必修一函数剖析大全与题型分类

函数2.1函数题型分类原则总述函数考题的已知条件和问题的现象比较复杂，为了建立简洁的思路体系，最好是以函数的概念为载体，从学习知识的程序上建立线索，按共同的条件现象或问题现象进行题型分类。

函数：两个集合之间按照某种对应法则的一个映射。

函数的三大考点：独立的一个函数可根据定义分四大考点一、映射与函数的概念：①判断对应关系是不是映射（函数），②求两集合能形成映射的个数二、定义域，值域：只要提到“最大值”，“最小值”，“取值范围”首先联想求定义域值域的方法。

高中阶段定义域有2 种题型，值域有4 种题型，详见下文知识讲解。

三、对应法则：即y 与x 的对应关系。

这个定义很抽象，抽象的概念不会直接考察。

它的两种具体表示形式①解析式②图像，是函数的核心考点。

两个函数的关系：主要研究原函数与反函数的关系，反函数作为函数的第四个考点在高考中几乎必考1 题。

四、反函数：主要考求反函数，或利用原反函数定义域值域、单调性、奇偶性、对称性关系解题。

2.2映射与函数的基本概念一、映射1、概念：A 集合中的每个元素按照某种对应法则在B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。

A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。

在A 到B 的映射中，从A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。

图2-1 是映射图2-2 是一一映射图2-3 不是映射映射概念题型：（一）求映射（或一一映射）的个数，若集合A 有n 个元素，集合B 有m 个元素，则A 到B 的映射有m n 个（二）判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。

二、函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。

如图2-4。

高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。

偶尔也用表格表示函数。

函数三要素：定义域A：x 取值范围组成的集合值域B：y 取值范围组成的集合对应法则f：y 与x 的对应关系。

函数1.函数f : A →B 是特殊的映射。

特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！ 据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点， 但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

【例2】（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个数有 个. （2）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝2. 同一函数的概念。

构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

【例3】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。

【例4】（1）函数lg 3y x =-的定义域是__ __（2）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______.（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________（4）（重要题型）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围 ； ②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围 。

（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：①若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤ 解出即可；②若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时， 求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

函数的奇偶性知识提要》》》 1. 奇、偶函数的概念【注意】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.一个函数只有定义域关于原点对称，这个函数才有可能是奇函数（或偶函数），如果定义域不关于原点对称，一定不具有奇偶性。

反之，如果一个函数具有奇偶性，那么它的定义域一定关于原点对称.。

（2）是为奇函数的既不充分也不必要条件，但如果奇函数在处有定义，必有 （3）偶函数不一定与y 轴相交（4）函数既是奇函数也是偶函数; 常函数为偶函数.奇偶性定义图像特征定义域特点表达式的常见变形偶函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是偶函数图像关于 轴对称定义域关于原点对称；奇函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是奇函数图像关于 原点对称定义域关于原点对称；0)0(=f )(x f )(x f 0=x 0)0(=f 0)(=x f )0()(≠=c c x f )(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f =-)(x f y |)(|)()(x f x f x f =-=)(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f -=-)(x f 0)()(=-+x f x f2. 奇、偶函数的性质（1）若奇函数在处有定义，即有意义，则；（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立．（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.（4）在公共定义域内：①奇＋奇＝奇；②偶＋偶＝偶；③奇×奇＝偶；④偶×偶＝偶；⑤奇×偶＝奇．方法提炼》》》》1.函数奇偶性的判断方法方法解读适合题型定义法确定定义域，判断是否关于原点对称。

