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2023-2024学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各图中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列方程中是一元二次方程的是()A. B. C. D.3.方程的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定4.下列事件为随机事件的是()A.太阳从东方升起B.度量四边形内角和，结果是C.某射击运动员射击一次，命中靶心D.通常加热到时，水沸腾5.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是()A. B. C. D.6.不透明的袋子中装有2个白球，3个红球和5个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为()A. B. C. D.7.如图，正六边形ABCDEF内接于，的半径是1，则正六边形ABCDEF的周长是()A.B.6C.D.128.如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是()A.4B.2C.D.9.反比例函数的图象位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.如图，四边形ABCD内接于，E为BC延长线上一点，连接OD，OB，若，且，则的度数是()A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.设，是方程的两个根，则______.12.若点在反比例函数的图象上，则______.13.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色.指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向白色扇形，则黑色扇形的圆心角______.14.如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，则______.15.如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度CD为______.16.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴.则下列结论：①，②；③；④，其中正确的结论是______填写所有正确结论的序号三、解答题：本题共9小题，共72分。
2022-2023学年广东省珠海市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则7a =（）A ．16B ．15C ．14D ．13【正确答案】D【分析】先求得等差数列{}n a 的公差，从而求得7a .【详解】15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=，所以72535213a a d =+=+⨯=.故选：D2．已知空间向量()()1,2,,,2,3n a m a == ，且n m ⊥，则n m -= （）A ．B C ．20D ．【正确答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得a ，进而求得n m -.【详解】由于n m ⊥，所以43440,1n m a a a a ⋅=++=+==- ，所以()()()1,2,11,2,32,0,4n m -=---=-== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A ．43B ．1C ．23D ．13【正确答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出1a 的值即可.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，设数列{}()15,N n a n n *≤≤∈的公差为d ，由题意可得1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩，所以，121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，解得143a =.故选：A.4．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【正确答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =，两圆的圆心距125C C =，353-<<+，即211221r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：C5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点()21P ，作圆221：+=O x y 的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．3450x y --=B ．4350x y --=C ．1y =或4350x y --=D ．1y =或3450x y --=【正确答案】C【分析】设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由l 与圆221：+=O x y 相切，得1d =，即可解决.【详解】由题知，圆221：+=O x y ，圆心为(0,0)，半径为1，因为()21P ，在圆外，所以设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，因为l 与圆221：+=O x y 相切，所以1d ==，解得0k =或43k =，所以切线l 的方程为1y =，或4350x y --=，故选：C7．已知直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则a 的值是（）A ．4-B ．1C ．4-或1D ．4或1-【正确答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则有(2)40a a a ++-=，解得1a =或4a =-，当1a =时，直线1l ：20x y -+=与直线2l ：3310x y -+=平行，当4a =-时，直线1l ：420x y ++=与直线2l ：2840x y ---=，即420x y ++=重合，所以a 的值是1.故选：B8．已知2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A B C D ．5【正确答案】A【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ +=由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅= 所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b = ，即1||2PF b =所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得c e a =故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【正确答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为120︒，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.【详解】过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=和2y x =，A 错误；取0x =，=2y -，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，B 正确；10y ++=的斜率为k =120︒，C 错误；垂直于直线230x y -+=的直线方程斜率为2k =-，过点()1,2-的直线方程为()2122y x x =-++=-，即20x y +=，D 正确.故选：BD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列命题正确的是（）A ．AB方向的单位向量是55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．