB y AD =+ 23x ∴=-12y =321x y ∴+=-（2）设长为， AD x ()2132AC EF AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 222c 1os 2136BAD AB AD AB AD =⋅∠-+- ， 211241822x x =--=-，或（舍去），即.2120x x ∴--=4x ∴=3-4=AD 21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水(04a a <≤R)a ∈中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中(y )(x )()y af x =，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相()[](]2046154102x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨⎪-∈⎪⎩，，，，应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．4()(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能m 够持续有效，试求的最小值．m【答案】(1)6天(2)2【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．()84,0446202,410x x f x y x x x +⎧≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，解得； ． 04x ≤≤8446x x+≥-24x ≤≤当时，，解得； ．410x <≤2024x -≥48x <≤综上求得，28x ≤≤所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ． （2）设从第一次投放起，经过x （）天后，浓度为610x ≤≤1()2526(626)g x x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 41012x x m x-=-+-因为，所以，610x ≤≤120x ->40x ->所以即 410412x x m x--+≥-(6)(12)4x x m x --≥-1610[(4)]4x x =--+-所以 ()161041024x x ⎡⎤--+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当，即时，等号成立，所以 1644x x -=-8x =2m ≥答：为使接下来的4天中能够持续有效m 的最小值为222．已知函数的图象过点，函数，函数()()()ln R f x x c c =-∈(1)0，()(1)(1)h x f x f x =+--．1()421x x g x m m +=+-+(1)判断并证明函数的奇偶性；()h x (2)若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围．a b ，()()0h a h b +=()()0g a g b +≥m 【答案】(1)奇函数；证明见解析(2) 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据奇偶性的定义判断的奇偶性；()h x （2）根据条件知且，原问题等价于不等式在0a b +=()()1001a ∈-⋃，，()()0g x g x +-≥有解，令转化为在有解即可. ()()1001-⋃，，22x xt -=+221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，【详解】（1）函数的图象过点，，解得，函数()()()ln R f x x c c =-∈()10，()ln 10c ∴-=0c =∴的解析式为；， ()f x ()ln f x x =()()()ln 1ln 1h x x x ∴=+--，解得， 1010x x ->⎧∴⎨+>⎩11x -<<的定义域为，其定义域关于原点对称，()h x ∴()11-，又，，()()()ln 1ln 1h x x x -=--+()()0h x h x ∴-+=故为定义域内的奇函数.()h x （2）函数都是上的增函数， ()()ln 1ln 1y x y x =+=--，()11-，是定义域内的增函数，()h x ∴，且为定义在的奇函数，()()()0h a h b a b +=≠ ()h x ()11-，且， 0a b ∴+=()()1001a ∈-⋃，，原问题等价于不等式在有解， ∴()()0g x g x +-≥()()1001-⋃，，， ()()()044222220x x x x g x g x m m --+-≥⇔++++⋅-≥令，，则， 22x x t -=+()()1001x ∈- ，，2442x x t -=++令，可知，则， 2x k =()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，，1t k k =+构造函数，， ()1F k k k =+()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设，则 211k k >>()()()122121212112111k k F k F k k k k k k k k k ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭由得，所以，所以在为增函数， 211k k >>121k k >()()210F k F k ->()F k [1)+∞，同理可证在为减函数.()F k (0,1)由，可得，所以， ()()1512222F F F ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()522F k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在上有解， 2220t mt m +-≥522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当时，，因此在有解． 522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10t ->221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，取，则，从而． 1s t =-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2121t s t s=++-因此在上有解．函数在上单调递增， 122s m s ++≥-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12y x x =++312⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，所以，即. 1322522236s s ++<++=2526m >-2512m >-故实数的取值范围为． m 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对的处理方法是，从而将用表44x x -+()244222x x x x --+=+-44x x -+22x x -+示，换元后将问题转化为二次函数处理.。

一、单选题1．求值（ ）()tan 1140-=A B C ．D ．【答案】D【分析】利用诱导公式化简后再利用特殊角的正切值可得所求结果.【详解】()tan 1140tan1140tan 108060tan 60()︒=-︒=-︒+︒=-︒=-故选：D.2．已知非零向量，则“”是“”的（ ）,,a b c a c b c ⋅=⋅ a b =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- AB OC ⊥a b - c，所以成立，此时，a b ≠∴不是的充分条件，a b =当时，，∴,∴成立，a b =0a b -= ()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r∴是的必要条件，a b =综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为a b ，2a b =b a b ⊥ （–）a b A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即()a b b -⊥ ,a b可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=()a b b -⊥ 2()a b b a b b -⋅=⋅- 2a b b ⋅= cos θ22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以与的夹角为，故选B ．a b 3π【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 2y x =A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位6π6π12π12π【答案】D【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论． sin()y A x ωϕ=+【详解】解：，sin(2sin 2()612y x x ππ=-=-故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，sin 2y x =12πsin(2)6y x π=-故选：D ．5．中，点M 为边AC 上的点，且，若，则的值是（ ）ABC A 2AM MC =BM BA BC λμ=+ λμ-A ． B ．1C ．D ．1-1313-【答案】D【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，2AM MC =23AM AC = 所以，()22123333BM BA AM BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ 且，则，所以.BM BA BC λμ=+ 12,33λμ==13λμ-=-故选:D6．已知，，，，则的值为3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin αβ+（ ） A ． B ．C ．D ．1665-56656365-3365【答案】B【分析】根据题意可知，，，再结合题意可得,042ππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,442πππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 45πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.5cos 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()44ππβααβ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭+【详解】因为，所以， 3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,042ππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以；3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭4sin 45πα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭因为，所以，0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,442πππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以， 512sin sin sin 44413πππβπββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，cos 4135πβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭又()44ππβααβ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭+所以()sin sin 44παβπβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣=⎦+cos cos sin s 4444in ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝=⎝⎭. 