若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断与的关系函数解析式较简单，抽象函数等图像法奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或轴)对称．函数图像容易确定、分段函数等性质法在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.组合函数、复合函数温馨提示（1）判断函数的奇偶性应树立“定义域优先的原则”；（2）对于较复杂的函数解析式，可先对其进行化简，在进行判断.)(xf0=x)0(f0)0(=fy)(xf)(xf-y2.函数奇偶性的应用技巧技巧解读求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据得到待求参数的恒等式，由系数的对等性得到系数的值或者方程（组），进而得出参数的值.求函数解析式抓住奇偶性，讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而求得的解析式.巧妙构造造奇偶函数求函数值若题设条件给出的函数不具备奇偶性，但通过变形转化为一个新的函数，进而能够确定奇偶性，便可利用此性质求解复杂式子的值，充分体现转化思想和构造技巧的应用.温馨提示（1）利用奇函数的性质求解函数的解析式需注意当时的情况，不能丢掉.（2）利用奇函数的性质求值可利用在定义域R上为奇函数，得到，或者是等特殊值，从而求得参数值.常考题型：题型一、函数奇偶性概念理解题型二、函数奇偶性的判定题型三、函数奇偶性求函数值题型四、函数奇偶性求参数题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题)()(=-±xfxf)(xf)(xf=x)(xf)0(=f0)1()1(=+-ff题型一、函数奇偶性概念理解 下列命题：①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称．⑤奇函数的图像关于原点对称 其中正确的是_______________ 题型二、函数奇偶性的判定 【例1】判断下列函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)(5)；(6)(7) (8)；(9)【练习1】(1) ; (2)(3)； (4) (5)(6)y ()()0R f x x =∈y 4)(x x f =5)(x x f =xx x f 1)(+=21)(x x f =122)(2++=x x x x f 232)(x x x f -=2211)(x x x f -+-=()2f x x =-⎩⎨⎧>+-<+=00)(22x x x x x x x f ，，2432)(xx x f +=y =()1xf x x =-()1,0,1,0.x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩2532)(x x x f +=4212)(xx x f +=【例2】(1)（多选）下列函数是奇函数的是 ( )A ．，（）B ．C ．D ． (2)下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是 ( ) A ．B ．C ．D ．(3)（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是 ( ) A ． B ． C ． D ．【练习2】(1)（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是 ( )A ． B. C ． D ． (2)（多选）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是 （ ）A ．． C ． D ．【例3】设是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）A.是奇函数B.C.是偶函数D.是偶函数【练习3】(1)(2014课标Ⅰ,理3)设函数的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A )是偶函数 B.是奇函数 C.是奇函数 D.是奇函数(2)已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R ，则 ( ) A ．是奇函数 B ．是奇函数 C ．是奇函数D ．是偶函数题型y x =[0,1]x ∈23y x =3y x=||y x x =y =3y x x =-1y x=-y =(0,)+∞y x =||1y x =+2y x =21y x =-(0,)+∞22y x =+2y x =-1y x x=+1||-=x y ()0,x ∈+∞()f x =()f x x =()2f x x x =+()2(1)f x x =+)(x f )()(x f x f -|)(|)(x f x f -)()(x f x f --)()(x f x f -+)()(x g x f ，)(x f )(x g )()(x g x f )(|)(|x g x f |)(|)(x g x f |)()(|x g x f ()f x ()g x ()()f x g x +()()f x g x ()()f x g x ()f g x ⎡⎤⎣⎦题型三、函数奇偶性求函数值【例1】已知是上的奇函数，且时，，则. 【例2】若是定义在上的奇函数，当时，，则.【例3】已知，且，则 【例4】已知函数是上的偶函数，若，则_________ 【例5】已知为奇函数，则___________ 【练习】1.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则_____2.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则____________3.已知，（是常数），且，则的值为.4.已知是定义在上的奇函数，若 ，则___________ 题型四、函数奇偶性求参数 【例题剖析】1.已知奇函数的定义域为，则实数__________.2.已知函数是偶函数，则__________.3.已知是定义在上的偶函数，那么的值是______4.设是定义在上的奇函数，则_______5.已知函数是偶函数，则______.6.若函数奇函数，则＝_________7.已知函数是奇函数，且，则_________ )(x f R 0>x 142)(2++-=x x x f _____)1(=-f ()f x R 0x >()258f x x x=+-()()05f f +-=2)(35++-=bx ax x x f 17)5(=-f ______)5(=f ()2y xf x =+R ()32f -=()3f =(1)1y f x =++()()02f f +=()f x R 0x >()231=-+f x x x ()3f -=)(x f 0<x 12)(2+-=x x x f =+)0()2(f f 5)(35+++=cx bx ax x f c b a ，，9)5(=f )5-(f ___3)2(-+=x f y R 4)1(=f =)3(f ()y f x =()2,1a a -a =()()21f x x a =++a =bx ax x f +=2)(]21[a a ，-b a +()()322f x x a x x =---+2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦()f b =()()322x xx a f x -=⋅-=a ))(12()(a x x xx f -+=a 1)(2++=x b ax x f ()225f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.已知函数的图象关于原点中心对称，则23)1()(x a x x f ++=______=a【练习】 1.已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为______． 2.若为偶函数，则实数3.已知函数是偶函数，定义域为，则. 5.已知定义在上的函数满足，且当时，，，则________6.若为奇函数，则__________7.若函数是定义在上的偶函数，则_________题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小 【例题剖析】1.已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．2.已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．【练习】1.设函数的定义域为R ，对于任意实数x 总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是( )22,a a -⎡⎤⎣⎦()y f x =a )4)(()(-+=x a x x f ______=a b a bx ax x f +++=3)(2]21[a a ，-____)0(=f R ()f x ()()0f x f x -+=0x ≤()22xaf x bx =-+()10f =()3f =()()()211f x x a x a =+++-=a ()21f x x ax =++(,22)b b --2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x (],0∞-()()()152f f f ->>()()()215f f f >->()()()125f f f ->>()()()521f f f >>-()f x [0,)+∞()0.5f -()1f -()0f ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-()f x ()()f x f x -=[)0,x ∈+∞()f x ()2f -()πf ()3f -A ． B ． C ．