2017-2018届广东省东莞市高三第二次模拟考试理科数学试题及答案

广东省东莞市2017届高三第二次模拟测试理科数学试卷答 案一、选择题1~5．CDBAD 6~10．CBAAB 11~12．DC二、填空题13．15[,]88- 14．10915．13π16．224(14)14n λλλ-- 三、解答题17．解：（Ⅰ）依题意，由正弦定理可知a ．由余弦定理，得227)c =+)cos c B -，故27c =，c b ==，故sin sin B C =． （Ⅱ）因为1cos22B =，故52π3B =，故5π6B =．由余弦定理可得227)c =+-)cos c B ，解得1c =，a =．由正弦定理可得1sin sin 6C ，解得sin C =h C =． 18．解：（Ⅰ）散点图如图所示：（Ⅱ）依题意，1(234567912)68x =+++++++=，1(1234568)48y =++++++=，821491625i i x==+++∑364981144364++++=， 8126121524i i i x y ==++++∑355496244+++=，818218ˆii i i i x y x y b x==-==∑∑2244864133648619-⨯⨯=-⨯，132ˆ461919a ∴=-⨯=-， ∴回归直线方程为132ˆ1919yx =-． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当25x =时，132519y =⨯-21719=． 即若一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售17天．19．解：（Ⅰ）因为AD ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，所以AD EC ⊥．又AC 1AE EC ==，所以222AC AE EC =+，所以AE EC ⊥．又AE AD A =，所以EC ⊥平面ADE ．因为EC ⊂平面FCE ，所以平面FCE ⊥平面ADE ．（Ⅱ）以A 为原点，AC ，AD 所在直线为x ，y 轴，过点A 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD a =（0a >），则(0,0,0)A，C，E ，F a -， 设平面ACF 的一个法向量为(,,)m x yz =，因为(2,0,0)AC =，2(AF a =-，所以0,0,m AC m AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0,ay =-=取z1y a =，则1(0,m a =．又因为2(AE =，设直线AE 与平面ACF 所成的角为θ，则||sin ||||AE m AE m θ===， 解得1a =（1a =-舍去），故2AD =．20.解：（Ⅰ）依题意，221914a b +=，12c a =，222a b c =+，解得2a =，b =1c =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）因为PO OR =，所以O 为PR 的中点，所以||2PR =．由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221,143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+． 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆＞，即22(6)36(34)0m m ++＞，R m ∈． 则121||||2MNR S PR y y =-△12||y y =-==．令t =则1t ≥，MNR S ==212121313t t t t=++，令1()3f t t t =+，则函数()f t在)+∞上单调递增，故当1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此有()(1)4f t f =≥，所以3MNR S △≤，故MNR △面积的最大值为3，此时直线l 的方程为1x =．21．解：（Ⅰ）依题意，244()x f x x x x-'=-=(2)(2)x x x +-=． 令()0f x '＞，即20x -＞，解得02x ＜＜，故函数()f x 的单调递增区间为(0,2)．（Ⅱ）依题意，()()(4)g x f x m x =--=214ln 2x mx -(4)m x +-， 1212()()4(ln ln )g x g x x x -=-22121()2m x x --+12(4)()m x x -- 124(ln ln )x x =--12121()()2m x x x x +-12(4)()m x x +--． 由题设得12012()()()g x g x g x x x -'==-12124(ln ln )x x x x ---121()(4)2m x x m ++-． 又12128()2x x g m x x +'=-+1242x x m ++-， 所以120()()2x x g x g +''-=1212124(ln ln )8x x x x x x --=-+212121212()4[(ln ln )]x x x x x x x x ----+221221112(1)4[ln ]1x x x x x x x x -=--+．不妨设120x x ＜＜，21x t x =，则1t ＞，则2212112(1)ln 1x x x x x x --+ 2(1)ln 1t t t -=-+(1)t ＞． 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+(1)t ＞，则22(1)()0(1)t h t t t -'=+＞，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以(t)(1)0h h =＞，故2212112(1)ln 01x x x x x x --+＞．又因为210x x ->，因此120()()02x x g x g +''-＞，即120()()2x x g g x +''＜． 又由4()(4)g x mx m x '=-+-知()g x '在(0,)+∞上单调递减， 所以1202x x x +＞，即1202x x x +＞． 22．解：（Ⅰ）因为3cos ,13sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩故22((1)9x y ++=，故22x y +-250y +-=，故曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ-+2sin 50ρθ-=．因为2cos ρθ=，故22cos ρρθ=，故2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=（或写成22(1)1x y -+=）． （Ⅱ）设P ，Q 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将π6θ=（θ∈R）代入2cos ρθ- 2sin 50ρθ+-=中，整理得2250ρρ--=，故122ρρ+=，125ρρ=-，故12||||PQ ρρ=-==23．解：（Ⅰ）依题意，得()|3||1|f x x x =++-|31|4x x +-+=≥，故m 的值为4．当且仅当(3)(1)0x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，即x 的取值范围为[3,1]-． （Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故2222()()4p q q r +++=．因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立，222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立， 所以2222()()4p q q r +++=22pq qr +≥，故()2q p r +≤，当且仅当p q r ==时等号成立．。

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知x，y∈R，集合A={2, log3x}，集合B={x, y}，若A∩B={0}，则x+y=()A.13B.0C.1D.32. 若复数z1=1+i，z2=1−i，则下列结论错误的是（）A.z1⋅z2是实数B.z1z2是纯虚数C.|z14|=2|z2|2D.z12+z22=4i3.已知a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则b→⋅c→=( )A.−7B.−2C.5D.84. 如图，AD^是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.π16B.316C.π4D.145. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则√a1a2a3⋯a99=()A.−9B.9C.−81D.816. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点坐标为(4, 0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A.x28−y28=1B.x2 16−y216=1C.y28−x28=1D.x28−y28=1或y28−x28=17. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.8π+6B.6π+6C.8π+12D.6π+128. 设x ，y 满足约束条件{xy ≥0|x +y|≤2，则z =2x +y 的取值范围是（ ）A.[−2, 2]B.[−4, 4]C.[0, 4]D.[0, 2]9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人–宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ） A. B.C. D.10. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n+15，已知n，m∈N+，n>m，则S n−S m的最小值为（）A.−494B.−498C.−14D.−2811. 已知菱形ABCD的边长为2√3，∠BAD＝60∘，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A−BD−C的余弦值为−13，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A.28√73π B.8√6π C.20√53π D.36π12. 已知函数f(x)=e x−ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是（）A.∀x∈(−3, +∞)，f(x)≥13B.∀x∈(−3, +∞)，f(x)>−12C.∃x0∈(−3, +∞)，f(x0)=−1D.f(x)min∈(0, 1)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．已知a>0，b>0，(ax+bx )6展开式的常数项为52，则a+2b的最小值为________．已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx，当m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1的解集为________．设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60∘，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90∘，∠ADC=∠DCB=120∘．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为x （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求x 的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为已知椭圆C 1:x 28+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线C 2:y 2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1, 1)，求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明1m +1n是定值．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)e x−f′(0)x．（1）求f(x)的单调区间；（2）当x>0时，af(x)<e x−x恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=π3与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|mx+3|−|2x+n|．（1）当m=2，n=−1时，求不等式f(x)<2的解集；（2）当m=1，n<0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】∵z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=1−i2=2，故A正确；z1 z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=−i，故B正确；|z14|=|z1|4=4，2|z2|2=4，故C正确；z12+z22=(1+i)2+(1−i)2=0，故D错误．3.【答案】A【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则−1×(m−4)−3×m=0，解得m =1， ∴ b →=(1, −3)c →=(2, 3)，b →⋅c →=1×2+(−3)×3=−7．故选A . 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】连结AE ，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的14，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P =14， 5.【答案】 B【考点】等比数列的性质 【解析】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q 4×9，代入√a 1a 2a 3⋯a 99=q 4．