123545613513565⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭故选：B.7．在中，，则AB= ABC ∆cos 2C =A ．BCD ．【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为 223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以 A.22232cos 125215(325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8．如图，在平面四边形ABCD 中， ,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21163225163【答案】A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，ABD △BCD △AE BE ⋅设，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

高一下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知满足，则（ ）α1sin cos 3αα+=sin2α=A ．B ．C ．D ．23-2389-89【答案】C【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可. 【详解】，，1sin cos 3αα+=112sin cos 9αα∴+=即，8sin22sin cos 9ααα==-故选:C ．2．在如图中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则（ ）ABC BE =A ．B ． 1344AB AC -3144AB AC -+C ．D ．3144AB AC +1344AB AC -+【答案】B【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-BE = 3144AB AC -+故选: B.3．若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）a b 2a b = ()a b b -⊥ a b【答案】B【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案.2a b b ⋅= 【详解】因为，所以，即，()a b b -⊥ ()20a b b a b b -⋅=⋅-= 2a b b ⋅= 设量、的夹角为，则，a b θ21cos 2b a a b a b b b a θ====⋅⋅⋅因为，所以.π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=故选：B4．已知，则（ ）πsin cos 16θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1 B C ．D ．1-12【答案】A【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.【详解】. π11πsin cos sin sin sin sin 16223θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=-==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ） (),1a x = ()2,23b x =+ ,a bx A ．B ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()3,22,4∞⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭C ．D ．3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭332,,44∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.cos ,0a b a b a b ⋅<>=<⋅,a b【详解】夹角为钝角，且不共线， ,a b cos ,0a b a b a b ⋅∴<>=<⋅ ,a b 即且，解得：且，430a b x ⋅=+<()232x x +≠34x <-2x ≠-的取值范围为. x ∴()3,22,4∞⎛⎫--⋃--⎪⎝⎭故选：B.6．已知角，满足，，则（ ）． αβ1tan 3α=()sin 2cos sin βαβα=+tan β=【答案】B【分析】根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式()sin 2cos 2sin 2cos βααβ-=即可求解.【详解】由得，进而()sin 2cos sin βαβα=+()()sin sin sin βαβαααβ+--⎡⎤=+⎣+⎡⎤⎦⎣⎦， ()()sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβββαβαβαβ=+⇒=+-=+所以， ()222sin 22sin cos 2tan 1sin 2cos 2sin 2cos tan 2cos 23sin cos 3tan 12ααααβααββαααα-=⇒====-++故选：B7．已知函数的图象关于对称，且，则()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠6x π=()085f x a =0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ． B ． C ．D ．725-2425-7252425【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，再由6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b =()085f x a=可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】因为， ()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+0ab ≠其中，sin ϕ=cos ϕ=由于函数的图象关于对称，所以 6x π=6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即， 12a b =所以，即，()00008sin cos 2sin 35f x a x x a x a π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， 20000227sin 2sin 2cos 22sin 16323325x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.8．如图，在等腰中，已知，，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且ABC 2AB AC ==120A ∠= ，，其中，，且，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则AE ABλ= AF AC μ=λR μ∈21λμ+=的最小值是（ ）MNA B C D 【答案】B【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得11(),()22AM AC AB AN AB AC μλ=+=+，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求MN AN AM =- 21λμ+=2MN μMN的最小值.【详解】在等腰中，已知则，因为ABC o2,120,AB AC A ==∠=u u u r u u u r cos 2AB AC AB AC A ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r 分别是边的点，所以，而,E F ,AB AC 111()(),()222AM AF AE AC AB AN AB AC μλ=+=+=+，左右两边平方得1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-222221[(1)2(1)(1)(1)]4MN AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+- ， 22221[4(1)4(1)(1)4(1)]14λλμμλμλμλμ=----+-=+---+又因为，21λμ+=所以， 222237417()77MN μμμ=-+=-+u u u r 所以当时，的最小值为， 27μ=2MN 37即的最小值为MN 故选：B.二、多选题9．下列计算正确的是（ ）A ．B ． 2cos 75=1tan1051tan105+=-C ．D ．tan1tan44tan1tan441++=sin7012⎫=⎪⎪⎭【答案】AC【分析】根据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可判断选项ABC ，根据同角三角函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D 的结果.【详解】根据二倍角的余弦公式可得A 正确； 21cos150cos 752+===由可得，所以B 错误； tan 451=()1tan105tan45tan105tan 45105tan1501tan1051tan45tan105++===--+=因为，所以，即()tan1tan44tan 14411tan1t n44+a ==-+tan1tan4411+tan tan44=- ，所以C 正确；tan1tan44tan1tan441++=由于sin701sin701sin70⎫⎫-==⎪⎪⎪⎪⎭⎭，所以D 错误； ()2cos 4002cos 70sin140sin70sin701sin 40sin 40sin 430===⋅⋅=+故选：AC10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEFA ．B ．AC AE BF -= 32AC AE AD += C ． D ．在上的投影向量为2AD AB AB ⋅= AD AB AB 【答案】BCD【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D 结合图形即可判断.