D ．()()()π32f f f >->-()()()2π3f f f ->->()()()3π2f f f -<-<()()()2π3f f f -<-<2.若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．3.若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是( )A ．B ．C ．D ．题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式【例1】(1)设函数y =f (x )为上的偶函数，且对任意的均，则满足的实数的范围是____________(2)已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是__________(3)已知定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为__________．(4)定义在上的奇函数，当时，单调递增，则不等式的解集是__________(5)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是__________]2,2[-)(x f ]2,0[)()1(m f m f <-m ()f x (0,)+∞(a f =π2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ac <<b c a <<a c b <<c a b <<()y f x =(),0-∞523634f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352463f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R (]()1212,,0x x x x ∞∈-≠()()()21210f x f x x x ⎡⎤--<⎣⎦()()121f x f x +<-x [4,4]-()f x [0,4](1)(2)f x f +>-x R ()f x [0,)x ∈+∞()f x ()()2110f x f ++≥()f x R 0x ≥()221f x x x =-+()()21f f x ->+x (6)已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为__________()f x R 0x ≥()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->m【练习1】(1)已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为__________(2)定义在上的奇函数是减函数，若，实数的取值范围为__________.(3)奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围__________(4)已知函数，且，则实数的取值范围是_________(5)已知函数是定义在上的偶函数；且在上单调递增，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围________________【例2】(1)已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集______(2)定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x 的取值范围是________【练习2】(1)已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为______(2)定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为____________(3)定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为____________()f x R [)0,+∞()()121f x f x ->+)1,1(-)(x f 0)31()1(<-+-a f a f a()f x [)0,+∞()23f =()313f x -≤-≤()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()y f x =R (],0-∞x ∈R ()()21f ax f x >+a ()f x (0,)+∞(1)0f =()0x f x ⋅<R ()f x (),0-∞()30f =()()10x f x +≥()f x ()0,∞+()10f =()0f x x<R ()f x ()()1212,0,x x x x ∈+∞≠()()12120f x f x x x ->-()20f =()()10x f x -≤R ()f x ()0,∞+103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()202f x x ≤-题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式 【例1】(1)已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为________(2)函数是定义在上的奇函数，已知当时，，求函数的解析式________(3)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的表达式为________．(4)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当x ∈(0,+∞)时，_____________【练习1】(1)已知是定义在上的奇函数，当时，，求时，函数的解析式___________(2)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式.(3)已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=x (x ―4)，则函数f （x ）解析式为__________(4)是定义在R 上的奇函数，当时，，则的表达式为_____题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式【例1】是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式．【练习1】已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则_______()f x R 0x ≥()()1f x x x =+0x <()f x ()f x R 0x >2()23f x x x =--()f x ()f x R 0x ≥()()24f x x x =+()f x R ()f x (),∞∞-+(),0x ∞∈-()2f x x x =-()f x =()y f x =R 0x ≥2()2f x x x =-+0x <()f x ()f x R 0x <()22f x x x=-()f x ()f x 0x ≥()22f x x x =-+()f x ()f x ()g x ()()11f xg x x +=-()f x ()g x ()f x ()g x 2()()1f x g x x x +=-+(2)f =题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题 【例1】已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性；(2)利用单调性的定义证明：在上单调递减；(3)解不等式．【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.【例3】已知函数f(x)=x 2―1x. (1)判断函数f (x )的奇偶性，并证明；(2)证明f (x )在区间(0,+∞)上是增函数；(3)求函数f (x )在区间[―4,―2]上的最大值和最小值.【例4】已知函数是上的偶函数，当，，(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.2()1x f x x =-(1,1)-()f x ()f x (0,1)()2(1)10f m f m -+-<()21ax b f x x -=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()210f t f t +->()f x R 0x ≤2()43f x x x =-+-()f x (21)(1)f m f m -<+m【练习1】已知函数f (x )=ax +b 1+x 2是定义在(―1,1)上的奇函数，且f (12)=25. （1）求函数f (x )的解析式；（2）用定义法证明函数f (x )的单调性；（3）若f (m )+f (2m ―1)>0，求实数m 的取值范围.【练习2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值；(2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使成立的实数a 的取值范围.()21mx n f x x +=+[]1,1-()11f =,m n ()f x ()2(1)10f a f a -+-<。