AB 与BC 夹角的余弦值是C ．ABC的面积为2D ．若3AP AB AC =+ ，则点P 到直线AC【正确答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()2,1,0AB = ，所以AB方向的单位向量是2,1,0,055AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，A 选项错误.B 选项，()3,1,1BC =- ，设AB与BC 夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ⋅==-⋅，B选项正确.C 选项，由于cos 11θ=-，所以cos 11B =，则B 是锐角，所以sin B =所以12ABC S =C 选项正确.D 选项，()1,2,1AC =-，()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以点P 到直线ACD 选项正确.故选：BCD12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（）A ．12,PF a m PF a m=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=【正确答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=，整理得()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+2221221212e e e e ≥+⋅，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+，在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan 2n b θ=，D 正确.故选：ABD方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是___________.【正确答案】43y x=±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故43y x=±14．以点(1,1),(3,3)A B -为直径的圆的一般式方程为______________．【正确答案】22240x y x y +--=【分析】根据AB 为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为()1,1A -，()3,3，所以AB =AB 中点坐标为()1,2，所以以AB 为直径的圆的标准方程为()()22125x y -+-=，展开得一般式方程为22240x y x y +--=.故答案为.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【正确答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故163本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16．如图，二面角AB αβ--的大小为60 ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .若2,3,4PM MN NQ ===，则PQ =__________.21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,120PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅ 14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．（1）求{an }的通项公式；（2）设数列{bn }满足()17n n b n a =+，求{bn }的前n 项和Sn ．【正确答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn 44nn =+．（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，再用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩解得d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1，∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3．（2）∵()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，∴1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1114144nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交；(2)直线的方程为0x y -=或20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线:10l mx y m -+-=，整理得(1)1m x y -=-，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点(1,1)P .将P 点坐标代入圆C 方程得112440+--=-<，故P 点在圆C 内，直线l 与圆C 相交.（2）圆22:240C x y y +--=，整理得22(1)5x y +-=即(0,1)C ，r =.因为AB =，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==.又2d =，所以1m =±故直线的方程为0x y -=或20x y +-=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求二面角M CB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（331010（1）根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，即证PA CD ⊥；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求平面CBP 的法向量，用向量的方法求二面角M CB P --的余弦值．【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PD CD ∴⊥.底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，又AD PD D =I ，CD \^平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B ，()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,25AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面CMB 的法向量(),,n x y z = ，则·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩，即0420x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则2z =，()0,1,2,5n n ∴== .设直线AP 与平面CMB 所成的角为θ，则4sin cos ,5255AP n AP n AP n θ=〈〉==⨯ .所以AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45.（3）()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- .设平面CBP 的法向量(),,m x y z = ，则·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩，即02440x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =.()0,1,1,2m m == 又平面CMB 的法向量()0,1,2,5n n == 设二面角M CB P --的大小为α，则α为锐角，310cos cos ,1025m n m n m nα∴=〈〉===⨯ ，所以二面角M CB P --的余弦值为31010．