【详解】对A ，，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对B ，由图易得，直线平分角，AE AC =AD EAC ∠且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向， ACE △2AC AE AH += AD易知均为含,EDH AEH π6，4AD DH = 而，故，故，故B 正确；26AH DH = 232AH AD = 32AC AE AD +=对C ，， 2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===，则，又，， π6BDC DBC ∴∠=∠=π2ABD ∠=AD //BC π3DAB ∴∠=，，故C 正确；2AD AB = 221cos 232AD AB AD AB AB AB π⋅==⨯=对D ，由C 知，则在上的投影向量为，故D 正确. π2ABD ∠=ADAB AB故选：BCD.11．已知函数（ ） ()2sin cos f x x x x =+()f x A ．最小值为2-B ．关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．最小正周期为πD ．可以由的图象向右平移个单位得到 sin2y x =π6【答案】BCD【分析】对于AC ，利用三角函数的恒等变换化简，从而得以判断； ()f x 对于B ，利用代入检验法进行检验即可；对于D ，利用三角函数平移变换求得新的三角函数，由此得以判断.【详解】对于A ，因为()211cos 2sin cos sin 222x f x x x x x -==， 1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以的最小值为，故A 错误；()f x 1-对于B ，因为，所以关于点对称，故B 正确；πππsin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,06⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，因为，所以，故C 正确； 2ω=2ππT ω==对于D ，的图象向右平移个单位得到的的图象，故D 正sin2y x =π6ππsin2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭确.故选：BCD.12．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.ABC O BC O ,AB AC ,M N 设，则下列选项正确的是（ ）,AB mAM AC nAN ==A ．B ．C ．D ．1m n +=1mn ≤222m n +≥111m n+≤【答案】BC【分析】根据向量的共线定理可得，即可判断A ，利用均值不等式判断BCD. 2m n +=【详解】由图象可知，0,0m n >>因为，且三点共线，112222m n AO AB AC AM AN =+=+,,M O N 所以，即，选项A 错误； 122m n+=2m n +=，当且仅当时等号成立，B 正确；212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1m n ==，当且仅当时等号成立，C 正确；()()2222222m n m n m n mn ++=+-≥=1m n ==，当且仅当，即时等号成立，D 错()1111112222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m n =1m n ==误， 故选：BC三、填空题13．已知，且，则的值为______．π1cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22ππ17cos 22cos 1213339αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦故答案为：7914．在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 是边AB 中点，若AE 交DO 于点M ．且2DE CE =-u u u r，则______．AM AB AD λμ=+λμ+=【答案】57【分析】由已知可得可得答()2437AM AD DM AD DE EM AD DC EA =+=++=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r 3277AD AB =+u u ur u u u r 案.【详解】在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 边AB 中点，2DE CE =-u u u r所以E 是边DC 离近C 的三等分点，可得，， 43==DE EM AO MA 47=EM EA u u ur u u r 所以()AM AD DM AD DE EM =+=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2437AD DC EA =++u u u r u u u r u u r()24243737AD AB AE AD AB AD DE =+-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又，3277AD AB =+u u ur u u u r AM AB AD λμ=+ 所以， 57λμ+=故答案为：. 5715．若，，且，是方程的两个根，则ππ22α-<<ππ22β-<<tan αtan β240x ++=αβ+=______． 【答案】 2π3-【分析】根据韦达定理，可得的值，根据两角和的正切公式，化简整理，结tan tan ,tan tan αβαβ+合的范围，即可得答案.,αβ【详解】、是方程的两个根，tan α tan β240x ++=由韦达定理可得，，，，tan tan αβ∴+=-tan tan 40αβ=>tan 0α∴<tan 0β<ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ，π,,02αβ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭则， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-()π0αβ+∈-，则． 2π3αβ+=-故答案为： 2π3-四、双空题16．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，ABCD O l AB CD M N ，若是的中点，则的取值范围是___________；若是平面上一点，且满足Q BC QM QN ⋅P ，则的最小值是___________.()21OP OB OC λλ=+- PM PN ⋅【答案】[]1,0-74-【分析】根据向量的线性运算，将转化为，再结合，QM QN ⋅ 22QO OM - 1QO =即可求得答案；设，由题意可得点在上，推得，再将转化为，即可求2OT OP = T BC 12OP ≥ PM PN ⋅ 22PO OM - 得答案.【详解】因为直线过中心且与两边､分别交于点､， l O AB CD M N 所以为､中点，所以，O M N OM ON =-所以，()()22QM QN QO OM QO ON QO OM ⋅=+⋅+=-因为是的中点，所以，， Q BC 1QO = 2210QO OM -≤-≤ 即的取值范围为；QM QN ⋅[]1,0-令，由知点在上，2OT OP =()21OT OP OB OC λλ==+- T BC 又因为为､中点，所以，从而， O M N 1OT ≥ 12OP ≥，因为()()22PM PN PO OM PO ON PO OM ⋅=+⋅+=- 所以，即的最小值为.2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=- PM PN ⋅ 74-五、解答题 17．已知．2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-(1)求的值； tan α(2)求的值．sin 211sin 2cos2ααα+++【答案】(1) 2-(2)12-【分析】(1)将题干中式子化简，并结合同角三角函数的基本关系即可得到结果； (2)利用二倍角公式将所求式子化简成，然后利用（1）的结论即可求解.1(tan 1)2α+【详解】（1）因为，则，2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-sin 2cos 0αα-≠所以， 8sin 12cos sin 2cos αααα+=-所以，所以；7sin 14cos αα=-tan 2α=-（2）2222sin 21(sin cos )1sin 2cos2(sin cos )cos sin ααααααααα++=++++-．sin cos 11(tan 1)sin cos cos sin 22ααααααα+==+=-++-18．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角、，它们的终边分别交单位xOy Ox αβ圆于、两点，已知、. A B A B(1)求、的值；sin αsin β(2)求、的值； ()cos αβ+()sin 2αβ+【答案】(1)sin α=sin β=【分析】（1）求出的坐标，根据三角函数的定义即可求得答案；,A B （2）利用二倍角公式求得，根据两角和的正余弦公式即可求得答案. sin 2,cos 2ββ【详解】（1）由题意可得的坐标分别为， ,A B ,A B故，sin αsin β=（2）因为、为锐角，结合（1）可得， αβcos α=cos β=故 ()c s o cos cos sin si n αβαβαβ+=-==，243sin 22sin cos ,cos 22cos 155βββββ===-=故. ()sin 2sin cos 2cos si 345n 25αβαβαβ=+==+19．已知向量，点为直线上一动点.(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP ===Q OP (1)求；||OA OB + (2)当取最小值时，求的坐标.QA QB ⋅OQ 【答案】(1)； 10(2).(4,2)【分析】（1）根据平面向量加法运算的坐标表示，求出的坐标表示，再利用模的坐标表示OA OB +计算作答.（2）利用向量共线表示出向量的坐标，再结合向量线性运算及数量积运算，借助二次函数求OQ解作答.【详解】（1）因为，则， (1,7),(5,1)OA OB == (6,8)OA OB +=所以.|10|OA OB +==（2），因为点为直线上一动点，则，(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP === Q OP //OQ OP 于是设，则，(2,)OQ xOP x x == (12,7),(52,1)QA OA OQ x x QB OB OQ x x ==-=---=--，当且仅当时取等号， 22(12,7)(52,1)520125(2)88QA QB x x x x x x x ⋅=--⋅--=-+=--≥-2x =所以当时，取得最小值，此时的坐标为.2x =QA QB ⋅8-OQ (4,2)20．已知，且 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 3πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求的值； sin 2α（2）求的值． αβ-【答案】（1；（2）．