即可得出． 【解答】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)， ∴ a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)， 化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q8×(8+1)2=q 4×9则√a 1a 2a 3⋯a 99=√q 4×99=q 4=9．6.【答案】 A【考点】 双曲线的特性 【解析】由题意可得c =4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a =b ，解方程可得a ，b 的值，即可得到所求双曲线的方程． 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一个焦点坐标为(4, 0)，可得c =4，即有a 2+b 2=c 2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直， 即直线y =ba x 和直线y =−ba x 垂直， 可得a =b ，解方程可得a =b =2√2， 则双曲线的方程为x 28−y 28=1．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可． 【解答】几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π． 8.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2 所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y =2x 可得结论． 【解答】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2所对应的可行域（如图阴影） 变形目标函数可得y =−2x +z ，平移直线y =−2x 可知 当直线经过点A(−2, 0)时，目标函数取最小值−4 当直线经过点B(2, 0)时，目标函数取最大值4， 故z =−2x +y 的取值范围为[−4, 4]． 9.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n ≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列， 由S n =2n −1得：S n+1=2n+1−1=2S n +1， 故循环体内S =1+2S ， 10.【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】由等式变形，可得{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5，运用等差数列的通项公式可得a n ，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n ，讨论n 的变化，S n 的变化，僵尸可得最小值． 【解答】∵ (2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n +15，∴ a n+12n−3−a n 2n−5=1，a1−3=−5． 可得数列{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5．∴ a n2n−5=−5+n −1=n −6，∴ a n =(2n −5)(n −6)=2n 2−17n +30．∴ S n =2(12+22+……+n 2)−17(1+2+……+n)+30n =2×n(n +1)(2n +1)6−17×n(n +1)2+30n=4n 3−45n 2+131n6．可得n =2，3，4，5，S n 递减；n >5，S n 递增，∵ n ，m ∈N +，n >m ，S 1=15，S 2=19，S 5=S 6=5，S 7=14，S 8=36， S n −S m 的最小值为5−19=−14， 11.【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积． 【解答】如图所示，取BD 中点F ，连结AF 、CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AFC 是二面角A −BD −C 的平面角， 过A 作AE ⊥平面BCD ，交CF 延长线于E ，∴ cos∠AFC =−13，cos∠AFE =13，AF ＝CF =√(2√3)2−(√3)2=3， ∴ AE ＝2√2，EF ＝1，设O 为球，过O 作OO′⊥CF ，交F 于O′，作OG ⊥AE ，交AE 于G ，设OO′＝x ，∵ O′B =23CF ＝2，O′F =13CF =1，∴ 由勾股定理得R 2＝O′B 2+OO ′2＝4+x 2＝OG 2+AG 2＝(1+1)2+(2√2−x)2， 解得x =√2，∴ R 2＝6，即R =√6，∴ 四面体的外接球的体积为V =43πR 3=43π×6√6=8√6π．12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】本题首先要对函数f(x)=e x −ln(x +3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x ∈(a, b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x 0∈(−1, −12)从而．得到x =x 0时是函数f(x)的最小值点． 【解答】因为函数f(x)=e x −ln(x +3)，定义域为(−3, +∞)，所以f′(x)=e x −1x+3， 易知导函数f′(x)在定义域(−3, +∞)上是单调递增函数， 又f′(−1)<0，f′(−12)>0，所以f′(x)=0在(−3, +∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x 0，且x 0∈(−1, −12)， 则x =x 0为f(x)的最小值点，且f′(x 0)=0，即e x 0=1x 0+3，两边取以e 为底的对数，得x 0=−ln(x 0+3) 故f(x)≥f(x 0)=ex 0−ln(x 0+3)=1x+3−ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0，因为x 0∈(−1, −12)，所以2<x 0+3<52，故f(x)≥f(x 0)=1x 0+3+(x 0+3)−3>2+12−3=−12，即对∀x ∈(−3, +∞)，都有f(x)>−12．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −π 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值． 【解答】函数f(x)=2sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度， 得f(x +π3)=2sin[2(x +π3)+φ]=2sin(2x +φ+2π3)的图象，∴ g(x)=2sin(2x +2π3+φ)；又g(x)是偶函数，∴ 2π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ； ∴ φ=−π6+kπ，k ∈Z ； 又φ<0，∴ φ的最大值是−π6． 【答案】 2【考点】 二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，可得ab =12，再由基本不等式求a +2b 的最小值． 【解答】(ax +bx )6展开式的通项为T r+1=C 6r ∗(ax)6−r ∗(bx )r =a 6−r ∗b r ∗C 6r∗x 6−2r ，由6−2r =0，得r =3．∴ a 3b 3∗C 63=52，即ab =12．∴ a +2b ≥2√2ab =2，当且仅当a =2b ，即a =1，b =12时，取“=”． ∴ a +2b 的最小值为2． 【答案】 (0, 1) 【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用单调性求解即可． 【解答】函数f(x)=log 2(4x +1)+mx ，当m >0时，可知f(x)时单调递增函数， 当x =0时，可得f(0)=1，那么不等式f(log 3x)<f(0)的解集， 即{x >0log 3x <0 ， 解得：0<x <1． 【答案】 3【考点】 抛物线的求解 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：方法一： 画出对应的图，设AB 与OP 的夹角为θ，则△ABQ 中AB 边上的高与△ABO 中AB 边上的高之比为PQsin θOPsin θ=PQOP ， ∴ S △ABQS△ABO =PQ OP =y Q −y P y P=y Q y P−1．设P (y 122p ,y 1)， 则直线OP:y =y 1y 122px ，即y =2p y 1x ，与y 2=8px 联立， 可得y Q =4y 1，从而得到面积比为4y1y 1−1=3．故答案为：3．方法二：记d(X,YZ)表示点X 到线段YZ 的距离， 则S △ABQS△ABO=d(Q,AB)d(O,AB)=|PQ||OP|，设|OQ||OP|=m ，P (x 0,y 0)， 则OQ →=mOP →，即Q (mx 0,my 0)．于是y 02=2px 0，(my 0)2=8pmx 0， 故m =4， 则|PQ||OP|=|OQ|−|OP||OP|=4−1=3，从而S △ABQS△ABO=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【考点】三角形求面积【解析】（1）设BM=x，则AM=2√3x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．（2）由正弦定理得bsinB =csinC，从而sinC=√33，由b=12>c，得B>C，cosC=√63，从而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3√2+√36，由此能求出△ABC的面积．【解答】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【答案】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB→=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0 ，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×√5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【考点】平面与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值． 【解答】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB →=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【答案】 解：（1）由题可知：a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+ 0.75a ×0.1+0.7a ×0.04=0.873a ．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为 0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y 的所有可能取值为5000，10000，15000，20000． P(Y =5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题可知：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+ 0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P(Y=5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【答案】（1）解：因为抛物线C2:y2=8x的焦点(2, 0)，则c=2，b2=a2−c2=4，所以C1：x28+y24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28. 当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m+1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【考点】 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：因为抛物线C 2:y 2=8x 的焦点(2, 0)，则c =2，b 2=a 2−c 2=4， 所以C 1：x 28+y 24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28.当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m +1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【答案】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增． 令g(x)=af(x)−e x +x =ae 2x −(2a +1)e x +x ， 根据题意，当x ∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立． g′(x)=(2ae x −1)(e x −1)．①当0<a <12，x ∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)， 所以不符合题意；②当a ≥12，x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意； ③当a ≤0时，因为x ∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0， 故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x ∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0， 即a −(2a +1)≤0，解得：a ≥−1，故−1≤a ≤0． 