本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线2y 2px(p 0)=>过点()Q 1,m (m 0)>，且QF 2=．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过点Q 作两条直线1l ，2l 分别交抛物线于()11A x ,y ，()22B x ,y 两点，直线1l ，2l 分别交x 轴于C ，D 两点，若QCD QDC ∠∠=，证明：12y y +为定值．【正确答案】（Ⅰ）p 2=；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式2114y x =，2224y x =可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)抛物线的准线方程为p x 2=-，由抛物线的定义得p QF 122=+=，得p 2=；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线的方程为2y 4x =，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得2m 414=⨯=，m 0> ，得m 2=，所以，点Q 的坐标为()1,2．QCD QDC ∠∠= ，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．则()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--．所以，12y 2y 20+++=，因此，12y y 4(+=-定值)．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）24a =，37a =，证明见解析；（2）1242n n n S n -+=+-.（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12n n n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列.（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a n b --==+，设12n n n C -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n n T -=+++++ ，①123112322222n n n T =++++ ，②①－②得231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ，11112212122212--+=+-=--n n nn n ，所以1242n n n T -+=-，1242n n n S n -+=+-.该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以DE =()2212134t t +=+，根据椭圆的对称性可得()2212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l的距离，为d所以四边形ABDE 面积为24S =()1u u =≥得224241313u S u u u==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。
2023-2024学年广东省广州市白云区六年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10分）1．（1分）一张圆形的纸，至少对折（）次，才能看到圆心。
A．1B．2C．3D．42．（1分）下面哪道题的积大于1。
（）A．3×B．1.2×C．×D．×3．（1分）大圆和小圆的半径比是2：1，它们的面积比是（）A．1：1B．2：1C．4：1D．8：14．（1分）下面哪个比的比值不等于。
（）A．2：5B．0.6：1.5C．D．5．（1分）需要表示各年级人数占了全校人数的百分之几，用（）最合适。
A．扇形统计图B．条形统计图C．单式折线统计图D．复式折线统计图6．（1分）式子的□里可以填的最大整数是（）A．4B．5C．6D．77．（1分）某种商品三月的价格是100元，四月的价格比三月降了20%，五月的价格比四月又涨了20%，那么五月的价格是（）元。
A．80B．96C．100D．1208．（1分）不能用百分数表示的是（）A．今年超产B．货物重吨C．稻谷出米率D．小红的身高是姐组的9．（1分）把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（）A．周长和面积都没变B．周长没变，面积变了C．周长变了，面积没变D．不能确定10．（1分）在一个正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形的（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共20分）11．（3分）在横线里填上“＞”、“＜”或“＝”。
12．（2分）（如图）涂色部分的面积是10cm 2。
（1）整个长方形的面积是cm 2。
（2）空白部分的面积是cm 2。
13．（1分）蜂鸟是目前所发现的世界上最小的鸟。
蜂鸟的飞行速度是千米/分，它的分钟飞行了千米。
14．（2分）把0.25：0.45化成最简整数比是，比值是．15．（1分）学校田径队有40人，周六有38人参加了训练。
田径队周六的出勤率是。
16．（2分）你知道动物的牙齿数吗？猫有30颗，马有36颗，狗的牙齿数比猫多，大象的牙齿数只相当于马的。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
广东省广州市白云区2023-2024学年高二上学期期末教学质
量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
8．数列{}n a 满足2(1)21n
n n a a n ++-=-，前12项和为158，则1a 的值为（
）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、多选题
A ．直线//MN 平面ABC
B ．当1a =时，线段
C ．当2
2
a =
时，直线
三、填空题
四、解答题
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，224a b +=，
(1)求直线1AC与
(2)求点1B到平面
19．已知圆C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=.(1)求m 的取值范围；
(2)当1m =时，求圆22:40O x y +-=与圆C 的公共弦的长.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，
CD AD ⊥，222AD DC CB ===，E 为PD 的中点.
(1)证明：//CE 平面PAB ；
(2)若60PAB ∠=︒，求平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值.
(1)求曲线C的方程；
T t作圆2:O x+ (2)过点(,0)
并求AB的最大值.。
2019-2020学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）“0x >”是“12x x +…”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．（5分）在等差数列{}n a 中，若1233a a a ++=，59a =，则8a 的值是( ) A ．15B ．16C ．17D ．183．（5分）如图，在一个120︒的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．44．（5分）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，6446S S a -=，则5(a =) A ．4B ．10C ．16D ．325．（5分）《几何原本）卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD AB ⊥于点C ，设AC a =，BC b =，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为( )A ．(0,0)b m bb a m a m a +>>>>+ B ．222()(0,0)2a b a b a b ++>>…C ．