4π-【分析】（1）利用同角三角函数和二倍角公式可求得，，根据sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果；sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）根据同角三角函数可求得，由，结合两角和cos 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin cos 63ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦差余弦公式和的范围可求得结果. αβ-【详解】（1），， 2,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0,62ππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭sin 6πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，3sin 22sin cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，24cos 22cos 1365ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦314525=⨯+=（2），，， 2,63ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ,32ππβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭cos 3πβ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭()sin sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--++=--+⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos sin sin 6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛== ⎝，，. 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22ππαβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭4παβ∴-=-21．如图，在平面四边形中，，，，，、分ABCD BC AD ∥2AB BC ==4=AD 120BAD ∠=︒E F 别是，的中点，为线段上一点，且.设，.AD DC G BC BG BC λ=AB a = AD b =(1)若，以，为基底表示向量与；13λ=a b AF EG u u u r (2)若，求的取值范围. ()0,1λ∈AF EG ⋅【答案】(1)；13+24AF a b = 13EG a b =-(2) ()61--，【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与；AF EG u u ur （2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围. EG u u u rAF EG ⋅ 【详解】（1）解：++AF AB BC CF =11++22a b CD =()11++++22a b CB BA AD =111+++222a b b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 13+24a b = 所以；13+24AF a b =因为，所以13λ=++EG EA AB BG =11++23b a BC =-11++26b a b =- ，13a b =- 所以；13EG a b =- （2）解：++EG EA AB BG =1++2b a BC λ=-11++22b a b λ=- ，()1+12a b λ=- 所以，()1+12EG a b λ=- 又，，，所以，120BAD ∠=︒2a = 4b = 1cos1202442a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以 ()131++1242AF EG a b a b λ⎛⎫⎡⎤⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()22113+++142281a a b b λλ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ ()()221132++4+1442182λλ⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎭=⎝⨯()511λ=--因为，所以，所以，01λ<<()65111λ-<--<-16AF EG -<⋅<-所以的取值范围为. AF EG ⋅()61--，22．如图，在扇形中，圆心角，A 是扇形弧上的动点． OMN π3MON ∠=(1)若平分时，求的值；OA MON ∠tan OAM ∠(2)若，矩形内接于扇形，求矩形面积的最大值．2OM =ABCD ABCD【答案】(1)2【分析】(1)由条件求的大小，再利用两角和正切公式求；OAM ∠tan OAM ∠(2) 设，利用表示矩形的面积，化简函数表达式，结合正弦函数性质和不等式AON θ∠=θABCD 性质求其最大值. 【详解】（1）因为，平分，所以，又，所以π=3MON ∠OA MON ∠π=6AOM ∠=OA OM ，ππ5π6=212OAM -∠=5πππtan =tan tan 21246OAM ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭（2）设，因为，所以，， AON θ∠=2OA =2cos OD θ=2sin AD θ=所以，2sin BC AD θ==在中，，，，所以，BOC 2sin BC θ=π3BOC ∠=π2BCO∠=πtan 3BC OC θ=2cos CD θθ=，222cos sin 4sin cos ABCDS CD AD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 2226θθθ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝因为，得，当时，即时，，π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ5π2+666θ⎛⎫∈⎪⎝⎭,ππ2+=62θπ=6θmax S。

江苏省常熟中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17C ．T 5=T 12D ．T 8=T 112． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.3． 为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C.向右平移3π个单位 D ．向右平移23π个单位4． 底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．48π C ．60πD ．72π5． 已知平面向量与的夹角为3π，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ．6． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+ 7．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π8． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，49． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=110．奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，11．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣212．如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．1111]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．15．设,则16．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2＋ln x 相切，则a ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2023-2024学年江苏省常熟市高一下册4月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin 20cos10sin 70sin10︒︒+︒︒=（）A.12-B.12C.2-D.22.已知点()1,3A ，()4,1B -，则与A B同方向的单位向量为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭3.已知a 、b 、c 为单位向量，且满足a b c += ，则a 与b的夹角为（）A.30︒B.60︒C.90︒D.120︒4.已知向量()3sin ,2a α=- ，()1,1cos b α=- ，若2a b ⋅=-，则tan 2α=（）A.1213-B.613-C.125-D.65-5.已知点N 、O 、P满足N A N B N C ++= ，OA OB OC== ，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点N 、O 、P 依次是ABC △的（）A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心6.已知ABC △是腰长为2的等腰直角三角形，D 点是斜边AB 的中点，点P在CD 上，且3CP PD =，则PA PB ⋅= （）A.154-B.1516-C.158-D.27.在ABC △中，2AB AC ==，120A ∠=︒，点M 满足AM AB AC λμ=+ ，21λμ+=，则AM的最小值为（）A.217 B.2114C.2D.18.在ABC △中，2B O O C =，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于M ，N 两个不同的点，若AB m AM = ，AC n AN =，其中m ，n 为实数，则224m n +的最小值为（）A.1B.4C.92D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列等式成立的是（）A.22sin75cos 752︒-︒=B.1sin15cos15222+︒=︒C.1sin 75cos 754︒︒=C.tan 1652︒=-10.ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a = ，2A C a b =+，则下列结论中正确的是（）A.a为单位向量B.b为单位向量C.a b ⊥D.()4a b BC+⊥ 11.已知向量)a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（）A.若a b ⊥，则tan θ=B.若b 在a上的投影向量为6a -，则向量a 与b的夹角为23πC.存在θ，使得a b a b+=+D.a b ⋅12.下列四个等式中正确的是（）A.tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒︒=B.()sin 5011︒+︒=C.已知函数()sin f x x x =+，则()f x 的最小正周期是πD.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2sin sin sin αβαβ+=，则cos()sin()sin sin cos cos αβαβαβαβ+++的最小值为1-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.________.sin 48cos18sin 30sin18︒-︒︒=︒14.已知向量()4,2a = ，(),1b λ= ，若2a b + 与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为________.15.如图，已知菱形ABCD 的边长为1，60DAB ∠=︒，D E E C =，2DF FB = ，则AE AF ⋅=________.16.