综上，a 的取值范围是[−1, 0]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，计算f(0)，求出f′(0)的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g(x)=af(x)−e x +x ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可． 【解答】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．令g(x)=af(x)−e x+x=ae2x−(2a+1)e x+x，根据题意，当x∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立．g′(x)=(2ae x−1)(e x−1)．①当0<a<12，x∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)，所以不符合题意；②当a≥12，x∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a−(2a+1)≤0，解得：a≥−1，故−1≤a≤0．综上，a的取值范围是[−1, 0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x−y−34+a=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a=0．∵圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ρ2+ρ3=3+3√3．∵点M恰好为AB的中点，∴ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a=0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a=0，解得a=94．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l 的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C 的极坐标方程．（2）设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，从而ρ2+ρ3=3+3√3，进而M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，能求出a 的值．【解答】∵ 直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t（t 为参数），∴ 在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x −y −34+a =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，得到直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a =0． ∵ 圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0． 在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)． 联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ ρ2+ρ3=3+3√3． ∵ 点M 恰好为AB 的中点， ∴ ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)． 把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a =0，解得a =94．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|， 不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2，解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0． 所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n2−x +3−n,x >−n2 ，所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：试卷第21页，总21页 A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）代入m ，n 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）求出A ，B ，C 的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n 的不等式，解出即可．【解答】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|，不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2 或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2 或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2， 解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0．所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n 2−x +3−n,x >−n 2， 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．。

2018年广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（1，5）2．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．﹣23．（5分）已知点P（sinθ，3sinθ+1）（θ∈（0，））在直线x+y﹣3＝0上，则θ＝（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出x＝5，则输出结果为（）A．7B．6C．5D．45．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x﹣y的最小值为，则实数a的值为（）6．（5分）已知函数f（x）＝3x﹣，x∈（1，4）的值域为区间D，若从区间D内任取一函数值f（x0），则≥2的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将函数f（x）的图象向左平移φ个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）＝sin x的图象，若函数f（x）在（）上单调递增，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．8．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点，＝，且＝，则实数λ的取值为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱与最短棱所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C：（a＞b＞0）的离心率为2，过右焦点F的直线l交双曲线的两条渐近线于A，B两点，且＝0，则直线l的斜率k（k＞0）的值等于（）11．（5分）在△ABC中，若，则cos A的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+|x﹣1|，若不等式f（x）≥（m+2）x﹣1恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．[﹣3﹣2，0]B．[﹣3﹣2，﹣3]C．[﹣3+2，0]D．（﹣∞，﹣3﹣2]∪[﹣3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13．（5分）在（）n的展开式中，各项的二次项的系数之和为64，则它的展开式中常数项等于．14．（5分）已知几何体Ω是平面α截半径为4的球O所得较大部分，△ABC是截面圆O′的内接三角形，∠A＝90°，点P是几何体Ω上的一动点，且P在圆O′上的投影在圆O′的圆周上，OO′＝1，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为15．（5分）已知直线l：x+y＝3与圆C：（x﹣a）2+（y﹣5）2＝10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于点P（），则四边形ACBP的面积为16．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），f（x）＝f（4﹣x），且f（0）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等比数列{a n}与等差数列{b n}，a1＝b1＝1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设S n，T n分别是数列{a n}，{b n}，的前n项和，若S n+T n＞100，求n的最小值．18．（12分）如图，平面CDEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，四边形CDEF 为直角梯形，∠ADC＝120°，CF⊥CD，且CF∥DE，AD＝2DC＝DE＝2CF（I）求证：BF∥平面ADE；（II）设P点是线段DE上一点，若平面BCD与平面BFP所成的锐二面角为30°，求点P 的位置．19．（12分）近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平．几年后，一机构对这些贫困户家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数x（户）与扶贫后脱贫家庭数y（户）的数据关系如下：（I）求政府扶贫资金数为9万元的脱贫率比政府扶贫资金数为3万元的脱贫率高多少？（II）用表格中的数据所得频率代替概率，若从政府扶贫的240户贫困户中有放回地随机抽取两户家庭，设Z表示这两户家庭的政府扶贫资金总和，求Z的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆Ω：（a，b＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O 且斜率为1的直线l交椭圆Ω于A，B两点，四边形F1AF2B的周长与面积分别为8与．（Ⅰ）求椭圆Ω的标准方程；（Ⅱ）设直线l'交椭圆Ω于C，D两点，且OG⊥OD，求证：O到直线l'的距离为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣a（a≠0），且f（x）的最小值为0（I）求实数a的取值范围；（II）设g（x）＝（x﹣2）e x+f（x），若g（x）的极值为M，求证：﹣2.5＜M＜﹣2请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点B在曲线C上，，求∠AOB的大小．[选修4-5；不等式选讲]23．已知m+n＝9，f（x）＝|x﹣m|+|x+n|，且对任意的x∈R，f（x）≥M恒成立．（Ⅰ）求实数M的取值范围；（Ⅱ）若正实数a，b满足a2+b2＝M max，求证（a+b）（a3+b3）≥81．2018年广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（1，5）【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜5}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}＝（0，1），故选：C．2．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．﹣2【解答】解：＝＝a﹣2﹣4i为纯虚数，则实数a满足：a﹣2＝0，解得a＝2．故选：B．3．（5分）已知点P（sinθ，3sinθ+1）（θ∈（0，））在直线x+y﹣3＝0上，则θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：点P（sinθ，3sin+1）在直线x+y﹣3＝0上，∴sinθ+3sinθ+1﹣3＝0，可得sinθ＝，又θ∈（0，），则θ＝．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出x＝5，则输出结果为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：若输出x＝5，则第一次执行循环体后，d＝﹣5，x＝﹣5，满足条件x≠0，不满足条件x＞0，故x＝﹣4，i ＝2；第二次执行循环体后，d＝4，x＝4，满足条件x≠0，满足条件x＞0，故x＝3，i＝3；第三次执行循环体后，d＝﹣3，x＝﹣3，满足条件x≠0，不满足条件x＞0，故x＝﹣2，i ＝4；第四次执行循环体后，d＝2，x＝2，满足条件x≠0，满足条件x＞0，故x＝1，i＝5；第五次执行循环体后，d＝﹣1，x＝﹣1，满足条件x≠0，不满足条件x＞0，故x＝0，i＝6；第六次执行循环体后，d＝0，x＝0，不满足条件x≠0，故输出的i＝6，故选：B．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x﹣y的最小值为，则实数a的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如图所示，当0＜a＜1时，可行域为梯形ABCD；当a≥1时，可行域为△CDE；当0＜a＜1时，直线z＝x﹣y经过点A（1﹣a，）时，z取得最小值﹣，所以1﹣a﹣＝﹣，解得a＝；当a≥1时，直线z＝x﹣y经过点E（0，1）时，z取得最小值﹣1，此时不满足题意；综上，实数a的值为．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝3x﹣，x∈（1，4）的值域为区间D，若从区间D内任取一函数值f（x0），则≥2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝3x﹣，x∈（1，4）是增函数，则f（1）＝3﹣4＝﹣1，f（4）＝12﹣1＝11，即函数的值域D（﹣1，11），由≥2得3﹣≥2得≤1，得x02≥4，则x0≥2或x0≤﹣2，∵x∈（1.4），∴x0∈（2，4），则对应的概率P＝＝，故选：B．