2(0,0)ab ab a b a b >>+„D ．(0,0)2a bab a b +>>… 6．（5分）已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，F 为双曲线右焦点，若(AFO O ∆为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．21+C ．3D ．31+7．（5分）如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得67.5ADC ∠=︒，从C 点测得45ACD ∠=︒，75BCE ∠=︒，从E 点测得60BEC ∠=︒．若测得23DC =，2CE =（单位：百米），则A ，B 两点的距离为( )A ．6百米B ．22百米C ．3百米D ．23百米8．（5分）设动点P 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．2211x y λλ-=-B ．2211x y λλ+=-C ．2211x y λλ-=+D ．2211x y λλ+=+二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9．（5分）若110a b<<，则下列结论中正确的是( ) A ．22a b <B ．2ab b <C ．||||||a b a b +>+D ．33a b >10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是( ) A ．sin sin sin (cos cos )A B C A B +=+B ．22tan tan A a B b =C ．2cos 22B a cc+=D ．cos cos a B b A c -=11．（5分）已知点(3,0)M 和点(3,0)N -，直线PM ，PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C ，下列说法正确的是( )A ．存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离之和为定值B ．存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之和为定值 C ．不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离之差的绝对值为定值D ．不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之差的绝对值为定值 12．（5分）意大利数学家列昂纳多g 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+∈…．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是( )A ．2111n n n n S a a a +++=+gB ．12321n n a a a a a ++++⋯+=-C ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=-D ．1214()n n n n c c a a π--+-=g三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）命题0:p x R ∃∈，20250x x ++=是 （填“全称命题”或“特称命题” )，它是 命题（填“真”或“假” )．14．（5分）已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有1133OM xOA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则x 的值为 ．15．（5分）已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若||6AB =，则p 的值为 ．16．（5分）若数列{}n a 满足*111()n n a a n n n N ++=+--∈，且前99项的和为311，则100a = ．四、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AB AD =，记CAD α∠=，ABC β∠=． （1）证明sin cos20αβ+=； （2）若3AC DC =，求β的值．18．如图，两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧¶AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在¶AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065．（1）将y 表示成x 的函数；（2）判断弧¶AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由．19．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，6AB =，5AP =，60BAD ∠=︒． （1）证明：AC PE ⊥；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 所成角的余弦值为33，若存在，确定点F 位置；若不存在，说明理由．22．已知圆O 的方程为224x y +=，若抛物线C 过点(1,0)A -，(1,0)B ，且以圆O 的切线为准线，F 为抛物线的焦点，点F 的轨迹为曲线C '． （1）求曲线C '的方程；（2）过点B 作直线L 交曲线C '于P 、Q 两点，P 、P '关于x 轴对称，请问：直线P Q '是否过x 轴上的定点？如果是，请求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．2019-2020学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）“0x >”是“12x x +…”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解答】解：12x x+…化为：2(1)0x x -…，解得0x >． ∴ “0x >” ⇔ “12x x+…”， 故选：D ．2．（5分）在等差数列{}n a 中，若1233a a a ++=，59a =，则8a 的值是( ) A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：在等差数列{}n a 中，由1233a a a ++=， 得233a =，即21a =， 又59a =，852218117a a a ∴=-=-=．故选：C ．3．（5分）如图，在一个120︒的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．4【解答】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，Q 线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，2AB =，1AC =，2BD =，∴22221212421292CD CA AB BD CA BD =+++=+++⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，||3CD ∴=u u u r， 故选：B ．4．（5分）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，6446S S a -=，则5(a =) A ．4B ．10C ．16D ．32【解答】解：由6446S S a -=，则6546a a a +=得260q q +-=， 解得2q =， 从而352216a a ==g ． 故选：C ．5．（5分）《几何原本）卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD AB ⊥于点C ，设AC a =，BC b =，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为( )A ．(0,0)b m bb a m a m a+>>>>+ B 222)(0,0)a b a b a b ++>>…C ．2(0,0)abab a b a b>>+„ D ．(0,0)2a bab a b +>>… 【解答】解：由AC CB a b +=+为直径，由射影定理可得：CD ab =． ∴(,0)2a bab a b +>…． 