函数的基本性质（一） 函数单调性与最大（小）值【知识要点】1、函数的单调性定义设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

区间D 称为y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.2、图象的特点：单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ②作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减 4、判断函数的单调性常用的结论①函数()y f x =-与()y f x =的单调性相反；②当函数()y f x =恒为正或恒有负时，1()y f x =与函数()y f x =的单调性相反；③函数()y f x =与函数()y f x C =+（C 为常数）的单调性相同；④当C > 0（C 为常数）时，()y f x =与()y C f x =的单调性相同；当C < 0（C 为常数）时，()y f x =与()y C f x =的单调性相反；⑤函数()f x 、()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x +仍是增（减）函数； ⑥若()0,()0f x g x >>且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是增（减）函数；若()0,()0f x g x <<且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是减（增）函数；⑦设()0f x >，若()f x 在定义域上是增函数，()(0)k f x k >、()(1)n f x n >都是增函数，而1()f x是减函数.5、函数的最大（小）值定义（ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M：那么，称M是函数y=f(x)的最大值．（ⅱ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值.【注意】函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）、换元法及基本不等式的性质求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；7、考点1 判断函数的单调性【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1f xx=-在区间（1，+∞）上的单调性.【巩固练习】证明：函数2()1xf xx=-在区间（0，1）上的单调递减.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：任意取x1，x2∈[a，b] ，那么：(1)f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．证明：(1)任取定义域(－∞，＋∞)内x 1、x 2且x 1＜x 2， 则x 2－x 1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 2－x 1＋x 1) ＝f (x 1)－f (x 2－x 1)－f (x 1)＝－f (x 2－x 1)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞,＋∞)上单调递减．考点2 求函数的单调区间例1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++.例2.已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.例3.已知函数f (x )=x |x -a |+2x .（－4≤a ≤4） (1)求f (x )的单调区间；解：⑴f (x )=x |x -a |+2x =⎩⎪⎨⎪⎧x 2+(2-a )x (x ≥a )-x 2+(2+a )x (x <a )当x ≥a , f (x )=x 2+(2-a )x 对称轴x =a -22 当x <a , f (x )=-x 2+(2-a )x 对称轴x =a +22①当a <a -22即4<a <-2时，f (x )增区间为（－∞,a ）和（a -22,+∞）减区间为(a , a -22)；②当a -22≤a ≤a +22即－2≤a ≤2时，f (x )在（－∞,+∞）上单调递增；③当a >a +22即2<a <4时，f (x )增区间为（－∞, a +22）和（a ,+∞）减区间为(a +22,a )(2)解不等式：f (x －x )+f (3x )+2>0.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2，x ＜2(3－a )x ＋5a ，x ≥2满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是________．【巩固练习】1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.考点3 函数的最值【例1】求函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值和最小值：变式：【例2】求函数 的最值【例3】 (1)求函数y ＝1x －3＋x(x>3)的最小值；(2)已知0<x<13，求y ＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x ＞－1，求y ＝x2＋3x ＋4x ＋1的最小值．【巩固练习】1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是___________.2. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值4. 已知函数322+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.y x =分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用求函数f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0，2]上的最大值．(二)函数的奇偶性函数的奇偶性1、定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