7．（5分）将函数f（x）的图象向左平移φ个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）＝sin x的图象，若函数f（x）在（）上单调递增，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．【解答】解：将g（x）＝sin x得图象横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin2x，然后将函数图象向右平移φ个单位，得到f（x）＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），∵函数f（x）在（）上单调递增，∴2x﹣2φ∈（﹣2φ，π﹣2φ），则，得﹣kπ≤φ≤﹣kπ，当k＝0时，≤φ≤，当k＝﹣1时，≤φ≤，显然不可能取得，故选：C．8．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点，＝，且＝，则实数λ的取值为（）A．B．C．D．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝2，可得•＝2×1×cos60°＝1，＝+，2＝2+2+2•＝4+1+2＝7，点E是线段AC上一点，，且＝，可得λ•（﹣）＝λ22﹣λ（+）•＝﹣，即有7λ2﹣5λ+＝0，解得λ＝，故选：A．9．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱与最短棱所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知，该几何体是侧棱P A⊥底面ABCD的四棱锥，如图所示；其中底面四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，P A＝4；最长的棱为PC＝＝，最短的棱为CD＝AB＝2；∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又矩形ABCD中，CD⊥AD，且P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥P A，∴PC与CD所成角的余弦值为＝＝．故选：D．10．（5分）已知双曲线C：（a＞b＞0）的离心率为2，过右焦点F的直线l交双曲线的两条渐近线于A，B两点，且＝0，则直线l的斜率k（k＞0）的值等于（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵e＝2，∴＝＝，∴双曲线的两条渐近线为y＝±x，设直线l的方程为x＝y+1，由，可得y A＝，同理可得y B＝，∵＝0，∴y A+2y B＝0，∴+2×＝0，解得k＝3，故选：A．11．（5分）在△ABC中，若，则cos A的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，可得，∴cos A＝．又＝2R，cos A＝，∴＝，可得3a2＝b2+c2．∴cos A＝＝＝．∴cos A的取值范围为[，1）．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+|x﹣1|，若不等式f（x）≥（m+2）x﹣1恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．[﹣3﹣2，0]B．[﹣3﹣2，﹣3]C．[﹣3+2，0]D．（﹣∞，﹣3﹣2]∪[﹣3，+∞）【解答】解：由题意，不等式f（x）≥（m+2）x﹣1恒成立，可得不等式（x﹣1）2+|x﹣1|≥mx．令g（x）＝（x﹣1）2+|x﹣1|，h（x）＝mx，当m＝0时，显然g（x）≥h（x）恒成立．g（x）＝（1）若g（x）＝x2﹣x，（x≥1），则x2﹣x≥mx，即x2﹣x（m+1）≥0，则m+1≤1，可得m≤0．（2）方法一：若g（x）＝x2﹣3x+2，（x＜1），则x2﹣3x+2≥mx，即x2﹣x（m+3）+2≥0，当x＝0时，显然成立，当0＜x＜1，分离参数，即≥m．∵y＝，当且仅当x＝时取等，∴当0＜x＜1，函数y＝是递减函数．故得值域y∈（0，3）∴m∈（﹣3，0）当x＜0，分离参数，∵y＝，当且仅当x＝﹣时取等，可得：m≥﹣2．方法二：若g（x）＝x2﹣3x+2，（x＜1），则x2﹣3x+2≥mx，即x2﹣x（m+3）+2≥0，①当△＝（3+m）2﹣8≤0，解得：﹣3≤m≤﹣3+2，不等式在x＜1上恒大于0；②当△＝（3+m）2﹣8＞0，方程有两个实根：≥1，可得m≤0．综上（1）（2）：不等式f（x）≥（m+2）x﹣1恒成立，则则实数m的取值范围为[﹣3﹣2，0]．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13．（5分）在（）n的展开式中，各项的二次项的系数之和为64，则它的展开式中常数项等于15．【解答】解：根据题意，在（）n的展开式中，各项的二次项的系数之和为64，则有2n＝64，解可得n＝6，则其展开式的通项为T r+1＝C6r（）6﹣r（）r＝C6r，令r＝2可得：T3＝C62＝15，即（）n的展开式中数项等于15；故答案为：15．14．（5分）已知几何体Ω是平面α截半径为4的球O所得较大部分，△ABC是截面圆O′的内接三角形，∠A＝90°，点P是几何体Ω上的一动点，且P在圆O′上的投影在圆O′的圆周上，OO′＝1，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为10【解答】解：由对称性知占P到平面ABC的距离为2，设圆O′的半径为r，则r＝＝，BC＝2，当点A到BC的距离为时，S△ABC取得最大值为15，此时，三棱锥P﹣ABC的体积取得最大值为：V P﹣ABC＝＝10．故答案为：10．15．（5分）已知直线l：x+y＝3与圆C：（x﹣a）2+（y﹣5）2＝10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于点P（），则四边形ACBP的面积为5【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣5）2＝10的圆心为（a，5），过圆心C与P的直线与直线AB垂直，则有＝1，解可得a＝2，则|PC|＝＝，圆心C到直线x+y＝3的距离d＝＝2，则|AB|＝2×＝2，则S四边形ACBP＝×|PC|×|AB|＝5；故答案为：5．16．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），f（x）＝f（4﹣x），且f（0）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝﹣2【解答】解：∵函数f（x）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，关于直线x＝2轴对称，∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴f（1）＝0，f（2）＝﹣f（0）＝﹣2，f（3）＝f（1）＝0，f（4）＝f（0）＝2，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝f（1）+f（2）＝﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等比数列{a n}与等差数列{b n}，a1＝b1＝1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设S n，T n分别是数列{a n}，{b n}，的前n项和，若S n+T n＞100，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，d≠0，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列，可得a1+b3＝2a2，a22＝b1b4，则解得（舍）或，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）易知．由S n+T n＞100，得，∵是单调递增数列，且，∴n的最小值为7．18．（12分）如图，平面CDEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，四边形CDEF 为直角梯形，∠ADC＝120°，CF⊥CD，且CF∥DE，AD＝2DC＝DE＝2CF（I）求证：BF∥平面ADE；（II）设P点是线段DE上一点，若平面BCD与平面BFP所成的锐二面角为30°，求点P 的位置．【解答】证明：（Ⅰ）取DE的中点H，连结AH、HF，∵四边形CDEF是直角梯形，DE＝2CF，H是DE的中点，∴HF＝DC，且HF∥DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，且AB∥DC，∴AB＝HF，且AB∥HF，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，∵AH⊂平面ADE，BF⊄平面ADF，∴BF∥平面ADE．解：（Ⅱ）在△BCD中，BC＝2DC，∴∠BDC＝90°，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD＝2，则DC＝1，CF＝1，设DP＝h，则B（，0，0），C（0，1，0），F（0，1，1），P（0，0，h），＝（﹣，0，h），＝（﹣，1，1），设平面BFP的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，），平面BCD的法向量＝（0，0，1），∵平面BCD与平面BFP所成的锐二面角为30°，∴＝＝，解得h＝1或h＝，∴点P在线段DE的中点或线段DE的靠近点D的四等分点处．19．（12分）近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平．几年后，一机构对这些贫困户家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数x（户）与扶贫后脱贫家庭数y（户）的数据关系如下：（I）求政府扶贫资金数为9万元的脱贫率比政府扶贫资金数为3万元的脱贫率高多少？（II）用表格中的数据所得频率代替概率，若从政府扶贫的240户贫困户中有放回地随机抽取两户家庭，设Z表示这两户家庭的政府扶贫资金总和，求Z的分布列及数学期望．【解答】解：（I）政府扶贫资金数为3万元的脱贫率为＝50%，政府扶贫资金数为9万元的脱贫率为＝90%，∴政府扶贫资金数为9万元的脱贫率比政府扶贫资金数为3万元的脱贫率高90%﹣50%＝40%．（II）从政府扶贫的240户贫困户中随机抽取一户，设该户的扶贫资金数为X，则P（X＝3）＝，P（X＝5）＝，P（X＝7）＝，P（X＝9）＝，∴Z的可能取值为6，8，10，12，14，16，18，其中P（Z＝6）＝＝，P（Z＝8）＝×＝，P（Z＝10）＝+＝，P（Z＝12）＝+＝，P（Z＝14）＝+＝，P（Z＝16）＝＝，P（Z＝18）＝＝．∴Z的分布列为：∴Z的数学期望是E（Z）＝6×+8×+10×+12×+14×+16×+18×＝．20．（12分）已知椭圆Ω：（a，b＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O 且斜率为1的直线l交椭圆Ω于A，B两点，四边形F1AF2B的周长与面积分别为8与．（Ⅰ）求椭圆Ω的标准方程；（Ⅱ）设直线l'交椭圆Ω于C，D两点，且OG⊥OD，求证：O到直线l'的距离为定值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，不妨设点A是第一象限的点，且A（x0，y0）．四边形F1AF2B的周长为8，即4a＝8，则a＝2，∴a2＝4．又由四边形F1AF2B的面积为，则有，∴．点A（，）在椭圆Ω上，则有，解得b2＝3，或（舍），∴椭圆Ω的标准方程为．（Ⅱ）当直线l'斜率存在时，设直线l'的方程为y＝mx+n，由消去y得（3+4m2）x2+8mnx+4n2﹣12＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2）则，∵OC⊥OD，x1x2+y1y2＝0，即，即，∴O到直线l'的距离为．当直线l'的斜率不存在时，设直线l'的方程为x＝x0．由椭圆的对称性易知，∴O到直线l'的距离为．综合可得：O到直线l'的距离为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣a（a≠0），且f（x）的最小值为0（I）求实数a的取值范围；（II）设g（x）＝（x﹣2）e x+f（x），若g（x）的极值为M，求证：﹣2.5＜M＜﹣2【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝e x﹣ax﹣a（a≠0），∴f′（x）＝e x﹣a，当a＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴f（x）在R上无最小值，不合题意；当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝lna，在（﹣∞，lna）上，f′（x）＜0，在（lna，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，∴f（x）最小值＝f（x）极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，∵f（x）的最小值为0．∴alna＝0，解得a＝1．证明：（II）由题意知g（x）＝（x﹣1）e x﹣x﹣1，g′（x）＝xe x﹣1，令h（x）＝xe x﹣1，则h′（x）＝（x+1）e x，∵在（﹣∞，﹣1）上，h′（x）＜0，在（﹣1，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，∵x＜﹣1时，h（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，+∞）上存在唯一的零点，记h（x0）＝0，则，∴在（﹣∞，x0）上，g′（x）＜0，在（x0，+∞）上，g′（x0）＞0，∴g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x）在R上只有一个极小值M，且M＝g（x0）＝（x0﹣1）﹣x0﹣1＝﹣（），又，∴，∴2＜x0+＜2.5，∴﹣2.5＜﹣（）＜﹣2，∴﹣2.5＜M＜﹣2．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点B在曲线C上，，求∠AOB的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ．（Ⅱ）∵点A 的极坐标为，∴|OA|＝2，|OB|＝ρ，∵点B在曲线C 上，，∴，∴或或，∴或．[选修4-5；不等式选讲]23．已知m+n＝9，f（x）＝|x﹣m|+|x+n|，且对任意的x∈R，f（x）≥M恒成立．（Ⅰ）求实数M的取值范围；（Ⅱ）若正实数a，b满足a2+b2＝M max，求证（a+b）（a3+b3）≥81．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣m|+|x+n|≥|（x﹣m）﹣（x+n）|＝|m+n|＝9，∴M≤9，∴实数M的取值范围为（﹣∞，9]．（Ⅱ）依题意，a2+b2＝9．要证（a+b）（a3+b3）≥81，即证（a+b）（a3+b3）≥（a2+b2）2，即证a4+ab3+a3b+b4﹣a4﹣2a2b2﹣b4≥0，即证ab（a﹣b）2≥0，此式显然成立，∴原不等式成立．第21页（共21页）。

