机械优化设计方法第三章PPT课件

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机械优化设计方法第三章

二、约束最优解和无约束最优解
•
n维目标函数f(X)=f(x1, x2, …, xn)，若在无约束条件下极小化，即在整个n维设计空间寻找X*= [x1*, x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)，X ∈R n，其最优点X*、最优值f(X*)构成无约束最优解；
•
若在约束条件限制下极小化，即在可行域D中寻找 X*= [x1*, n X D R，其最优点 x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)， X*、最优值f(X*)则构成约束最优解。约束最优解和无约束最优解，无论在数学模型还是几何意义上，两者均是不同的概念。设已知目标函数
二、函数的梯度
• 可以对方向导数作如下变换：设S0为S方的的单位向量，则S0在坐标轴上的投影为cosαi，i=1，2，…，n，这里αi ＝(S0, xi)，即 cos 1
cos 2 S0 cos n cos 1 f X f X f X f X cos 2 T , ,, f X S0 S x1 x n x1 cos n
三、局部最优解和全域最优解
对无约束最优化问题，当目标函数不是单峰函数时，有多个极值点X*(1) ，X*(2)，…，如图所示。此时X*(1)和f(X *(1) )、X *(2) 和f(X *(2))均称为局部最优解。
如其中X *(1) 的目标函数值 f(X *(1) )是全区域中所有局部最优解中的最小者，则称X *(1) 和 f(X *(1) )和为全域最优解。
f X 0 0 S
f X 0 0 S

f(X)值在X(0)点处沿S方向是增加的； f(X)值在X(0)点处沿S方向是减少的；即方向S与f(X)的等值面相切，这时，f(X) 在X(0)点处沿S方向不增也不减。

机械优化设计-第三章一维优化方法

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机械优化设计
• 第四次缩小区间：第四次缩小区间： • 令 x2=x1=0.764, , f2=f1=0.282 • x1=0.472+0.382*(0.944-0.472)=0.652, f1=0.223 • 由于f1<f2, 故新区间由于f 故新区间[a,b]=[a, x2]=[0.472, 0.764] • 因为 b-a=0.764-0.472=0.292>0.2, 应继续缩小区间。 , 应继续缩小区间。第五次缩小区间：第五次缩小区间： f2=f1=0.223 令 x2=x1=0.652, x1=0.472+0.382*(0.764-0.472)=0.584, f1=0.262 由于f 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584, 0.764] 由于f1>f2, 故新区间因为 b-a=0.764-0.584=0.18<0.2, 停止迭代。程序演示 , 停止迭代。极小点与极小值：极小点与极小值： x*=0.5*(0.584+0.764)=0.674,
x2 = a + 0.618(b − a), y2 = f ( x2 )
f
b = x2 , x2 = x1, y2 = y1
x1 = a + 0.382(b − a), y1 = f ( x1 )
y1 < y2
否
是
y1 y2
x
b
a = x1 , x1 = x2 , y1 = y2
x2 = a + 0.618(b − a), y2 = f ( x2 )
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机械优化设计
h0
x2
机械优化设计
2.前进搜索加大步长 h＝2 h ，产生新点x3= x2+ 2h0 ；（a）如y2<y3，则函数在[x1，x3]内必有极小点，令a= x1，b= x3搜索区间为[a，b] ；（b）如y2>y3，令x1=x2 ，y1=y2 ； x2=x3 ，y2=y3 ； h=2h 重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、 y3的大小，直到y2<y3。

机械优化设计之无约束优化方法(ppt 62页)