故选：D ．6．（5分）已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，F 为双曲线右焦点，若(AFO O ∆为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．21+C ．3D ．31+【解答】解：由POF ∆是等边三角形，则边长均为c ， 又线段OF 的中点的横坐标为12c ，OF 边上的高为3c ，即有1(2P c ，3)c ，代入双曲线的方程得22223144c c a b-=，又222a b c +=， 由ce a=，可得42840e e -+=， 解得2423(423e =+-舍去）， 可得13e =+， 故选：D ．7．（5分）如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得67.5ADC ∠=︒，从C 点测得45ACD ∠=︒，75BCE ∠=︒，从E 点测得60BEC ∠=︒．若测得23DC =，2CE =（单位：百米），则A ，B 两点的距离为( )A 6百米B ．22C ．3百米D ．23百米【解答】解：根据题意，在ADC ∆中，45ACD ∠=︒，67.5ADC ∠=︒，23DC =则1804567.567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，则23AC DC ==， 在BCE∆中，75BCE ∠=︒，60BEC ∠=︒，2CE =， 则180756045EBC ∠=︒-︒-︒=︒，则有sin sin EC BCEBC BEC=∠∠，变形可得32sin 23sin 2EC BEC BC EBC ⨯⨯∠===∠，在ABC ∆中，23AC =，3BC =，18060ACB ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒， 则2222cos 9AB AC BC AC BC ACB =+-∠=g g ， 则3AB =； 故选：C ．8．（5分）设动点P 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．2211x y λλ-=-B ．2211x y λλ+=-C ．2211x y λλ-=+D ．2211x y λλ+=+【解答】解：在PAB ∆中，||2AB =， 则由余弦定理得：222121222cos 2d d d d θ=+-， ∴2212124()4d d d d sin θ=-+，即21212||44212d d d d sin θλ--- （常数），∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长221a λ=-2211x y λλ-=-，故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）若110a b<<，则下列结论中正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b <C ．||||||a b a b +>+D ．33a b >【解答】解：由110a b<<，可知0b a <<， 22b a ∴<，2b ab >，33a b >，故ABD 正确； 由110a b<<，取1a =-，2b =-可排除C ． 故选：ABD ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是( ) A ．sin sin sin (cos cos )A B C A B +=+B ．22tan tan A a B b=C ．2cos 22B a cc+=D ．cos cos a B b A c -=【解答】解：在ABC ∆中，A B C π++=，对于A ，sin sin sin (cos cos )sin()sin()sin (cos cos )A B C A B B C A C C A B +=+⇔+++=+Q ，cos sin cos sin 0C B C A ∴+=， 即cos (sin sin )0C A B +=， 在ABC ∆中，sin 0A >，sin 0B >，cos 0C ∴=，2C π=，∴三角形ABC 为直角三角形，故A 正确；对于B ，由正弦定理得，22tan tan A a B b =⇔22sin cos sin cos sin sin A B AA B B=g g ，整理得：sin2sin2A B =，故22A B =或22A B π=-，即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，由正弦定理与降幂公式可将222B a ccos c+=化为：1cos sin sin sin 122sin 2sin 2B AC A C C ++==+， 整理得：sin cos sin sin()sin cos cos sin C B A B C B C B C ==+=+， 即sin cos 0B C =，cos 0C ∴=，2C π=，∴三角形ABC 为直角三角形，故C 正确；对于D ，在ABC ∆中，由cos cos a B b A c -=得：sin cos sin cos sin sin()sin cos sin cos A B B A C A B A B B A -==+=+， 整理得：sin cos 0B A =，其中sin 0B >，故cos 0A =，2A π=，三角形ABC 为直角三角形，故D 正确；综上所述，满足上面条件的三角形一定为直角三角形的是ACD ， 故选：ACD ．11．（5分）已知点(3,0)M 和点(3,0)N -，直线PM ，PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C ，下列说法正确的是( )A ．存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离之和为定值B ．存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之和为定值 C ．不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离之差的绝对值为定值D ．不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之差的绝对值为定值 【解答】解：设(,)P x y 由33y ya x x =+-g ，得22(9)y a x =-， 若1a =-，则方程为229x y +=，轨迹为圆（除A B 点）；若10a -<<，方程为22199x y a+=-，轨迹为椭圆（除A B 点）99a -<，4c =，79a ∴=，A 不符合；1a <-，99a ->，4c ==，259a ∴=-，B 符合， ∴存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之和为定值；若0a >，方程为22199x y a -=，轨迹为双曲线（除A B 点）．4c =，79a =， ∴存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离差的绝对值为定值．C 不符合D 是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x 轴上．故选：BD ．12．（5分）意大利数学家列昂纳多g 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+∈…．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是( )A ．2111n n n n S a a a +++=+gB ．12321n n a a a a a ++++⋯+=-C ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=-D ．