广东二模 高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）AB ．C ．D ．6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．2310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ）A ．4B ．8C． D．12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：D 解析：因为64i32i 1iz -=-=+-，所以2i z =-． 3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin 5α=-，从而27cos 212sin 25αα=-=．4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）A B ．C ．D ．5．答案：B解析：11,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△，得b =，又根据余弦定理得：2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos 2y x x =-的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-8．答案：B解析：因为134PF =，所以13224p +=，解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为114014=--．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE =====tan ACE ∠=．ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m +，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时4P y a =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==． 12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e12．答案：B解析：因为()ln x x f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x x x xf x a a e a a a e '=+-=-+．当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0xa a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．13．答案：32 解析：44214422rr rr r rr T C xC x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．14．答案：4-解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 取得最大值4-．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． 16．答案：解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，则四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设四面体A BCD -的外接球半径为r，由3433V r π==，得r =2CD x =，在Rt OAN △中，1ON ==，在Rt ADN △中，DN =，在Rt DMN △中，MN ==1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分 又对任意正整数n ，111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+，所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n nS S n n+-=+，………………………………………………3分 即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分则234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．解析：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分（2）列联表如下：5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．……………………………………………7分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，则311132333819(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 33381(3)56C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n =…9分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则2cos 2n m n mθ⋅==⋅，……………………………11分 所以4πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π．20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．21．（1）解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分 因为()(1)1xxf x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．…………………………………………2分 所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 （2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分 设函数()2,()10xxh x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈．………………………………9分当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分 解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分（2）将3πθ=代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分 （2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤，令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。

2018年高三二模数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.已知集合 A =｛ x | 3/ • x _2 空0｝， B 二｛ x | Io g2（2x _1）空0｝，贝A 门 B 二（）A . ( 2 -B( 2 1収| <x • Q x —< x 兰1 ,3 3C .1JDL「 1J2 {x | -1 < x <1} .1x | < x < \I23J42. 已知复数z满足z（3 +4i） =3 _4i , z为z的共轭复数，则z =（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 如图，当输出y =4时，输入的x可以是（）L —-/壽/*3屮A. 201 8B. 2017C. 2016D. 201 4a _ cos x4. 已知x为锐角，=、.3，则a的取值范围为（）sin xA. [ —2, 2]B. （1,、、3）C. （1, 2]D. （1, 2）5. 把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为A . LB . — c. I D . 128 16 41 66. (x? ■ x ■ 1)( _l /的展开式中，x 3的系数为()A. .3B. _2C. 1L a n = 0，设b n = lo g 2 ——，则数列｛ b n ｝的前n 项 a i和为(-1)( n - 2)2A. 6、、2 B . 6、、3 C. 8 D . 9A. 1009 B . 1 008 C.2D. 1f (x) =log 6(x - 1)，若 f (a) =1(a • [0 ,2020])，则 a的最大值是()A. 201 8 B . 2010 C. 2020 D11.已知抛物线y 2 =2px(p ■ 0)的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线 AB , C D 与抛物7.已知正项数列｛ a2—.aA. nB. n(n _1)8.如图，网格纸上正方形小格的边长为粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最9.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足 Sa i =1 , a n ■ an i = 2 n 1，^则 2017 二()201710.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数,f ( x) = f (1 2 _x)，当 x 三[0 , 6]时,201 1长棱的长度为( )线分别相交于A , B以及C , D，若1 1——+——B FAF=1，则四边形ACBD的面积的最小值为A. 18 B . 30C. 32 D . 36、 1 X12. 已知a .1，方程一e 亠x —a=0与In2x 」x —a=0的根分别为x ’ , x 2，贝2x 12 x 222 x 1x2的取值范围为（ ）A. （1, • ：:）B. （0, •二：）c. i 1, ：： D . i -,12 2二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.4 * * 4 4 4 .13. 已知 a =（1, m ）， b =1， a +b = J 7，且向量 a ， b 的夹角是 60，贝U m =.x _114. 已知实数x , y 满足x —2y 亠1空0，则z = x 亠3y 的最大值是.x y _ 32 2xy15. 已知双曲线 —-=1（a0,b . 0）的左、右焦点分别为 F 1 , F 2，过F ’且垂直于x 轴的a b直线与该双曲线的左支交于 A , B 两点，AF 2 , BF 2分别交y 轴于P , Q 两点，若.'PQF 2的周长为16，则丄的最大值为.a +116.如图，在三棱锥 P -ABC 中，PC _ 平面 ABC , AC _CB ,已知 AC = 2 , PB =2.6 ,三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 每个试题考生都必须作答.第22 , 23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60分.17.已知在「'ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且cos A a sin A cos C c sin A cos A = 0 ..第17〜21题为必考题,P -ABC 的表面积为.(1)求角A 的大小;(2)右 a =..3 ， B=—，求 F .ABC 的面积.1 2占 占N八、、： 八、、(1)是否存在一点 N ，使得线段MN / /平面B B 1C 1C ?在，请说明理由•(2)若点N 为AB i 的中点且C M _ M N ，求二面角M19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分的中点为P .(1)求直线OP 的斜率;(2)设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点 C ， D ，且与直线AF 交于点Q ，求证:■ ■呀 ■■玛■■視■■叫乘坐站数X 0 £X 兰 1010 £ x 兰 2020 £X 兰30票价(元)3 69段优惠政策，不超过 30站的地铁票价如下表:现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁, 已知他们乘坐地铁都不超过 30站.甲、乙18.如图,在直三棱柱 AB^ -A 1B 1C 1 中，.B AC =90、，A B = A C = 2，点 M 为 A 1C 1 的中乘坐不超过(1)求甲、 1 1 10站的概率分别为11;甲、43乙两人付费相同的概率； 乙乘坐超过 20站的概率分别为 (2)设甲、 乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2x 丿 ——+— 2 a2y 2 =1(a b b - 0)的离心率为别为椭圆的上顶点和右焦点， L AOF 的面积为 1-，直线AF 与椭圆交于另一个点 B ，线段AB2若存在，指出点 N 的位置，若不存为AB i 上一动点.存在常数■，使得QC QD =怎QA QB .xe 21.已知函数f (x) ，g (x^ln x 1 .x(1)求函数f (x)的单调区间; (2)证明：x 3 f (x) . g(x).(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设点M 的极坐标为i 3,—，直线I 与曲线C 的交点为A ， B ，I 2丿23.