已知A 、B 、C为ABC △的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tanB A =，则11tan tan BC+的最小值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，H 为线段BE 上靠近点E 的四等分点，记AB a = ，AD b =.（1）用a ，b表示A E ，AH ；（2）求线段AH 的长.18.已知2cos 410x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos x 的值；（2）求sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.19.在直角坐标平面xOy 内，已知向量()1,5OA = ，()7,1OB = ，()1,2OM =，P 为直线OM上的一个动点.当P A P B ⋅取得最小值时，求：（1）向量O P的坐标；（2）cos APB ∠的值；（3）求点A 到直线PB 的距离.20.已知向量()2cos ,sin a x x θ=+，()2sin ,cos b x x θ=-+.（1）若a b∥，求()cosx θ+；（2）若4πθ=，函数()[]()0,f x a b x π=⋅∈ ，求()f x 的值域.21.在平行四边形ABCD 中，1AD =，E 为CD 中点.（1）若60BAD ∠=︒，且满足1AC BE ⋅=，求AB 的长；（2）若23A B A C B A B C C A C B ⋅+⋅=⋅，求sin ACB ∠的最大值.22.如图，扇形钢板POQ 的半径为1m ，圆心角为60︒.现要从中截取一块四边形钢板ABCO .其中顶点B 在扇形POQ 的弧P Q 上，A 、C 分别在半径OP ，OQ 上，且AB OP ⊥，BC OQ ⊥.（1）设AOB θ∠=，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO 的面积()S θ，并指出θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO 的面积最大.答案1.B2.A2.A3.D3.D ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.C ；9.AC ；10.AD ；11.BCD ；12.ABC ；13.2；14.()(122,1-+ ；15.1312；16.23.17.（1）由已知得111222AE AD DE AD DC AD AB a b =+=+=+=+，………………2分()333153444284AH AB BH AB BE AB BC CE a b a a b ⎛⎫=+=+=++=+-=+ ⎪⎝⎭，所以12AE a b =+，5384AH a b =+；……………………………………5分（2）由（1）得5384AH a b =+，所以22225325953492cos 60846416844AH a b a b a b ⎛⎫=+=++⨯⨯⋅⨯︒=⎪⎝⎭ ，所以线段AH 的长为72.……………………………………………………10分18.（1）因为3,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以,442x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 410x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭.………………………2分cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.31021025=-=-.………………………………………………6分（2）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5x ==.……………………………………7分所以24sin 22sin cos 25x x x ==-，…………………………………………8分27cos 22cos 125x x =-=-.……………………………………………………9分所以241732473sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225250x x x πππ+⎛⎫⎛⎫+=+=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……12分19.（1）(),2OP tOM t t ==，…………………………………………1分()1,52PA t t =-- ，()7,12PB t t =--，∴()()()()()2217521252012528PA PB t t t t t t t ⋅=--+--=-+=-- …………3分当P A P B ⋅取得最小值时，2t =.∴()2,4OP = .…………………………4分（2）()1,1PA =-，PA = ()5,3PB =-，PB =，…………………………6分∴cos PA PB APB PA PB⋅∠===⋅.……………………………………8分（2）设点A 到直线PB 的距离为h ，则()sin 17PA APB A h PB π-∠=∠=== .…………12分20.（1）(2cos ,sin )a x x θ=，(2sin ,cos )b x x θ=- ，a b∥，∴()()2cos cos 2sin sin x x x x θθ-+=+………………………………2分即)()22cos cos sin sin 2sin cos x x x x θθ-=+，()1x θ+=，∴()cos 2x θ+=.………………………………………………6分（2）因为4πθ=，∴(2cos ,sin 1)a x x =+ ，(2sin ,cos 1)b x x =-+∴()4sin cos (sin 1)(cos 1)f x a b x x x x =⋅=++-+()3sin cos sin cos 1x x x x =+-+………………………………………………8分235(sin cos )(sin cos )22x x x x =--+-+，设sin cos t x x =-，则4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，∴t ⎡∈-⎣，……………………………………9分设()23522g t t t =-++，t ⎡∈-⎣，………………………………………………10分由二次函数性质可得：()f x 的值域为80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………12分21.（1）因为E 为CD 中点，12CE CD =因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC AB AD =+，…………………………1分因为1122BE BC CE AD CD AD AB =+=+=-，………………………………2分因为1AD =，1AC BE ⋅=，60BAD ∠=︒所以()112AC BE AB AD AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭，2221111cos 60112222AB AD AB AD AB AB ⋅-+=︒-+=，…………………………4分解得12AB = ，所以12AB =，……………………………………………………5分（2）因为23A B A C B A B C C A C B ⋅+⋅=⋅，所以()()()()23CB CA CA CA CB CB CA CB -⋅-+-⋅-=⋅ ，所以22223CB CA CA CA CB CB CA CB -⋅+-⋅+=⋅ ，所以2226CA CB CA CB +=⋅…………………………………………7分所以226cos CA CA ACB +=⋅∠，所以11cos 63ACB CA CA∠=+ (8)分23≥=，当且仅当1163CA CA=，即CA =10分所以sin 3ACB ∠=≤=，…………………………11分所以sin ACB ∠的最大值为73…………………………………………12分22.（1）因为AOB θ∠=，扇形钢板POQ 的圆心角为60︒，所以3BOC πθ∠=-，因为扇形钢板POQ 的半径为1m ，AB OP ⊥，BC OQ ⊥，所以cos OA θ=，sin AB θ=，所以111sin cos sin 2224OAB S OA AB θθθ=⋅==△，…………………………2分cos 3OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin 3BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1112cos sin sin 2223343OBC S OC BC πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△，……………………4分所以四边形钢板ABCO 的面积为：12()sin 2sin 243OAB OBC S S S πθθθ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△，…………………………5分其中θ的取值范围为0,3π⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………………………………6分（2）12()sin 2sin 243S πθθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…………………………………………7分131133sin 2cos2sin 2sin 2cos2422422θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………8分1cos2sin 242246πθθθ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………10分因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当262ππθ+=，即6πθ=时，……………………………………………………11分四边形钢板ABCO 的面积()Sθ最大，最大值为2m 4…………………………12分。