必修一函数知识点整理和例题讲解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中数学必修一知识点和题型练习一 集合与函数1 集合的含义及表示*⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪∈∉⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩确定性集合中元素的特征 互异性无序性 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法常见的数集 N N Z Q R2,,A B B A A B A B A A A A B A B A B οοφ≠⊆⊆=⎧⊆⊆⊆⎪⎪⎨⎪⎪⊆≠⊂⎩1定义:A=B2若且则子集： , 集合相等: 集合间的基本关系真子集： 若且 则 空集φ的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 *结论 含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n ，真子集的个数为21n -3集合的基本运算{}{}{}|||U A B x x A x B A B x x A x B C A x x U x A ⎧⋃=∈∈⎪⋂=∈∈⎨⎪=∈∉⎩并集：或 交集：且 补集：且在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍） *结论 （1）A A A ⋃= A A A ⋂=, A A φ⋃= A φφ⋂=（2）A B B A B ⋃=⊆若则 A B A A B ⋂=⊆若则练习题1． 若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于( )A ．{x |3≤x <4}B ．{x |3<x <4}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3} 2．已知集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，2，3，5}，则M ∩N ＝( )A ．{0，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{3，5}3． 已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则?U A ＝( )A ．{1，3，5，6}B ．{2，3，7}C ．{2，4，7}D ．{2，5，7} 4．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ＞1}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |1＜x ＜3}5．已知集合A ＝{3，4，5，12，13}，B ＝{2，3，5，8，13}，则A ∩B ＝________．6．已知集合A ＝{－2，－1，3，4}，B ＝{－1，2，3}，则A ∩B ＝________． 7． 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合?U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}8．设集合M ＝{1，2，4，6，8}，N ＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．5D ．79． 已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则A ∩B ＝( )A ．?B ．{2}C ．{0}D ．{－2}10．已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－2＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，3)D ．(－2，3)二、函数及其表示⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩函数的定义 定义域函数的三要素对应法则值域区间的表示 解析式法函数的表示法列表法图像法(一)、求定义域1．函数y = ） A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥≤或D ．{|01}x x ≤≤2．函数422--=x x y 的定义域 。

高一数学函数题型及解题技巧总结在高一数学中，函数是一个非常重要的概念，它在数学中的地位非常重要。

函数不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际生活中也有很多应用。

因此，学好函数对于高一学生来说至关重要。

下面我们将从函数的基本概念入手，逐步介绍高一数学中常见的函数题型及解题技巧。

一、函数的基本概念首先，我们来了解一下函数的基本概念。

在数学中，函数是一种对应关系，它可以将某一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一个元素上。

通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

在函数中，自变量的取值范围叫做定义域，因变量的取值范围叫做值域。

函数又可以分为初等函数和非初等函数两大类。

初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等；非初等函数包括幂函数、指数对数函数、三角反三角函数等。