［选修4-5 :不等式选讲］ 已知函数f(x) = x_1 + x_m(1)当m =3时，求不等式f (x) _5的解集;(2)若不等式f(x) _2m -1对R 恒成立，求实数 m 的取值范围(二)选考题：共 10分•请考生在22, 23题中任选一计分•22.［选修4-4 :坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1X = — — t2{( t 为参数)， V 3y = 3 t 、 2以坐标原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 J = 4 sin答案、选择题1-5: DABCB6-10: BCDAD 11 、12: CA、填空题1 3.二314. 7 15. - 16. 4 E • 2 63sin A (sin A co s C 亠co s A sin C )、，3 sin B cos A ,即sin A sin ( A 亠 C )=3 sin B cos A ，又sin (A 亠 C ) = sin B ,0，所以ta n A - - 3又A 5（0^：），所以(2)由(1)知A =，又B ，易求得1 2在.-：ABC中，由正弦定理得Jt sin—122 二'sin -----3所以b所以.SBC的面积为S1=—ab sin2.6 -「2 、、2 3 - J 3----------------- X-------- = ----------------18. （1）存在点N，且N 为 A B1的中点.证明如下:如图，连接A1B，BC1，点M ,N分别为A i C i，A i B的中点,所以M N为.-：A i BC i的一条中位线, M N / / BC ，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C三解答题、17. (1)由cos A a sin A cosC c sin A cos A =0及正弦定理得，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C故二面角M -CN -A 的余弦值为cos ::: m , n 、二- 3 -0-2 .3 15 故二面角M — C N -A 的正弦值为2 2(2)设 A A 、二 a ，贝V CM = a - 1 ,2 2aa 20C N5 =44由CMAB 为x 轴，AC 为y 轴，AA i 为z 轴建立如图所示的空间直角•A r2y = o,m AC 0,得2 m AN=0, xz=0,L 2叫 一令x - _1，得平面 ANC 的一个法向量 m =(_1,0, .2)， 同理可得平面 M N C 的一个法向量为n = (3, 2, -、2)，=1由题意以点A 为坐标原点，坐标系，可得 设m = (x, y , z)为平面A N C 的一个法向量，则解得aA (0,0,0)，C (0,2,0)，故AN■■叫AC =(0,2,0)，CN1 51 51 51x=1219. ( 1)由题意知甲乘坐超过 10站且不超过20站的概率为乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111贝U P ( A)=—---4 34 3所以甲、乙两人付费相同的概率是设“甲、乙两人付费相同”为事件1x=12所以 X 的数学期望E (X ) =61111912 15 1 8 —635120. (1)因为椭圆的离心率为 所以22b所以 A(0,c)，F (c,0)，所以所以c =1，所以椭圆的方程为(2)由题意 :可X 的所有可能取值为1 11P (X二 =— ---4 3 1 2111 1 1P=9): 二+43 4 36111 11 1P=—X _ + X — + — X — =4 32 3 4 31 11 1 1P (X= 12)=X _ + — X — 二—, 4 32 3 41 11 P (X= 18)—X — ——236因此X 的分布列如下：12 ，15，31 3x 一，联立 g T +y =1,消去 y 得 3X 2_4X =y = —x 1,f 2AB 的中点P —28QB (t -1).9x =0 ,所以直线 OP (2)由 (1) 的斜率为32 _0知，直线AF 的方程为y - -x • 1直线OP 1 的斜率为一 2，设直线l 的方程为t(t -0).联立 一 x t,2 '得2 _2t3所以点的坐标为2t 1-x ■ 1,2t 1 f 2t _2 2 _2t ) ■叫 i‘2t +2 2t +2 \Q A,， QB ，…[33丿\33丿3所以 2 —2t2t + 1' i .2t —2 1 X1 + , X 1< 3 2t -14- X1 — I 3y 1 一3) = lT3丿所以QC直线AF 的方程为y 一 _x • 14，所以x 或3所以Bi-1，从而得线段 3所以 —4Q A 联立x 2=1,消去2tx - 2t 2一2 =0 ,t,由已知得.：：=4(32-2t )L"」0,逅'i 2丿I 2丿设 C ( x 1，则 y 1X [亠tX 1X 24tX,2 24t -4t21t -1 —x 2------ , 232e3，所以x f3{ 2t _2 'i2t _2 ' ♦t _1 /1 t _1 ' 1 + *2 + + 1 —X’ + *2 +I 3丿 I 3丿 I 2 3丿 l 2 3丿Q C Q D 25 5t -5 5(t -1) 二一X t X 2 • ---------- ( x 1 - x 2)-4 62 5 4t =—X —— 4 : -4 5t _5 X3 4t 5(t -1)-- +----------- 9 5 8 2(t -1).9所以QC QD 5 4—4 QA Q B .所以存在常数5，使得Q C4■■叫—4 ■Q B■■■+Q D2t -2 + ---- 321. ( 1)由题易知 x(x —1)ef '(x)==2「sin v ■ 2 "丿3「COS v ①. 22=x y ，「COST - x ，「sin v - y 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2 - y 2 -2-2 y = 0 ② I 1x 一2「_(2)将_代入②式，得『• 3-、3t • 3 =0 ,y 亠宀 I 2易知点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为匕,t 2，则由参数t 的几何意义即得M A + M B = J +t 2 =3>/3 .23. ( 1)当m =3时，原不等式可化为 x _1十x _3工5 .1当 x 三(—二，0) U (0 ,1)时，f '(x) ：：：0，当 x 三(1, •：:)时，f '(x) . 0 , 所以f ( x)的单调递减区间为(_：: ,0) U (0 ,1)，单调递增区间为(1, •：：). (2) g( x)的定义域为(0, •：：)，要证 x 3f (x) ■g (x)，即证—.xxe ln x ■ 1 由(1 )可知f (x)在(0,1)上递减，在(1, •：：)上递增，所以f (x) f (1) ln x - 1 设 h(x)—2 — 3 In x3 ， x . 0，因为 h '(x) x 2""3 当 x • (0,e 3)时，h'(x) 0，当 x • (e 3,；)时，h '(x) ::: 0， 所以h(x)在(0, e"3)上单调递增，在(e 3, •：：)上单调递减，所以 h( x) _ h(e 3)(x)■ g (x).22. (1) 把 J - 4 sinJTie+—展开得 Q = 2 sin V • 2、、3 COST 1 ，两边同乘 将T 22若 x <1U 1_x ・3_x_5，即 4_2x _ 5，解得 x 仝2若1 :：: x ：::3，则原不等式等价于 2 _5，不成立；9若 x _3，则 x _1 • x _3 _5，解得 X _—.2f1 9 1综上所述，原不等式的解集为：x | x 或x .I 22J(2)由不等式的性质可知 f ( x) = x 一1 + x _m m 一1 , 所以要使不等式f (x) 3 2m -1恒成立，则 m _1 ^2m —1 ,2所以 m 「1 _1「2m 或 m 「1 _2m -1，解得 m <,3r 21所以实数m 的取值范围是m | m 乞一.I 13J。

广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·河南期中) 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2016高二上·莆田期中) 如果a＜b＜0，那么（）A . a﹣b＞0B . ac＜bcC .D . a2＜b23. （2分） (2017高一上·绍兴期末) 已知函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f （2）=4，则f（1）=（）A . ﹣2B .C . 1D . 24. （2分）阅读右边的程序框图，则输出的 k=（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分） (2017高三上·东莞期末) 已知函数的最小正周期为π，将函数f（x）的图象向右平移个所得图象对应的函数为y=g（x），则关于函数为y=g（x）的性质，下列说法不正确的是（）A . g（x）为奇函数B . 关于直线对称C . 关于点（π，0）对称D . 在上递增6. （2分） (2016高二下·福建期末) 要从n名学生组成的小组中任意选派3人去参加社会实践活动，若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.25，则n的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 97. （2分） (2017高三上·唐山期末) 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一下·牡丹江期末) 已知正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A . 3B . 2C . 1D .10. （2分） (2016高一下·望都期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=2an﹣2．若数列{bn}满足bn=10﹣log2an ，则是数列{bn}的前n项和取最大值时n的值为（）A . 8B . 10C . 8或9D . 9或1011. （2分）(2017·西宁模拟) 抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足| |=| |，抛物线的准线与x轴的交点是B，则• =（）A . ﹣4B . 4C . 0D . ﹣4或412. （2分）(2018·民乐模拟) 已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则（）A . -2B . -3C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·卢龙期末) （x+ y）6的二项展开式中，x2y4项的系数是________．14. （1分） (2018高三上·哈尔滨期中) 设变量满足约束条件则的最大值为________．15. （2分） (2015高一下·忻州期中) 函数的定义域为________，值域为________．16. （1分） (2016高二上·临漳期中) 已知数列{an}满足anan+1=（﹣1）n（n∈N*），a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，则S2015=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2018·攀枝花模拟) 已知的内角的对边分别为其面积为 ,且.（Ⅰ）求角；（II）若 ,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.18. （5分） (2019高二下·杭州期末) 如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点.（I）证明：面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分）(2019·定远模拟) 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15 65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”155152817的人数（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.20. （5分） (2018高二下·中山月考) 已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线 , 的斜率分别为 , ，若 , , 三点共线，求的值．21. （10分） (2018高二下·顺德期末) 已知函数，， .（1）讨论函数的单调性；（2）证明：，恒成立.22. （10分） (2018高二下·重庆期中) 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线的极坐标方程为为极角）（1）分别写出曲线的普通方程和曲线的参数方程；（2）已知为曲线的上顶点，为曲线上任意一点，求的最大值.23. （10分）已知不等式|x﹣3|+|x+2|≤|a+1|．（1）当a=﹣8时，解不等式；（2）若不等式有解，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共55分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：略答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、。

2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。