所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
机械优化设计
一、概述
1、无约束优化问题
求n 维设计变量 Xx1,x使2,目x标nT函数
f Xmin ，而对 X 没有任何限制条件。
2、求解方法（1）利用极值条件来确定极值点的位置。（2）数值计算方法——搜索方法基本思想：从给定的初始点 x 0 出发，沿某一搜索方向
y1,y2y12y221 2y1 y2 0 20 2 y y1 2
可以看出二者的对角形矩阵不同，前者的等值线为一族椭圆，后者的等值线为一族同心圆，这说明对角形矩阵是表示度量的矩阵或者是表示尺度的矩阵，最速下降法的收敛速度和变量的尺度有很大关系。
称其为牛顿方向，则阻尼牛顿法的迭代公式为：
X k 1 X k k d k X k k 2 fX k 1 fX k ( k 0 , 1 , 2 )
k ——阻尼因子，即沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长，
可通过如下极小化过程求得：
机械优化设计
章无约束优化方法
一、概述二、最速下降法（梯度法）三、牛顿型方法（牛顿法和阻尼牛顿法）四、共轭方向和共轭方向法五、共轭梯度法六、变尺度法七、坐标轮换法
机械优化设计
实际中的工程问题大都是在一定限制条件下追求某一指标为最小，属于约束优化问题。
为什么要研究无约束优化问题？
1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束问题； 2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础； 3）约束优化问题的求解可用通过一系列无约束优化方法来达到。
f xk1 Tf xk 0 或 dk1 T dk 0

机械优化设计PPT课件

ⅱ)设计方案—由设计常量和设计变量组成。
ⅲ)维数—设计变量的个数n.
通常,n ,设计自由度 , 越能获得理想的结果,但求解难度 .
n 10 小型问题 n 11 50 中型问题 n 50 大型问题
2019/8/16
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2.设计空间
Rn(n 4) 为超越空间.
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三.目标函数和等值线
1.目标函数—数学模型中用来评价设计方案优劣的函
数式 (又称评价函数): f (X ) f (x1, x2,...xn ) ①常用指标: 最好的性能; 最小的重量; 最紧凑的外形;
最小的生产成本; 最大的经济效益等.
②单目标和多目标；
l1 l2 l3 l4 0
l1 l10 0
arccos (l2 l1)2 l42 l32 arccos (l2 l1)2 l42 l32 0
2(l2 l1)l4
2(l2 l1)l4
180
l12
l22
2l32 sin 2 ( l22 l12
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3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
收敛的.
2)算法的收敛速度
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较高的方法。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划问题的解法；

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2.梯度投影法
约束面上的梯度投影方向
四、步长的确定
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1) 取一试验步长αt，计算试验点xt。
2) 判别试验点xt的位置。 3) 将位于非可行域的试验点xt，调整到约束面上。
2. αk取到约束边界的最大步长
3.计算步骤
三、不等式约束的增广乘子法
三、不等式约束的增广乘子法
三、不等式约束的增广乘子法
图6-36 增广乘子法框图
第七节非线性规划问题的线性化解法——线性逼近法
一、序列线性规划法
二、割平面法三、小步梯度法四、非线性规划法
一、序列线性规划法
6-37
二、割平面法
三、小步梯度法
1) 由设计者决定k个可行点，构成初始复合形。 2) 由设计者选定一个可行点，其余的(k-1)个可行点用随机法产生。 3) 由计算机自动生成初始复合形的全部顶点。
二、复合形法的搜索方法
1.反射 2.扩张 3.收缩 4.压缩
1.反射
1) 2) 3) 4) 计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点L、最坏点H及次坏点G 计算除去最坏点H外的(k-1)个顶点的中心C 从统计的观点来看，一般情况下，最坏点H和中心点C的连线方向为目标
四、非线性规划法
第八节广义简约梯度法
一、简约梯度法
一、简约梯度法
二、广义简约梯度法
二、广义简约梯度法
三、不等式约束函数的处理和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题

机械优化设计方法ppt课件

目标函数的一般表示式为：
f (x) f (x1, x2,...xn )
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优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
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四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
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图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
11
图2-2 人字架的受力
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人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
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1
钢管所受的压力
F1