一、单选题1．已知，则（ ） cos 3sin 0αα+=tan 2α=A ．B ．C ．D ．3434-35-38-【答案】B【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值. tan 2α【详解】由，可得cos 3sin 0αα+=1tan 3α=-则 2212()2tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯-===----故选：B2．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．“”是“是以C 为直角的ABC A cos cos a A b B =ABC A 直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用正弦定理将边角互化，结合充分条件、必要条件的定义计算可得； 【详解】解：若，由正弦定理可得，cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =，或，即或，sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=22A B π+=A B =2A B π+=所以为等腰三角形或是以为直角的直角三角形，故充分性不成立； ABC A C 若是以为直角的直角三角形，即，ABC A C 2A B π+=所以，所以，即，2A B π=-22A B π=-()sin 2sin 2sin 2A B B π=-=所以，则，故必要性成立；sin cos sin cos A A B B =cos cos a A b B =故“”是“是以C 为直角的直角三角形”的必要不充分条件； cos cos a A b B =ABC A 故选：B3．设M 为内一点，且，则与的面积之比为（ ） ABC A 1145AM AB AC =+ ABM A ABC A A ． B ． C ． D ．15144959【答案】A【分析】做出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为． AE AC【详解】如图所示，∵点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足，1145AM AB AC =+以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，， 15AE AC =则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比， //EF AB 所以． 15ABM ABC S AE S AC ==A A 故选：A4．已知a ＝（1+tan21°）（1+tan22°），b ＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（ ） A ．a ＝b ＝2 B ．ab ＝4C ．a 2+b 2＝9D ．a 2＝b 2﹣2【答案】B【分析】根据两角和的正切可求ab ＝4，再根据得到，从而可得tan152︒=236(74a -<<正确的选项.【详解】解：因为，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°，tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒︒︒︒︒+==-故2＝（1+tan21°）（1+tan24°），同理2＝（1+tan22°）（1+tan23°）， 故ab ＝4，故B 成立；而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1， 故a ＜b ，故A 错误；而，故， tan 45tan 30tan1521tan 45tan 30︒︒︒︒︒-==+2(3a >因，故，所以，2(3,4a bab <<=2(32a <<236(74a -<<又若a 2+b 2＝9，则，解得22169a a +=2a =因为，36(736(74 1.733)2.448->-⨯=，故无解，故C 错误；9 4.123 2.43852-=22169a a +=若a 2＝b 2﹣2，则，则，22162a a=-21a =这与矛盾，故D 错误． 22.44836(74a <-<<故选：B ．5．已知、是两个非零向量，它们的夹角为，，则下列结论正确的是（ ）a bθb e b= A ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a e θ θa b为()cos a e θ- B ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a b θ θa b为()cos a b θ- C ．若存在实数，使，则λb a λ=a b a b ⋅= D ．若，则一定存在唯一的实数，使 a b a b ⋅= λb a λ=【答案】D【分析】利用投影向量的定义可判断AB 选项；利用平面向量数量积的定义结合共线向量的定义可判断CD 选项.【详解】对于AB 选项，向量在上的投影为，易知为与同向的单位向量， a b cos a θ e b所以，在方向上的投影向量为，AB 均错；a b()cos a e θ 对于C 选项，若存在实数，使，则、共线，λb a λ=a b 若，则、共线，但，C 错； θπ=a ba b a b ⋅=- 对于D 选项，若，则，，则，即、方向相同， a b a b ⋅= cos 1θ=0θπ≤≤Q 0θ=a b则、共线，一定存在唯一的实数，使，D 对. a b λb a λ=故选：D.6．已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）a b a b ⋅ 14=-2c a b =+cos a cA ．B C ．D 1314【答案】C【分析】先利用数量积表示模长.c a =+【详解】由已知知，，1a b ==r r 2c a =+=则 ()22||21cos ,4||||a a b a c a a b a c a c a c a c⋅+⋅+⋅====故选：C.7．已知函数的图象关于点及直线对称，且()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =在不存在最值，则的值为（ ）()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕA ．B ．C ．D ．π3-π6-π6π3【答案】C【解析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据对2,12T k N kπ=∈+T π≥2T π=1ω=称中心得到，得到答案.,6m m Z πϕπ=+∈【详解】函数的图象关于点及直线对称.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =则. 2+,,4236212T kT T k N kππππ=+=∴=∈+在不存在最值，则，故时满足条件，，.()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭T π≥0k =2T π=1ω=，则.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈当时满足条件，故.0m =6πϕ=故选：.C 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD 上一动点，则的取值范围为（ ）AP CP ⋅A ．B ．C ．D ．[]6,0-25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]7,0-【答案】C【分析】根据题意可计算出AB 的长，由此建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.,AP CP AP CP ⋅【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，， BCD △60DBC ∠=︒30ABD ∠=︒在中， ,； Rt △ABD tan 302AD BD =⨯== 24AB AD ==如图以B 为原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，BC BA则有，，由于，故可设P 点坐标为,且()0,4A ()C 60DBC ∠=︒()x 0x ≤≤所以，，()4AP x =- ()CP x =-所以， (4AP CP x x ⋅=-+-2244274x x ⎛- =⎝=-因为，当时，取得最小值 ，当 时，0x ≤≤x =22744x ⎛- ⎝274-0x =取得最大值为0， 22744x ⎛- ⎝所以， 2704AP CP -≤⋅≤故选：C.二、多选题9．下列等式成立的是（ ）A ．B ． ()21sin15cos152-=22sin 22.5cos 22.5-=C ．D ．1cos 24cos36cos 66cos542-=(3sin 40tan102=-【答案】AC【分析】利用二倍角公式可判断AB 选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断C 选项；利用辅助角公式以及二倍角的公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，A 对； ()21sin15cos1512sin15cos151sin 302-=-=-=对于B 选项，B 错； 22sin 22.5cos 22.5cos 45-=-= 对于C 选项，()()cos 24cos36cos 66cos54cos 9066cos36cos 66cos 9036-=---，C 对； ()1cos36cos 66sin 36sin 6636sin 302sin 66=-=-==对于D 选项，(sin10sin 40tan10sin 40cos10⎛=⋅= ⎝，D 错.()()2sin 40sin 10602sin 40sin 502sin 40cos 401sin 80sin 80cos 9080-==-=-=--故选：AC.10．下列说法正确的是（ ）A ．向量与共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件ABCD B ．若，则存在唯一实数使得//a b λb a λ= C ．已知，则与的夹角为锐角的充要条件是()()=1,3,1,1= a b a a b l + ()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若，则是在上的投影向量 AB AC AD AB AC λ+=BDBA BC 【答案】ACD【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和的平分线表示的向量平行的向量可得BAC ∠AD 为的平分线，又因为为的中线可判断 D.BAC ∠AD BC 【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线向量与共线，反之不成立，所以A 正确；⇒ABCD 对于B 选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数0a = 0b ≠λb a λ=0a = 0b = λ使得，故B 错误；b a =对于C 选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充()1,3a = ()1,1b =r ()1,3a b λλλ+=++ a a b l +要条件是且与不同向共线，()·0a a b λ+>a ab l + 即，()()1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>1≠解得，则实数的取值范围是，故C 正确；()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭λ()5,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭对于D 选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因AB ACAB AC+BAC ∠为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所AB ACAD AB ACλ+=AD BAC ∠AD BC AD BC ⊥以是在的投影向量，故选项D 正确. BDBA BC 故选：ACD. 11．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）()cos 22si n 1fx x x =-+A ．的最小正周期为 B ．的最小值为()f x π()f x 2-C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在上单调递减()f x 2x π=()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A. 利用周期函数的定义判断；B. 利用二倍角公式得到()22si n 2si n 2fx x x =--+，再令，利用二次函数的性质求解判断； C.利用二次函数的性质判断；D. 利用复[]sin 1,1x t =∈-合函数的单调性判断. 