二、高一数学中常见的函数题型1.多项式函数的性质题多项式函数是高中数学中的一个重要内容。

多项式函数的性质题一般包括函数的奇偶性、增减性、最值等。

解这类题目首先要对函数的解析式进行化简，然后根据化简后的函数性质进行分析，找出相应的结论。

解题技巧：1）对于奇偶性的判断，可以利用f(-x)和f(x)来进行判断。

如果f(-x)=f(x)，则是偶函数，如果f(-x)=-f(x)，则是奇函数。

2）对于增减性的判断，可以通过求导或者利用一阶导数的符号进行判断。

3）对于最值的求解，可以通过求导或者利用函数的性质进行判断。

2.指数函数与对数函数的相关题型指数函数与对数函数是初等函数中的重要内容。

它们在数学中有着重要的应用，如在增长与衰减、复利等方面。

指数函数与对数函数的相关题型主要包括函数的性质、指数方程与对数方程的解法、幂函数与对数函数的互化等。

这类题目的解题关键在于熟练掌握指数对数函数的性质以及运用性质解题。

解题技巧：1）对于指数函数与对数函数的性质题，可以利用函数的定义以及性质进行分析求解。

2）对于指数方程与对数方程的解法，可以利用换底公式、对数的性质等进行求解。

高一数学函数知识总结及例题高一数学函数知识总结及例题第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f 对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。

例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。

解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f 的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）1，则函数ff(x)的定义域为______________。

x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1f(x)1x1即1，解得x1且x21x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。

例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。

解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5 即函数f(x)的定义域为1，5x2例4.已知f(x4)lg2，则函数f(x)的定义域为______________。

x82x2x20解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以2x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分—、函数的概念与表示1、映射：(1)对映射定义的理解。

(2)判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射，多对一是映射集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A~B的映射f:(x,y)^(x^/.xy),求象(5, 2)的原象13•已知集合A到集合B= {0, 1, 2, 3}的映射f:x-x ijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.2、函数。

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

= 2(X) lg X , g(x) 2lg xC、B、f (X) lg+u) - - ,g(v)=1 u”D、f (x) =x,1 vX +1--- ,()决1)+ Ig( - 2、一fX~ Xx 1 =厂 f (X) X2、M {x|0 x 2}, N {y |0 寻给出下列四个图形, 其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有y配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

例2已知f(x + 丁亍+ —(X 0尸，求f(x)的解析式2X X三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

广+ = +广+例 3 已知f( x 1) x 2 x ,求 f (x 1)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

+2 x y g x例4已知：函数y x 与 ()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过—— =1解方程组求得函数解析式。