FL h

F(B2 h
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机械优化设计PPT

二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤
表7-3 离散变量优化的主要方法及其特点和步骤
图7-8 两个目标函数的等值线和约束边界
三、协调曲线法
图7-9 协调曲线
四、分层序列法及宽容分层序列法
四、分层序列法及宽容分层序列法
采用分层序列法，在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法继续进行下去。当求解到第k个目标函数的最优解是惟一时，则再往后求第(k+1)，(k+2)，…，l个目标函数的解就完全没有意义了。这时可供选用的设计方案只是这一个，而它仅仅是由第一个至第k个目标函数通过分层序列求得的，没有把第k个以后的目标函数考虑进去。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则更失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这种方法就是对各目标函数的最优值放宽要求，可以事先对各目标函数的最优值取给定的宽容量，即ε1>0，ε2>0，…。这样，在求后一个目标函数的最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解内，而是在前一些目标函数最优值附近的某一范围内进行优化，因而避免了计算过程的中断。
5.组合型算法终止准则
6.组合型算法的辅助功能
(1) 直线加速与二次曲线加速当目标函数严重非线性时，即若
函数具有尖峰脊线，即存在“谷”时，则希望能沿着脊线方向进行搜索，可迅速提高算法的寻优效率，该算法称为具有脊线加速能力。 (2) 网格搜索法技术将离散空间视为一网格空间，每个离散点就是一个网格节点。 (3) 变量分解策略将目标函数中的变量分成若干个子集合，若
离散复合形，重新进行调优搜索，直到前后两次离散复合形运算
的优化点重合，算法才最终结束。
6.组合型算法的辅助功能
图7-24 有脊线目标函数寻优过程示意图

《机械优化设计》自学考试教学要求PPT课件

2. 牛顿型方法识记：多元函数求极值的牛顿法迭代公式；牛顿方向和阻尼牛顿方向。领会：牛顿法和阻尼牛顿法的计算过程。应用：用牛顿法和阻尼牛顿法求函数极值。
2021/3/12
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第四章无约束优化方法
3. 共轭方向及共轭方向法
识记：共轭方向的概念；共轭方向的性质，求共轭方向的迭代公式。
领会：共轭方向法迭代过程，格拉姆-斯密特向量系共轭化方法。
2021/3/12
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第三章一维搜索方法
一、考核知识点与考核要求
1.一维搜索原理识记：一维搜索迭代公式；一维搜索最佳步长因子。领会：一维搜索最佳步长因子数值解法原理。
2. 搜索区间的确定与区间消去法识记：确定搜索区间的外推法原理，一维搜索区间的特征；区间消元法原理；一维搜索方法的分类。领会：外推法和区间消去法的工作步骤。应用：外推原则和区间消去的判定原则。
本章重点：优化设计问题的基本概念和几何解释。本章难点：优化设计问题数学模型的建立。
2021/3/12
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第二章优化设计的数学基础
一、考核知识点与考核要求
1. 多元函数的方向导数与梯度识记：方向导数；梯度；负梯度方向。领会：方向导数与梯度的关系；梯度方向与等值线的关系。应用：二元和多元函数的梯度的计算。
《机械优化设计》自学考试教学要求
2021/3/12
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一、教学内容和重点、难点二、考核要求
2021/3/12
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一、教学内容和重点、难点
绪论第一章优化设计概述第二章优化设计的数学基础第三章一维搜索方法第四章无约束优化方法第五章线性规划第六章约束优化方法第七章多目标和离散变量优化方法第八章机械优化设计实例

机械优化设计(第3、4次课)

经过三步最后确定搜索区间并且得到区间始点中间点和终点正向搜索的外推法32搜索区间的确定不区间消去法原理32搜索区间的确定不区间消去法原理321确定搜索区间的迚退法外推法第三章一维搜索方法反向搜索的外推法32搜索区间的确定不区间消去法原理32搜索区间的确定不区间消去法原理321确定搜索区间的迚退法外推法第三章一维搜索方法右图表示开始沿的正向试探但由于函数值上升而改变试探方向最后得到了区间始点中间点和终点从而形成的单谷区间为一维搜索区间13
局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。
数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：
4
13:26
第三章一维搜索方法
•
13:26
第三章一维搜索方法
3.1 概述 3.1.2 一维问题是多维问题的基础
求目标函数 f (X)的极小点，从理论上说需要求解方程： f (X ) 0
其中，
X
(
x 1
,
x2
,
, xn)T 。那么如何来求 f (X)的极小点呢？
基本思想:
X0, X1, , Xk , Xk1
f (X0 ) f (X1) , , f (Xk ) f (Xk1)
•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