【详解】解：因为()()()cos 22si n 1fxx x πππ⎡⎤+=+-++⎣⎦，故A 错误；()cos 22si n 1x x fx =++≠，()cos 22si n 1fx x x =-+22cos 2si n x x =-22si n 2si n 2x x =--+令，[]sin 1,1x t =∈-则，当时，函数取得最小值-2，故B 正确；2215222222y tt t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭1t =因为关于对称，此时 ，则或2222y tt =--+12t =-1sin 2x =-2,6x k k Z ππ=-+∈， 52,6x k k Z ππ=-+∈所以函数的图像不关于直线对称，故C 错误；()f x 2x π=因为，在上递增，在上递减，而 在上递2222y tt =--+11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin y x =,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦增，在上递增，,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以由复合函数单调性知：函数在上递减，所以函数在上递减，故D 正()f x ,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦确；故选：BD12．如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，，，m ＞0，n ＞0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC 的面积分别为S 1，S 2，AD mAB = AE nAC =S 3，则（ ）A ．B ．C ．D ．113m n+=12S mn S =1345S S >1345S S ≤【答案】ABC【分析】A 选项，由题可得＝，设，，m ＞0，n ＞0，结AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = 合可得答案；1()3AG AB AC =+B 选项，由S 1＝，S 2＝可得答案；1||||sin 2mn AB AC A ∠ 1||||sin 2AB AC A ∠CD 选项，，后利用基本不等式可得答案. 32111S S S S =-11mm=-【详解】A 选项，由D 、G 、E 三点共线，则＝，设，，AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = m ＞0，n ＞0.则，(1)AG mAB nAC λλ=+-又由重心性质可知， 211()()323AG AB AC AB AC =⨯+=+ 则，，即，即选项A 正确； 13m λ=11(1)33n n λ-==113m n +=B 选项，S 1＝＝，1||||sin 2AD AE A ∠ 1||||sin 2mn AB AC A ∠ S 2＝，则，即选项B 正确；1||||sin 2AB AC A ∠12S mn S =CD 选项，＝≤，当且仅当，即时取等32121111S S S S S S S -==-11mm -2115()124m n +-=11m n =23m n ==号，则，即选项C 正确， D 错误. 1345S S >故选：ABC ．三、填空题13．如图，正八边形ABCDEFGH ，其外接圆O 半径为1.则___________.OA AB ⋅=1【分析】根据平面向量的基本运算，将转换为有关的表达式计算即可OA AB ⋅ OA OB，【详解】易得的夹角为，再由图可得OA OB ，4π()2,·AB OB OA OA AB OA OB OA OA OB OA =-⋅=-=⋅-. 1111=⨯=-1【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算与数量积运算，属于基础题14．若，，则_________．cos 2α=()sin αβ-=,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭αβ+=【答案】##4π-45- 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，根据()sin 2,cos ααβ-()()cos cos 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦，由两角和差余弦公式可求得，结合的范围可得结果.()cos αβ+αβ+【详解】，，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭sin 2α∴==又，，，,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭33,42ππαβ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭()cos αβ∴-==()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβααβααβααβ∴+=--=-+-⎡⎤⎣⎦⎛= ⎝，.3,04παβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭4παβ∴+=-故答案为：.4π-15．已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范()2cos 22f x m x x =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 围是______．【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】利用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数后利用正弦函数性质求解．【详解】由已知， 1()22cos 222sin 22026f x x x m x m π⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由题意此方程有两个不等实根．sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，，，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由得，∴时递减，时，递增，226x ππ-=3x π=0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x [,32x ππ∈()g x ，，，13g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭122g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1(0)2g =作出，的图象，作直线，如图，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦y m =∴当时，它们有两个不同的交点．有两解．112m ≤-<-sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把问题通过方程的根转化为直线与函数图象交点个数，然后利用函数图象得出结论．四、双空题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，a=2，⊙O 为△ABC 的外接圆，6A π=.OP mOB nOC =+（1）若m=n=1，则________.=OP （2）若m ，，则点P 的轨迹所对应图形的面积为________. []0,1n ∈【答案】【分析】（1）若，将两边同时平方，计算得出结果； 1m n ==OP OB OC =+（2）若m ，，讨论点P 的轨迹，得出是菱形，再去求面积即可. []0,1n ∈【详解】∵，，为的外接圆，6A π=2a =O A ABC A ∴，，. 22421sin 2a R R A ===⇒=260BOC A ∠=∠=︒ 2 OB OC ==（1）若，则，1m n ==OP OB OC =+()2222212OP OB OCOB OC OB OC OP =+=++⋅=⇒=（2）若m ，，则点P 的轨迹：[]0,1n ∈当，时，，此时点P 在线段上； 0m =[]0,1n ∈OP nOC =OC 当，时，，此时点P 在线段上；0n =[]0,1m ∈OP mOB =OB 当，时，，构造平行四边形，此时点P 在线段上（如图1m =[]0,1n ∈OP OB nOC =+OBDC BD 1）；当，时，，构造平行四边形，此时，点P 在线段上；1n =[]0,1m ∈OP mOB OC =+OBDC CD 当m ，时，，此时，点P 在菱形内部，（如图3）；()0,1n ∈OP mOB nOC =+OBDC 综上，P点的轨迹为菱形组成的图形区域，则 OBDC .12222sin 602OBC OBCD S S==⨯⨯⨯⨯︒=△菱形五、解答题17．已知单位向量的夹角为，向量，向量.12,e e 23π12a e xe =- 1232b e e =+(1)若∥，求x 的值；a b(2)若，求. a b ⊥a r 【答案】(1)23-【分析】（1）由，可得存在实数，使得，然后将，代入化简可求出x 的值， a b∥λλa b = a b （2）由，可得，再将，代入化简可求出x 的值，从而可求出a b ⊥0a b ⋅= a b a r 【详解】（1）因为，所以存在实数，使得，a b∥λλa b = 即，()1212123232e xe e e e e λλλ-=+=+ 则有，， 13λ=2x λ=-解得；23x =-（2）由，有，a b ⊥0a b ⋅= 即，()()()22121211221323(23)2323202e xe e e e x e e xe x x -⋅+=+-⋅-=---= 解得，4x =故，124a e e =-所以a ===18．已知,设函．())22cos ,1,,2cos ,m x n x x x R =-=∈ ()1f x m n =⋅+(1)求函数的最小正周期；()f x (2)若，且，求的值．7,312ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦8()5f α=cos 2α【答案】(1) π(2)【分析】（1）根据平面向量的数量积坐标公式，以及辅助角公式化简，再根据周期公式求最()f x 小正周期.（2）根据的值计算,再利用和角公式计算.()f απsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2α【详解】（1）由已知条件得：21()cos 2cos 12cos 222cos 22f x x x x x x x x ⎫=-+=-=-⎪⎪⎭πππ2sin 2cos cos 2sin 2sin 2666x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小正周期 2ππ2T ==（2），又 π8()2sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ π4sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭π7π312α≤≤ππ2π26α∴≤-≤故，进而可得πcos 206α⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭π3cos 265α⎛⎫-==- ⎪⎝⎭ππππππ341cos 2cos 2=cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+---=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM CN 于.P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅【答案】（1）；（2）. 