东莞市 高三理科数学模拟试题(二)参考公式：样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 的回归方程为：y bx a ∧=+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设1z i =-（是虚数单位），则2z z+= A ．2 B ．2i + C ．2i - D ．22i + 2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R3．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a ＝A ．1B ．32C ．－1D ．－32 4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝A ．2B ．22 C ．3 D ．325. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论正确的是A.此函数的图象关于直线4π-=x 对称B.此函数的最大值为1C.此函数在区间)4,4(ππ-上是增函数D.此函数的最小正周期为π6. 已知函数2()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的 程序框图产生，运行该程序所得的函数中，概念域为R 的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7. 设命题p ：“若对任意x R ∈，｜x ＋1｜＋｜x －2｜＞a ，则a ＜3”；命题q ：“设M 为平面内任意一点，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在角α，使22sin cos MB MA MC αα=+⋅”，则A ．p q ∧为真命题B ．p q ∨为假命题C ．p q ⌝∧为假命题D ．p q ⌝∨为真命题8．在实数集R 中概念一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-.函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为 A ．4 B ．3 C．．1二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置．） （一）必做题(9～13题)9．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，284=+a a ， 11S = . 10. 已知,0,0>>y x 且,191=+yx 则23x y +学科网的最小值为 . 11.设曲线axy e =在点（0,1）处的切线与直线012=++y x 垂直，则a ＝ . 12．dx x x )cos (sin 0⎰+π= .13．已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞单调递增，则知足x f x f 的)31()12(<-取值范围是__________．（二）选做题（14、15题，考生只能从当选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C：ρ=和曲线2C ：cos(ρθ+则1C 上到2C 的点的个数为 ．3n = 15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .若图（3）CB =2，CE =4，则AD 的长为 ．245AD =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)631tan()(π-=x x f(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求⎪⎭⎫⎝⎛23πf 的值； (3)设,21273-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf 求)4sin(2)cos()sin(παπααπ+-+-的值．17．（本小题满分12分）某同窗在研究性学习中，搜集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： 月份x1 2 3 4 5 y （万盒）44566（1）该同窗为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，按照表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估量该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同窗从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同窗所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的散布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，PA 垂直⊙O 所在平面ABC ，AB 为⊙O 的直径，PA=AB ，14BF BP =，C 是弧AB 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAC ； （2）证明：CF ⊥BP ；（3）求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.19.（本小题满分14分）设等差数列}{n a 的公差0≠d ，数列}{n b 为等比数列，若a b a ==11，33b a =，57b a =.（1）求数列}{n b 的公比q ；（2）将数列}{n a ，}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ，是不是存在正整数,,λμω（其中λμω<<）使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++均成等差数列？若存在，求出,,λμω的值，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆1C 的左核心为1F ，右核心为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且知足0=⋅，求||QS 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数x x ax x g 2231)(23-+=，函数)(x f 是函数)(x g 的导函数. (1)若1=a ，求)(x g 的单调减区间； (2)若对任意R x x ∈21,且21x x ≠，都有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，求实数a 的取值范围；(3)在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意]0,[M x ∈时4)(≤x f 恒成立，求M 的最小值及相应的a 的值.东莞市 高三理科数学模拟试题(二) 参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题：(每小题5分，共30分)10．6629+ 11．2 13．)32,31( 14．3 15．524 三、解答题：(共80分) 16．（本小题满分12分） 解：(1))(x f 的最小正周期为ππ331==T ． …………3分(2)33tan )663tan()23(==-=ππππf ． …………6分(3)由21)273(-=+παf ，得21]6)273(31tan[-=-+ππα，即21)tan(-=+απ， …………8分所以.21tan -=α …………9分0cos =/∴α，⋅+-=+-+-ααααπαπααπcos sin cos sin )4sin(2)cos()sin( ………10分1tan 1tan +-=αα …………11分3121121-=+---=． …………12分17．（本小题满分12分）解：（1）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+= …………5分（2）0,1,2,3,ξ= …………6分31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………10分 其散布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………12分18．（本小题满分14分）证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥PA. …………1分∵∠ACB 是直径所对的圆周角，∴90o ACB ∠=，即BC ⊥AC. …………2分又∵PA AC A =，∴BC ⊥平面PAC . …………4分 （2）∵PA ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥PA. …………5分 ∵C 是弧AB 的中点，∴∆ABC 是等腰三角形，AC=BC ， 又O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB. …………6分 又∵PA AB A =，∴OC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴BP OC ⊥. …………7分 设BP 的中点为E ，连结AE ，则//OF AE ，AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥. …………8分∵OC OF O =，∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ，∴CF BP ⊥. …………9分解：（3）由（2）知OC ⊥平面PAB ，∴OF OC ⊥，OC OB ⊥， …………10分∴BOF ∠是二面角F OC B --的平面角. …………11分 又∵BP OF ⊥，045FBO ∠=，∴045FOB ∠=， …………13分 ∴2sin FOB ∠=，即二面角F OC B --2. ………14分19.（本小题满分14分）解：（1）设}{n b 的公比为q ，由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 6242， …………2分 1=q 不合题意，故311142=--q q ，解得22=q 2±=∴q . …………5分 （2）若}{n a 与}{n b 有公共项，不妨设m n b a =由（1）知：1221-=+m n m 为奇数，且. …………7分令)(12*N k k m ∈-=，则11122)2(---•=•=k k m a a b ， …………8分ac n n 12-=∴.…………9分若存在正整数,,λμω（其中λμω<<）知足题意，设,,p q r λμω===，则⎩⎨⎧+•++•=+•+=---)2()2()2(22111r a p a q a rp q r p q 11222--+=∴r p q，又)""(222222211===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p ，且r p ≠，211222r p r p +-->+∴. …………12分又xy 2=在R 上单调递增，2r p q +>∴，与题设2rp q +=矛盾， ∴不存在,,λμω知足题意. …………14分20. （本小题满分14分）解：（1）由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切，得b =，即b =. ………2分由e =，得222213b e a =-=，所以a =， …………3分所以椭圆的方程是221:132x y C +=. …………4分（2）由条件，知2||||MF MP =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的概念得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=. …………7分（3）由（2），知(0,0)Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………8分 由0=⋅，得()()222121121016y y y y y y -+-=. …………9分∵12y y ≠，∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴222121256323264y y y =++≥+=，当且仅当2121256y y =，即14y =±时等号成立. …………11分又||y QS ⎛== ， …………12分∵2264y ≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||QS=， …………13分故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣. …………14分21. （本小题满分14分） 解：（1）当1a =时，321()223g x x x x =+-，2'()42g x x x =+-. ………1分由'()0g x <，解得22x -<<-+.…………2分∴当1a =时，函数()g x 的单调减区间为(22---. …………3分（2）易知2()'()42f x g x ax x ==+-.依题意知1212()()()22x x f x f x f ++-222121*********()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--<. …………5分因为12x x ≠，所以0a >，即实数a 的取值范围是(0,)+∞. …………6分 （3）解法一易知2224()42()2f x ax x a x a a=+-=+--，0a >. 显然(0)2f =-，由（2）知抛物线的对称轴20x a=-<. …………7分 ①当424a --<-，即02a <<时，2(,0)M a∈-且()4f M =-.令2424ax x +-=-，解得x=…………8分此时M 取较大的根，即M ==.…………9分02a <<， ∴21422M a -=>--+. …………10分②当424a --≥-，即2a ≥时，2M a<-且()4f M =. 令2424ax x +-=，解得246ax a-±+=. …………11分此时M 取较小的根，即2466462a M a a --+-==+-. …………12分 2a ≥，∴63462M a -=≥-+-，当且仅当2a =时取等号.…………13分由于31-<-，所以当2a =时，M 取得最小值3-. …………14分 解法二对任意[,0]x M ∈时，“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且4f x ≥-min ()”. 由（2）可知实数a 的取值范围是(0,)+∞，故2()42f x ax x =+-的图象是开口向上，对称轴20x a=-<的抛物线. …………7分 ①当20M a-≤<时，()f x 在区间[,0]M 上单调递增， ∴f x =max ()(0)24f =-<， 要使M 最小，只需要2424f x f M aM M ==+-=-min ()().…………8分若1680a ∆=-<，即2a >时，无解； …………9分 若1680a ∆=-≥，即02a <≤时， 解得2422a M a a ---=<-（舍去） 或2421aM a -+-=≥-，故1M ≥-（当且仅当2a =时取等号）. …………10分 ②当2M a <-时，()f x 在区间2[,]M a -上单调递减，在2(,0]a-递增，(0)24,f =-<24()24f a a-=--≥-，则2a ≥. …………11分要使M 最小，则2424f M aM M =+-=()，即2460aM M +-=， …………12分百度文库- 好好学习，天天向上-11解得2Ma=>-（舍去），或3M==≥-（当且仅当2a=时取等号）. …………13分综上所述，当2a=时，M的最小值为3-. …………14分。