机械优化设计(张翔,陈建能编著)PPT模板

2.6优化设计的约束极
值条件
2.4函数的凸性
2.5目标函数的无约束
极值条件
2.1本章导读
2.2向量、矩阵的若干
概念
2.3目标函数的性态分
析基础
第2章优化设计的理论基础
2.7优化设计的数值解法及终止准则 2.8习题
第3章一维优化方法
第3章一维优化方法
3.1引言 3.2确定搜索区间的进退法 3.3黄金分割法 3.4二次插值法 3.5习题
第9章优化设计实例
9.1复演预期函数机构的
1
设计
9.2圆柱齿轮减速器的优
化设计
2
9.3圆柱螺旋压缩弹簧的
3
优化设计
9.4椭圆齿轮-曲柄摇杆-
轮系引纬机构的设计
4
9.5手脚联控机构的多目
5
标优化设计
9.6应用的扩展——两个
非工程设计的应用实例
6
第9章优化设计实例
9.7习题
参考文献
参考文献
附录混合罚函数优化程序与 M AT L A B 使用示例
附录混合罚函数优化程序与 M AT L A B 使用示例
F1混合罚函数调用Powell法求优参考程序
F 2 M AT L A B 优化工具使用示例
2020
感谢聆听
换
05
7.5优化计算结果的分
析
03
7.3建模中数表和图线
的程序化
06
7.6习题
第8章现代优化计算方法与优化工具软件应用概述
第8章现代优化计算方法与优化工具软件应用概述
8.1现代优化计算方法 8 . 2 M AT L A B 优化工具应用概述 8.3习题