12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值； x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC =λk的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，APAB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，，因此，； 34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设， 3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即， NP k NC =()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以， 314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB⋅=+-=+⋅- . 221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 20．在△ABC 中，，，O 是的外接圆圆心，若AB =2AC =56BAC π∠=ABC A ．AO AB AC λμ=+ (1)求及； AO AB ⋅AO (2)求，．λμ【答案】(1)32AO AB ⋅= (2) 74,2λμ==【分析】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，取的中点，的中点，连接A AB M AC N ，设，根据O 是的外接圆圆心，可得，则有,OM ON (),O x y ABC A ,OM AB ON AC ⊥⊥，求得点的坐标，再根据向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示即可得解； 00MO AB NO AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩O （2）根据结合向量线性运算的坐标表示列出方程组，解之即可得解.AO AB ACλμ=+【详解】（1）解：如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， A 则，())()0,0,,A BC 取的中点，的中点，连接，AB M AC N ,OM ON 则， 1,2M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭设，则， (),O x y 1,2MO x y NO x y ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(),AB AC ==因为O 是的外接圆圆心， ABC A 所以，,OM AB ON AC ⊥⊥则，解得，0102MO AB x NO AC x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩72x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， )7322AO AB ⎫⋅=⋅=⎪⎪⎭；=（2）解：因为，AO AB AC λμ=+即，，)())7,2λμμ⎫=+=⎪⎪⎭所以，解得.72μ=⎪=⎪⎩472λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩所以. 74,2λμ==21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且ABC ∆BC P B C H BC 满足.已知，，设.CH AB ⊥90ACB ∠=︒1dm AB =ABC θ∠=（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值ABC PCB ∠=∠CA CP +θ时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何60PBA ∠=︒CH CP +θ值时，取得最大值，并求该最大值. CH CP +【答案】（1）（2）当， π6θ=π12θ=CH CP +【解析】（1）设，则在直角中，，，计算得到ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=，计算最值得到答案.2sin sin 1AC CP θθ+=-++（2）计算，得到.sin cos CH θθ=⋅πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则在直角中，，. ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=在直角中，，PBC ∆2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=.sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=，，22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当，即，的最大值为.1sin 2θ=π6θ=AC CP +54（2）在直角中，由，ABC ∆1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅可得. sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅在直角中，，PBC ∆πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以，， 1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎭π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-， 11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以当，. π12θ=CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.22．对于函数，若存在定义域中的实数a ，b 满足b ＞a ＞0且，则()f x ()()2()02a bf a f b f +==≠称函数为“M 类”函数．()f x (1)试判断＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类”函数，并说明理由；()f x (2)若函数，，n ∈N *为“M 类”函数，求n 的最小值． ()2log 1f x x =-()0,x n ∈【答案】(1)不是M 类函数，理由见解析 (2)7【分析】（1）由题意，假设为“M 类”函数，则存在b ＞a ＞0，使得b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ()f x ＝π+2k π，k ∈Z .后分两种情况求的值，即可导出矛盾； sin a （2）由题可得，由对数运算性质结合可得22211212l og l og l og a ba b +-=-=-4ab =，后由零点存在性定理可得b 范围，由此可得n 的最小值． 24()8b b b+=326480b b b ⇒---=【详解】（1）由题意，假设为M 类函数，则存在b ＞a ＞0，使得sin a ＝sin b ， ()f x 则b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ＝π+2k π，k ∈Z ， 根据题意，有． sin 2sin2a ba +=①当b ＝a +2k π，k ∈Z 时，有 ，k ∈Z ， ()2si n si n πa a k =+即sin a ＝±2sin a ，解得sin a ＝0，不成立；②当b +a ＝π+2k π，k ∈Z 时，有，k ∈Z ，22πsi n si n πa k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即sin a ＝±2，不成立， ∴函数不是M 类函数；()f x （2）由题意，则在单调递减，在单调递增． ()22log 121log 02x x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩，，()f x ()0,2()2,+∞又∵是M 类函数，∴存在0＜a ＜2＜b ，满足， ()f x 22211o 1o 12|log 1|2a bg a g b +-=-=-又由等式可得：，则ab ＝4，()2log 2ab =所以，214(2)2(4)0222a b a a a a+--=+-=>则，所以得， 21o 102a b g +->221o 12(log 1)2a bg b +-=-从而有，则有，即，222log 1log ()2a b b ++=2()24a b b +=24()8b b b +=所以b 4﹣8b 3+8b 2+16＝0，则.()()3226480b b b b ----=由b ＞2，则b 3﹣6b 2﹣4b ﹣8＝0， 令＝x 3﹣6x 2﹣4x ﹣8，()g x 注意到当2＜x ＜6时，＝，()g x ()26480x x x ---<且，且连续不断，()()63207130，g g =-<=>()g x 由零点存在性定理可得存在，使得，此时. ()6,7b ∈()0g b =()0,2a ∈∴n 的最小值为7．【点睛】关键点睛：本题涉及函数新定义，难度较大.（1）先假设满足题意，从而得到相应等量关系，后由等量关系得，从而发现矛盾； ()f x sin a （2）问将求的最小值，转化为求的范围，关键为得到关于的等式.n b b。

江苏省苏州中学2020-2021学年高一数学下学期3月月考试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1．函数y＝log a（x+4）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则＝（）A．B．C．D．2．若函数y＝2sin（2x+φ）的图象过点（，1），则它的一条对称轴方程可能是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝3．已知O、A、M、B为平面上四点，且＝λ+（1﹣λ），λ∈（1，2），则（）A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O、A、M、B四点一定共线4．在四边形ABCD中，＝+2，＝﹣4﹣，＝﹣5﹣3，其中，不共线，则四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形5．已知，，且，，则sinβ＝（）A．B．C．D．6．如图，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣27．若在[﹣a，a]上是增函数，则下列正确是（）A．实数a的取值范围为B．实数a的取值范围为C．点为曲线f（x）的对称中心D．直线为曲线y＝f（x）的对称轴8．设向量，，满足||＝||＝1，＝﹣，＜﹣，﹣＞＝60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．10．已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（）A．B．C．若，则D．若，则m＝n11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法正确的是（）A．若与共线，则⊙＝0B．⊙＝⊙C．对任意的λ∈R，有⊙＝⊙）D．（⊙）2+（）2＝||2||212．给出下列命题，其中正确的选项有（）A．非零向量、满足，则与的夹角为30°B．若，则△ABC为等腰三角形C．若单位向量的、的夹角为120°，则当（x∈R）取最小值时，x＝1 D．若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取价范围是m＞﹣三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。