1214()n n n n c c a a π--+-=g【解答】解：由题意，11a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =， 13431a a a ∴+=≠-，135681a a a a ++=≠-，故C 错误；11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+∈…， 对于B ，12321n n a a a a a ++++⋯+=-，当1n =时，131a a =-成立； 假设n k =时，12321k k a a a a a ++++⋯+=-，当1n k =+时，等式左边123121311k k k k k a a a a a a a a ++++=+++⋯++=-+=-， 则1n k =+，等式也成立，故B 正确；对于A ，2111n n n n S a a a +++=+g，当1n =时，2112S =+=，22212a a a +=，等式成立； 假设n k =时，2111k k k k S a a a +++=+g，1n k =+时，22222212112211221()k k k k k k k k k k k k k k S S a a a a a a a a a a a a ++++++++++++=+=++=++=+g g g， 则1n k =+，等式也成立，故A 正确； 对于D ，24n nc a π=，221111214()4()()()4n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a πππ-----+-=⨯-=++=g，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）命题0:p x R ∃∈，20250x x ++=是 特称命题 （填“全称命题”或“特称命题” )，它是 命题（填“真”或“假” )．【解答】解：命题p ，含有特称量词∃，是特称命题，为假命题．2250x x ++=，所以△22415160=-⨯⨯=-<， 方程无解，命题为假命题． 故答案为：特称命题 假．14．（5分）已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有1133OM xOA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则x 的值为13． 【解答】解：Q 点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有1133OM xOA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，11133x ∴++=，解得13x =．故答案为：13．15．（5分）已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若||6AB =，则p 的值为32． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由题意得，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(2pF ，0)， 代入直线:0l x y m --=得，2p m =，则直线l 的方程是02px y --=， 由2202y pxpx y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩得，22304p x px -+=， 则123x x p +=，且229404p p =-⨯>V ，因为||6AB =，所以126x x p ++=，即46p =，得32p =， 故答案为：32． 16．（5分）若数列{}n a满足*1)n n a a n N ++∈，且前99项的和为，则100a = 10-【解答】解：若数列{}n a 满足：111n n a a n n ++=+--， 可得100123499100()()()S a a a a a a =++++⋯++ 2022621098=-+-+-+⋯+-10=，数列{}n a 的前99项之和为311， 可得1001009910311a S S =-=-， 故答案为：10311-．四、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AB AD =，记CAD α∠=，ABC β∠=． （1）证明sin cos20αβ+=； （2）若3AC DC =，求β的值．【解答】解：（1）Q (2)2222BAD πππαπββ=-∠=--=-∴sin sin(2)cos22παββ=-=-，即sin cos20αβ+= （2）ADC ∆中由正弦定理sin sin()DC AC απβ=-即sin sin DC ACαβ=则sin 3βα=由（1）得2sin 323(12sin )βββ=-=-- 即223sin 30ββ- 解得3sin β或3sin β=Q 30sin 23ππβββ<<∴==18．如图，两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧¶AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在¶AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065．（1）将y 表示成x 的函数；（2）判断弧¶AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）由题意知AC BC ⊥，22400BC x =-，224(020)400ky x x x=+<<- 其中当102x =0.065y =， 所以9k =所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x =+<<- （2）2249400y x x =+-，42232232289(2)188(400)(400)(400)x x x y x x x x ⨯---'=--=--， 令0y '=得422188(400)x x =-， 所以2160x =，即410x =当0410x <<时，422188(400)x x <-，即0y '<所以函数为单调减函数， 当41020x <时，422188(400)x x >-，即0y '>所以函数为单调增函数． 所以当410x =即当C 点到城A 的距离为410函数2249(020)400y x x x =+<<-有最小值．（注：该题可用基本不等式求最小值．)19．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）由题意知当2…时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223a b b a b b =+⎧⎨=+⎩，即111121723b d b d =+⎧⎨=+⎩，可解得14b =，3d =，所以31n b n =+．（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==++g ， 所以234513[22324252(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⋯++⨯， 345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋯+-+⨯224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=⨯+-+⨯=--g ，所以232n n T n +=g ．20．已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．【解答】解：（Ⅰ）Q 直线:10l x y -+=与抛物线C 相切．由2102x y y px -+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y py p -+=，从而△2480p p =-=，解得2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ）由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．由214ty x y x =-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=， 124y y t ∴+=，从而21242x x t +=+， ∴线段AB 的中点M 的坐标为2(21t +，2)t ．设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ，点M 到直线l 的距离为d ， 则222132222|1|22|()|242A B d d d t t t +===-+=-+g ，∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l 的距离之和最小，距离的最小值为32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，6AB =，5AP =，60BAD ∠=︒． （1）证明：AC PE ⊥；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 所成角的余弦值为33，若存在，确定点F 位置；若不存在，说明理由．