(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质题型总结及解题方法单选题1、函数y =sin2x ln |2x |的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A解析： 先求出函数定义域，由函数奇偶性的概念，得到y =sin2x ln |2x |是奇函数，排除CD 选项，再根据0<x <12时，函数的正负，即可得出结果.由y =sin2x ln |2x |得|2x |≠1，即x ≠±12，所以函数y =sin2x ln |2x |的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称，又sin (−2x )ln |−2x |=−sin2x ln |2x |，所以函数y =sin2x ln |2x |是奇函数，图像关于原点对称，排除CD ，又当0<x <12时，0<2x <1，所以sin2x >0，ln2x <0，因此y =sin2x ln |2x |<0，图像应在x 轴下方，故B 错，A正确.故选：A小提示：本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，以及对数函数的性质即可，属于常考题型.2、已知函数f(2x)的定义域是[0,2]，则函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是（ ）A ．{1}B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[2,3]答案：C解析：由复合函数的定义域可得函数f(x)的定义域，再解不等式组即可得解.因为函数f(2x)的定义域是[0,2]，所以函数f(x)的定义域为[0,4]，若要使y =f(x −1)+f(x +1)有意义，则{0≤x −1≤40≤x +1≤4，解得x ∈[1,3]. 所以函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是[1,3].故选：C.3、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B解析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B. 填空题4、若f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．答案：[4,5]解析：根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；因为f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是定义在R上的增函数，所以{7−a>0 a+92≤77(7−a)−3≤49−7(a+9)+15a ，即{a<7a≤5a≥4，解得4≤a≤5，所以答案是：[4,5]5、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)．若对任意的x∈[0,2t+1]，均有f(x+t)≥[f(x)]3，则实数t的取值范围是________．答案：[−12,−49].解析：根据函数f(x)为偶函数，且在[0,+∞)单调递增，转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立，进而可得结果.∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)，∴f(x)=a|x| (a>1)，则[f(x)]3=(a|x|)3=a|3x|=f(3x)，则f(x+t)≥[f(x)]3等价于f(x+t)≥f(3x)，当x≥0时f(x)为增函数，则|x+t|≥|3x|，即8x2−2tx−t2≤0对任意x∈[0,2t+1]恒成立，设g(x)=8x2−2tx−t2，则{g(0)≤0g(2t+1)≤0⇔{−t2≤027t2+30t+8≤0，解得−23≤t≤−49，又2t+1≥0，所以−12≤t≤−49.所以答案是：[−12,−49].小提示：关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立.。

《必修1》函数专题一、函数的概念及其解析式的一般构成『知识与方法梳理』☟1.函数的概念：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一 确定的数f(x )和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.相关词： （1）定义域： A ； （2）值域： {y | y =f(x ), x ∈A } .2.映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的_任何一个_元素，在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的_对应_(包括集合A ，B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f)叫做集合A 到集合B 的映射，记作：“ f ：A →B ”．几种常见初等函数的解析式函 数 解析式 参数 定义域 常函数 y = b b ∈R R 绝对值 y=a|x| a ≠0 R反比例 y = kxk ≠0 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)一次函数y = a x + b a ≠0 R二次函数y = a x 2 + b x + ca ≠0 R y =a(x - h)2 + k 顶点:（h,k) y = a(x -x 1)(x -x 2)零点: x 1, x 2 指数函数 y = a x a≠1,a>0 R 对数函数y = log a xa≠1,a>0 (0,+∞) 幂函数 y = x αα为正整数 Rα为负整数 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)α为正分数 [0, +∞) α为负分数(0, +∞)4.函数解析式的特殊构成：（1）分段函数：定义域分成几段，每段解析式不同.（2）复合函数：形如f[g(x )],内函数g(x )的函数值作为外函数f(x )的自变量取值，计算外函数的值即为复合函数值.（4）变换函数：经过平移或伸缩及对称等变换得到的函数.（3）合成函数：由几个已知函数（初等或其复合与变换函数）通过加减乘除等基本运算形成的函数.（5）周期函数：存在非零常数T ，使得对函数定义域内的任意数x 都有f(x +T)=f(x )成立.5.解析式运算性质： （1）根式运算性质：()n n a = a （n 为偶数时a ≥0,否则无意义）； nn a =⎩⎨⎧为偶数）为奇数）n a n a ( ||( .(n ∈N*) （2）分数指数幂与根式换算:（m,n ∈N*,n>1))m na (a ≥0) = n a m ; mn a -(a >0) = 1nam . （3）指数式与对数式互化（a>0, a ≠1,b>0）：a m= b ⇔ log a b=m（4）指数式运算性质（a>0, b>0）a r a s =a r+s (a r )s =a rs (ab)r = a rb ra r a s =a r-s (ab )r = a r br（5）对数式运算性质（m,a,b>0,a,m ≠1,M>0, N>0）log a （M ⋅N ）= log a M+log a N, log a MN =log a M - log a N, log m blog ma =log a b,log a M n = n log a M , a log a M = M, log a 1= 0,log a a= 1.6.常识知识与方法：（1）分数指数幂的底：负数不能像正数那样定义分数指数幂（否则会造成运算矛盾），.零只能定义正的分数指数幂。