10 15 20 25 30 35广东省东莞市2018年高考理科数学精编模拟题参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．第16届亚运会将于2018年11月12日在中国广州进行．若集合U ={参加广州亚运会比赛的运动员、裁判员}，A ={参加广州亚运会比赛的男运动员}，B ={参加广州亚运会比赛的女运动员}，C ={参加广州亚运会比赛的裁判员}，则下列关系正确的是A.UA B = B.A B C = C.A B U = D.()A B C U =2．设平面向量(1,2),(2,),y ==-a b //,|3|a b +a b 若则等于A B C D 3．若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且13263S π=，则7tan a 的值为 A ．3B ．3-C ．3±D ．33-4.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，错误！未找到引用源。

[)15,20，[)20,25错误！未找到引用源。

,[)25,30，[30,35]错误！未找到引用源。

,频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25错误！未找到引用源。

之间的工人有6位．则m 的值为. A.600 B.30 C.20 D.36(第4题图) (第5题图) (第6题图) 5．一几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此几何体的体积是A.83cm B. 63cm C.43cm D.2233cm 6．右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为俯视图主视图OPCABA ．1321B ．2113C ．813D ．1387. 设函数1()sin ,()f x x g x x==，右图是函数()F x 图象的一部分，则()F x 是A.()()f xg x B. ()()f x g xC.()()f x g x -D. ()()f x g x +8．设函数)(x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数k ，定义函数：,(),()(),(),k k f x k f x f x f x k ≤⎧=⎨>⎩，则当函数1(),1f x k x ==时，函数()k f x 的图象与直线1,4x = 4,x =0y =围成的图形的面积为A ．2ln2+2B ．2ln2-1C ．2ln2D ．2ln2+1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9210y --=与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．10．小明在借助计算器用二分法求“方程237xx +=的近似解（精确到0.1）”时，设()237x f x x =+-，算得(1)0,(2)0f f <>，得出方程的解在区间(1,2)上后，依据二分法求方程的近似解的步骤又取了4个x 值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为： 1.4x ≈，请你依次写出小明再取的4个x 值为 ． 11．已知sin )510ααβ=-=-,(0,)2παβ∈，则β= ． 12．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为 ．13．若2012(1)()n n n x a a x a x a x n N *+=++++∈，且1221a a +=，则在展开式各项系数中，最大值为 ．(用数字作答)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选做题）若A ，B ，C 是⊙O 上三点，PC 切⊙O 于点C ，110,ABC ∠=︒ 40BCP ∠=︒，则AOB ∠的大小为 ．15．(坐标系与参数方程选做题) 若直线03:=-y x l 与曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 2:y a x C（ϕ为参数，0>a ）有两个公共点A ，B ，且|AB|=2，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 三．解答题： 16．（本小题满分12分）如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面 内沿南偏西60°的方向前进了40m 以后，在点D 处望见塔的底 端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的最大 值为30°，求塔的高.17．(本小题满分12分)五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优 惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置, 指针落在区域的边界时，重新转一次） 指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额 是两次金额之和．（1）已知顾客甲消费后获得n盘指针落在区域边界的概率为p ，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望125E ξ=,标准差50σξ=，求n 、p 的值；（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元)．求随机变量η的分布列和数学期望．3060C 区域B 区域A 区域返劵金额（单位：元）指针位置18．(本小题满分14分)如图（甲），在直角梯形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，AB ⊥CD,且BC=CD,AB=2,F 、H 、G 分别为AC ,AD ,DE 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED,如图（乙）．（1）求证：平面FHG//平面ABE ；（2）记,BC x =()V x 表示三棱锥B －ACE的体积，求()V x 的最大值；（3）当()V x 取得最大值时，求二面角D －AB －C 的余弦值．19．(本小题满分14分)已知椭圆C 的对称中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||F F点4)3在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 上的一点P 在第一象限，且满足12PF PF ⊥,O 的方程为224x y +=．求点P 坐标，并判断直线2PF 与O 的位置关系；(甲)HF D GEBCA(乙)（3）设点A 为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A 的定点B ,对于O 上任意一点M ,都有MBMA为常数，若存在，求所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数 ()(1)xa f x e x=+，其中0a > （1）求函数()f x 的零点；（2）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；（3）在区间(,]2a -∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存 在，请说明理由．21. (本小题满分14分)如图，已知曲线从C 上的点作x 轴的垂线，交轴的垂线，交C 于点设，．（1）求点Q 1、Q 2的坐标； （2）求数列的通项公式；（3）记数列的前n 项和为参考答案及评分意见一．选择题：DABC BDCD2．4(1,2)y ⇒=-⇒=a//b 3a +b ||⇒=3a +b A.3． 1131313()132a a S +==7263a π=723a π⇒=⇒7tan a选B ．4.根据直方图可知产品件数在[)20,25错误！未找到引用源。

广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）己知集合A={1，2，3，4}，B={x[x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A . {1}B . {1，2}C . {1，2，3}D . {1，2，3，4}3. （2分）以下命题：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；②已知平面α，β的法向量分别为,，则α⊥β⇔•=0；③两条异面直线所成的角为θ，则0≤θ≤；④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤．其中正确的命题是（）A . ①②③B . ②③④C . ①②④D . ①③④4. （2分）如果执行图的程序框图，那么输出的S=（）A . 2652B . 2500C . 2450D . 25505. （2分） (2017高三下·银川模拟) 已知双曲线﹣ =1的两个焦点分别为F1 ， F2 ，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线一个交点为（4，3），则该双曲线的实轴长为（）A . 6B . 8C . 4D . 106. （2分）将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（）13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31…A . 809B . 853C . 785D . 8937. （2分）已知正项数列{an}中，a1=l，a2=2，（n≥2），则a6=（）A . 16B . 4C . 2D . 458. （2分）已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是（）A . cm3B . cm3C . cm3D . 2 cm39. （2分）(2017·广西模拟) 抛物线y2=6x的准线方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 被除所得的余数是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·南阳月考) 设，满足约束条件，且的最小值为，则（）A .B .C . 或D . 或12. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 已知函数的导函数只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数及的图象可以为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 在平面四边形ABCD中，E为BC的中点，且EA=1，ED= ．若•=﹣1，则• 的值是________．14. （1分）对于实数x、y，定义新运算x*y=ax+by+2010，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3*5=2011，4*9=2009，则1*2=________．15. （1分）(2018·黄山模拟) 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为________．16. （1分） (2016高二上·吉林期中) 下列命题中：①、若m＞0，则方程x2﹣x+m=0有实根．②、若x＞1，y＞1，则x+y＞2的逆命题．③、对任意的x∈{x|﹣2＜x＜4}，|x﹣2|＜3的否定形式．④、△＞0是一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件．是真命题的有________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2018高二上·桂林期中) 在中， .（1）求；（2）若，，求， .18. （15分）(2017·邵阳模拟) 某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表身高（cm）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）频数 2 5 1413 4 2表2：女生身高频数分布表身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）频数 1 7 12 6 3 1（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．19. （10分） (2015高三上·太原期末) 已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示：（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．20. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知抛物线：的焦点与椭圆：（）右焦点重合，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于、两点，求的面积.21. （5分） (2017高三下·平谷模拟) 已知函数．（I）如果在处取得极值，求的值．（II）求函数的单调区间．（III）当时，过点存在函数曲线的切线，求的取值范围．22. （5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．23. （10分） (2016高二上·嘉兴期中) 已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈R，都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、23-1、23-2、。