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形， 又OP ⊥底面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系O xyz -，依题意可得(0O ，0，0)，(3A ，0，0)，(0,33,0)B ，(6,33,0)C -，(3D -，0，0)，333(,0)2E ，(0P ，0，4)． （1）证明：Q (9,33,0)AC =-u u u r ，333(,4)2PE =-u u u r ，∴27270022AC PE=-++= u u u ru u u rg．∴AC PE⊥u u u r u u u r，因此AC PE⊥．（2）解：设平面POE的法向量为(,,)m x y z=r，则m OPm OE⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，Q(0,0,4)OP=u u u r，333(,,0)2OE=u u u r，∴4030zx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩．令1y=，得(3,1,0)m=-r，又(0,33,4)PB=-u u u r．设PB与平面POE所成角为θ，则||333129sin|cos,|||||243m PBm PBm PBθ=〈〉===u u u rru u u r gru u u rr．（3）解：Q假设存在F DC∈，使,[0,1]DF DCλλ=∈u u u r u u u r，计算得(33,33,0)Fλλ--，则(33,3333,0)BFλλ=---u u u r．又(3,0,4)PA=-u u u r，由异面直线PA与BF所成角的余弦值为33，得233||||||536(1)BF PABF PAλλ==-+u u u r u u u rgu u u r u u u r，解得12λ=．满足条件[0λ∈，1]，因此，存在点F在DC的中点处．22．已知圆O的方程为224x y+=，若抛物线C过点(1,0)A-，(1,0)B，且以圆O的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线C'．（1）求曲线C'的方程；（2）过点B作直线L交曲线C'于P、Q两点，P、P'关于x轴对称，请问：直线P Q'是否过x轴上的定点？如果是，请求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）设直线m和圆O相切与点M，过A，B分别向直线m作垂线，垂足分别为1A ，1B ，则112AA BB OM +=，由抛物线定义可知，1AA AF =，1BB BF =，所以24AF BF OM +==， 由椭圆的定义可知，点F 的轨迹为以A ，B 为焦点，以4为长轴的椭圆，方程为221(2)43x y x +=≠± （2）设1(P x ，1y )，2(Q x ，2y )，则1(P x '，1y - )直线P Q '的方程为122221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，122112x y x y x y y +=+，设直线:1L x my =+，则1221121212122(*)x y x y my y y y x y y y y +++==++ 联立直线和椭圆方程22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，代入(*)式得：4x =， 所以直线P Q '过x 轴上的定点(4,0)E ．。
广东省广州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）“a和b都不是偶数”的否定形式是（）A . a和b至少有一个是偶数B . a和b至多有一个是偶数C . a是偶数，b不是偶数D . a和b都是偶数2. （2分） (2017高一下·丰台期末) 二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：x﹣3﹣2﹣101234y﹣6046640﹣6则一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A . {x|x＜﹣2，或x＞3}B . {x|x≤﹣2，或x≥3}C . {x|﹣2＜x＜3}D . {x|﹣2≤x≤3}3. （2分）为等差数列的前项和，，正项等比数列中，，则（）A . 8B . 9C . 10D . 114. （2分） (2017高一下·西安期末) 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（）A .B .C . 2D . 45. （2分）已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于（）A .B . 0C . 1D . 26. （2分）等比数列中，，则“”是“” 的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则 =（）A . 2016B . 2015C . 2014D . 20138. （2分）设变量x,y满足，设，则z的取值范围是（）．A . [，]B . [， 3）C . [， 3]D . [，＋∞)9. （2分） (2016高二下·温州期中) 设a＜0，（3x2+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则b﹣a的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·利辛月考) 如果数列的前项和为，那么数列的通项公式是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高一下·和平期中) 在中, = 分别为角的对应边),则的形状为（）A . 正三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形12. （2分） (2017高一下·西安期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且，则Sn取最小值时，n的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·临泉期中) 若x，y满足，则的最大值为________．14. （1分） (2016高三上·浦东期中) 已知logab=﹣1，则a+4b的最小值为________15. （1分） (2016高三上·遵义期中) 某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是________ m．16. （1分） (2019高一下·安吉期中) 已知数列满足，，则的通项公式为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·山西月考) 已知，设成立；成立. 如果“ ”为真，“ ”为假，求实数的取值范围.18. （10分） (2017高一下·晋中期末) 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列，求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn= ，且b2= ，证明：b1+b2++bn＞．19. （5分） (2016高二上·桂林期中) △ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．20. （10分） (2019高一上·会宁期中) 已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[-1，a]上的最大值．21. （10分）通渭弘泰市政公司冠名资助我校2016级实验班，该公司每月按出厂价每件3元购进一种小产品，根据以前的数据统计，若零售价定为每件4元，每月可销售400件，若零售价每降低（升高）0.5元，则可多（少）销售40件，每月的进货全部销售完．（1）写出售价x与利润y函数的解析式；（2）销售价应定为多少元/件，利润最大？并求最大利润．22. （10分） (2019高一下·静安期末) 已知数列中，，设．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求满足的的最小值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