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设已知目标函数
f(X )x1 2x2 24 x14
受约束于
g 1(X )x 1 x2 2 0
g2(X)x10
g3(X)x20 g 4(X ) x 1 2x2 10
求其最优解X*和f(X*)。
4
图3-2（a）表示其目标函数和约束函数的立体图，图3-2(b)表示其平面图。显然其无约束最优解为目标函数等值线同心圆中心
若给定一个f(X)值,却有无限多组x1, x2,…, xn 值与之对应，也就是
当f(X)=aX= [x1, x2,…, xn ]T在设计空间中对应有一个点集。
通常这个点集是一个曲面(二维是曲线，大于三维称超曲面)，称之为目标函数的等值面。当给定一系列的a值，即a=a1, a2, …时，相应有f(X)= a=1a1,
最小的一个作为全域最优解。
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3-2函数的方向导数和梯度
• 为了尽快找到目标函数f(X)的极小值点，研究函数在其定义空间中的变化规律是必须的。
• 譬如说，若是已知在设计空间的某一点处函数的取值沿某一个方向下降得最快，于是我们就可以从该点出发，沿着这个方向去寻找函数的极小值点。
• 为此，这里要引用函数的方向导数和梯度。
• X*(2) =[x1*(2)，x2*(2)]T =[0.85，1.34] T，f( X*(2) )=3.80，为其约束最优解。
5
• 二维问题关于约束最优解和无约束最优解几问意义的讨论，同样可推广到高维问题。n个设计变量X= [x1, x2, …, xn]T组成设计空间。
• 在这个空间中的每一个点代表一个设计方案，此时n个变量具有确定的值。
若将f(X)=f(x1,x2)曲面上具有相同高度的点投影到设计平面x1ox2 上，则得f(X)=f(x1,x2)=a的平面曲线，这个曲线就是符合 f(X)=f(x1,x2)=a的点集，称为目标函数的等值线
对于三维问题在设计空间中是等值面，高于三维的问题在设计
空间中则是等值超曲面。
3
二、约束最优解和无约束最优解
• 当给定目标函数某一定值时，就在n维设计空间内构成一个目标函数的等值超曲面。给定目标函数一系列数值时就获得一系列目标函数的等值超曲面。这些等值超曲面反映了目标函数变化情况。
• 无约束最优点为这些等值超曲面的共同中心。 • 对于约束最优化问题，每一个约束条件在n维设计空间是一个约
束超曲面,全部约束超曲面在设计空间中构成可行域D，在其上寻找目标函数值最小的点即为约束最优点。 • 这一点可以是目标函数等值超曲面与某个约束超曲面的一个切点，也可以是目标函数值较小的某些约束超曲面的交点(如图所示的X*点)。
局部极小点，亦即X *(1)、f(X *(1))
，X *(2)、f(X *(2) )，X *(3)、f(X *(3) )均称局部最优解。可知
X *(3) 为全域极小点，亦即X *(3) 和f(X *(3) )为全域最优解。
优化设计总是期望得到全域最优解，但目前的优化方法只能求出
局部最优解，并采取对各局部最优解的函数值加以比较、取其中
7
对于约束最优化问题，情况更为
复杂。它不仅与目标函数的性质
有关，而且还与约束条件及其函
数性质有关。如图3-5所示，目标
函数f(X)的等值线绘于图上，有两
个不等式约束g1(X)≥0，g2(X) ≥0，构成两个可行域D1和D2。X*(1)、 X *(2) 、X *(3)分别是可行域内在某
一邻域目标函数值最小的点，都是
6
ห้องสมุดไป่ตู้
三、局部最优解和全域最优解
对无约束最优化问题，当目标函数不是单峰函数时，有多个极值点X*(1) ，X*(2)，…，如图所示。此时X*(1)和f(X *(1) )、X *(2) 和f(X *(2))均称为局部最优解。
如其中X *(1) 的目标函数值 f(X *(1) )是全区域中所有局部最优解中的最小者，则称X *(1) 和 f(X *(1) )和为全域最优解。
• 等值钱表示了目标函数值的变化情况，越向里边的代表目标函数值越小。
• 显然其无约束最优解为目标函数等值线同心圆中心X*(1)=[x1*(1)， x2*(1)]T，f(X*(1))=0。
• 而其约束最优解则需在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0， g4(X)=0组成的可行域D（阴影线里侧）内寻找使目标函数值为最小的点．由图可见约束曲线g4(X)=0与某等值线的一个切点X*(2)即为所求。
一、函数的方向导数
对一元函数而言，函数的导数是描述函数相对于自变量变化快慢
• n维目标函数f(X)=f(x1, x2, …, xn)，若在无约束条件下极小化，
即在整个n维设计空间寻找X*= [x1*, x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)，X ∈R n，其最优点X*、最优值f(X*)构成无约束最优解；
• 若在约束条件限制下极小化，即在可行域D中寻找 X*= [x1*, x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)，XDRn ，其最优点X*、最优值f(X*)则构成约束最优解。约束最优解和无约束最优解，无论在数学模型还是几何意义上，两者均是不同的概念。
第三章优化设计方法的数学基础 3-1 优化设计问题的几何意义
一、目标函数的等值面(线)
目标函数的值是评价设计方案优劣的指标。n维变量的目标函数，其函数图象只能在n+1维空间中描述出来。
当给定一个设计方案，即给定一组x1, x2, …, xn的值时，目标函数 f(X)=f(x1, x2, …, xn)必相应有一确定的函数值；
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
• 现以二维无约束最优化设计问题为例阐
明其几何意义。
• 如图，二维目标函数f(X)=f(x1, x2)在以x1, x2和f(X)为坐标的三维坐标系空间内是一个曲面。在二维设计平面x1ox2中，每一个点X= [x1, x2]T都有一个相应的目标函数值f(X)=f(x1, x2)，它在图中反映为沿f(X)轴方向的高度。

机械优化设计方法第三章PPT课件

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